Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn đề tài: phơng trình vô tỉ - cách giải phơng trình vô tỉ trong trờng thcs phần thứ nhất những vấn đề chung i - đặt vấn đề: - Nh các bạn đã biết toán học là một môn khoa học nói chung, nhng lại giữ một vai trò rất chủ đạo trong các nhà trờng cũng nh đối với các ngành khoa học khác. - Hiện nay đây t sâu cho bộ môn toán là mục tiêu của nhiều ngành giáo dục của các nớc trên thế giới cũng nh ngành giáo dục của Việt Nam ta. - Toán học nh một kho tàng tài nguyên vô cùng phong phú và quí giá mà nếu ai đã đi sâu tìm hiểu, khai thác thì sẽ thấy rất mê say và ham muốn khám phá và hiểu biết ngày càng nhiều hơn ở bộ môn này. - Các bậc phụ huynh cũng nh các thầy cô giáo, các thế hệ học sinh luôn mơ ớc học giỏi bộ môn này, tuy nhiên điều đó thật chẳng dế dàng gì. - Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài cơ bản và ngày một say mê bộ môn toán, bản thân mỗi ngời giáo viên phải tự mình tìm ra những ph- ơng pháp giải sao cho phù hợp với từng đối tợng học sinh và kích thích lòng ham muốn học toán của các em, từ đó tìm ra đợc những học sinh có năng khiếu về bộ môn này, để bồi dỡng các em trở thành những học sinh giỏi có ích cho xã hội. - Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối cấp hai là việc nắm đợc các phơng trình sơ cấp đơn giản và cách giả những phơng trình đó đối với những đối tợng là học sinh đại trà. Ngoài ra mở rộng các phơng trình đó khó hơn, phức tạp hơn đối với đối tợng học sinh khá giỏi. - Với rất nhêìu những chuyên đề đợc đề cập đến khi dạy đại số cấp hai và phơng trình đại số, tôi mạnh dạn tập trung suy nghĩ sâu về phơng trình vô tỉ các dạng của nó và các phơng pháp giải nó cho đối tợng là những học sinh có nhu cầu ham muốn đợc khám phá loại phơng trình này một cách sau hơn đối với đại trà các em học sinh chỉ giải các phơng trình vô tỉ đơn giản trong sách giáo khoa toán 9. Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn - Sau đây tôi xin mạo muội trình bày những suy nghĩ cũng nh những gì mà tôi tìm hiểu, tham khảo đợc về phơng trình vô tỉ mong các bạn cùng thầy cô đóng góp ý kiến cho tôi. ii - nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu về khái niệm của phơng trình một ẩn, khái quát và giải ph- ơng trình đó. - Kỹ năng giải các phơng trình: Phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình chứa hệ số ba chữ, phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phơng trình tích, thơng, phơng trình bậc cao - Kỹ năng giải các phơng trình bậc cao đa về phơng trình bậc 1, bậc 2, phơng trình vô tỉ - Làm các bài tập minh hoạ. - Một số phơng pháp và dạng bài tập thờng gặp. iii - Đối tợng học sinh nghiên cứu: - Học sinh lớp 9 trờng THCS. - Học sinh thi học sinh giỏi của trờng và của huyện. iv - phơng pháp nghiên cứu: - Tìm đọc các tài liệu tham khảo: Sách giáo dục đại số 8; Sách giáo khoa đại số 9; Sách bồi dỡng học sinh lớp 8 + lớp 9; Toán phát triển đại số 9; Toán nâng cao; Toán chuyên đề đại số lớp 9; Các đề thi học sinh giỏi của cá trờng, các thành phố - Dạy và trắc nghiệm trên ba đối tợng học sinh: Khá giỏi - trung bình - yếu kém. - Đa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện. - Tham khảo các trờng bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạy đại học. - Dự giờ, kiểm tra chất lợng học sinh. Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn v - Phạm vi nghiên cứu và thời gian nghiên cứu: - Giới thiệu nghiên cứu phơng trình vô tỉ trong chơng trình đại số lớp 9 (Trờng THCS). - Làm trắc nghiệm trong 3 tháng học kỳ I. - Kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học. vi - điều tra cơ bản: * Tổng số học sinh khối 9: - 160 học sinh/4 lớp 9 - Đại trà. - 8 học sinh đội tuyển toán giỏi trờng. * Phân loại: - Khá giỏi: 20 học sinh. - Trung bình: 100 học sinh. - Yếu - Kém: 40 học sinh. * Chuẩn bị sách giáo khoa và các bài tập 160/160 học sinh có đủ. phần thứ hai nội dung đề tại nghiên cứu a - lý do chọn đề tài i - cơ sở lý luận: Khi giảng dạy bộ môn đại số lớp 9, chúng ta đã bắt gặp những bài tập giải phơng trình vô tỉ, mặc dù sách giáo khoa đại số 9 chỉ đề cập đến những bài tập tơng đói đơn giản song không phải mọi học sinh đều dễ giàng giải quyết đợc hết các bài tập này một cách nhuần nhuyễn và thành thạo. Thực tế cho thấy khi bắt gặp loại phơng trình vô tỉ ta thấy chúng rất phong phú, đa dạng và thực là một thể loại bài khó đối với đại đa số học sinh cấp 2. Điều mong muốn của mọi giáo viên dạy toán là làm thế nào đó theo từng dạng của phơng trình để các em phần nào bớt bớt đi sự bế tắc khi giải toán phơng trình vô tỉ. Nếu nh ngời giáo viên có sự dẫn dắt học sinh cẩn thận, tỉ mỉ từ việc nắm đợc các dạng của loại phơng trình này đến cách thức giải từng loại thì chắc rằng các em sẽ dễ dàng hơn khi gặp toán phơng trình và cũng bồi đắp thêm cho các em niềm say mê, hứng thú trong học môn toán. Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn Tuy nhiên, không phải bất cứ dạng phơng tình nào cũng có một nguyên tăc giải cụ thể đợc. Đối với loại phơng trình đó ít nhất ngời giáo viên cũng cần mở ra cho học sinh kỹ năng nhận biết và phán đoán, khả năng áp dụng đối với những bài toán tơng tự mà học sinh đã đợc làm. Nếu nh chúng ta - giáo viên dạy toán THCS đều làm đợc nh vậy thì chắc rằng giải phơng trình vô tỉ không còn làm một lỗi lo của các em học sinh lớp 9. Với suy nghĩ đó tôi đã mạnh dạn đa ra các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ nhằm giúp các em nâng cao kỹ năng và kiến thức giải phơng trình. Từ đó học sinh chỉ cần xem phơng trình mình đã làm ở dạng phơng trình nào, xem phơng pháp giải từng loại là có thể giải đợc phơng trình đó một cách dễ dàng. ii - cơ sở thực tiễn: Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9 cụ thể là môn đại số khi dạy toán giải phơng trình vô tỉ tôi thấy rằng đại đa số học sinh đều thấy khó, không hiểu đợc phơng hớng giải quyết của từng bài. Chính vì vậy mà tôi đã mạnh dạn phân dạng phơng trình vô tỉ và cũng hớng cho các em phơng pháp tổng quát để giải phơng trình từng dạng phơng trình mà tôi đã phân chia, với mục đích giúp cho học sinh hiểu sâu sắc hơn, dới nhiều góc độ hơn về phơng trình vô tỉ, hơn nữa còn làm nhẹ nhàng quá trình giải phơng trình vô tỉ cho học sinh. Theo tôi, khi giảng dạy ngời giáo viên phải cung cấp ngay từ đầu cho học sinh, giúp các em nắm đợc những vấn đề sau đây: 1 - Khái niệm về phơng trình, nghiệm của phơng trình, tập xác định của phơng trình: + Các định nghĩa, định lý về biến đổi hai phơng trình tơng đơng. + Cách giải các loại phơng trình cơ bản nh: Phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình tích, phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phơng trình chứa ẩn ở mẫu; phơng trình bậc hai một ẩn số + Tính chất cảu bất đẳng thức số. 2 - Học sinh nắm chắc: + Định nghĩa phơng trình vô tỉ. + Các bài giải phơng trình vô tỉ nói chung. + Các kiến thức cơ bản về căn thức. Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn + Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ. + Các dạng phơng trình vô tỉ, các giải từng dạng. + Những sai lầm thờng gặp khi giải phơng trình vô tỉ. b - Biện pháp thực tiễn i - khái niệm về phơng trình một ẩn: a - Khái niệm: cho A(x), B(x) là hai biểu thức chứa biến x, khi đó A(x) = B(x) gọi là phơng trình một ẩn. Trong đó: + x đợc gọi là ẩn. + A(x), B(x) gọi là hai vế của phơng trình. + Quá trình tìm x gọi là giải phơng trình. + Giá trị tìm đợc của x gọi là nghiệm của phơng trình. + : Tập hợp nghiệm của phơng trình. + Tập xác định: Tập xác định của phơng trình. b - Tập xác định của phơng trình: Là tập những giáo trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phơng trình có nghĩa. c - Các khái niệm về hai phơng trình tơng đơng: + Là hai phơng trình có cùng một tập hựop nghiệm. Hoặc + Nghiệm của phơng trình này đều là nghiệm của phơng trình kia và ngợc lại. ii - phơng trình vô tỉ: 1 - Định nghĩa: Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn ở dới dấu căn. Ví dụ: - 3. 2 - Các bớc giải phơng trình vô tỉ (dạng chung): + Tìm tập xác định của phơng trình. + Biến đổi đa phơng trình về dạng phơng trình đã học. + Giải phơng trình vừa tìm đợc. + So sánh kết quả với tập xác định và kết luận. Các kiến thức cơ bản về căn thức: Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn + Một số âm không có căn thức bậc chẵn vì điều kiện của ẩn là biểu thức chứa trong dấu căn bậc chẵn là một số không âm. + Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế phơng trình đảm bảo nhận đợc phơng trình tơng đơng. + = A + = Với A > 0, A 2 > B > 0. iii - các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản và cách giải: 1 - Dạng 1: Ví dụ 1: Giải phơng trình. = x + 1 (1) (Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong). Giải (1) x - 1 0 x + 1 = (x - 1) 2 . x 1 x 2 - 3x = 0. x 1 x = 0 hoặc x = 3 Vậy x = 3 là nghiệm của phơng trình (1). 2 - Dạng 2 2 2 BAA + 2 2 BAA = g (x) (1). Đây là dạng đơn giải nhất của ph ơng trình vô tỉ. Sơ đồ cách giải: = g (x) g(x) 0 (2). f(x) = [g(x)] 2 (3). Giải ph ơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra nghiệm của ph ơng trình (1). x = 3 + = g(x) (1). Sơ đồ cách giải. Tìm điều kiện có nghĩa của ph ơng trình: f(x) 0 g(x) 0 (2). h(x) 0 Với điều kiện (2) hai vế của ph ơng trình không âm nên ta bình ph ơng hai vế, ta có: = [g(x)] 2 - (x) - h(x) (3) Ph ơng trình (3) có dạng (1) nên có điều kiện mới: [g(x)] 2 - f(x) - h(x) 0 (4) Bình ph ơng hai vế của ph ơng trình (3) đ ợc ph ơng trình mới đã biết cách giải. So sánh nghiệm với điều kiện (2) và điều kiện (4) rồi kết luận. Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn Ví dụ 2: Giải phơng trình. = 5 - (1) + = 5 Giải: Điều kiện x + 3 0 x - 2 0 Với điều kiện (*) phơng trình có hai vế không âm nên ta bình phơng hai vế ta có: 2x + 1 + 2 = 25 2 = 24 - 2x (2) Điều kiện để (2) có nghĩa: 12 - x 0 x 12 (**) Bình phơng hai vế của (2) ta có: x 2 + x - 6 = 144 - 24x + x 2 25 x = 150 x = 6 x = 6 thoả mãn điều kiện (*) và (**) vậy nghiệm của phơng trình là x = 6. 3 - Dạng 3: Ví dụ 3: Giải phơng trình. = + (1) Giải: x 2 (*) + = (1) Dạng 3 chỉ khác dạng 2 ở vế phải là nên cách giải tơng tự nh dạng 2. Th viÖn SKKN cña Quang HiÖu : http://quanghieu030778.violet.vn §iÒu kiÖn x + 1 ≥ 0 12 - x ≥ 0 x - 7 ≥ 0 Víi ®iÒu kiÖn (*) ph¬ng tr×nh (1) cã hai vÕ kh«ng ©m nªn ta b×nh ph¬ng hai vÕ. (1) ⇒ x + 1 = 12 - x - 7 + ⇔ 2 = x + 4 (2) Víi (*) th× hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (2) kh«ng ©m ta b×nh ph¬ng hai vÕ cña (2) ta ®îc: (2) ⇒ 4 (- x 2 + 19x - 84) = x 2 - 8x + 16 ⇔ 5x 2 - 84x + 352 = 0 ∆ ' = 1764 - 1760 = 4 > 0 ⇒ = 2 (2) Ph¬ng tr×nh (3) cã hai nghiÖm: x 1 = , x 2 = 8 4 - D¹ng 4: VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh. + - + = 0 (1) ⇔ + - + = 0 (2) Gi¶i: §iÒu kiÖn: x ≥ 0 Víi ®iÒu kiÖn (*) ph¬ng tr×nh (2) hai vÕ d¬ng nªn ta b×nh ph¬ng hai vÕ ta ®îc. = - x (3) §iÒu kiÖn cho (3): x ≤ 0 (**) 7 ≤ x ≤ 12 (*) + = + (1) S¬ ®å lêi gi¶i: §iÒu kiÖn: f(x) ≥ 0; h(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0; k(x) ≥ 0 B×nh ph¬ng hai vÕ ta cã: f(x) + h(x) + 2 = g(x) + k(x) + 2 ⇔ - = Tuú theo tõng trêng hîp ®Ó gi¶i tiÕp Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn Ta bình phơng hai vế của (3) ta đợc: x 2 + 9 x = x 9x = 0 x = 0 thoả mãn (*) và (**) Vậy nghiệm của phơng trình là x = 0 5 - Dạng 5: Ví dụ 5: Giải phơng trình sau: + + 2 = 13 - 2x (1) Giải: Điều kiện: 2 x (*) Đặt t = + ; t > 0 ta có: t 2 = x + 1 + x - 2 + 2 t + 2 - 2x + 1 = 2 (1) t + 2 - 2x + 1 = 13 - 2 x t 2 + t - 12 = 0 (2) Phơng trình (2) có hai nghiệm là t 1 = 3; t 2 = - 4. Vì t = 3 thoả mãn t > 0 2 = 9 - 2x + 1 = 5 - x (3) Điều kiện của (3): x 5 (**) Giải phơng trình (3) ta có x = 3 x = 3 thoả mãn điều kiện (*) và (**). Vậy nghiêm của phơng trình là x = 3 + + n = g(x) (1) Sơ đồ cách giải. Điều kiện: f(x), h(x) 0 Đặt ẩn phụ t= + Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn iv - các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ: Không phải bất cử một phơng trình vô tỉ nào cũng có thể đa về đợc một trong 5 dạng trên nên ngời giáo viên cần cung cấp cho học sinh thêm các ph- ơng pháp giải phơng trình vô tỉ. 1 - Phơng pháp luỹ thừa: Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả hai vế lên luỹ thừa n. Nếu chẵn tì chỉ thực hiện đợc khi hai vế của phơng trình là không âm. Ví dụ: Giải phơng trình x + = 7 Giải: (1) = 7 - x (2) Điều kiện x 1 x 7 Với điều kiện (*) thì (2) có hai vế không âm nê ta bình phơng hai vế ph- ơng trình (2). (2) x - 1 = 49 - 14 x + x 2 = 25 > 0 = 5 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x 1 = 10; x 2 = 5 Ta thấy x = 5 thoả mãn điều kiện (*) vậy nghiệm của phơng trình là x. Ví dụ 7: - = (1) Điều kiện: x 1 Chuyển vế: = = (2) Bình phơng 2 số: x - 1 = 5x - 1 3x + 2 (3) Rút gọn: 2 - 7x = 2 (4) 2 - 7 x 0 (2 - 7x) 2 = 4 (15x 2 - 13x + 2) x 4 - 28x + 49x 2 = 60x 2 - 52x + 8 x 11x 2 - 24x + 4 = 0 1 x 7 (*) [...]... tôi đề cập ở trên cũng có những dạng đã đợc sử dụng rộng rãi song phần nào giúp học sinh lớp 9 và giáo viên dạy toán 9 nâng cao chất lợng dạy và học của mình Chuyên đề này còn dể ngỏ và còn ti p tục khai thác nên nội dung còn sơ sài còn nhiều vấn đề cha mở rộng, đi sâu e - hớng đề xuất Nh tôi đã viết ở trên trong đề tài này chỉ nhằm một mục ti u đơn giải là giúp cho học sinh trong việc giải toán "Phơng... 2= Do y > 0 và - < x < nên Ví dụ 17: Giải phơng trình Giải: Điều kiện: - 5 < x < 5 Đặt = 4, = v; u > 0; v < 2 (*) Khi đó ta có hệ phơng trình: u2 + v2 = 10 (u + v)2 = 10 + 2 (u + v) (u + v) (1 - Đặt ti p: = t uv = ; t > Ta đợc hệ: (u + v)2 = 10 + (u + v)2 = uv = x= y= Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn Vậy t phải thoả mãn phơng trình: = 10 + 8 t = 45 (1 - t) 2 + 18 (1... các bài tập và kết hợp với thực tế giảng dạy tôi thấy rằng chuyên đề "Giúp học sinh giải phơng trình vô tỉ" ở THCS đã một phần nào có tác dụng đối với học sinh và giáo viên lớp 9 Sau khi học chuyên đề song các em rất hứng thú học toán đặc biệt là toán giải phơng trình vô tỉ Đề tài này đã cố giắng dựng một hệ thống kiến thức từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh có thể vận dụng một cách... thành cảm ơn! mục lục Phần thứ nhất: Những vấn đề chung Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn Phần thứ hai: Nội dung nghiên cứu Phần thứ ba: Kết luận chung Phần thứ t: Giáo án về ti t chuyên đề giải phơng trình vô tỉ các tài liệu tham khảo 1 - Sách giáo khoa Đại số lớp 9 - NXB Giáo dục 2 - Một số vấn đề phát triển Đại số lớp 8 - NXB Giáo dục 1995 3 - Một số vấn đề phát triển Đại . phơng trình đã học. + Giải phơng trình vừa tìm đợc. + So sánh kết quả với tập xác định và kết luận. Các kiến thức cơ bản về căn thức: Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn +. ph ơng trình (3) đ ợc ph ơng trình mới đã biết cách giải. So sánh nghiệm với điều kiện (2) và điều kiện (4) rồi kết luận. Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn Ví dụ. ph¬ng hai vÕ ta cã: f(x) + h(x) + 2 = g(x) + k(x) + 2 ⇔ - = Tuú theo tõng trêng hîp ®Ó gi¶i ti p Th viện SKKN của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn Ta bình phơng hai vế của (3) ta đợc: x 2