Xử lý số tín hiệu Chương 8: Biến đổi DFT và FFT Các phép biến đổi Fourier Miền thời gian Miền tần số dt tf πj2 es(t)S(f)       dt T 0 t ωkj es(t) T 1 k c    Periodic (period T) Discrete Continuous FT FTAperiodic FS FS Continuous 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 time, t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 2 4 6 8 10 12 time, t      1N 0 n N nk π2 j es[n] N 1 k c ~ Discrete Discrete DFS DFSPeriodic (period T) ContinuousDTFT Aperiodic Discrete DFT DFT nfπ2j e n s[n]S(f)         0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 2 4 6 8 10 12 time, t k 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 time, t k      1N 0 n N nk π2 j es[n] N 1 k c ~ Chuỗi Fourier (Fourier series-FS)  Tín hiệu x(t) tuần hoàn, chu kỳ T p , tần số F 0 = 1/T p     k tkFj k ectx 0 2 )(     p T tkFj p k dtetx T c 0 2 )( 1  X(f) f -T p T p 0 x(t) τ t F 0 -F 0 Biến đổi Fourier (Fourier transform-FT)  Tín hiệu x(t) không tuần hoàn       dfeFXtx ftj  2 )(          dtetxfX ftj  2 X(ω) ω 2π/τ-2π/τ x(t) - τ/2 t τ/2 Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản Biến đổi Fourier thời gian rời rạc Discrete – Time Fourier Transform (DTFT)  Tín hiệu x(n) rời rạc, không tuần hoàn       deXnx nj   2 2 1 )(         n nj enxX   Chuỗi Fourier rời rạc Discrete Fourier Sequence (DFS)  Tín hiệu x(n) rời rạc, tuần hoàn với chu kỳ N     1 0 /2 )( N k Nknj k ecnx         1 0 /2 1 N n Nknj k enx N c  Biến đổi Fourier rời rạc Discrete Fourier Transform (DFT)  Tín hiệu x(n) rời rạc, không tuần hoàn, chiều dài L hữu h ạn  Biến đổi DTFT cho phổ liên tục X(ω) 0 L-1 n x(n) |X(ω)| ω-π π Biến đổi Fourier rời rạc Discrete Fourier Transform (DFT)  Lặp lại tín hiệu x(n) với chu kỳ N ≥ L  Tín hiệu x p (n) tu ần hoàn chu kỳ N 0 N x p (n) N-1 nL-1 n  x p (n) tuần hoàn chu kỳ N  Tính DFS của x p (n)  X p (k) Biến đổi Fourier rời rạc Discrete Fourier Transform (DFT) 0 N x p (n) N-1 n L-1 n |X p (k)| k 0 N-N [...]... X(N/2) X(N/2 + 1) k = N/2  N-1 X(N – 1) Chi phí tính toán So với tính trực tiếp: chi phí tính toán thấp hơn Number of Operations  2000 1500 DFT  N2 1000 FFT  N log2N 500 0 0 10 20 30 Number of samples, N 40 Ví dụ  FFT 8 điểm phân chia theo thời gian Ví dụ  FFT 8 điểm phân chia theo thời gian Ví dụ  FFT 8 điểm phân chia theo thời gian Ví dụ  FFT 8 điểm phân chia theo thời gian Ví dụ  Thứ tự chuỗi... nhanh Fast Fourier Transform (FFT) Tính trực tiếp DFT N – điểm của x(n): Tổng quát: X(k) và x(n) là số phức:  2kn 2kn    xI n sin X R k     xR n  cos N N   n 0  N 1 2kn 2kn    xI n  cos X I k     xR n sin N N   n 0  N 1 Tính trực tiếp cần: • 2N2 phép tính hàm lượng giác • 4N2 phép nhân thực • 4N(N-1) phép cộng thực Chi phí tính toán lớn Giải thuật biến đổi Fourier... - time Số thứ tự Dạng nhị phân Đảo bit n 0 000 000 0 1 001 100 4 2 010 010 2 3 011 110 6 4 100 001 1 5 101 101 5 6 110 011 3 7 111 111 7 Ví dụ  FFT 8 điểm phân chia theo tần số (Decimation in freq) Ví dụ  FFT 8 điểm phân chia theo tần số Ví dụ  FFT 8 điểm phân chia theo tần số ... giác • 4N2 phép nhân thực • 4N(N-1) phép cộng thực Chi phí tính toán lớn Giải thuật biến đổi Fourier nhanh Fast Fourier Transform (FFT)  Đặt WN  e  j 2 / N N 1  nk X k    x(n)WN n 0  Tính đối xứng:  Tính tuần hoàn: kN /2 M W kN M W  W W k N k N Giải thuật biến đổi Fourier nhanh Fast Fourier Transform (FFT) Xét chuỗi x(n) = {x(0), x(1)}  FFT 2 điểm của x(n):  X (0)  x(0)W  x(1)W  . Xử lý số tín hiệu Chương 8: Biến đổi DFT và FFT Các phép biến đổi Fourier Miền thời gian Miền tần số dt tf πj2 es(t)S(f)       dt T 0 t ωkj es(t) T 1 k c    Periodic. Fourier Transform (DFT)  Lặp lại tín hiệu x(n) với chu kỳ N ≥ L  Tín hiệu x p (n) tu ần hoàn chu kỳ N 0 N x p (n) N-1 nL-1 n  x p (n) tuần hoàn chu kỳ N  Tính DFS của x p (n)  X p (k) Biến. transform-FT)  Tín hiệu x(t) không tuần hoàn       dfeFXtx ftj  2 )(          dtetxfX ftj  2 X(ω) ω 2π/τ-2π/τ x(t) - τ/2 t τ/2 Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản Biến