1 Chương 7: HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH - CÔNG TH ỨC XOAY TRỤC CỦA MÔ MEN QUÁN TÍNH. 4.5.1. Hệ trục quán tính chính. Đối với một hình phẳng có một trục đối xứng thì khi đã biết trọng tâm, ta có ngay một hệ trục quán tính chính trung tâm (h ệ trục này có gốc ở trọng tâm, một trục là tr ục đối xứng và trục kia vuông góc với nó đi qua trọng tâm). Và vi ệc xác định mô men quán tính chính của nó là đơn giản. Thế nhưng đối với một hình không có trục đối xứng nào thì khi đã biết trọng tâm của nó vẫn chưa thể xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và c ũng chưa thể xác định được các mô men quán tính chính đó được. Dưới đây ta hãy nghiên cứu vấn đề này, trước hết ta nh ắc lại một số định nghĩa: Định nghĩa: Trong mặt phẳng chứa mặt cắt ngang, xác định m ột hệ trục vuông góc Oxy sao cho J xy =0 và S x =S y =0, thì ta gọi hệ trục đó là hệ trục quán tính chính trung tâm. 2 O Lúc đó mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục quán tính chính trung tâm được gọi là “mô men quán tính chính trung tâm ”. Khi giải các bài toán sức bền vật liệu, ta thường sử dụng đến các hệ trục quán tính chính trung tâm và các mô men quán tính chính trung tâm. Bây gi ờ còn phải xác định vị trí của hệ trục chính. Muốn vậy, nói chung ta cần xét sự biến thiên của các mô men quán tính khi xoay tr ục. 4.5.2. Công thức xoay trục của mô men quán tính. Xét một mặt cắt ngang biểu diễn ở hình 4.18. Giả sử biết J x , J y , J xy c ủa mặt cắt ngang. Bây giờ chọn hệ trục toạ độ xoay quanh O m ột góc , ta được hệ trục mới Ouv. Tìm s ự liên hệ v gi ữa J x , J y , J xy với J U , J V , J UV . Ta có công th ức chuyển trục: y F A dF u  u  x cos      v  y cos    y sin  y  x sin v u   Nên : J u     y cos   x sin   2 dF x x  J x cos 2   J sin 2   2Jxy sin 2 Cuối cùng ta có: J x  J y J x  J y J u    cos 2  J xy sin 2   2 2 Hình 4.18: Sơ đồ xoay trục để tính Chú ý: Dùng công th ức: va T ương tự: cos 2   1  cos 2  2 sin 2   1  cos 2  2 mô men quán tính    J U      J x J x  J y 2  J y  J x J x 3 xy J 2  J y 2  J y cos 2   J xy sin 2   J V      cos 2   2 2  J xy sin 2   (4-10)   J x   UV  J y 2 sin 2   J xy cos 2 Đó là công thức xoay trục của mô men quán tính. Ta rút ra nh ững nhận xét : * J U + J V = J x + J v * Các công th ức trên giống công thức tính  U ,  V ,  UV * Điều kiện để xác định hệ trục chính là: J UV = 0 Hoàn toàn gi ống điều kiện xác định mặt chính trong trạng thái ứng s uất  UV = 0. Vì v ậy ở đây ta có thể sử dụng ngay các kết quả đã nghiên c ứu ở chương trước để xác đị nh hệ trục chính và mô men quán tính chính. J max/ min  J x  J y  1 2 2 (J x  J y )  4J 2 (4-11) 4 C  2  J J . tg   1 / 2  J xy J y  J max/ min (4-12) 4.6. VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH. Để xác định các trục chính, các ứng suất chính của một hình ph ẳng nào đó ta cũng có thể sử dụng phương pháp hoạ đồ như đối với việc xác định phương chính, ứng suất chính đối với bài toán tr ạng thái ứng suất. Thật vậy đối chiếu các công thức tính mô men quán tính chính, xác định phương chính bằng giải tích như (4-10), (4-11) và (4-12) v ới các biểu thức xác định các ứng suất chính và ph ương chính ở chương 3 vừa rồi ta thấy về mặt toán học tương tự nhau. T ừ (4-10) với lập luận và thực hiện các phép bi ến đổi như đối với việc xây dựng vòng tròn Mohr ứng suất, ta s ẽ có vòng tròn Mohr quán tính. J uv  2 Ph ương tr ục chính có J min  1 Khi bi ết J x , J y và J xy thì tâm C c ủa vòng c ực D tròn quán tính có to ạ đô:  J x   J y 2   ,0     J min J y    O C J max u J x và bán kính s ẽ là: R   (J   x      J y 2 ) 2    2  xy     Phương tr ục chính có J max Cu ối cùng ta có thể dựng vòng tròn quán tính và cách xác định các tr ục chính và giá trị các mô men quán tính chính như trên hình 4.19. Hìmh 4.19: Vòng tròn 5 Chú ý :Vòng tròn Mohr ứng suất có thể nằm cả 2 phía trục tung hoặc cắt trục tung, nhưng vòng tròn Mohr quán tính chỉ có thể nằm bên phải của trục trung mà thôi,vì giá trị mô men quán tính luôn luôn d ương Từ hình vẽ vòng tròn Mohr quán tính (xem hình 4.19), ta có th ể tìm vị trí các trục có mô men quán tính chính theo biểu thức: tg  1  tg(180   )    J J xy J xy max  J y  J xy J y  J m ax (4-13) 6 tg  2   J y 7  J min . quán tính chính trung tâm được gọi là “mô men quán tính chính trung tâm ”. Khi giải các bài toán sức bền vật liệu, ta thường sử dụng đến các hệ trục quán tính chính trung tâm và các mô men quán. 1 Chương 7: HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH - CÔNG TH ỨC XOAY TRỤC CỦA MÔ MEN QUÁN TÍNH. 4.5.1. Hệ trục quán. trạng thái ứng s uất  UV = 0. Vì v ậy ở đây ta có thể sử dụng ngay các kết quả đã nghiên c ứu ở chương trước để xác đị nh hệ trục chính và mô men quán tính chính. J max/ min  J x  J y  1 2 2 (J x 