Chương 1: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 1. KHÁI NIỆM: Như trong bài toán kéo nén đúng tâm, ta đã thiết lập công th ức tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ:           cos 2   1 (a)         sin 2   2 (b) Trong đó  là góc giữa pháp tuyến của mặt cắt và trục thanh. Rõ ràng khi  thay đổi, các ứng suất pháp   , ứng suất tiếp   đều thay đổi theo qui luật (a) và (b). Nhưng trong những thanh ch ịu lực phức tạp hơn (thanh bị uốn, xoắn v.v ) thì vấn đề xác định qui luật biến thiên của ứng suất theo góc nghiêng  của mặt cắt cũng phức tạp hơn. Trong chương này, chúng ta sẽ xác định qui luật biến thiên đó. Vì th ế nếu biết được qui luật biến thiên ứng suất tại một điểm thì ta có th ể xác định được tại điểm đó mặt cắt nào có ứng suất lớn nhất. Định nghĩa trạng thái ứng suất: Trạng thái ứng suất tại một điểm là trạng thái chịu lực của điểm đang xét, được đặc trưng bởi tập hợp các giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên những mặt cắt vô cùng bé (VCB) khác nhau đi qua đ iểm đó. Để xác định ứng suất tại một điểm trong vật thể đàn hồi, ta tách riêng ra m ột hình hộp có kích thước vô cùng bé VCB (g ọi là phân tố) bao quanh điểm đó. Chú ý rằng các cạnh của phân tố là VCB, nên ta có th ể coi phân tố là điểm đang xét và ứng suất trên các mặt của phân tố được xem như ứng suất trên các m ặt đi qua điểm đó. Trong lý thuy ết đàn hồi, người ta đã chứng minh được rằng: "Tại một điểm bất kỳ thuộc v ật thể đàn hội chịu lực, ta luôn luôn Hình 3.1:Phân t ố vô có thể tách ra được một phân tố sao 2  cho trên các m ặt của nó ch ỉ có các ứng suất pháp mà không có ứng suất tiếp,  = 0". Phân t ố đó được coi là phân tố chính, các m ặt của phân tố gọi là mặt chính, các ứng suất  3 2 pháp trên các mặt gọi là các ứng suất chính, phương pháp tuyến của các mặt gọi là phương chính.  1 =2 KN/cm 2  2 = 3 KN/cm  3 = - 10KN/cm 2 Một phân tố hình hộp có sáu mặt, như vậy nói chung có sáu thành ph ần ứng suất chính. Nhưng do điều kiện cân bằng, các mặt đối diện  1 Hình 3.2: Phân ố chinh có các thành phần ứng suất chính bằng nhau về trị số và ngược chi ều nhau, do đó chỉ có ba ứng suất chính. Ta ký hiệu các ứng suất chính  1 ,  2 ,  3 v ới thứ tự qui ước  1 >  2 >  3 (so sánh như số thực). Ví dụ:  1 = 2KN/cm 2 ;  2 = 3 KN/cm 2 ;  3 =-10KN/cm 2 3.1.2. Phân loại trạng thái ứng suất. Căn cứ vào các ứng suất chính trên một phân tố chính, ta phân ba lo ại trạng thái ứng suất: a) Tr ạng thái ứng suất đơn: Trên phân tố chính chỉ có một ứng suất chính khác không và hai ứng suất chính khác bằng không. Đó là trường hợp thanh chịu kéo (hay nén) đúng tâm, (xem hình 3.3a). b) Tr ạng thái ứng suất phẳng: Trên phân tố chính chỉ có hai ứng suất chính khác không và một ứng suất chính bằng 0, (xem hình 3.3b) c) Tr ạng thái ứng suất khối: Trên phân tố chính có đủ ba ứng suất chính khác không, (xem hình 3.3c). Trong giáo trình s ức bền vật liệu, chúng ta chủ yếu chỉ quan tâm đến trạng thái ứng suất phẳng. Từ đó có thể suy ra trạng thái ứng suất đơn. Còn trạng thái ứng suất khối được nghiên cứu kỹ trong giáo trình lý thuyết đàn hồi.  1  2  1  1  3  3  1  3  3  1  1  2 a b c ) ) ) Hình 3.3.Các trạng thái ứng suất:a- Tr ạ ng 3.2. TRẠNG t T h H á Á i I Ứ ứ N n G g S s U u Ấ ấ T t PH đơ Ẳ n N ; G. b- Tr ạng thái ứng su ấ t 3.2.1. Ứng ph su ẳ ấ n t g tr ; ên c m - ặt T cắ r t ạ n n g g hiê t n h g á . i ứng suất kh ố i. Giả sử tại K, ta tách ra khỏi vật thể đàn hồi chịu lực một phân tố có các mặt song song v ới mặt phẳng của hệ tọa độ, trong đó mặt vuông góc với trục Oz là m ột mặt chính không có ứng suất pháp tác dụng (hình 3.4), còn các mặt kia là bất kỳ nên có đủ các thành phần ứng suất. Ta ký hiệu các ứng suất đó như sau: - Ứng suất pháp  có kèm theo một chỉ số, chỉ số này bi ểu diễn phương của pháp tuyến của mặt cắt có ứng suất tác dụng ( x - Ứng suất pháp theo phương x). - Ứng suất tiếp có hai chỉ số: Chỉ số thứ 1 chỉ phương của pháp tuyến của mặt cắt có ứng suất tiếp tác dụng, chỉ số thứ 2 biểu diễn phương song song v ới ứng suất tiếp ( xy là ứng suất tiếp trên mặt phẳng có pháp tuy ến ngoài là x và ứng suất này nằm theo phương y). x ’ x y y  y  y  y x  y x  xy  xy   x  xy  y x    x x x  x y A (R) B   x x  y x  y  y z z Hình 3.4:Phân tố có m ộ t mặt chính không có ứ ng suất pháp Hình 3.5: Thi ế t lập ứ ng suất pháp và ứng su ấ t ti ế p trên m ặt c ắ t nghiêng b ất kì song song Giả sử đã biết  x ,  y và  xy , bây gi ờ ta thiết lập công thức tính ứng suất pháp và tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kỳ song song v ới Oz. Tưở ng tượng cắt phân tố bởi một mặt cắt (R) có pháp tuyến u làm v ới trục x một góc . Mặt (R) // Oz, mặt này cắt phân tố ra hai phần (A) và (B), xem hình 3.5. Gi ả sử xét cân bằng phần (A). Gọi  u ,  uv tác d ụng trên m ặt cắt nghiêng (). Ta xét các lực tác dụng trên các mặt của phần (A), (xem hình 3.6, 3.7). Gọi các cạnh lần lượt là dx, dy, dz, ds. y u   O x y ’  y u   u v  x dydz O  x  xy dydz  u dzds  u dzds v  yx d x d z  y z  y dxdz v Trên di H ệ ì n n tí h ch 3 d . y 6 .d : z c C ó á c c ác l hợ ự p c lực  x dydz và  xy d H y ì d n z. h 3 .7: Các l ự c Trên t di á ệ c n tí d c ụ h n d g x.d l z ê c n ó c p ác hầ hợ n p A lực  y dzdx và  yx t d á zd c x. dụng lên ph ần A Trên diện tí c c ủ h a dz. p d h s â có n cá t c ố hợp lực  u dzds và  uv dzds. c ủ a phân t ố Dễ dàng xác định ds = dy  dx cos sin - Viết phương trình mô men với điểm O':  m o '  0   xy dydz. dx    2 y x dzdx. dy  0 2   xy   yx   xy   yx (3-1) Kết quả này được gọi là định luật đối ứng của ứng suất tiếp trên hai mặt cắt vuông góc nhau. - Viết phương trình chiếu tất cả các lực lên trục u ta có:  U  0   u   x   y 2   x   y 2 cos 2    xy sin 2   (3-2) - Vi ết phương trình chiếu tất cả các lực lên trục V ta có:  x   y  V  0   uv   sin 2   xy cos 2   2 (3-3) Bi ểu thức (3-2) và (3-3) cho phép xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt cắt nghiêng () song song với một phương chính (mặt cắt này vuông góc với mặt cắt đang xét) không có ứng suất. Bây giờ ta xét ứng suất trên mặt cắt nghiêng (), với  =    . 2   v   x   y   x 2   y cos 2    2 x y sin 2   x  v     y 2   x    y cos 2     2 x y sin 2   (3-4) Thực hiện phép cộng các phương trình (3-2) và (3-4) theo vế có:  U +  v =  x +  y = const (3- 5) Bi ểu thức (3-5) được gọi là định luật bất biến bậc nhất của ứng suất pháp trên hai m ặt cắt vuông góc nhau. . thái ứng suất khối được nghiên cứu kỹ trong giáo trình lý thuyết đàn hồi.  1  2  1  1  3  3  1  3  3  1  1  2 a b c ) ) ) Hình 3.3.Các trạng thái ứng suất:a- Tr ạ ng 3.2. TRẠNG t T h H á Á i I Ứ ứ N n G g S s U u Ấ ấ T t PH đơ Ẳ n N ; G. b- Tr ạng. hiệu các ứng suất chính  1 ,  2 ,  3 v ới thứ tự qui ước  1 >  2 >  3 (so sánh như số thực). Ví dụ:  1 = 2KN/cm 2 ;  2 = 3 KN/cm 2 ;  3 = -10 KN/cm 2 3 .1. 2. Phân loại trạng thái. Chương 1: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 1. KHÁI NIỆM: Như trong bài toán kéo nén đúng tâm, ta đã thiết lập công th ức tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ:           cos 2   1 (a)         sin 2   2 (b) Trong