CÔNG THỨC CỘNG VẬN TỐC A Cơ sở lý thuyết * Xét hai hệ quy chiếu: - XOYZ cố định - xo’yz hệ di động u r Véc tơ R xác định vị trí uu r R0 xác định vị trí o, uu r R , xác định điểm o, M so với hệ cố định + Chuyển động chất điểm hệ cố định gọi chuyển động tuyệt đối, ta có vận tốc vận tốc r tuyệt đối v T + Chuyển động chất điểm hệ di động gọi chuyển động tương đối ta có vận tốc vận tốc r tương đối v t z Z u r R u r R M y O’ x + Chuyển động hệ di động hệ cố định gọi chuyển động kéo theo chất điểm chuyển động O r Y có vận tốc v k X 1.Định lí cộng vận tốc chất điểm u r r v r - Hệ tọa độ OXYZ điểm M xác định véc tơ R = x.i + y j + zk u r r dR - Ta có véc tơ vận tốc v = dt u r u r u r u r r r dR ' dR dR o dR ' u - Từ hình vẽ: v T = = + = Vo + dt dt dt dt u r r r r uu uu r r dR d r r r & & & = x i + y j + z k = xi + yj + Zk +  W ∧ R '    dt với dt uu uu r r = vt + W ∧ R '   ( ) u r r - V t vận tốc tương đối u r r r vt = x i + y j + z k r r r uu u r r => v T = v o + v t +  W R'    r uu u r r r u r đặt v o +  W R'  = v k có hệ di động chuyển động so với hệ cố định V k vận tốc mật điểm   không gian hệ di động hệ cố định điểm phải trùng với chất điểm xét r r r => ta có Định lý cộng vận tốc v T = v t + v k vận tốc tuyệt đối tổng vectơ vận tốc tương đối vận tốc kéo theo + Xét trường hợp đặc biệt: rr r TH 1: i, j, k không đổi: hệ di động chuyển động tịnh tiến => W=O r u r => v k = V o u r TH 2: V o = O → hệ di động chuyển động quay quanh điểm O r uu u rr v k =  W.R '    + Ta có: r ur u 2 vT = vk + vt2 + 2.vk vt cos(v t , vk ) 2.Công thức cộng vận tốc vận rắn: a) Chuyển động tịnh tiến vật rắn: - Có vật rắn chuyển động tịnh tiến hệ di động xoyz hệ di động chuyển động tịnh tiến hệ cố định XOYZ -Điểm M điểm vật rắn hệ cố định Vận tốc điểm M vật rắn hệ cố định là: r r uu r ru r r r với v k = v o +  WR '  vT = vt + v k   uu r r r hệ di động chuyển động tịnh tiến so với hệ cố định ta có: W = O => v k = v o r r r => Ta có cơng thức cộng vật tốc v T = v o + v t u r vt vận tốc điểm M so với hệ cố định r r - Trong v o v t không phụ thuộc vào điểm M - Mọi điểm vật rắn phải có mật véc tơ vận tốc tuyệt đối so với hệ cố định - Nếu { r r v t = v1 r r v o = v2 r r r => v T = v1 + v KL: vật rắn chuyển động tịnh tiến tham gia nhiều chuyển động, chuyển động tổng hợp vật rắn n r r vT = ∑ vi chuyển động tịnh tiến vận tốc điểm vật rắn i =1 b) Chuyển động quay vật rắn có trục quay cắt điểm - Có vật rắn tham gia đồng thời vào chuyển động quay, chuyển động thứ quay quanh trục ∆1 u r uu r với W1 gia tốc góc ε1 uu r uu r - Chuyển động quay thứ chuyển động quay ∆2 với W gia tốc góc ε ∆1và ∆2 cắt O + Chuyển động vật rắn quay quanh ∆1 coi chuyển động tương đối ∆1 gắn với hệ di động Chuyển động quay quanh ∆2 chuyển động kéo theo - Với điểm M vật rắn: r uu uuuu r r v t =  W1 , OM  r r r   uu uuuu r r v T = v t + v k ta có: r v k =  W , OM    ∆2 uu r uu W r W uu r W1 ur O ur R ≡ R1 uu uuuu r r Với R , = OM r uu uuuu r r uu uuuu r r => v T =  W1 , OM  +  W OM      ∆1 M r uu uu r r uuuu r uu r ruuuu v T =  W1 + W ∧ OM  =  W OM      uu uu uu r r r Với W = W1 + W biến diễn hình vẽ uu uu r r uu r Vì W véc tơ có điểm đặt trục quay nên ta đưa W1 , W đặt O ( ) Chọn gốc hệ di động trùng với gốc hệ cố định O uu uu r r uu r Kết luận: Chuyển động tổng hợp vật rắn chuyển động quay với W = W1 + W trục ∆ uu r trùng phương với W ,đi qua O c) Hai chuyển động quay vật rắn có trục quay ∆1//∆2 uu r uu r TH1: W1 ↑↑ W tức hai vận tốc góc vật rắn song song với - Lấy điểm M vật rắn - ∆ Theo công thức cộng vận tốc với chất điểm M r r r vT = vk + vt ∆1 M M2 A ∆2 C B ur ur u u uuru r ur r u Với vk = vo +  W1 R  Vì vo =   r uu u r r uu uuuu r r v k =  W1 R  =  W1 AM      với r uu uuur r v t =  W BM    r uu uuuu r r uu uuur r v T =  W1 AM  +  W BM      u r u r - Nếu M nằm AB khoảng AB V1 vµ V k phương ngược chiều => tồn mật điểm u r u r u r u r C ∈ AB để V t = − V k ⇔ V t = V k r uu uuu r r uu uuu r r v C =  W1 AC  +  W BC  = O     lúc W BC => W1 AC = W2 BC => = W2 AC => C điểm chia thành đoạn tỉ lệ nghịch - Với trục ∆ qua C ∆//∆1, ∆2 -> điểm vật rắn có vận tốc tuyệt đối = O uu r uu r uu r - ∆ trục quay tức thời vật rắn Vận tốc góc W ∈ ∆ có chiều chiều W1 vµ W , độ lớn W=W1+W2 uu r uu r TH 2: Khi W1 ↑↓ W : tức hai véc tơ vận tốc góc ngược chiều - Lấy M điểm vật rắn r r r Theo công thức cộng vận tốc chất điểm v T = v k + v t ur ur uuru u u r uuru r ur r u vk = vo +  W1 R  =  W1 R  vo =     Ta có chuyển động tổng hợp chuyển động quay có trục quay ∆ qua C điểm chia ngồi AB, uu r cịn W chiều với véctơ vận tốc góc có giá trị lớn hơn, giá trị W = W1 − W2 u r uu r ( r r ) uu uuu r r uu uuu r r - Nếu W1 − W2 W=O -> V M =  W1 ∧ r − r  =  W1 AB  =  W BA  không phụ thuộc vào vị trí       M -> Mọi điểm vật rắn có véc tơ vận tốc chuyển động vật chuyển động tịnh tiến ->ta có cặp quay B Bài tậpmẫu Bài 1: Một thuyền chuyển động ngược dòng với vận tốc 14km/h so với mặt nước Nước chảy với tốc độ 9km/h so với bờ Hỏi vận tốc thuyền bờ? Một em bé từ đầu thuyền đến cuối thuyền với vận tộc 6km/s so với thuyền hỏi vận tốc em so với bờ Lời giải u r Bước 1: Gọi thuyết => V13 vận tốc thuyệt đối r nước => v 23 vận tốc kéo theo r bờ => v12 vận tốc tương đối u r r r Bước 2: - Ta có: V13 = v12 + v 23 - Theo bài: v13=v12+v23= 14 - 9= 5(km/h) - Vậy vận tốc thuyền bờ 5(km/h) ngược dòng u r Bước 3: Vận tốc em bé với thuyền vận tốc tương đối V t vận tốc thuyết với bờ vận tốc kéo theo: vk=5(km/h) r r r Vận tốc tuyệt đối em bé với bờ là: v T = v k + v t => vT = vk - vt => VT = − = 1(km / h) (xuôi dịng) ĐS: 5km/h:1km/h Bài 2: Lúc trời khơng gió, máy bay, bay với vận tốc không đổi 300km/h từ địa điểm A tới địa điểm B hết 2,2h, bay trở lại từ B - A gặp gió thổi ngược máy bay phải bay 2,4h, xác định vận tốc gió Lời giải: Bước 1: Khoản cách AB AB Bv y = 300, 2, = 275(km / h) 2, Bước 2: Vận tốc gió so với mặt đất = 300-275 = 25(km/h) Bài 3: Một người lái đị qua sơng rộng 400m muốn cho đị theo hướng AB vng góc với bờ sông, người phải hướng chèo theo hướng AC Đị qua sơng thời gian 8p20s vận tốc dịng nước so với bờ sơng 0,6m/s, tìm vận tốc đò so với dòng nước Lời giải: B Bước 1: C r v12 vận tốc đò với dòng nước r v13 vận tốc đò với bờ sơng r v 23 vận tốc dịng nước so với bờ 400m r r v12 v13 A Bước 2: r r r Ta có: v13 = v 23 + v12 r r 2 ta có theo hình vẽ: v13 ⊥ v 23 => v13 = v12 + v23 với v13 = AB = 0,8 ( m / s ) , với t thời gian AB khoảng cách bờ song t r v 23 Do v12 = 0,82 + 0, 62 = 1( m / s) ĐS: 1(m/s) Bài 4: Một hành khách ngồi đoàn tàu chạy với vận tốc 36km/h, nhìn qua cửa sổ thấy đồn tàu thứ dài 150m chạy song song ngược chiều qua mặt hết 10s tìm v = ? vận tốc đoan tàu thứ Lời giải: r Bước 1: v13 vận tốc xe đất r v12 vận tốc xe xe r v 23 vận tốc xe thứ so với đất r r r Bước 2: Ta có v13 = v12 + v 23 => v23 = v12 − v13 với v12= 150 = 15(m / s) = 54(km / h) 10 Với v13=36 km/h=10 m/s  v23=15-10 =5 (m/s) =18 (km/h)  Vậy vận tốc xe 18 (km/h) Bài 5: Hai ô tô chuyển động khởi hành lúc bên cách 40km, chúng ngược chiều sau 24p gặp nhau, chúng chiều sau 2h đuổi kịp nhau, tính vận tốc xe Lời giải: Bước 1: vận tốc v1 xe v2 xe Bước 2: ngược chiều: AB = v1t + v t = (v1 + v )t => v1 + v = 40 = 100(km.h) 0, (1) - Khi chiều sau t = 2h; chọn gốc O ≡ điểm A xe ta có: xe đoạn đường s2 + AB = s2 + 40 (km) xe được: s2 (km) ta có: Khi chúng gặp nhau: s2 = v1.t (s2 + 40) = v1.t  s2 s2 + 40  + t ÷  t  Ta có: v1 + v =  Từ (1) (2) ta có: s2 + s2 + 40 = 100t ( 40 ) => 2s2 + 40 = 200 => s2 = 80(km) Bước 3: Vậy sau 2h xe 80km với v = s2 80 = = 40 ( km / h ) t - Vận tốc xe 1: v1 = 100 − 40 = 60 (km / h) §S: 40km/h, 60km/h Bài 6: Một thang tự động đưa khách từ tầng trệt, lên lầu phút Nếu thang ngừng khách phải lên phút Hỏi thang chạy mà khách bước lên bao lâu? Lời giải Bước 1: r Gọi: Khách ; v12 vận tốc khách thang r Thang máy; v 23 vận tốc thang đất r Đất ; v13 vận tốc khách đất r r r Bước 2: Ta có: v13 = v12 + v 23 Chọn chiều (+) chiều chuyển động khách r r r v13 = v12 + v 23 ⇔ s s s = + t t1 t Bước 3: với t1 = phút; t2 = 1phút ⇔ 1 1 = + = + t t1 t ⇒t= phút = 45(giây) Bài 7: Một phà chạy xi dịng từ A - B 2h ngược dòng 3h Hỏi người ta tắt máy phà chạy trơi theo dịng nước trơi từ A - B bao lâu? Lời giải Bước 1: Gọi: 1: Phà 2: Nước 3: Bờ r r r Bước 2: Ta có: v13 = v12 + v 23 - Chọn chiều (+) chiều chuyển động phà + Khi xi dịng: v13 = v12 + v23 = s / t1 (1) + Khi ngược dòng: v13 = v12 − v23 = s / t2 (2) Bước 3: lấy (1) trừ (2) ta s 1 1 2v 23 = s  = ÷ mà: v 23 = t3  t1 t  (vận tốc nước/bờ vận tốc phà trơi theo dịng nước) ⇒ 1 = = t t1 t ⇔ t3 = 2t 1t = 12h t2 − t Bài 8: Một ơtơ chạy với vận tốc 54km/h đuổi kịp đoàn tàu chạy đường sắt song song với đường ôtô Một hành khách ôtô nhận thấy từ lúc ơtơ gặp đồn tàu đến lúc vượt qua 30giây Đoàn tàu gồm 10 toa, toa dài 15m, tìm vận tốc đồn tàu? lời giải Bước 1: gọi:1: ôtô 2: tàu 3: đường r r r Bước 2: - Ta có: v13 = v12 + v 23 - Chọn chiều (+) chiều chuyển động ⇔ v 23 = v13 − v12 ⇔ v 23 = 10(m / s) với v12 = s 150 = = ( m / s) t 30 v13 = 54km / h = 15m / s Bài 9: Một canô ngang qua sông, xuất phát từ điểm A, mũi hướng vào điểm B bờ sông bên AB vng góc với bờ sơng Nhưng dịng nước chảy nên sau thời gian t=100s, canô đến vị trí C bờ bên kia, cách B đoạn BC = 200m Nếu người lái giữ cho mũi canô ln hướng theo phương chếch với bờ sơng góc 600 mũi máy trước canơ sang điểm B Hãy tìm: a Vận tốc dịng nước so với bờ sông D B b Vận tốc canơ so với dịng nước c Chiều rộng dịng sông d Thời gian canô qua sông canô cập bến B Giải 60 A C r r r Bước 1: gọi: v13 = v12 + v 23 r 1: Canô; v12 vận tốc canô/nước r 2: nước; v 23 vận tốc nước/bờ B r C 3: bờ; v13 vận tốc canô/bờ r r r Bước 2: Ta có: v13 = v12 + v 23 r v12 a Khi canô hướng mũi vào điểm B: ta có: - Vận tốc canơ/nước v12 = AB AB = t1 100 ( 1) - Vận tốc nước/bờ v 23 = r v13 A BC 200 = = 2(m / s) t 100 r v 23 b Khi canô hướng mũi theo phương chếch với bờ sơng góc 600 Trong trường hợp v12 v13 có độ lớn khơng đổi - Từ hình vẽ ta có: v12 = v 23 = ( m / s) sin 300 Vận tốc canô/nước 4m/s c Chiều rộng AB dịng sơng D r v12 B r v13 - Từ (1) => AB = 100.v12 = 400(m) d Thời gian để canô qua sông trường hợp canô cập bến B: t2 = AB víi v13 = v12 − v = 3, 46 ( m / s ) 23 v13 A r v 23 ⇒ t = 116(s) Bài 10: Hai xe chuyển động thẳng hai đường vng góc với với vận tốc 30km/h 40km/h; sau gặp ngã tư, xe chạy sang phía đơng, xe chạy lên phía Bắc Tìm vận tốc tương đối xe thứ so với xe thứ hai Ngồi xe thứ quan sát thấy xe thứ hai chạy theo hướng nào? Tính khoảng cách hai xe sau phút kể từ gặp ngã tư Giải r r Bước 1) gọi v10 vµ v 20 vetơ vận tốc xe xe mặt đường Sau gặp ngã r r r tư, theo đề ,các vectơ v10 vµ v 20 có hướng (h.v) vận tốc tương đối v12 xe đói với xe 2, áp r dụng công thức v 20 B Bước 2: Cộng vận tốc, xác định theo công thức: r v 20 r r r r r v12 = v10 + v 02 = v10 − v 20 Ta có: v12 = 2 v10 + v 20 Theo đề bài: v10 = v1 = 30km / h α v 20 = v = 40km / h => v12 = 50km / h Ngồi xe thứ 2, r ta thấy xe thứ chạy theo hướng vectơ v12 ; Đó hướng Đơng Nam hướng lập với hướng chuyển động xe góc Π − α víi tg α = r v10 r v12 ĐN v1 = v2 N Muốn tìm khoảng cách d xe, ta tìm quãng đường mà xe lấy xe làm gốc quy chiếu, quãng đường = v12.t Thay số ta = 50 = km Vậy khoảng cách xe sau 10 phút kể từ gặp km Bài 11: Hai ơtơ hai đường thẳng vng góc với nhau, sau gặp ngã tư, hai xe tiếp tục chạy theo hướng cũ, xe thứ với vận tốc 40km/h, xe thứ hai với vậnt ốc 30km/h a) Xác định vận tốc xe thứ với xe thứ 2? v) Xác định khoảng cách xe thời điểm t = kể từ lúc chúng gặp Lời giải r r Tóm tắt: v1 ⊥ v , v1 = 40km / h v = 30km / h Tìm v12 = ? b) h=? t=2h Giải Bước 1: gọi v1 lµ vËn tèc cđa xe v lµ vËn tèc cđa xe - Hệ cố định gắn với mặt đất - Hệ chuyển động gắn với xe thứ r - Ta có: v13 vận tốc tuyệt đối r v12 vận tốc tương đối r v 23 vận tốc kéo theo r r v12 v13 Bước 2: Theo công thức cộng vận tốc r r r Ta cã: v13 = v12 + v 23 r r Ta cã: v13 ⊥ v 23 r v 23 r r v13 + v 23 = 40 + 30 = 50km / h - Ta có v12 = Vậy vận tốc xe thứ so với xe thứ 50km/h Bước 3: Khoảng cách hai xe sau t = 2h h = v12.t =50.2 = 100 (km) Bài 12: Một ôtô chạy đường thẳng với vận tốc v1=54km/h có hành khách đứng trước ôtô đoạn a = 400m cách đường ơtơ đoạn d = 80m, tìm cách đến ơtơ - Hỏi người phải chạy với vận tốc nhỏ bao nhiêu? theo hướng nào? Lời giải r - Gọi v13 vận tốc ôtô so với mốc bên đường r - Gọi v 23 vận tốc người so với cột mốc bên đường r - Gọi v12 vận tốc người so với ôtô r r r - Ta có: v 23 = v13 + v12 r r Ta có: để v 23min th× v 23 ⊥ AC a đường ngắn phải vng góc với AC - Ta có: theo hình vẽ: v 23 d d.v13 = => v 23 = v13 a a v 23 = ( m / s ) §S:3m/s C r A r v 21 r v13 d v 23 H B Bài 13: Mặt xe hình vẽ biết x = 450 chuyển động thẳng với vận tốc v=5m/s, mặt vật G trượt theo mặt phẳng nghiêng có vận tốc đối xe v t = 2t ( m / s ) - Tính vận tốc tuyệt đối vật G sau 5s kể từ lúc bắt đầu chuyển động, thời điểm ban đầu vật G năm yên xe Lời giải: B C - Chọn hệ cố định gắn với mặt G • r vk O - Chọn hệ di động gắn với xe - Vật G trượt mặt phẳng xe r + Vận tốc xe với mặt đất vận tốc kéo theo v k r r vT A vt O r + Vận tốc G với mặt phẳng nghiêng vận tốc tương đối v t -Ta có: r r r vk = vt + vk - Ta có: sau 5s vt=10 (m/s) r - v t có chiều giả sử hình vẽ với: v T = rr v + v + 2v k v t cos v t v k k t ( ) r r uu r ru r r r víi v k = v o +  W R'  chuyển động tịnh tiến => W=O => v k = v o = v   v T = 52 + 10 + 2.5.10 cos ( Π − α ) v T = 14 ( m / s ) Vậy vận tốc tuyệt đối vật G 14 (m/s) Bài 14: Một đĩa quay với vận tốc góc khơng đổi W=2cm/s xung quanh trục vng góc với mặt phẳng đĩa qua tâm nó, dọc theo khe CD chạy N chuyển động theo quy luật S = CN = 3t2 cm khoảng cách từ tâm đĩa đến khe h=5cm, CD =24cm, xác định vận tốc chạy đến điểm B khe Lời giải Chọn hệ cố định gắn với mặt đất - Hệ di động gắn với tâm đĩa - Con chạy N chuyển động theo CD -> Ta chọn tâm hệ cố định ≡ tâm di động r vt C r rD v • t vk h N • uu r W uu r Ta có: W ⊥ mặt phẳng hình vẽ + Ta có vận tốc tuyệt đối chạy so với mặt đất r r r vT = vt + v k r r uu r ru uu r ru Với v k = v o +  W R '  =  W R '      v k = Wh = 2.5 = 10 ( cm / s ) - Vt vận tốc chạy N so với hệ di động Khi đến E: s = 12 (cm) = 3t2 => t= (s) Ta có: v = ds = 6t hay v t = 6t dt - Khi t = 2(s) => vt = 13 (cm/s) r r r ( r r - Ta có: v T = v t + v k v t v k cïng ph­¬ng cïng chiỊu => ) v T = v t + v k = 12 + 10 = 22 ( cm / s ) §S: 22 ( cm/s ) C Bài tập làm thêm Bài 1: Một chiến thuyền chuyển động xi dịng nước từ A đến B cách 6km lại quay A tất 2h30p, biết vận tốc thuyền nước n lặng 5km/h, tính vận tốc dịng nước thời gian thuyền xi dịng ĐS: 1km/h,t= 1h Bài 2: Một canơ xng dịng từ A đến B 2h, ngược lại 3h Hỏi tắt máy canơ trơi theo dịng nước trơi từ A đến B hết bao lâu? ĐS: 12h Bài 3: Lúc 8h ôtô qua điểm A đường thẳng với vận tốc 10m/s chuyển động chậm dần với gia tốc 0,2m/s2, lúc điểm B cách A 560m xe thứ hai bắt đầu khởi hành ngược chiều, chuyển động nhanh dần với gia tốc 0,4 m/s2 - Xác định thời gian xe gặp thời điểm vị trí xe gặp ĐS: Sau 40(s) xe gặp nhau; vào lúc 8h40p - Cách A khoảng s1 = 240m, cách B: 320m Bài 4: Hai bến sơng AB cách 24km, dịng nước chảy theo hướng AB với vận tốc 6km/h mặt canô chuyển động từ A đến B 1h Hỏi từ B đến A hết bao lâu? ĐS: 2h Bài 5: Một canô nước yên lặng chạy với vận tốc 30km/h, chạy dòng nước chảy từ A đến B 2h, ngược lại từ B đến A 3h Tìm: a) Khoảng cách AB b) Vận tốc dịng nước so với bờ sơng ĐS: s = 72km v= 6km/h ... tư Giải r r Bước 1) gọi v10 vµ v 20 vetơ vận tốc xe xe mặt đường Sau gặp ngã r r r tư, theo đề ,các vectơ v10 vµ v 20 có hướng (h.v) vận tốc tương đối v12 xe đói với xe 2, áp r dụng công thức. .. chuyển động gắn với xe thứ r - Ta có: v13 vận tốc tuyệt đối r v12 vận tốc tương đối r v 23 vận tốc kéo theo r r v12 v13 Bước 2: Theo công thức cộng vận tốc r r r Ta cã: v13 = v12 + v 23 r r Ta... Hỏi vận tốc thuyền bờ? Một em bé từ đầu thuyền đến cuối thuyền với vận tộc 6km/s so với thuyền hỏi vận tốc em so với bờ Lời giải u r Bước 1: Gọi thuyết => V13 vận tốc thuyệt đối r nước => v 23 vận