Mục lục Chuyên đề 4. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §1. Lũy Thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §2. Lôgarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 §3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §4. Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §5. Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 §6. Hệ Phương Trình Mũ & Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 Nguyễn Minh Hiếu 2 Chuyên đề 4 Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit §1. Lũy Thừa Bài tập 4.1. Tính giá trị các luỹ thừa sau: a) (0, 04) −1,5 − (0, 125) − 2 3 . b)  1 16  −0,75 +  1 8  − 4 3 . c) 27 2 3 +  1 16  −0,75 − 25 0,5 . d) (−0, 5) −4 − 625 0,25 −  2 1 4  −1 1 2 . e) 81 −0,75 +  1 125  − 1 3 −  1 32  − 3 5 . f) 10 2+ √ 7 2 2+ √ 7 .5 1+ √ 7 . g)  4 2 √ 3 − 4 √ 3−1  .2 −2 √ 3 . h)  6  25 + 4 √ 6 + 3  1 + 2 √ 6  3  1 − 2 √ 6. Lời giải. a) (0, 04) −1,5 − (0, 125) − 2 3 =  1 25  − 3 2 −  1 8  − 2 3 =  5 −2  − 3 2 −  2 −3  − 2 3 = 5 3 − 2 2 = 121. b)  1 16  −0,75 +  1 8  − 4 3 =  2 −4  − 3 4 +  2 −3  − 4 3 = 2 3 + 2 4 = 24. c) 27 2 3 +  1 16  −0,75 − 25 0,5 =  3 3  2 3 +  2 −4  − 3 4 −  5 2  1 2 = 3 2 + 2 3 − 5 = 12. d) (−0, 5) −4 − 625 0,25 −  2 1 4  −1 1 2 =  − 1 2  −4 −  5 4  1 4 −  9 4  − 3 2 = 2 4 − 5 −  2 3  3 = 289 27 . e) 81 −0,75 +  1 125  − 1 3 −  1 32  − 3 5 =  3 4  − 3 4 +  5 −3  − 1 3 −  2 −5  − 3 5 = 3 −3 + 5 − 2 3 = − 80 27 . f) 10 2+ √ 7 2 2+ √ 7 .5 1+ √ 7 = 2 2+ √ 7 .5 2+ √ 7 2 2+ √ 7 .5 1+ √ 7 = 5 (2+ √ 7)−(1+ √ 7) = 5. g)  4 2 √ 3 − 4 √ 3−1  .2 −2 √ 3 =  2 4 √ 3 − 2 2 √ 3−2  .2 −2 √ 3 = 2 4 √ 3−2 √ 3 − 2 2 √ 3−2−2 √ 3 = 2 2 √ 3 − 1 4 . h)  6  25 + 4 √ 6 + 3  1 + 2 √ 6  3  1 − 2 √ 6 =  6   1 + 2 √ 6  2 + 3  1 + 2 √ 6  3  1 − 2 √ 6 = −2 3 √ 23. Bài tập 4.2. Rút gọn các biểu thức sau: a) x 5 4 y + xy 5 4 4 √ x + 4 √ y . b) a 1 3 √ b + b 1 3 √ a 6 √ a + 6 √ b . c) √ a − √ b 4 √ a − 4 √ b − √ a − 4 √ ab 4 √ a + 4 √ b . d) a − b 3 √ a − 3 √ b − a + b 3 √ a + 3 √ b . e)  a 2 √ 3 − 1  a 2 √ 3 + a √ 3 + a 3 √ 3  a 4 √ 3 − a √ 3 . f)  a + b 3 √ a + 3 √ b − 3 √ ab  :  3 √ a − 3 √ b  2 . 3 Nguyễn Minh Hiếu g) a − 1 a 3 4 + a 1 2 . √ a + 4 √ a √ a + 1 .a 1 4 + 1. h)  a + b 3 2 a 1 2  2 3  a 1 2 − b 1 2 a 1 2 + b 1 2 a 1 2 − b 1 2  − 2 3 . Lời giải. a) x 5 4 y + xy 5 4 4 √ x + 4 √ y = x.x 1 4 y + xy.y 1 4 x 1 4 + y 1 4 = xy  x 1 4 + y 1 4  x 1 4 + y 1 4 = xy. b) a 1 3 √ b + b 1 3 √ a 6 √ a + 6 √ b = a 1 3 b 1 2 + b 1 3 a 1 2 a 1 6 + b 1 6 = a 1 3 b 1 3 b 1 6 + b 1 3 a 1 3 a 1 6 a 1 6 + b 1 6 = a 1 3 b 1 3  b 1 6 + a 1 6  a 1 6 + b 1 6 = a 1 3 b 1 3 = 3 √ ab. c) √ a − √ b 4 √ a − 4 √ b − √ a + 4 √ ab 4 √ a + 4 √ b =  4 √ a − 4 √ b  4 √ a + 4 √ b  4 √ a − 4 √ b − 4 √ a  4 √ a + 4 √ b  4 √ a + 4 √ b = 4 √ a + 4 √ b − 4 √ a = 4 √ b. d) a − b 3 √ a − 3 √ b − a + b 3 √ a + 3 √ b =  3 √ a − 3 √ b  3 √ a 2 + 3 √ ab + 3 √ b 2  3 √ a − 3 √ b −  3 √ a + 3 √ b  3 √ a 2 − 3 √ ab + 3 √ b 2  3 √ a + 3 √ b = 2 3 √ ab. e)  a 2 √ 3 − 1  a 2 √ 3 + a √ 3 + a 3 √ 3  a 4 √ 3 − a √ 3 =  a √ 3 − 1  a √ 3 + 1  a √ 3  a √ 3 + 1 + a 2 √ 3  a √ 3  a √ 3 − 1  a 2 √ 3 + a √ 3 + 1  = a √ 3 + 1. f)  a + b 3 √ a + 3 √ b − 3 √ ab  :  3 √ a − 3 √ b  2 =    3 √ a + 3 √ b  3 √ a 2 − 3 √ ab + 3 √ b 2  3 √ a + 3 √ b − 3 √ ab   :  3 √ a − 3 √ b  2 = 1. g) a − 1 a 3 4 + a 1 2 . √ a + 4 √ a √ a + 1 .a 1 4 + 1 = ( √ a − 1) ( √ a + 1) √ a ( 4 √ a + 1) . 4 √ a ( 4 √ a + 1) √ a + 1 . 4 √ a + 1 = √ a. h)  a + b 3 2 a 1 2  2 3  a 1 2 − b 1 2 a 1 2 + b 1 2 a 1 2 − b 1 2  − 2 3 =  √ a 3 + √ b 3 √ a . √ a (a − b) √ a 3 + √ b 3  2 3 = (a − b) 2 3 = 3  (a − b) 2 . Bài tập 4.3. Hãy so sánh các cặp số sau: a) 3 √ 10 và 5 √ 20. b) 4 √ 13 và 5 √ 23. c) 3 600 và 5 400 . d) 3 √ 7 + √ 15 và √ 10 + 3 √ 28. Lời giải. a) Ta có: 3 √ 10 > 3 √ 8 = 2 và 5 √ 20 < 5 √ 32 = 2. Do đó 3 √ 10 > 5 √ 20. b) Ta có: 4 √ 13 = 20 √ 371293 và 5 √ 23 = 20 √ 279841. Do đó 4 √ 13 > 5 √ 23. c) Ta có: 3 600 = 27 200 và 5 400 = 25 200 . Do đó 3 600 > 5 400 . d) Ta có: 3 √ 7 + √ 15 < 3 √ 8 + √ 16 = 6 và √ 10 + 3 √ 28 > √ 9 + 3 √ 27 = 6. Do đó: 3 √ 7 + √ 15 < √ 10 + 3 √ 28. Bài tập 4.4. Tính A =  a + b + c + 2 √ ab + bc +  a + b + c − 2 √ ab + bc, (a, b, c > 0, a + c > b). Lời giải. Ta có: A =   √ a + c + √ b  2 +   √ a + c − √ b  2 = 2 √ a + c. §2. Lôgarit Bài tập 4.5. Tính: a) log 3 4 √ 3. b) log 25 8.log 8 5. c) 2log 27 log 1000. d) log 45 − 2 log 3. e) 3log 2 log 4 16 + log 1 2 2. f) log 2 48 − 1 3 log 2 27. g) log 0, 375 − 2 log √ 0, 5625. h) 5 ln e −1 + 4 ln  e 2 √ e  . i) log 72 − 2 log 27 256 + log √ 108. Lời giải. a) log 3 4 √ 3 = log 3 3 1 4 = 1 4 . b) log 25 8.log 8 5 = log 5 2 8.log 8 5 = 1 2 log 5 8.log 8 5 = 1 2 . c) 2log 27 log 1000 = 2log 3 3 log 10 3 = 2 3 log 3 3 = 2 3 . d) log 45 − 2 log 3 = log 45 − log 9 = log 45 9 = log 5. 4 Chuyên đề 4. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit e) 3log 2 log 4 16 + log 1 2 2 = 3log 2 log 4 4 2 + log 2 −1 2 = 3log 2 2 − log 2 2 = 2. f) log 2 48 − 1 3 log 2 27 = log 2 48 − log 2 3 = log 2 48 3 = log 2 16 = 4. g) log 0, 375 − 2 log √ 0, 5625 = log 3 8 − log 9 18 = log 2 3 . h) 5 ln e −1 + 4 ln  e 2 √ e  = −5 ln e + 4 ln e 5 2 = −5 + 10 ln e = 5. i) log 72 − 2 log 27 256 + log √ 108 = log (8.9) − 2 (log 27 − log 256) + 1 2 log(4.27) = 20 log 2 − 5 2 log 3. Bài tập 4.6. Đơn giản biểu thức: a) log a  a 2 . 3 √ a. 5 √ a 4 4 √ a  . b)  log 7 2 + 1 log 5 7  log 7. c) log 5 log 5 5  5  5 √ 5    n dấu căn . d) log 2 4 + log 2 √ 10 log 2 20 + log 2 8 . e) log 2 24 − 1 2 log 2 72 log 3 18 − 1 3 log 3 72 . f) 9 2log 3 4+4log 81 2 . g) 16 1+log 4 5 + 4 1 2 log 2 3+3log 5 5 . h)  81 1 4 − 1 2 log 9 4 + 25 log 125 8  49 log 7 2 . i) 72  49 1 2 log 7 9−log 7 6 + 5 −log √ 5 4  . Lời giải. a) log a  a 2 . 3 √ a. 5 √ a 4 4 √ a  = log a a 47 15 a 1 4 = log a a 173 60 = 173 60 . b)  log 7 2 + 1 log 5 7  log 7 = log 7.log 7 2 + log 7.log 7 5 = log 2 + log 5 = 1. c) log 5 log 5 5  5  5 √ 5    n dấu căn = log 5 log 5 5 1 5 n = log 5 1 5 n = −n. d) log 2 4 + log 2 √ 10 log 2 20 + log 2 8 = log 2  4 √ 10  log 2 160 = 1 2 log 2 160 log 2 160 = 1 2 . e) log 2 24 − 1 2 log 2 72 log 3 18 − 1 3 log 3 72 = log 2 (8.3) − 1 2 log 2 (8.9) log 3 (2.9) − 1 3 log 3 (9.8) = 3 2 4 3 = 9 8 . f) 9 2log 3 4+4log 81 2 = 9 log 3 16+log 3 2 = 9 log 3 32 =  3 log 3 32  2 = 1024. g) 16 1+log 4 5 + 4 1 2 log 2 3+3log 5 5 = 16.16 log 4 5 + 2 log 2 3 .4 3 = 16.  4 log 4 5  2 + 3.64 = 448. h)  81 1 4 − 1 2 log 9 4 + 25 log 125 8  49 log 7 2 =  81 1 4 81 1 2 log 9 4 + 25 log 5 2   7 log 7 2  2 =  3 4 + 4  4 = 19. i) 72  49 1 2 log 7 9−log 7 6 + 5 −log √ 5 4  = 72  7 log 7 9 49 log 7 6 + 1 5 log 5 16  = 72  9 36 + 1 16  = 45 2 . Bài tập 4.7. So sánh các cặp số sau: a) log 3 6 5 và log 3 5 6 . b) log 1 2 e và log 1 2 π. c) log 2 10 và log 5 30. d) log 5 3 và log 0,3 2. e) log 3 5 và log 7 4. f) log 3 10 và log 8 57. Lời giải. a) Ta có: 6 5 > 5 6 và 3 > 1. Do đó log 3 6 5 > log 3 5 6 . b) Ta có: e < π và 1 2 < 1. Do đó log 1 2 e > log 1 2 π. c) Ta có: log 2 10 > log 2 8 = 3 và log 5 30 < log 5 125 = 3. Do đó log 2 8 > log 5 30. d) Ta có: log 5 3 > log 5 1 = 0 và log 0.3 2 < log 0.3 1 = 0. Do đó log 5 3 > log 0.3 2. e) Ta có: log 3 5 > log 3 3 = 1 và log 7 4 < log 7 7 = 1. Do đó log 3 5 > log 7 4. f) Ta có: log 3 10 > log 3 9 = 2 và log 8 57 < log 8 64 = 2. Do đó log 3 10 > log 8 57. Bài tập 4.8. Tính log 4 1250 theo a, biết a = log 2 5. Lời giải. Ta có: log 4 1250 = 1 2 log 2  2.5 4  = 1 2 (1 + 4log 2 5) = 1 2 (1 + 4a). 5 Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 4.9. Tính log 54 168 theo a, b, biết a = log 7 12, b = log 12 24. Lời giải. Ta có: log 54 168 = log 7 168 log 7 54 = log 7 (3.7.2 3 ) log 7 (2.3 3 ) = log 7 3 + 1 + 3log 7 2 log 7 2 + 3log 7 3 . Lại có:  a = log 7 12 ab = log 7 24 ⇔  a = log 7 (2 2 .3) ab = log 7 (2 3 .3) ⇔  a = 2log 7 2 + log 7 3 ab = 3log 7 2 + log 7 3 ⇔  log 7 2 = ab − a log 7 3 = 3a − 2ab . Từ đó ta có: log 54 168 = 3a − 2ab + 1 + 3(ab − a) ab − a + 3(3a − 2ab) = ab + 1 a(8 − 5b) . Bài tập 4.10. Tính log 3 √ 25 135 theo a, b, biết a = log 4 75, b = log 8 45. Lời giải. Ta có: log 3 √ 25 135 = 3 2 .log 5 135 = 3 2 . log 2 135 log 2 5 = 3 2 . log 2 (27.5) log 2 5 = 3 2 . 3log 2 3 + log 2 5 log 2 5 . Lại có:  a = log 4 75 b = log 8 45 ⇔  a = 1 2 log 2 (3.25) b = 1 3 log 2 (9.5) ⇔  a = 1 2 log 2 3 + log 2 5 b = 2 3 log 2 3 + 1 3 log 2 5 ⇔  log 2 3 = 2b − 2 3 a log 2 5 = 4 3 a − b . Do đó: log 3 √ 25 135 = 3 2 3  2b − 2 3 a  + 4 3 a − b 4 3 a − b = 3 2 . 15b − 2a 4a − 3b . Bài tập 4.11. Tính log 140 63 theo a, b, c, biết a = log 2 3, b = log 3 5, c = log 7 2. Lời giải. Ta có: log 140 63 = log 2 63 log 2 140 = log 2 (9.7) log 2 (4.5.7) = 2log 2 3 + log 2 7 2 + log 2 5 + log 2 7 = 2log 2 3 + log 2 7 2 + log 2 3.log 3 5 + log 2 7 . Theo giả thiết a = log 2 3, b = log 3 5, c = log 7 2, do đó: log 140 63 = 2a + 1 c 2 + ab + 1 c = 2ac + 1 2c + abc + 1 . Bài tập 4.12. Chứng minh rằng ab + 5 (a − b) = 1, biết a = log 12 18, b = log 24 54. Lời giải. Ta có: a = log 12 18 = log 2 18 log 2 12 = 1 + 2log 2 3 2 + log 2 3 ⇒ log 2 3 = 2a − 1 2 − a . b = log 24 54 = log 2 54 log 2 24 = 1 + 3log 2 3 3 + log 2 3 ⇒ log 2 3 = 3b − 1 3 − b . Do đó: 2a − 1 2 − a = 3b − 1 3 − b ⇔ (2a − 1) (3 − b) = (2 − a) (3b −1) ⇔ ab + 5 (a − b) = 1 (đpcm). §3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit Bài tập 4.13. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = (x 2 − 3x + 2) −4 . b) y =  x 2 − 2  −2 . c) y = (2x − 1) 1 3 . d) y =  2 − x 2  2 7 . e) y =  x 2 − x − 2  √ 2 . f) y = (3x − x 2 ) π . Lời giải. a) D = R\{1; 2}. b) D = R\  ± √ 2  . c) D = ( 1 2 ; +∞). d) D =  − √ 2; √ 2  . e) D = (−∞; −1) ∪ (2; +∞). f) D = (0; 3). Bài tập 4.14. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = log 3 (2x − 5). b) y = log 2 (1 − 7x). c) y = ln(x 2 − 4x + 3). d) y = log 3  2x − x 2  . e) y = log 0,4 3x + 2 1 − x . f) y = log x − 3 2x − 1 . Lời giải. a) D = ( 5 2 ; +∞). b) D = (−∞; 1 7 ). c) D = (−∞; 1) ∪ (3; +∞). d) D = (0; 2). e) D = (− 2 3 ; 1). f) D = (−∞; 1 2 ) ∪ (3; +∞). Bài tập 4.15. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 3x 2 − ln x + 4 sin x. b) y =  3x 2 − 4x + 1  √ 2 . c) y =  e 4x + 1 − ln x  π . d) y = 2xe x + 3 sin 2x. e) y = log  x 2 + x + 1  . f) y = ln e x 1 + e x . g) y =  x 2 − 1 4  e 2x . h) y = 2 ln x + 1 4 ln x − 5 . i) y = ln  2e x + ln  x 2 + 3x + 5  . 6 Chuyên đề 4. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit Lời giải. a) y  = 6x − 1 x + 4 cos x. b) y  = √ 2 (6x − 4)  3x 2 − 4x + 1  √ 2−1 . c) y  = π  4e 4x − 1 x  π−1 . d) y  = 2e x + 2xe x + 6 cos 2x. e) y  = 2x + 1 (x 2 + x + 1) ln 10 . f) y = x − ln (1 + e x ) ⇒ y  = 1 − e x 1 + e x = 1 1 + e x . g) y  = 1 2 e 2x + 2  x 2 − 1 4  e 2x = xe 2x . h) y  = 2 x (4 ln x − 5) − 4 x (2 ln x + 1) (4 ln x − 5) 2 = − 14 x(4 ln x − 5) 2 . i) y  = 2e x + 2x+3 x 2 +3x+5 2e x + ln (x 2 + 3x + 5) = − 2e x  x 2 + 3x + 5  + 2x + 3 (x 2 + 3x + 5) (2e x + ln (x 2 + 3x + 5)) . Bài tập 4.16. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = x − e 2x trên [0; 1]. b) y = e 2x − 2e x trên [−1; 2]. c) y = (x + 1) e x trên [−1; 2]. d) y = ln  3 + 2x − x 2  trên [0; 2]. e) y = ln  4 − 3x 2 − x 4  . f) y = x 2 − ln (1 − 2x) trên [−2; 0]. g) y = x 2 ln x trên [1; e]. h) y = x 2 e −x trên [0; ln 8]. i) y = 5 x + 5 1−x trên [0; log 5 8]. Lời giải. a) Ta có: y  = 1 − 2e x ; y  = 0 ⇔ x = ln 1 2 (loại); y(0) = −1, y(1) = 1 − e 2 . Do đó max [0;1] y = y(0) = −1; min [0;1] y = y(1) = 1 − e 2 . b) Ta có: y  = 2e 2x − 2e x ; y  = 0 ⇔ x = 0; y(−1) = e −2 − 2e −1 , y(2) = e 4 − 2e 2 , y(0) = −1. Do đó max [−1;2] y = y(2) = e 4 − 2e 2 ; min [−1;2] y = y(0) = −1. c) Ta có: y  = (x + 2)e x ; y  = 0 ⇔ x = −2 (loại); y(−1) = 0, y(2) = 3e 2 . Do đó max [−1;2] y = y(2) = 3e 2 ; min [−1;2] y = y(−1) = 0. d) Ta có: y  = 2 − 2x 3 + 2x − x 2 ; y  = 0 ⇔ x = 1; y(0) = ln 2, y(2) = ln 3, y(1) = ln 4. Do đó max [0;2] y = y(1) = ln 4; min [0;2] y = y(0) = y(2) = ln 3. e) Tập xác định: D = (−1; 1). Đạo hàm y  = −6x − 4x 3 4 − 3x 2 − x 4 ; y  = 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn). Do đó ta có max D y = y(0) = ln 4; hàm số không có giá trị nhỏ nhất. f) Ta có: y  = 2x + 2 1 − 2x ; y  = 0 ⇔  x = 1(loại) x = − 1 2 ; y(−2) = 4 −ln 5, y(0) = 0, y  − 1 2  = 1 4 − ln 2. Do đó max [−2;0] y = y(−2) = 4 − ln 5; min [−2;0] y = y(0) = 0. g) Ta có: y  = 2x ln x + x; y  = 0 ⇔  x = 0 x = 1 √ e (loại); y(1) = 0, y(e) = e 2 . Do đó max [1;e] y = y(e) = e 2 ; min [1;e] y = y(1) = 0. h) Ta có: y  = 2xe −x − x 2 e −x ; y  = 0 ⇔  x = 0 x = 2 ; y(0) = 0; y(ln 8) = − ln 2 8 8 ; y(2) = 4e −2 . Do đó max [0;ln 8] y = y(2) = 4e −2 ; min [0;ln 8] y = y(ln 8) = − ln 2 8 8 . i) Ta có: y  = 5 x ln 5 − 5 1−x ln 5; y  = 0 ⇔ x = 1 2 ; y(0) = 6; y (log 5 8) = 69 8 , y  1 2  = 2 √ 5. Do đó max [0;log 5 8] y = y (log 5 8) = 69 8 ; min [0;log 5 8] y = y  1 2  = 2 √ 5. 7 Nguyễn Minh Hiếu §4. Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ Bài tập 4.17. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) 2 2x−1 = 3. b) 2 x 2 −x = 4. c) 2 −x 2 +3x < 4. d) 3 x .2 x+1 > 72. e) 3 2x−1 + 3 2x = 108. f) 2 x+2 − 2 x+3 − 2 x+4 > 5 x+1 − 5 x+2 . Lời giải. a) 2 2x−1 = 3 ⇔ 2x − 1 = log 2 3 ⇔ x = 1 2 + 1 2 log 2 3. b) 2 x 2 −x = 4 ⇔ x 2 − x = 2 ⇔  x = 2 x = −1 . c) 2 −x 2 +3x < 4 ⇔ −x 2 + 3x < 2 ⇔ 1 < x < 2. d) 3 x .2 x+1 > 72 ⇔ 3 x .2 x .2 > 72 ⇔ 6 x > 36 ⇔ x > 2. e) 3 2x−1 + 3 2x = 108 ⇔ 3 2x . 1 3 + 3 2x = 108 ⇔ 4 3 .3 2x = 108 ⇔ 3 2x = 81 ⇔ x = 2. f) 2 x+2 − 2 x+3 − 2 x+4 > 5 x+1 − 5 x+2 ⇔ 4.2 x − 8.2 x − 16.2 x > 5.5 x − 25.5 x ⇔  2 5  x < 1 ⇔ x > 0. Bài tập 4.18. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) 2 x 2 −x+8 = 4 1−3x . b) 25 x 2 +1 = ( 1 5 ) 5x . c) 1 8 .16 2x−5 ≤ 4.( 1 32 ) x+3 . d) 81 x+10 x−10 = 1 27 .27 x+5 x−15 . e) 32 x+5 x−1 > 0, 25.128 x+17 x−3 . f) 4 √ 3.243 2x+3 x+8 = 3 −2 .9 x+8 x+2 . Lời giải. a) 2 x 2 −x+8 = 4 1−3x ⇔ 2 x 2 −x+8 = 2 2−6x ⇔ x 2 − x + 8 = 2 − 6x ⇔ x 2 + 5x + 6 = 0 ⇔  x = −2 x = −3 . b) 25 x 2 +1 =  1 5  5x ⇔ 5 2x 2 +2 = 5 −5x ⇔ 2x 2 + 2 = −5x ⇔ 2x 2 + 5x + 2 = 0 ⇔  x = −2 x = − 1 2 . c) 1 8 .16 2x−5 ≤ 4.  1 32  x+3 ⇔ 2 −3 .2 8x−20 ≤ 2 2 .2 −5x−15 ⇔ 2 8x−23 ≤ 2 −5x−13 ⇔ 8x − 23 ≤ −5x − 13 ⇔ x ≤ 10 13 . d) Điều kiện x = 10, x = 15. Khi đó 81 x+10 x−10 = 1 27 .27 x+5 x−15 ⇔ 3 4x+40 x−10 = 3 −3 .3 3x+15 x−15 ⇔ 3 4x+40 x−10 = 3 60 x−15 ⇔ 4x + 40 x − 10 = 60 x − 15 ⇔ (x + 10)(x − 15) = 15(x − 10) ⇔  x = 0 x = 20 Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x = 0, x = 20. e) Điều kiện x = 1, x = 3. Khi đó 32 x+5 x−1 > 0, 25.128 x+17 x−3 ⇔ 2 5x+25 x−1 > 2 −2 .2 7x+119 x−3 ⇔ 2 5x+25 x−1 > 2 5x+125 x−3 ⇔ 5x + 25 x − 1 > 5x + 125 x − 3 ⇔ −110x + 50 (x − 1)(x − 3) > 0 ⇔  x < 5 11 1 < x < 3 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =  −∞; 5 11  ∪ (1; 3). f) Điều kiện x = −8, x = −2. Khi đó 4 √ 3.243 2x+3 x+8 = 3 −2 .9 x+8 x+2 ⇔ 3 1 4 .3 10x+15 x+8 = 3 −2 .3 2x+16 x+2 ⇔ 3 41x+68 4x+32 = 3 12 x+2 ⇔ 41x + 68 4x + 32 = 12 x + 2 ⇔ 41x 2 + 102x − 248 = 0 ⇔  x = −4 x = 62 41 Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x = −4, x = 62 41 . 8 Chuyên đề 4. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit Bài tập 4.19. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) 4 2x+1 .5 4x+3 = 5.10 2x 2 +3x+1 . b) 2 x 2 .7 x 2 +1 < 7.14 2x 2 −4x+3 . c)  3 + 2 √ 2  x+1 ≥  3 − 2 √ 2  2x+8 . d)  √ 5 + 2  x−1 ≥  √ 5 − 2  x−1 x+1 . Lời giải. a) 4 2x+1 .5 4x+3 = 5.10 2x 2 +3x+1 ⇔ 10 4x+2 = 10 2x 2 +3x+1 ⇔ 4x + 2 = 2x 2 + 3x + 1 ⇔  x = 1 x = − 1 2 b) 2 x 2 .7 x 2 +1 < 7.14 2x 2 −4x+3 ⇔ 14 x 2 < 14 2x 2 −4x+3 ⇔ x 2 < 2x 2 − 4x + 3 ⇔  x > 3 x < 1 . c)  3 + 2 √ 2  x+1 ≥  3 − 2 √ 2  2x+8 ⇔  3 + 2 √ 2  x+1 ≥  3 + 2 √ 2  −2x−8 ⇔ x + 1 ≥ −2x −8 ⇔ x ≥ −3. d) Điều kiện x = −1. Khi đó  √ 5 + 2  x−1 ≥  √ 5 − 2  x−1 x+1 ⇔  √ 5 + 2  x−1 ≥  √ 5 + 2  1−x x+1 ⇔ x − 1 ≥ 1 − x x + 1 ⇔ x 2 + x − 2 x + 1 ≥ 0 ⇔  −2 ≤ x < −1 x ≥ 1 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = (−2; −1) ∪ [1; +∞). Bài tập 4.20. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) 64 x − 8 x − 56 = 0. b) 4 x − 3.2 x + 2 > 0. c) 32.4 x + 1 < 18.2 x . d) (TN-08) 3 2x+1 − 9.3 x + 6 = 0. e) (TN-07) 7 x + 2.7 1−x − 9 = 0. f) 2 2+x − 2 2−x = 15. g) 5 x + 5 1−x > 6. h) (D-03) 2 x 2 −x − 2 2+x−x 2 = 3. Lời giải. a) 64 x − 8 x − 56 = 0 ⇔  8 x = 8 8 x = −7 (vô nghiệm) ⇔ x = 1. b) 4 x − 3.2 x + 2 > 0 ⇔  2 x > 2 2 x < 1 ⇔  x > 1 x < 0 . c) 32.4 x + 1 < 18.2 x ⇔ 1 16 < 2 x < 1 2 ⇔ −4 < x < −1. d) 3 2x+1 − 9.3 x + 6 = 0 ⇔ 3.3 2x − 9.3 x + 6 = 0 ⇔  3 x = 1 3 x = 2 ⇔  x = 0 x = log 3 2 . e) 7 x + 2.7 1−x − 9 = 0 ⇔ 7 x + 14 7 x − 9 = 0 ⇔ 7 2x − 9.7 x + 14 = 0 ⇔  7 x = 7 7 x = 2 ⇔  x = 1 x = log 7 2 . f) 2 2+x − 2 2−x = 15 ⇔ 4.2 x − 4 2 x = 15 ⇔ 4.2 2x − 15.2 x − 4 = 0 ⇔  2 x = 4 2 x = − 1 4 (vô nghiệm) ⇔ x = 2. g) 5 x + 5 1−x > 6 ⇔ 5 x + 5 5 x > 6 ⇔ 5 2x − 6.5 x + 5 > 0 ⇔  5 x > 5 5 x < 1 ⇔  x > 1 x < 0 . h) 2 x 2 −x − 2 2+x−x 2 = 3 ⇔ 2 x 2 −x − 4 2 x 2 −x = 3 ⇔ 4 x 2 −x − 3.2 x 2 −x − 4 = 0 ⇔  2 x 2 −x = 4 2 x 2 −x = −1 (vô nghiệm) ⇔ x 2 − x = 2 ⇔  x = 2 x = −1 . Bài tập 4.21. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a)  2 + √ 3  x +  2 − √ 3  x > 4. b) (B-07)  √ 2 − 1  x +  √ 2 + 1  x − 2 √ 2 = 0. c)   5 + 2 √ 6  x +   5 − 2 √ 6  x = 10. d)  7 + 3 √ 5  x + 5.  7 − 3 √ 5  x = 6.2 x . Lời giải. a) BPT ⇔  2 + √ 3  2x − 4.  2 + √ 3  x + 1 > 0 ⇔   2 + √ 3  x > 2 + √ 3  2 + √ 3  x < 2 − √ 3 ⇔  x > 1 x < −1 . b) PT ⇔  √ 2 − 1  2x − 2 √ 2.  √ 2 − 1  x + 1 = 0 ⇔   √ 2 − 1  x = √ 2 + 1  √ 2 − 1  x = √ 2 − 1 ⇔  x = −1 x = 1 . 9 Nguyễn Minh Hiếu c) PT ⇔   5 + 2 √ 6  2x − 10.   5 + 2 √ 6  x + 1 = 0 ⇔     5 + 2 √ 6  x = 5 + 2 √ 6   5 + 2 √ 6  x = 5 − 2 √ 6 ⇔  x = 2 x = −2 . d) PT ⇔  7+3 √ 5 2  x + 5.  7−3 √ 5 2  x = 6 ⇔  7+3 √ 5 2  2x − 6.  7+3 √ 5 2  x + 5 = 0 ⇔  x = log 2 7+3 √ 5 2 x = log 3 7+3 √ 5 2 . Bài tập 4.22. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) 3.4 x − 2.6 x = 9 x . b) 2.16 x+1 + 3.81 x+1 = 5.36 x+1 . c) 25 2x−x 2 +1 + 9 2x−x 2 +1 ≥ 34.15 2x−x 2 . d) 5.2 x = 7 √ 10 x − 2.5 x . e) (A-06) 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0. f) 27 x + 12 x < 2.8 x . Lời giải. a) 3.4 x − 2.6 x = 9 x ⇔ 3.  2 3  2x − 2.  2 3  x − 1 = 0 ⇔   2 3  x = 1  2 3  x = − 1 3 (vô nghiệm) ⇔ x = 0. b) 2.16 x+1 + 3.81 x+1 = 5.36 x+1 ⇔ 2.  16 81  x+1 − 5.  4 9  x+1 + 3 = 0 ⇔   4 9  x+1 = 1  4 9  x+1 = 3 2 ⇔  x = −1 x = − 3 2 . c) PT ⇔ 25.  25 9  2x−x 2 −34.  5 3  2x−x 2 +9 ≥ 0 ⇔   5 3  2x−x 2 ≥ 1  5 3  2x−x 2 ≤ 9 25 ⇔  2x − x 2 ≥ 0 2x − x 2 ≤ −2 ⇔   0 ≤ x ≤ 2 x ≥ 1 + √ 3 x ≤ 1 − √ 3 . d) 5.2 x = 7 √ 10 x − 2.5 x ⇔ 5.  2 5  x − 7.   2 5  x + 2 = 0 ⇔     2 5  x = 1   2 5  x = 2 5 ⇔  x = 0 x = 2 . e) 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0 ⇔ 3.  2 3  3x + 4.  2 3  2x −  2 3  x − 2 = 0 ⇔   2 3  x = 2 3  2 3  x = −1 ⇔ x = 1. f) 27 x + 12 x < 2.8 x ⇔  3 2  3x +  3 2  x − 2 < 0 ⇔  3 2  x < 1 ⇔ x < 0. Bài tập 4.23. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) 4 x+ √ x 2 −2 − 5.2 x−1+ √ x 2 −2 − 6 = 0. b) 5 2x−10−3 √ x−2 − 4.5 x−5 < 5 1+3 √ x−2 . c) √ 9 x − 3 x+1 + 2 > 3 x − 9. d) 3 2x+1 = 3 x+2 +  1 − 6.3 x + 3 2(x+1) . e) 4 − 5 x 5 2x − 5 x+1 + 6 ≤ 1. f) 4 − 7.5 x 5 2x+1 − 12.5 x + 4 ≤ 2 3 . Lời giải. a) 4 x+ √ x 2 −2 −5.2 x−1+ √ x 2 −2 −6 = 0 ⇔ 4 x+ √ x 2 −2 − 5 2 .2 x+ √ x 2 −2 −6 = 0 ⇔  2 x+ √ x 2 −2 = 4 2 x+ √ x 2 −2 = − 3 2 (vô nghiệm) ⇔ x + √ x 2 − 2 = 2 ⇔  x ≤ 2 x 2 − 2 = x 2 − 4x + 4 ⇔ x = 3 2 . b) 5 2x−10−3 √ x−2 − 4.5 x−5 < 5 1+3 √ x−2 ⇔ 5 2 ( x−5−3 √ x−2 ) − 4.5 x−5−3 √ x−2 − 5 < 0 ⇔ 5 x−5−3 √ x−2 < 5 ⇔ 3 √ x − 2 > x − 6 ⇔      x < 6 x ≥ 2  x ≥ 6 9x − 18 > (x − 6) 2 ⇔  2 ≤ x < 6 6 ≤ x < 18 ⇔ 2 ≤ x ≤ 18. c) BPT ⇔      3 x − 9 < 0 9 x − 3.3 x + 2 ≥ 0  3 x − 9 ≥ 0 9 x − 3.3 x + 2 > 9 x − 18.3 x + 81 ⇔      x < 2 0 ≤ x ≤ log 3 2  x ≥ 2 x > log 3 79 15 ⇔  0 ≤ x ≤ log 3 2 x ≥ 2 . d) Đặt 3 x = t, t > 0. Phương trình trở thành: 3t 2 = 9t + √ 9t 2 − 6t + 1 ⇔ 3t 2 − 9t = |3t − 1| (1). Với t ≥ 1 3 , ta có: (1) ⇔ 3t 2 − 9t = 3t − 1 ⇔  t = 6+ √ 33 3 t = 6− √ 33 3 (loại) ⇒ 3 x = 6+ √ 33 3 ⇔ x = log 3 6+ √ 33 3 . Với 0 < t < 1 3 , ta có: (1) ⇔ 3t 2 − 9t = −3t + 1 ⇔ t = 3±2 √ 3 3 (loại). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = log 3 6+ √ 33 3 . 10 [...]... 1 là một nghiệm của phương trình do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 c) Nhận thấy x = 2 không phải nghiệm của bất phương trình 2x > 4 Với x > 2 ta có: ⇒ 2x > 6 − x ⇒ x > 2 là nghiệm của bất phương trình 6−x4 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (2; +∞) d) Nhận thấy x = 0 là nghiệm của bất phương trình 2x > 1 Với x >... nghiệm duy nhất x = 11 d) Nhận thấy x = 0 là nghiệm của bất phương trình Với x > 0 ta có log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) > 2 ⇒ x > 0 là nghiệm của bất phương trình Với x < 2 ta có log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) < 2 ⇒ x < 0 không phải nghiệm của bất phương trình Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; +∞) Bài tập 4.38 Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) x2 + 3log2 x = xlog2 5 b) xlog2 9 = x2... < 0 ⇔ −4 < x < 0 2 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = (−3; 0) f) Điều kiện −2 < x < 1 Khi đó bất phương trình tương đương 1 log (1 − x) ≤ log3 (x + 2) ⇔ log3 (1 − x) ≤ log3 (x + 2)2 ⇔ x2 + 5x + 3 ≥ 0 ⇔ 2 3 √ −5+ 13 ;1 2 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = x≥ x≤ √ −5+ 13 2√ −5− 13 2 Bài tập 4.31 Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) log2 x + log2 (x − 2)... > 2 là nghiệm của bất phương trình 4 11 Nguyễn Minh Hiếu Với x < 2 ta có: 1 x 4 √ + 15 4 x > 1 ⇒ x < 2 không phải nghiệm của bất phương trình Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [2; +∞) x x x d) Ta có 1 + 2x+1 + 3x+1 < 6x ⇔ 1 + 2 1 + 3 1 < 1 6 3 2 Nhận thấy x = 2 không phải nghiệm của bất phương trình x x 1 x Với x > 2 ta có: 1 + 2 1 + 3 2 < 1 ⇒ x > 2 là nghiệm của bất phương trình 6 3 x x 1 x Với... là một nghiệm của phương trình do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 f) Ta có phương trình tương đương 2x − x − 1 = 0 1 Xét hàm số f (x) = 2x − x − 1 có f (x) = 2x ln 2 − 1; f (x) = 0 ⇔ log2 ln 2 Vì f (x) có một nghiệm nên f (x) có tối đa hai nghiệm Hơn nữa f (0) = f (1) = 0, do đó phương trình có đúng hai nghiệm x = 1 và x = 0 Bài tập 4.25 Giải các phương trình, bất phương trình sau: x a) 3x... 22x − 1 = 0 ⇔ 4x 2 +x −1 =0⇔ f) PT ⇔ x2 2x−1 − 2|x−3|+4 +4 2|x−3|+4 − 2x−1 = 0 ⇔ 2x−1 − 2|x−3|+4 2x −x = 1 ⇔ 22x = 1 2 21−x = 1 ⇔ 2 4x +x = 1 x2 − 4 = 0 ⇔ §5 Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit Bài tập 4.29 Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) log3 (x − 2) = 2 b) log3 (x2 + 2x) = 1 d) log 1 (x2 + 3x) ≥ −2 c) log8 (4 − 2x) ≥ 2 2 log2 3.2x−1 − 1 x+1 − 5) = x e) log2 (2 f) ≥ 1 x x+1 x2 −... log4 ≤1⇔ ≤4⇔ ≤0⇔ x+1 x+1 x+1 x+1 x > −1 x ≤ −5 Kết hợp bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5] ∪ (1; +∞) f) Điều kiện: x > 0 Khi đó BPT ⇔ log3 log5 x2 + 1 + x < 0 ⇔ x2 + 1 + x < 5 ⇔ Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm: S = 0; 12 5 17 12 x≤5 2 + 1 < (5 − x)2 ⇔ x < x 5 Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 4.35 Giải các phương trình, bất phương trình sau: b) log 1 x + log2 x < 2 a) log2 x − 3log2... hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = c) Điều kiện 0 < x < 1 Khi đó 2 log 1 (2x2 − x) ≤ log 1 (3x) ⇔ 2x2 − x ≥ 3x ⇔ 2x2 − 4x ≥ 0 ⇔ 2 2 x≥2 x≤0 Kết hợp điều kiện có bất phương trình vô nghiệm d) Điều kiện x > 0 Khi đó log3 (2x+3) = log√3 x ⇔ log3 (2x+3) = 2log3 x ⇔ 2x+3 = x2 ⇔ x = −1 x=3 Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm x = 3 e) Điều kiện x > −3 Khi đó bất phương trình tương... x = 2 81 80 Vậy phương trình có hai nghiệm x = − 81 và x = 2 d) Đặt log3 x = t ⇔ x = 3t , phương trình trở thành: √ t √ √ t 1 t 3 t t =t⇔1+ log2 1 + 3 3 =2 ⇔ + =1⇔t=1 2 2 Với t = 1 ⇒ log3 x = 1 ⇔ x = 3 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 e) Đặt log7 x = t ⇔ x = 7t , bất phương trình trở thành: √ t < log3 2 + 7t √ ⇔3