Chủ đề 1: Tính chia hết trong tập hợp số nguyên A. Kiến thức cơ bản - Nắm đợc tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên - Vận dụng tốt tích chất để làm các bài tập B. Phơng pháp chung I. Chứng minh tính chia hết trong tập hợp số nguyên Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n N hoặc n Z) Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, ta thờng phân tích A(n) thành thừa số, trong đó có một thừa số là m. Nừu m là một hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó Nhận xét: Trong k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội của k Ví dụ 1: Chứng minh rằng: A = n 3 (n 2 - 7) 2 - 36n chí hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n Giải: Phân tích ra thừa số: 5040 = 2 4 .3 2 .5.7 Ta có: A = n[n 2 (n 2 - 7) 2 - 36] = n[(n 3 - 7n) 2 - 6 2 ] = n(n 3 - 7n - 6)(n 3 - 7n + 6) Ta lại có: n 3 - 7n - 6 = (n + 1)(n + 2)(n - 3) n 3 - 7n + 6 = (n - 1)(n - 2)(n + 3) Do đó: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3) Đây chính là tích của bảy số nguyên liên tiếp. Trong bảy số nguyên liên tiếp - Tồn tại một bội của 5 nên A chia hết cho 5 - Tồn tại một bội của 7 nên A chia hết cho 7 - Tồn tại hai bội của 3 nên A chia hết cho 9 - Tồn tại ba bội của 2, trong đó có một bội của 4 nên A chia hết cho 16 A chia hết cho các số 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 5.7.9.16 = 5040 áp dụng: 1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a) a 2 - a chia hết cho 2 b) a 3 - a chia hết cho 3 c) a 5 - a chia hết cho 5 d) a 7 - a chia hết cho 7 Gợi ý: Phân tích thành tích của các số nguyên liên tiếp, khi đó tồn tại các số là bội của 2, 3, 5, 7 Ví dụ 2: Số chính phơng a) Chứng minh rằng một số chính phơng chia cho 3 chỉ có thể có số d bằng 0 hoặc 1 b) Chứng minh rằng một số chính phơng chia cho 4 chỉ có thể có số d bằng 0 hoặc 1 Giải: Gọi A là số chính phơng A = n 2 (n N) a) Xét các trờng hợp: n = 3k (k N) A = 9k 2 chia hết cho 3 n = 3k 1 (k N) A = 9k 2 6k +1 chia cho 3 d 1 Vậy số chính phơng chi cho 3 chỉ có thể có số d bằng 0 hoặc 1 b) Xét các trờng hợp n = 2k (k N) ) A = 4k 2 chia hết cho 4 n = 2k + 1 (k N) A = 4k 2 + 4k +1 = 4k(k + 1) + 1 chia cho 4 d 1 Vậy số chính phơng chi cho 4 chỉ có thể có số d bằng 0 hoặc 1 áp dụng: Trong các số sau có số nào là số chính phơng không? M = 1992 2 + 1993 2 + 1994 2 N = 1992 2 + 1993 2 + 1994 2 + 1995 2 P = 1 + 9 100 + 94 100 + 1994 100 Lu ý: Các hằng đẳng thức hay dùng để chứng minh tính chia hết của một luỹ thừa. a n - b n = (a - b)(a n-1 + a n-2 .b + a n-3 .b 2 + + a.b n-2 + b n-1 ) với n N * a n + b n = (a + b)(a n-1 - a n-2 .b + a n-3 .b 2 - - a.b n-2 + b n-1 ) với mọi n lẻ Công thức Niu-tơn 2 (a + b) n = a n + c 1 a n-1 b + c 2 a n-2 b 2 + + c n-1 ab n-1 + b n Các hệ số c i đợc xác định bởi tam giác Pa-xcan áp dụng vào tính chất chia hết ta có: a n - b n Chia hết cho a - b (a b) a 2n+1 + b 2n+1 Chia hết cho a + b (a - b) (a + b) n = BS a + b n (BS a là bội số của a) Ví dụ: Bài tập áp dụng: 1/ Cho A = 11 100 -1 Chứng minh rằng A chia hết cho 10, chia hết cho 1000 2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16 n - 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn 3/ Chứng minh rằng với n N: a) 11 n+1 + 12 2n+1 chia hết cho 133 b) 3 4n+2 + 2.4 3n+1 chia hết cho 17 c) 3.5 2n+1 + 2 3n+1 chia hết cho 17 II. Tìm số d Ví dụ: Tìm số d khi chia 2 100 a) Cho 9 b) Cho 25 c) Cho 125 Giải: a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 2 3 = 8 = 9 - 1 Ta có: 2 100 = 2.(2 3 ) 33 = 2.(9 - 1) 33 = 2.(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 = BS 9 + 7 Số d khi chia 2 100 cho 9 là 7 b) Luỹ thừa của 2 sát với một bội số của 25 là 2 10 = 1024 = BS 25 - 1 Ta có: 2 100 = (2 10 ) 10 = (BS 25 - 1) 10 = BS 25 + 1 Vậy số d khi chia 2 100 cho 25 là 1 c) Dùng công thức Niu-tơn: 2 100 = (5 - 1) 50 = 5 50 - 50.5 49 + + 50.49 2 .5 2 - 50.5 + 1 Ta thấy 48 số hạng đầu tiên chứa luỹ thừa của 5 với số mũ lớn hơn 3 nên chia hết cho 125. hai số hạng tiếp theo cũng chia hết cho 125, số hạng cuối cùng là 1 3 Vậy số d khi chia 2 100 cho 125 là 1 Bài tập áp dụng: a) Tìm số d của phép chia S n = 1 n + 2 n + 3 n + 4 n cho 4 b) Chứng minh rằng: 5 2n + 5 n + 1 chia hết cho 31 với mọi n không chia hết cho 3 III. Tìm chữ số cuối cùng trong biểu diễn thập phân của một số Phơng pháp: Xét số tự nhiên A = n k với n, k N Cách 1: Muốn tìm chữ số cuối cùng của A ta chỉ cần biểu diễn A dới dạng: A = 10a + b = ab Thì b là chữ số cuối cùng của A Ta viết A = n k = (10q + r) k = 10t + r k Thì chữ số cuối cùng của A cũng chính là chữ số của cùng của r k - Nếu A = 100b + ab = abc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A - Cách 2: Khi lấy k lần lợt những giá trị tự nhiên khác nhau thì trong biểu diễn thập phân của số A = n k chữ số cuối cùng hoặc một chữ số cuối cùng xuất hiện tuần hoàn. Ta chỉ cần tìm chu kì của hiện tợng này và A ở trờng hợp nào với giá trị k đã cho Cách 3: Dùng phép chia có d Ví dụ: Tìm 3 chữ số tận cùng của 2 100 khi viết trong hệ thập phân Giải: Ba chữ số tập cùng của 2 100 là số d của phép chia 2 100 cho 1000 Theo ví dụ trên ta có 2 100 = BS 125 + 1, mà 2 100 là số chẵn, nên ba chữ số tân cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876 Mà 2 100 chia hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó cũng phải chia hết cho 8. Trong bốn số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện Vậy ba chữ số tận cùng của 2 100 là 376 Bài tập: 1) Tìm 4 chữ số tận cùng của 5 1994 khi viết trong hệ thập phân. 2) Tìm chữ số hàng đơn vị của số 17 1983 + 11 1983 - 7 1983 4 3) Tìm ba chữ số cuối cùng của số A = m 100 trong đó m là một số tự nhiên khác 0 IV. Tìm điều kiện chia hết Ví dụ: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B A = n 3 + 2n 2 - 3n + 2 B = n 2 - n Biến đổi n 3 + 2n 2 - 3n + 2 = (n 2 - n)(n + 3) + 2 Muốn A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n 2 - n hay n(n - 1) do đó 2 phải chia hết cho n n 1 -1 2 -2 n-1 0 -2 1 -3 n(n - 1) 0 2 2 6 Loại Loại Vậy n = -1 ; n = 2 Bài tập: 1) Tìm số nguyên dơng n để n 5 + 1 chia hết cho n 3 + 1 2) Tìm số tự nhiên n sao cho a) 2 n - 1 chia hết cho 7 b) 2 n - 1 chia hết cho 7 c) n 2 - 3n + 6 chia hết cho 5 d) n 3 - n + 1 Chia hết cho 7 e) 2.3 n + 3 chia hết cho 11 f) 10 n - 1 chia hết cho 81 g) 10 n - 1 chia hết cho 11 h) 10 n -1 chia hết cho 121 V. Tính chia hết đối với đa thức 1. Tìm số d của phép chia mà không thực hiện phép chia Phơng pháp: * Đa thức chia có dạng x - a với a là hằng số Số d của phép chia đa thức f(x) cho x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a * Đa thức có bậc từ bậc hai trở lên Cách 1: Tách đa thức bị chia thành những đa thức chia hết cho đa thức chia Cách 2: Xét các giá trị riêng 5 Chú ý: a n - b n Chia hết cho a - b (a b) a 2n+1 + b 2n+1 Chia hết cho a + b (a - b) Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức ấy chia hết cho x - 1 Giải: Gọi f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + + a n-1 x + a n Theo giả thiết: a 0 + a 1 + + a n-1 + a n = 0 Số d của phép chia f(x) cho x - 1 là r = f(1) = a 0 + a 1 + + a n-1 + a n = 0 Vậy f(x) chia hết cho x - 1 Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) chia hết cho x + 1 2. Tìm thơng và số d của phép chia các đa thức Phơng pháp: - Đặt phép chia - Dùng sơ đồ Hoóc-ne Đa thức bị chia 1 2 0 1 2 1 n n n n a x a x a x a x x + + + + + Đa thức chia là x - a thơng là 1 2 0 1 2 1 n n n n b x b x b x b + + + + số d r Với b 0 = a 0 b 1 = a.b 0 + a 1 b 2 = a.b 1 + a 2 b n-1 = a.b n-2 + a n-1 r = ab n-1 + a n 3. Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức Phơng pháp: * Phân tích đa thức bị chi thành nhân tử, trong đó có một nhân tử là đa thức chia 6 Ví dụ 1: Chứng minh rằng x 8n + x 4n + 1 chia hết cho x 2n + x n + 1 với mọi một số tự nhiên n. Giải: x 8n + x 4n + 1 = x 8n + 2x 4n + 1 - x 4n = (x 4n + 1) 2 - (x 2n ) 2 = (x 4n + x 2n +1) (x 4n - x 2n +1) x 4n + x 2n +1 = x 4n + 2x 2n +1- x 2n = (x 2n + 1) 2 - (x n ) 2 = (x 2n + x n +1) (x 2n - x n +1) Vậy x 8n + x 4n + 1 chia hết cho x 2n + x n + 1 * Biến đổi các đa thức chia thành một tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia Ví dụ 2: Chứng minh rằng x 3m+1 + x 3n+2 + 1 chia hết cho đa thức x 2 + x + 1 với mọi số tự nhiên m, n Giải: x 3m+1 + x 3n+2 + 1 = x 3m+1 - x + x 3n+2 + 1 - x 2 + x 2 + x + 1 = x(x 3m - 1) + x 2 (x 3n - 1) + x 2 + x + 1 Ta thấy x 3m - 1 và x 3n - 1 chia hết cho x 3 - 1 Do đó x 3m - 1 và x 3n - 1 chia hết cho x 2 + x + 1 Vậy x 3m+1 + x 3n+2 + 1 chia hết cho đa thức x 2 + x + 1 * Sử dụng các biến đổi tơng đơng, chẳng hạn để chứng minh f(x) chia hết cho g(x), có thể chứng minh f(x) + g(x) chia hết cho g(x) hoặc f(x) - g(x) chia hết cho g(x) Ví dụ 3: Chứng minh rằng f(x) chia hết cho g(x) f(x) = x 99 + x 88 + x 77 + + x 11 + 1 g(x) = x 9 + x 8 + x 7 + + x + 1 Giải: f(x) - g(x) = x 99 - x 9 + x 88 - x 8 + + x 11 - x = x 9 (x 90 - 1) + x 8 (x 80 - 1) + + x(x 10 - 1) Các biểu thức trong ngoặc đều chia hết cho x 10 - 1, mà x 10 - 1 chia hết cho g(x) Vậy f(x) chia hết cho g(x) 7 * Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia Ví dụ: Cho f(x) = (x 2 + x - 1) 10 + (x 2 - x + 1) 10 - 2 chứng ming rằng f(x) chia hết cho x 2 - x Giải: Đa thức x 2 - x có hai nghiệm là x = 0 và x = 1. Ta sẽ chứng minh x=0 và x = 1 cũng là nghiệm của đa thức f(x) 8 Chủ đề 2: Giải phơng trình A. Kiến thức cơ bản - Nắm đợc khái niệm phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình tích, phơng trình chứa ẩn ở mẫu. - Có kỹ năng giải phơng trình một cách thành thạo B. Nội dung I. Phơng trình bậc nhất một ẩn Ví dụ 1: Giải phơng trình a 2 x + b = a(x + b) Giải: a 2 x + b = a(x + b) a 2 x + b = ax + ab a 2 x - ax = ab - b ax(a - 1) = b(a - 1) (1) Nếu a 0, a 1thì phơng trình có nghiệm duy nhất b x a = Nếu a = 1 thì (1) có dạng 0x = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x Nếu a = 0 thì (1) có dạng 0x = -b, phơng trình nghiệm đúng với mọi x nếu b = 0, vô nghiệm nếu b 0 Kết luận: Nếu a 0, a 1thì phơng trình có nghiệm duy nhất b x a = Nếu a = 1 hoặc a = 0 và b = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x Nếu a = 0 và b 0, phơng trình vô nghiệm Bài tập áp dụng: Giải phơng trình: 9 2 a+x 3 ) a-1 1 1 x-a ) 3 b+c x-a 3 ) b+c a+b-x a+c-x b+c-x 4 ) 1 c b a a x a a a a x b x c b c a a b x b x c x c c a a b a b c x d a b c = + + + = + + + + = + + + + + + = + + II. Phơng trình tích Định nghĩa: Phơng trình tích một ẩn là phơng trình có dạng: A(x).B(x) = 0 (1) Trong đó A(x), B(x), là các đa thức Cách giải: Giải từng phơng trình A(x) = 0, B(x) = 0, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng. Chú ý: Việc phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong việc đa phơng trình về dạng phơng trình tích. Ngoài ra ta còn dùng ph- ơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phơng trình: (x + 3) 3 - (x + 1) 3 = 56 Giải: (x + 3) 3 - (x + 1) 3 = 56 x 3 + 9x 2 + 27x + 27 - x 3 - 3x 2 - 3x- 1 = 56 6x 2 + 24x -30 = 0 6(x 2 + 4x - 5) = 0 x 2 - x + 5x - 5 = 0 x(x - 1) + 5(x - 1) = 0 (x - 1)(x + 5) = 0 Kết luận: S = {1; -5} 10 [...]... Giải phơng trình với các tham số a, b a) b) 1 1 1 1 + + = a b x a+b+ x x+a x 3 + =2 x+3 x a 4) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình: a) Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình: Bớc 1: - Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết - Lập phơng trình biểu thị sự tơng quan giữa các đại lợng Bớc 2: Giải phơng trình Bớc 3: Chọn kết quả thích... dụng các công thức tính diện tích để thiết lập quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng để chứng minh hình học - Có kỹ năng sử dụng các công thức tính diện tích để chứng minh hình học B Sử dụng các công thức tính diện tích để chứng minh hình học Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc miền trong của tam giác ABC thì tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác bằng chiều cao. .. chứng minh SAFD = SCED (các diện tích này đều bằng nửa SABCD) 2) Cho ABC có à 900 , D là điểm nằm giữa A và C Chứng minh A rằng tổng các khoảng cách từ A và từ C đến BD lớn hơn đờng cao kẻ từ A và nhỏ hơn đờng cao kẻ từ C của ABC K F A D E B C H Gợi ý: Gọi AH, CK là các đờng cao của ABC Kẻ AE và CF vuông góc với BD Ta cần chứng tỏ AH < AE + CF < CK Cần biểu diễn các đoạn thằng AE, CF, AH, CK theo diện... chuyển động đều với cùng vận tốc nh nhau Một khách du lịch đi bộ từ A đến B nhận thấy cứ 5 phút lại gặp một xe đi từ B về phía mình Hỏi cứ bao nhiêu phút lại có một xe đi từ A vợt qua ngời đó? 15 Chủ đề 3: Chứng minh bất đẳng thức A Mục tiêu Học sinh nắm đợc các tính chất của bất đẳng thức, nắm đợc các hằng bất đẳng thức, các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Biết chứng minh bất đẳng thức một cách thành... Vậy trọng lợng bạc trong mũ là 1 niutơn Chiếc mũ chứa 100 gam bạc Chú ý: Khi giải bài toán bằng cách lập phơng trình, ngoài ẩn đã chọn đôi khi ngời ta còn biểu thị những đại lợng cha biết khác bằng chữ Điều lý thú là các chữ đó tuy tham gia vào quá trình giải toán nhng chúng lại không có mặt trong đáp số của bài toán Ví dụ 2: Một ngời đi nửa quãng đờng AB với vận tốc 20 km/h, và đi phần còn lại với... 1) Các điểm E, F nằm trên các cạnh AB, BC của hình bình hành ABCD sao cho AF = CE Gọi I là giao điểm của AF, CE Chứng minh rằng ID là tia phân giác của góc AIC B E A H I F K D C Gợi ý: Để chứng tỏ D thuộc tia phân giác của góc AIC , ta vẽ DH AF, DK IC, rồi chứng minh DH = DK Hai đoạn thẳng này là các đờng cao của AFD và CED có cạnh đáy tơng ứng là AF và CE, do đo chỉ cần chứng minh SAFD = SCED (các. .. a2 b2 a b + + b2 a2 b a a2 b2 c 2 b) + + a+b+c b c a a2 b2 c2 a+b+c c) + + b+c c+a a+b 2 20 Chủ đề 4: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất A Mục tiêu - Học sinh nắm đợc thế nào là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức - Biết cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức B Các khái niệm cơ bản 1 Cho biểu thức f(x,y, ) Ta nói M là GTLN của biểu thức f(x,y, ) nếu thoả... A = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = x2 - xy + y2 + xy = x2 + y2 Đến đay có nhiều cách giải: Cách 1: Biểu thị y theo x rồi đa về tam thức bậc hai đối với x: Thay y = x - 1vào biểu thức A ta đợc 2 1 1 1 A = x + ( x 1) = 2 x x + 1 = 2 x- ữ + 2 2 2 2 Min A = 2 ( 2 ) 1 1 1 khi và chỉ khi x = , y = 2 2 2 Cách 2: 23 Sử dụng các điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức mới có chứa A: Bài tập: 1) Cho... A + B 2) Tìm GTNN của các biểu thức A = (x + 8) 4 + (x + 5)4 B = (x - 1)(x - 3)(x2 - 4x + 5) C = x 3 + x +7 D = x2 x + 1 + x2 x 2 3) Tìm GTNN, GTLN của 27 12 x x2 + 9 3x 2 2 x + 3 B= x2 + 1 A= 4) Tìm GTNN của 1 1 A = ( a + b ) + ữ với a, b > 0 a b 1 1 1 B = ( a + b + c ) + + ữ với a, b, c > 0 a b c 1 1 1 1 B = ( a + b + c + d ) + + + ữ với a, b, c, d > 0 a b c d 24 Chủ đề 5: Phơng pháp diện... Biết rằng các xe buýt đều chạy với cùng một vận tốc, khởi hành sau những khoảng thời gian bằng nhau và không dừng lại trên đờng (trên chiều từ A đến B cũng nh chiều ngợc lại) Hỏi cứ sau bao nhiêu phát thì các xe buýt lại lần lợt rời bến? 2) Trên quãng đờng AB của một thành phố, cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ngợc lại Các xe này . x 99 + x 88 + x 77 + + x 11 + 1 g(x) = x 9 + x 8 + x 7 + + x + 1 Giải: f(x) - g(x) = x 99 - x 9 + x 88 - x 8 + + x 11 - x = x 9 (x 90 - 1) + x 8 (x 80 - 1) + + x(x 10 - 1) Các biểu. với các tham số a, b 1 1 1 1 ) x+a 3 ) 2 x+3 a a b x a b x x b x a + + = + + + = 4) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình: a) Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình: Bớc 1: - Chọn. giải bài toán bằng cách lập phơng trình, ngoài ẩn đã chọn đôi khi ngời ta còn biểu thị những đại lợng cha biết khác bằng chữ. Điều lý thú là các chữ đó tuy tham gia vào quá trình giải toán nhng