CHNG III. VECT TRONG KHễNG GIAN. QUAN H VUễNG GểC TRONG KHễNG GIAN Bi 69: Cho t din ABCD, M v N l cỏc im ln lt thuc AB v CD sao cho MA 2MB,= uuuur uuur ND 2NC= uuur uuur ; Cỏc im I, J, K ln lt thuc AD, MN, BC sao cho IA kID, JM kJN,= = uur uur uuur uur KB kKC= uuur uuur . Chng minh cỏc im I, J, K thng hng. Bi 70: Cho hỡnh hp ABCD.ABCD; Cỏc im M, N ln lt thuc cỏc ng thng CA, DC sao cho MC mMA, ND mNC'.= = uuur uuuur uuur uuuur Xỏc nh m cỏc ng thng MN, BD song song vi nhau. Khi y, tớnh MN bit ã ã ã = = = = = = 0 ABC ABB' CBB' 60 và BA a,BB' b, BC c. Bi 71: Cho hỡnh lng tr ABC.ABC. Gi I, J ln lt l trung im ca BB, AC. im K thuc BC sao cho = uuuur uuuur KC' 2KB '.Chứng minh bốn điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng. Bi 72: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh bỡnh hnh. Mt mt phng (P) bt kỡ khụng i qua S, ct cỏc cnh SA, SB, SC, SD ln lt ti cỏc im 1 1 1 1 A ,B , C , D . CMR: + = + 1 1 1 1 SA SC SB SD . SA SC SB SD Bi 73: Cho hỡnh hp ABCD.ABCD cú cỏc cnh bng m, cỏc gúc ti A bng 60 0 ã ã =(BAD A' AB ã = = 0 A' AD 60 ) . Gi P v Q l cỏc im xỏc nh bi AP D'A, C'Q DC'.= = uuur uuuur uuuur uuuur Chng minh rng ng thng PQ i qua trung im ca cnh BB. Tớnh di on thng PQ. Bi 74: Cho hỡnh hp ABCD.ABCD. Gi D 1 , D 2 , D 3 ln lt l im i xng vi ca im D qua A, B, C. Chng t rng B l trng tõm ca t din D 1 D 2 D 3 D. Bi 75: Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD. Gi M, N ln lt l cỏc im thuc AD v DB sao cho ( ) MA kMD',ND kNB k 0,k 1 .= = uuuur uuuur uuur uuur a) Chng minh rng MN luụn song song vi mp(ABC). b) Khi ng thng MN song song vi ng thng AC, chng t rng MN vuụng gúc vi AD v DB. Bi 76: Cho hỡnh t din ABCD cú tt c cỏc cnh bng m. Cỏc im M, N ln lt l trung im ca AB v CD. a) Tớnh di MN. b) Tớnh gúc gia ng thng MN vi cỏc ng thng BC, AB v CD. Bi 77: Cho hỡnh t din ABCD; I v J ln lt l trung im ca AB v CD; M l im thuc AC sao cho 1 MA k MC;= uuuur uuur N l im thuc BD sao cho 2 NB k ND= uuur uuur . Chng minh rng cỏc im I, J, M, N cựng thuc mt mt phng khi v ch khi 1 2 k k= . Bi 78: Cho ba tia Ox, Oy, Oz khụng ng phng. a) t ã ã ã = = = > 3 xOy , yOz , zOx . Chứng minh rằng cos +cos +cos . 2 b) 1 1 1 Gọi Ox ,Oy ,Oz lần l ợt là các tia phân giác của các gúc xOy, yOz, zOx. Chng minh rng nu Ox 1 v Oy 1 vuụng gúc vi nhau thỡ Oz 1 vuụng gúc vi c Ox 1 v Oy 1 . Bi 79: Cho hai ng thng 1 , ct ba mt phng song song ( ) ( ) ( ) , , ln lt ti A, B, C v A 1 , B 1 , C 1 . Vi im O bt kỡ trong khụng gian, t 1 1 1 OI AA ,OJ BB ,OK CC .= = = uur uur uuuur uuur uuuur uuuuv Chng minh ba im I, J, K thng hng. Bi 80: Cho t din ABCD. Gi I, J, H, K, E, F ln lt l trung im cỏc cnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chng minh rng ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB CD AC BD BC AD 4 IJ HK EF .+ + + + + = + + Bi 81: Cho t din ABCD. Ly cỏc im M, N, P, Q ln lt thuc AB, BC, CD, DA sao cho 1 AM AB, 3 = uuuur uuur 2 1 BN BC, AQ AD, DP kDC. 3 2 = = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur Hóy xỏc nh k bn im P, Q, M, N cựng nm trờn mt phng. Bi 82: Cho hỡnh hp ABCD.A'B'C'D'. Mt ng thng d ct cỏc ng thng AA', BC, C'D' ln lt ti M, N, P sao cho NM 2NP= uuuur uuur . Tớnh MA MA' . Bi 83: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thoi, cnh bờn SA=SB v SA vuụng gúc vi BC. a) Tớnh gúc gia hai ng thng SD v BC. b) Gi I, J ln lt l cỏc im thuc SB v SD sao cho IJ//BD. Chng minh rng gúc gúc gia AC v IJ khụng ph thuc vo v trớ ca I, J. Bi 84: Cho hỡnh hp ABCD.A'B'C'D' cú cnh bng a, ã ã ã 0 0 BAD 60 , BAA' DAA' 120 .= = = a) Tớnh gúc gia cỏc cp ng thng AB vi A'D v AC' vi B'D. b) Tớnh din tớch ca cỏc hỡnh A'B'CD v ACC'A'. 1 c) Tính góc giữa đường thẳng AC' và các đương thẳng AB, AD, AA'. Bài 85: Cho tứ diện ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng α . Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh AC, đặt AM=x (0<x<AC). Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với AB, CD. a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất. b) Chứng minh rằng chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi AB=CD. Bài 86: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A. Với điểm M bất kì thuộc cạnh AD (M khác A và D), xét mặt phẳng (P) đi qua M và song song với SA và CD. a) Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi (P) là hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a và b; biết AB=a, SB=b, M là trung điểm của AD. Bài 87: Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng BC và AD sao cho = = uuur uuuur uuur uuur MB kMC vµ NA kND với k là số thực khác 0 cho trước. Đặt α là góc giữa hai vectơ uuuur uuur MA vµ BA; β uuuur uuur ®Æt lµ gãc gi÷a hai vect¬ MN vµ CD. α β 0 T×m mèi liªn hÖ gi÷a AD vµ CD ®Ó = =45 . Bài 88: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, Klần lượt là trung điểm của BC, CA, AD, DB. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD trong các trường hợp sau: a) Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo = IH 3IJ . b) Tứ giác IJHK là hình chữ nhật. Bài 89: Cho tứ diện ABCD có = 4 CD AB 3 . Gọi I, J, Klần lượt là trung điểm của BC, CA, AD, DB. Cho biết = 5 JK AB 6 , tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB. Bài 90: Cho tứ diện ABCD có BC=AD=a, AC=BD=b, AB=CD=c. Đặt α là góc giữa BD và AD; đặt β là góc giữa hai đường thẳng AB và BD; đặt γ là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Chứng minh rằng trong 3 số hạng 2 2 2 a cos , b cos , c cos α β γ có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại. Bài 91: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AD sao cho IB kIC, JA kIC, KA kKD= = = uur uur uur uur uuur uuur trong đó k là một số khác 0 cho trước. Chứng minh rằng: ⊥ ⊥ ⊥a)MN IJ vµ MN JK. b)AB CD. Bài 92: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA=SC, SB=SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. a) Chứng minh rằng SO ⊥ mp(ABCD). b) Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); d 1 là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng minh rằng SO ⊥ mp(d, d 1 ). Bài 93: Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và BF vuông góc. Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh rằng: a)ACH và BFK là các tam giác vuông. b)BF ⊥ AH và AC ⊥ BK. Bài 94: a)Cho tứ diện DABC có cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc. b)Cho tứ diện IABC có IA=IB=IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc. H là hình chiếu của I trên mp(ABC). Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Bài 95: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mp(ABC), ABC là tam giác vuông tại A. a) Chứng minh ASC là tam giác vuông. b) Tính SA, SB, SC biết rằng · · α β = =ACB , ACS vµ BC=a. Bài 96: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD), SA=a, và · = 0 ABC 60 . a)Tính độ dài các cạnh SB, SC, SD. b)Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh rằng IB=ID. Bài 97: Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD vuông góc với nhau từng đôi một thì trong bốn mặt của tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn (cả ba góc của nó đều nhọn). Bài 98: Cho tứ diện ABCD, đáy là tam giác cân và DA ⊥ mp(ABC), AB=AC=a, BC= 6 a 5 . Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH vuôngg góc với MD (H thuộc đường thẳng MD). a) Chứng minh rằng AH ⊥ mp(BCD). b) Cho AD= 4 a 5 . Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM. c) Gọi G 1 , G 2 lần lượt là các trọng tâm của các tam giác ABC và DBC. CMR: G 1 G 2 ⊥ mp(ABC). Bài 99: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DC và BB'. Chứng minh rằng MN A'C.⊥ 2 Bài 100: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Trên DC và BB' ta lần lượt lấy các điểm M và N sao cho DM=BN=x với 0 x a≤ ≤ . Chứng minh hai đường thẳng AC' và MN vuông góc với nhau. Bài 101: Cho hình thang ABCD vuông ở A và D, AB=AD=a, DC=2a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại D lấy một điểm S sao cho SD=a. Các mặt bên của tam giác là những tam giác như thế nào? Bài 102: Hình chóp S.ADCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD. Chứng minh: ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ∈ ⊥ ⊥ a)BC (SAB), CD (SAD)vµ BD (SAC). b)SC (AHK) vµ I (AHK). c)HK (SAC), tõ ®ã suy ra HK AI. Bài 103: Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên nửa đường thẳng At vuông góc với (ABC) lấy điểm S. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Chứng minh AK vuông góc với (SBC) và KH vuông góc với SB. 3 . CHNG III. VECT TRONG KHễNG GIAN. QUAN H VUễNG GểC TRONG KHễNG GIAN Bi 69: Cho t din ABCD, M v N l cỏc im ln lt thuc AB v CD sao cho. CD. a) Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi (P) là hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a và b; biết AB=a, SB=b, M là trung điểm của AD. Bài 87: Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M và N lần