CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN 13 I-SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI VI PHÂN Tính các tích phân sau : 1) ∫         + 4 1 2 1 3 dx x x ; 2) ∫ 4 6 2 2 sin 4 π π dx x ; 3) ∫ + 1 0 1 2 3 x dxx ; 4) ∫ − 5 2 1x xdx 5) ∫ + − 2 0 cos1 )1 2 (sinsin2 π x dxxx ; 6) ∫ + 1 0 3 )1( 2 x dxx ; 7) ∫ + 1 0 1 3 x e dx x e ; 8) ∫ − 3 2 )1( 2 xx dx 9) ∫ +       +− 2 1 1 2 11 4 2 x dxxx ; 10) ∫ +++ − 1 0 )13 2 )(1 2 ( )3 2 3( xxx dxx ; 11) ∫ ++ e dx x xx 1 ln2 3 12) ∫ +− +−+ 2 2 1 2 2 4 1 23 dx xx xxx ; 13) ∫ − + e x e dx x e x e ln 2 1 2 )1 2 ( ) 3 ( ; 14) ( ) ∫ + 3 4 2 cottan π π dxxx 15) ∫ + ++− 3 1 )1(2 )1ln(22 dx xx xxxx ; 16) ∫ ++ 4 1 2 ln4 dx x xxxx 17) [ ] ∫ + 2 4 )ln(sin1cot π π dxxx ; 18) ∫ +       +++ 1 0 1 2 1 2 ln dx x xxx 19) ∫ + − 2 1 )1 2 (2 1 2 dx xx x ; 20) ∫ + −++ 1 0 1 1)1ln(. 2 dx x e x e x e x e ; 21) ∫ + 2 3 ln 1 3 ln e e dx xx x 22) ∫ 3 4 4 sin π π x dx ; 23) ∫ + 4 0 )cossin2( 2 π xx dx ; 24) ∫ + 3 0 2 cos3 2 sin2 2sin π xx xdx 25) ∫ − − + − 1 1 2 2 ln 2 4 1 dx x x x ; 26) ∫ 3 0 cos3sin π xdxx ; 27) ∫ + 4 6 2 2 sin 2 3 sin4 π π dx x x 28) ∫ + 4 0 2 sin12sin π dxxx ; 29) dx x xx ∫ ++ 4 0 cos tan1sin 2 π ; 30) ∫ + 4 0 )sin4(cos2sin π dxxxx 31) ∫ − 6 0 2sin1 π x dx ; 32) ∫ + 2 0 sin1 π x dx ; 33) ∫ + 4 6 2sin 2cos1 π π dx x x (13) Nguyễn Công Mậu PHẦN TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN 14 34) ∫ − 1 0 11 )1(2 dxxx ; 35) ∫ + 2 0 cos1 3 sin2 π x xdx ; 36) ∫ + +− 1 0 1 3 )1 2 4( x dxxx 37) ∫ + + 1 0 1 6 )1 4 ( x dxx ; 38) [ ] ∫ ++ + 1 0 ) 2 1ln(1 1 2 dxx x x ; 39) ∫ − + − + − − 1 0 )ln()( dx x e x e x e x e x e x e 40) ∫ 4 6 2sin )ln(tan π π dx x x ; 41) ( ) ∫ + 2 0 6 cos 6 sin π dxxx ; 42) ∫ 6 0 4 cos π xdx 43) ∫ 6 0 3 cos π xdx ; 44) ( ) ∫ − 4 0 4 cos 4 sin π dxxx ; 45) ∫ π 0 2 sin.cos3cos dx x xx 46) ( ) ∫ − 3 4 cot2tan 2 π π dxxx ; 47) ( ) dxxtgxtg ∫ + 4 0 42 π ; 48) ∫ + 4 0 3tan 2 cos 1 π dx xx 49) ∫ − 1 0 ) 7 1( 6 dxxx ; 50) ( ) ∫ − 2 0 5 2 cos32sin π dxxx ; 51) ∫ − − 6 0 2sin1 )1 2 cos2( π x dxx 52) ∫ + − 6 0 2 )3sin1( cos)3 2 cos4( π x xdxx ; 53) ∫       + 2 0 sin cos sin π dxx x ex ; 54) ∫ − ++ − 1 1 2 )1)(2( 48 dx xx x 55) ∫ + 2 0 sin1 sin π x xdx ; 56) ∫ 3 4 cos.sin 1 22 π π dx xx ; 57) ∫ + 2 0 sincos sin π xx xdx 58) ∫ 4 6 2sin π π x dx ; 59) ( ) ∫ + 2 0 cos1 3 sin π dxxx ; 60) ( ) ∫ + 2 0 sin1 4 cos π dxxx II-PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : Tính các tích phân sau : 1) ∫ − 3 2 1 2 xx dx ; 2) ∫ + ++ 2 1 1 4 1 23 dx x xx ; 3) ∫ + 1 0 1 2 3 x e dx x e ; 4) ∫ + 3 1 1 2 xx dx 5) ∫ + −+ 2 1 4 4 2 23 dx x xx ; 6) ∫ + − 13 0 3 12 2 dx x x ; 7) ∫ −− 3 0 6cos 2 cos sin π xx xdx 8) ( ) ∫ + + 2 0 4 2 12 x dxx ; 9) ∫ − − 3 1 2 4 )1( x dxx ; 10) ∫ − + 2 2 1 2 1 dx x x ; 11) ( ) ∫ + + 2 0 4 2 1 x dxx (14) Nguyễn Công Mậu CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN 15 12) ∫ 2 0 sin .cos π dx x ex ; 13) ( ) ∫ ++ 3 cos 0 sincos34 π xdxxe x ; 14) ∫ + e dx x xx 1 2 ln1ln 15) ∫ + e dx x xx 1 ln1ln ; 16) ∫       − 4 0 2 costan 3 sin π xdxxx ; 17) ∫       + + 4 6 cos31 sin2 cot π π dx x x x 18) ∫         + 3 4 4 cos 1 4 sin 1 π π xx ; 19) ∫ + ++ 1 0 1 6 )1 45 3( x dxxx ; 20) ∫ ++ +++ 3 1 1 24 12 23 4 dx xx xxx 21) ∫ + +− +−+ 2 51 1 1 24 12 23 4 dx xx xxx ; 22) ∫ + 52 3 16 2 xx dx ; 23) ∫ − + + 1 1 1 2 ) 4 ( x dxxx 24) ∫ − + + 1 1 1 2 )tan 4 ( x dxxx ; 25) ∫ − + 2 2 2 cos1 3 sin π π x xdx ; 26) ∫ − + 1 1 1 10 x xdx ; 27) ∫ − + 4 4 cos1 3 sin π π x xdx 28) ∫ + 7 0 3 2 1 3 dxxx ; 29) ∫ ++ + 1 0 23 2 )22( xx dxx ; 30) ∫ + 3 1 )1 2 ( 4 xx dx ; 31) ∫ − 4 3 10 )3( 2 dxxx 32) ∫ + 1 0 4 )1( 3 x dxx ; 33) ∫ + 3ln 0 1 x e dx ; 34) ∫ 2 3 sin π π x dx ; 35) ∫ 4 0 6 cos π x dx 36) ( ) ∫         ++       + 2 0 2 cos1 2 2 sin12sin π dxxxx ; 37) ∫       ++ e x dxxx 1 2 ln41ln 38) ∫ π 0 sin. 2 cos xdxxx ; 39) ∫ + π 0 2 sin1 sin dx x xx ; 40) ∫ + π 0 2 cos1 sin dx x xx ; 41) ∫ 6 0 2cos 2 tan π x xdx 42) ∫ 2 0 sin.2cos 2 π xdxx ; 43) ∫ ∈− 2 0 )(cos)s in1( π Nnxdxx n ; 44) ∫ + 2 0 cossin 4sin 44 π dx xx x 45) ∫ + π 0 sin1 dx x x ; 46) ∫ 2 0 .cos sin π dxex x ; 47) ∫ 3 2 3 sin π π xdxx ; 48) ∫ π 0 2 cos xdxx 49) ( ) ∫ ++ 2 0 sin2cos2sin π dxxxx ; 50) ∫ − + 2 0 sin34 cos2sin π dx x xx ; 51) ∫ ++ − 2 0 sin312 )sin1(cos3 π dx x xx 52) ( ) ( ) ∫ − +++ +++ 2 1 42 2 4 2 48 2 5 3 2 dx xxx xxx ; 53) ( ) ∫ − −+ 0 2 sinsin2 2 sin cos π xdxxx x e (15) Nguyễn Công Mậu CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN 16 54) ∫ + 3 1 ln.ln1 e e dx x xx ; 55) ∫ + e e dx x xx 1 2 ln.ln1 ; 56) ( ) ∫ + + 2 3 3 1 3 3 2 xx dxx 57) ∫ −+ 2 1 1 2 1 3 dx x x ; 58) ( ) ∫ + 4 0 2 3 21 3 2 x dxx ; 59) ∫ + + 2 0 4 2 1 dx x x 60) ∫ − 1 0 ) 4 1( 7 dxxx Tổng quát : ∫ − − 1 0 )1( 12 dx mn x n x với m,n N∈ 61) ∫ + 2 1 )1( m xx dx ; 62) ∫ + 2 0 2cos2 cos π x xdx ; 63) ∫ + 2 0 cossin sin π xx xdx III-PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN : Tính các tích phân sau : 1) ∫ 2 4 2 sin cos π π dx x xx ; 2) ∫         2 3 0 3 cos π dxx ; 3) ∫ 2 0 sin π dxx ; 4) ∫ 4 1 ln xdxx 5) ∫ 1 0 2 . dx x ex ; 6) ∫ − 2 2 sin 2 π π xdxx ; 7) ∫ π 0 cos 2 xdxx ; 8) ∫ 1 0 2. dx x x 9) ∫ + 4 0 2 sin).12( π xdxx ; 10) ∫ e xdxx 1 2 ln ; 11) ∫ 3 1 3 log xdxx ; 12) ∫ 4 0 2 cos π dx x x 13) ∫ 4 6 2 cos sin π π dx x xx ; 14) ∫ + 1 0 )1ln(. dx x e x e ; 15) ∫ 4 6 2 sin )ln(cos π π dx x x ; 16) ∫       + 1 0 2 1 2 1 dx x 17) ∫ π e dxx 1 )sin(ln ; 18) ∫ e dx x x 1 2 ln ; 19) ∫ e xdx 1 2 ln ; 20) ∫ 1 0 4. dx x x 21) ∫ 3 6 2 sin π π dx x x ; 22) ∫ 2 0 2 cos π xdxx ; 23) ∫ 2 3 ln e e dx x x ; 24) ∫ + 1 0 )1 2 ln( dxxx 25) ∫ 4 0 2 tan π xdxx ; 26) ∫ +++ 2 1 )2 2 ln()12( dxxxx ; 27) ∫ + 2 0 )sin1ln(cos π dxxx 28) ∫ + 2 0 )cos1ln(sin π dxxx ; 29) ∫ ++ 3 0 ) 2 1ln( dxxx ; 30) ∫ 1 0 . 2 dx x ex (16) Nguyễn Công Mậu CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN 17 31) ∫ 2 0 sin π xdx x e ; 32) ∫ − + 2 1 0 2 1 2 1 ln. dx x x x ; 33) ∫ 1 0 2 . 3 dx x ex 34) ∫ 1 0 . dx x ex ; 35) ∫ − 2 ) ln 1 2 ln 1 ( e e dx x x ; 36) ∫ 4 6 )ln(tan.cos π π dxxx 37) ∫ 3 0 2 cos )ln(cos π dx x x ; 38) ( ) ∫ + 1 0 2 1 . dx x x ex ; 39) ∫ + 1 0 1 2 2 dx x x 40) ∫ + 1 0 1 2 4 dx x e x e ; 41) ( ) ∫ + 4 1 ln12 xdxx ; 42) ∫ + + 4 0 2cos1 2sin π dx x xx 43) ∫ 2 0 2sin sin π xdx x e ; 44) ∫ 4 0 3 cos sin. π dx x x tgx e ; 45) ∫ π 0 2 cos xdxx 46) ∫ 3 2 3 sin π π xdxx ; 47) ∫ + − π 0 )2cos( 2 dxx x ex ; 48) ∫ − + 1 0 ) 2 1ln(`. e dxxx 49) ∫       + 4ln 0 2 2 xdx x e x e ; 50) ∫ + 3 0 2 1 3 x dxx ; 51) ( ) ∫ − 2 1 .1 2 dx x ex IV)PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHỤ: Tính các tích phân sau : 1) I = ∫ + 2 0 sincos sin π x n x n xdx n và J = ∫ + 2 0 sincos cos π x n x n xdx n . ; 2) ∫ 6 0 2cos 2 cos π x xdx 3) ∫ + 4 3 2 cossin 2 cos π π xx xdx ; 4) ∫ + 2 0 cossin sin π xx xdx ; 5) ∫ π 0 sin 22 xdxx (17) Nguyễn Công Mậu PHƯƠNG PHÁP: + Giả sử ta phải tính tích phân I. + Ta đưa vào tích phân phụ J sao cho việc tính I + J thực hiện được dễ dàng. + Tính I+J và I-J Nếu I+J=a và I-J=b thì I= ½(a+b) CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN 18 6) ∫ + 4 0 tan1 π x dx ; 7) ∫ − + 1 0 x e x e dx x e ; 8) ∫ 2 0 sin 2 π xdxe x 9) ∫ 6 0 2cos sin 2 π dx x x ; 10) ∫ + 2 0 3 sin 3 cos cos 4 sin π xx xdxx tổng quát )(; 2 0 sincos cos 1 sin Zn x n x n xdxx n ∈ ∫ + + π . V)TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ : (18) Nguyễn Công Mậu PHƯƠNG PHÁP: Giả sử phải tính tích phân I = ∫ β α dxxf )( ,trong đó : f(x) = )0,(; )( )( 01 1 1 01 1 1 ≠ ++++ ++++ = − − − − nm n n n n m m m m ba bxbxbxb axaxaxa xQ xP *Khi m ≥ n thì chia P(x) cho Q(x) để được tổng của một đa thức với một phân thức thực sự (phân thức đúng). *Khi m < n thì f(x) là một phân thức đúng. Vì mỗi đa thức bậc n với hệ số thực Q(x) luôn phân tích được thành tích những thừa số là nhò thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai vô nghiệm trong đó có thể có những thừa số trùng nhau .Do vậy trong các phân thức đúng ta chú ý đến bốn dạng phân thức cơ bản sau : Dạng I: ax A − ; Dạng II : k ax A )( − ; Dạng III : qpxx BAx ++ + 2 ; Dạng IV: k qpxx BAx )( 2 ++ + Trong đó k N∈ ; k ≥ 2và A,B,a,p,q ∈ R ; p 2 - 4q < 0 (tức là x 2 +px+q vô nghiệm). *Một phân thức đúng có thể phân tích thành tổng của những phân thức cơ bản nêu trên (Dùng phương pháp đồng nhất hai đa thức). Tổng quát cho cách phân tích : γδβα )()()()( )( )( )( 22 slxxqpxxbxax xP xQ xP ++++−− = + − ++ − + − = α α )( )( 2 21 ax A ax A ax A γ γγ δ δδ β β )( )( )( )( 22 11 22 11 2 21 slxx QxP slxx QxP qpxx NxM qpxx NxM bx B bx B bx B ++ + ++ ++ + + ++ + ++ ++ + + − ++ − + − + . *Cách tính tích phân của các phân thức dạng cơ bản : Dạng caxAdx ax A +−= − ∫ ln . Dạng ∫ ∫ +− +− =−−= − +−− cax k A axdaxAdx ax A kk k 1 )( 1 )()( )( Dạng ∫ ∫ ∫ + += ++ + 22 21 2 at dt b u du bdx qpxx BAx với b 1 ,b 2 ,a là hằng số. Dạng ∫ ∫ ∫ + += ++ + kkk at dt b u du b qpxx BAx )()( 22 21 2 CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN 19 Tính các tích phân sau: 1) ∫ +− 2 1 2 22xx dx ; 2) ∫ +− − 2 1 2 22 )12( xx dxx ; 3) ∫ + 2 0 22 )4(x dx ; 4) ∫ + 2 1 4 )1(xx dx 5) ∫ + + 1 0 2 1 )2( x dxx ; 6) ∫ ++ − 1 0 2 )1)(2( )24( xx dxx ; 7) ∫ + +−− −− 132 3 2 2 )52)(1( )332( xxx dxxx 8) ∫ + 1 0 22 )1(x dx ; 9) ∫ + + 1 0 22 )1( )43( x dxx ; 10) ∫ +− ++ 3 2 3 2 23 333 dx xx xx ; 11) ∫ − ++ 3 2 3 2 )1( 1 dx x xx 12) ∫ − 1 0 8 3 2x dxx ;13) ∫ + + + 2 26 1 4 2 1 )1( x dxx & 14) ∫ ++ + 3 1 24 2 1 )1( xx dxx & 15) ∫ ++ − 1 0 24 2 43 )2( xx dxx & 16) ∫ + − 2 1 4 2 1 )1( x dxx Dạng tổng quát : VI)TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯNG GIÁC : (19) Nguyễn Công Mậu Để tính I k = ∫ + k at dt )( 22 ta có : I k = ∫ + k at dt )( 22 ∫ ∫ − + = + −+ = −122222 222 2 )( 1 )( )(1 kk at dt a dt at tat a ∫ + − k at tdt t a )( 2 . 2 1 222       − +− += − − − 1 1222 1 2 )()1(2 11 k k k I at t ka I a 110 . − +=⇒ kk IAAI (1) Dựa vào (1) ta tính được I k qua I k-1 , I k-1 qua I k-2 ,…,I 2 qua I 1 .Trong đó I 1 = ∫ + 22 at dt Chú ý : ∫ + − k at tdt t a )( 2 . 2 1 222       − +− = − − 1 1222 )()1(2 1 k k I at t ka tính nhờ phương pháp tích phân từng phần ∫ +± ± β α dx abxx ax 224 2 A)Tích phân dạng: ∫ dxxxF )cos;(sin Trong đó F(sinx;cosx) là một phân thức hữu tỉ đối với sinx và cosx. 1)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số chẵn đối với sinx và cosx tức là : F(sinx;cosx) = F(-sinx;-cosx) thì đặt t = tanx (hay t = cotx) 2)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với sinx tức là: F(-sinx;cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = cosx. 3)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với cosx tức là: F(sinx;-cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = sinx. CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN 20 (20) Nguyễn Công Mậu CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN 21 (21) Nguyễn Công Mậu 4)Nếu F(sinx;cosx) không thoả mãn ba dạng trên thì đặt t = tanx/2 và biểu diễn Sinx ;cosx theo t bỡi công thức : 2 1 2 sin t t x + = và 2 2 1 1 cos t t x + − = B)Tích phân dạng : ∫ xdx n x m cos.sin với Znm ∈, 1)Nếu có ít nhất một trong hai số m,n lẻ,chẳng hạn : + Nếu m lẻ (có thể xem là hàm số lẻ theo sinx) thì đặt t = cosx + Nếu n lẻ (Có thể cem là hàm số lẻ theo cosx) thì đặt t = sinx 2)Nếu cả hai số m,n đều chẵn và dương thì dùng công thức hạ bậc sau để biến đổi hàm số dưới dấu tích phân: xxx 2sin 2 1 cossin = ; 2 2cos1 sin 2 x x − = ; 2 2cos1 cos 2 x x + = 3)Nếu m,n đều chẵn và có ít nhất một số âm (có thể xem là hàm số chẵn theo sinx và cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) C)Tích phân dạng : ∫ bxdxax cos.cos ; ∫ bxdxax cos.sin ; ∫ bxdxax s in.sin Dùng công thức lượng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa vào các công thức: [ ] xbaxbabxax )cos()cos( 2 1 cos.cos −−+= [ ] xbaxbabxax )cos()cos( 2 1 sin.sin −−+−= [ ] xbababxax )sin()sin( 2 1 sin.sin −++= D)Một số phương pháp giải quyết những tích phân đặc biệt: 1)Nếu f(x) là hàm số lẻ thì ∫ − a a dxxf )( = 0 .Cách tính loại tích phân này bằng cách đổi biến x = -t. 2)Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a+b-x) = f(x) thì ∫ + = ∫ b a dxxf ba b a dxxxf )( 2 )( ( thường gặp : ∫ = ∫ π π π 0 )(sin 2 0 )(sin dxxdxxxf ) Cách tính loại tích phân này là: đổi biến t = a+b-x (dạng thừơng gặp t = x− π ) 3)Cho a > 0 ,f là hàm số chẵn liên tục và xác đònh trên R thì :         ∫ = ∫ − = ∫ − + dx b xf b b dxxf b b x a dxxf 0 )()( 2 1 1 )( .Cách tính loại tích phân này là: đổi biến x = -t • Chú ý: vì f là hàm số chẵn nên dx b xf b b dxxf ∫ = ∫ − 0 )(2)( .Cách chứng minh điều này như sau: dx b xf b dxxf b b dxxf ∫∫ − += ∫ − 0 )( 0 )()( rồi tính ∫ − 0 )( b dxxf bằng cách đặt x=-t CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN 22 Bài tập : Tính các tích phân sau : 1) ∫ 4 0 6 cos π x dx ; 2) ∫ 2 6 4 sin π π x dx ; 3) ∫ 4 0 4 π xdxtg ; 4) ∫ 2 3 4 sin 3 cos π π x dx 5) ∫ + 2 0 )sin(sin 54 π dxxx ; 6) ∫ + 4 0 )tan(tan 34 π dxxx ; 7) ∫ + 2 0 cos)sin(sin 223 π xdxxx ; 8) ∫ + + 4 0 ) cos sin coss in1 2cos ( 3 π dx x x xx x ; 9) ∫ + π 0 )5sin(cos3s in dxxxx ; 10) ∫ − + 3 0 sin1 sin1 π dx x x 11) ∫ + 2 6 sin )cos1( π π x dxx ; 12) ∫ 4 0 4 cos 2 sin π dx x x ; 13) ∫ 3 6 4 cos 4 sin π π xx dx ; 14) ∫ 3 4 3 cos 3 sin π π xx dx 15) ( ) ∫ ++ π 2 0 sin1 2 sin dxxx ; 16) ∫ ++ 2 0 cossin1 π xx dx ; 17) ∫ + 2 0 cos1 3 sin4 π x xdx 18) ∫ + π 0 2 cos1 3 sin dx x xx ; 19) ∫ + π 0 2 sin1 sin dx x xx ; 20) ∫ − + + 2 2 12 cos 2 π π dx x xx 21) ∫ − + + 1 1 2 36 1 sin dx x xx ; 22) ∫ − + + 4 4 13 4 cos 4 sin π π dx x xx ; 23) ∫ + 4 0 tan1 π x dx 24) ∫ 3 0 2cos tan π dx x x ; 25) ∫ 4 0 tan 6 π xdx ; 26) ∫ + 2 0 cos2 π x dx 27) ∫ + 4 0 4 sin 4 cos 2sin π dx xx x ; 28) ∫ 3 4 3 cossin π π xx dx ; 29) ∫ + 4 0 2 sin1cos sin π dx xx x 30) ∫ 3 6 4 π π xtg dx ; 31) ∫ 2 0 3coscos 3 π xdxx ; 32) ∫ 2 0 4cossin 2 π xdxx 33) ∫ + 2 0 cos23 π x dx ; 34) ∫ + 2 0 sin1 3 cos4 π x xdx ; 35) ∫ 2 0 4sin2coscos π xdxxx 36) ∫ + π 0 2cos7 sin dx x xx ; 37) ∫ 4 2 0 sin π xx ;38) ∫ ++ +− 2 0 3cos2sin )1cos(sin π xx dxxx (22) Nguyễn Công Mậu