Đang tải... (xem toàn văn)
Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải``` quyết một số bài toán hình học không gian Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải``` quyết một số bài toán hình học không gian Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải``` quyết một số bài toán hình học không gian
A. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong một đề thi đại học, cao đẳng bất kể khối A, B hay D thì câu hình học không gian thể tích là một trong những câu không thể thiếu ở phần chung, để đạt được ít nhất 2 điểm hình trong đề thi đại học, học sinh nhất thiết phải làm được câu hình thể tích. Để giải một bài toán hình học không gian đòi hỏi học sinh phải có nhiều kỹ năng, không những nắm kiến thức về hình học không gian thật vững mà học sinh phải có kỹ năng linh hoạt, có phương pháp giải phong phú để ứng biến với mọi tình huống khó khăn. Với một bài toán hình học nói chung và bài toán hình học không gian nói riêng thì có nhiều cách giải khác nhau, có thể là phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ hay phương pháp tọa độ, trong đó có một phần lớn các bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ hóa (PPTĐH). Với những bài toán đó thì PPTĐH cho ta cách giải rất nhanh chóng và dễ dàng hơn nhiều so với phương pháp tổng hợp. PPTĐH cho ta lời giải một cách chính xác, tránh được các yếu tố trực quan, các suy diễn phức tạp của phương pháp tổng hợp và là phương tiện hiệu quả để giải các bài toán hình học không gian Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải bài toán. Từ thực tế giảng dạy cũng như bản thân muốn học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu sâu về giải quyết các bài toán hình học không gian để phục vụ giảng dạy và giúp học sinh cảm thấy thoải mái tiếp thu, có phương pháp tối ưu để giải quyết các bài tập hình học không gian vốn phức tạp, tôi đã chọn chuyên đề : “ Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết một số bài toán hình học không gian ”. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ : I. CƠ SỞ LÝ LUẬN : Sự ra đời của cuốn “ La géometrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp tọa độ vào năm 1637 của nhà toán học thiên tài người Pháp Rene Descartes đã đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Mặc dù đại số và hình học là hai mảng kiến thức khác nhau trong toán học, nhưng với phương pháp tọa độ thì hai mảng kiến thức này lại dung hòa với nhau, cùng nhau phát triển. Phương pháp tọa độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hóa và trừu tượng hóa toán học trong nhiều lĩnh vực. Để hướng dẫn cho học sinh khối 12 sử dụng phương pháp toạ độ hóa vào giải toán hình học không gian, giáo viên ngoài củng cố kiến thức về vectơ, tọa độ trong không gian còn phải hướng dẫn học sinh nắm bắt được các dấu hiệu 1 nhận biết cùng với các bước giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa. Tuy nhiên qua thực tế , việc nắm vững các bước tọa độ hóa để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ. II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI : 1. Thuận lợi Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương trình lớp 11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và khoảng cách giữa một số đối tượng trong hình học không gian. Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu. Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12, một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian. 2. Khó khăn Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết bài toán mà các em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính xác, đôi lúc không phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là phần cần chứng minh. Do đó kết quả không như mong đợi. Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12. Do chưa tìm ra được phương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng thú trong học tập .Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm cao của cả thầy và trò. III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN : 1) Cơ sở lý thuyết : a) Cho hai vectơ ( ) 1 1 1 1 ; ;u x y z= ur , ( ) 2 2 2 2 ; ;u x y z= uur và số k tùy ý, ta có : • 1 2 1 2 1 2 1 2 , ,u u x x y y z z= ⇔ = = = ur uur • 1 u ur và 2 u uur cùng phương 1 1 1 1 2 2 2 2 : . x y z m u mu x y z ⇔ ∃ ∈ = ⇔ = = ur uur ¡ ( nếu 2 2 2 , , 0x y z ≠ ) • ( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 ; ;u u x x y y z z± = ± ± ± ur ur • ( ) 1 1 1 1 ; ;ku kx ky kz= ur • 2 2 2 2 1 1 1 1 u u x y z= = + + r ur • Tích vô hướng của hai vectơ: 1 2 1 2 1 2 1 2 .u u x x y y z z= + + ur uur 2 • Cosin của góc giữa 2 vectơ khác 0 r : ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 . os ; . . u u x x x y y z z c u u u u x y z x y z + + + = = + + + + ur uur ur uur ur uur • 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . 0u u u u x x y y z z⊥ ⇔ ⇔ + + = ur uur ur uur • Tích có hướng của 2 vectơ : ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ; ; ; ; ; y z z x x y y z z x x y u u y z y z z x z x x y x y = = − − − ur uur b) Cho ba điểm không thẳng hàng ( ) ; ; A A A A x y z , ( ) ; ; B B B B x y z , ( ) ; ; C C C C x y z • ( ) ; ; B A B A B A AB x x y y z z= − − − uuur • ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B A B A B A AB x x y y z z= − + − + − uuur • Tọa độ trung điểm của đoạn AB: ; ; 2 2 2 A B A B A B x x y y z z I + + + ÷ • Tọa độ trọng tâm của ∆ABC : ; ; 3 3 3 A B C A B C A B C x x x y y y z z z G + + + + + + ÷ c) Các công thức về góc : • Góc giữa hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) lần lượt có véctơ chỉ phương ( ) 1 1 1 1 ; ;u a b c= ur , ( ) 2 2 2 2 ; ;u a b c= uur là : ( ) · ( ) · 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 os ; os ; . a a b b c c c d d c u u a b c a b c + + = = + + + + r r • Góc giữa mp(P) có vectơ pháp tuyến ( ) 1 1 1 1 ; ;n A B C= ur và mp(Q) có véctơ pháp tuyến ( ) 2 2 2 2 ; ;n A B C= r là ( ) ( ) ( ) · ( ) · 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 os ; os ; . A A B B C C c P Q c n n A B C A B C + + = = + + + + r r • Góc giữa đường thẳng (d) có véctơ chỉ phương ( ) ; ;u a b c= r và mp(α) có véctơ chỉ phương ( ) ; ;n A B C= r là : ( ) ( ) · ( ) · 2 2 2 2 2 2 sin ; os ; . aA bB cC d c u n a b c A B C α + + = = + + + + r r d) Các công thức về khoảng cách : • Khoảng cách từ điểm ( ) 0 0 0 ; ;M x y z đến mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 là : ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 Ax , By Cz D d M P A B C + + + = + + • Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) đi qua M và có vectơ chỉ phương u r là : ( ) ; , u MN d M d u = r uuuur r • Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau (d 1 ) đi qua M 1 , có vectơ chỉ phương 1 u ur và (d 2 ) đi qua M 2 , có vectơ chỉ phương 2 u uur là: ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 ; . , ; u u M M d d d u u = ur uur uuuuuur ur uur e) Các công thức tính diện tích, thể tích : • Diện tích ∆ABC là : 1 ; 2 ABC S AB AC = uuur uuur 3 • Diện tích hình bình hành ABCD là : ; ABCD S AB AC = uuur uuur • Thể tích tứ diện ABCD là : 1 ; . 6 ABCD V AB AC AD = uuur uuur uuur • Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' là : . ; . ABCD A B C D V AB AD AA ′ ′ ′ ′ ′ = uuur uuur uuur f) Cách chứng minh quan hệ song song, vuông góc giữa các yếu đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp vectơ, tọa độ : • Hai đường thẳng phân biệt d 1 và d 2 lần lượt có vectơ chỉ phương là 1 u ur , 2 u uur + Song song với nhau khi 1 u ur và 2 u uur cùng phương 1 2 ; 0u u ⇔ = ur uur r + Vuông góc với nhau khi 1 1 1 2 . 0u u u u⊥ ⇔ = ur ur ur uur • Đường thẳng d (vectơ chỉ phương u r ) và mp(P) (vectơ pháp tuyến n r ), ( ) d P⊄ + Song song với nhau khi . 0u n u n⊥ ⇔ = r r r r + Vuông góc với nhau khi u r và n r cùng phương ; 0u n ⇔ = r r r • Hai mặt phẳng phân biệt (P 1 ) và (P 2 ) lần lượt có vectơ pháp tuyến là 1 n ur , 2 n uur + Song song với nhau khi 1 n ur và 2 n uur cùng phương 1 2 ; 0n n ⇔ = ur uur r + Vuông góc với nhau khi 1 1 1 2 . 0n n n n⊥ ⇔ = ur ur ur uur 2. Các dạng toán thường gặp : • Độ dài đoạn thẳng • Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng • Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng • Khoảng cách giữa hai đường thẳng • Góc giữa hai đường thẳng • Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng • Góc giữa hai mặt phẳng • Thể tích khối đa diện • Diện tích thiết diện • Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc. 3. Dấu hiệu nhận biết một bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ hóa : Ở phần giả thiết của bài toán có những dạng sau : - Hình đã cho có một đỉnh là tam diện vuông - Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là tam giác đặc biệt ( tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều ) hoặc tứ giác đặc biệt ( hình vuông, hình chữ nhật, hình thang vuông, hình thoi, ) - Hình chóp đa giác đều - Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác hoặc tứ giác đặc biệt, đặc biệt là hình lập phương, hình hộp chữ nhật, 4 - Hình đã cho có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, trong mặt phẳng đó có những đa giác đặc biệt như tam giác vuông, tam giác đều, hình thoi, - Một vài hình chưa có sẵn tam diện vuông nhưng có thể tạo được tam diện vuông chẳng hạn: hai đường thẳng chéo nhau mà vuông góc, hoặc hai mặt phẳng vuông góc. Ngoài ra, với một số bài toán mà giả thiết không cho những hình quen thuộc như đã nêu ở trên thì ta có thể dựa vào tính chất song song, vuông góc của các đoạn thẳng hay đường thẳng tham gia trong hình vẽ để thiết lập hệ trục tọa độ. 4. Các bước giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa : - Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp - Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán - Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ - Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học thông thường. * Ví dụ về một vài cách chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ: - 3 điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng tương đương với tọa độ 1 điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm kia hoặc 2 vectơ AB uuur và AC uuur cùng phương ( , 0AB AC = uuur uuur r ) - 4 điểm A, B, C, D phân biệt đồng phẳng tương đương với tọa độ 1 điểm thỏa mãn phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm kia hoặc 3 vectơ AB uuur , AC uuur , AD uuur đồng phẳng ( , . 0AB AC AD = uuur uuur uuur ) 5. Kỹ năng chọn hệ trục tọa độ Oxyz với một số nhóm hình thường gặp : NHÓM 1: HÌNH CHÓP CÓ MỘT CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Hình chóp tam giác S. ABC có SA ⊥ (ABC), SA = h * Đáy ABC là tam giác vuông tại A AB = a, AC = b ( Tam diện vuông ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn : A ≡ gốc O Ox ≡ đường thẳng AB Oy ≡ đường thẳng AC Oz ≡ đường thẳng AS ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A B a C b S h⇒ * Đáy ABC là tam giác vuông tại B AB = a, BC = b 5 A C S B x y z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn : A ≡ gốc O Ox ≡ đường thẳng đi qua A và // BC Oy ≡ đường thẳng AB Oz ≡ đường thẳng AS ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , 0; ;0 , ; ;0 , 0;0;A B a C b a S h⇒ * Đáy ABC là tam giác cân tại A AB = a, BC = b Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn : A ≡ gốc O Ox ≡ đường thẳng đi qua A và // BC Oy ≡ trung tuyến AM Oz ≡ đường thẳng AS ( ) ( ) 2 2 2 2 0;0;0 , ; ;0 , 2 4 ; ;0 , 0;0; 2 4 b b A B a b b C a S h ⇒ − − ÷ ÷ − ÷ ÷ * Đáy ABC là tam giác cân tại B AB = a, AC = b Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn : A ≡ gốc O Ox ≡ đường thẳng đi qua A và // trung tuyến BN Oy ≡ đường thẳng AC Oz ≡ đường thẳng AS ( ) ( ) ( ) 2 2 0;0;0 , ; ;0 , 4 2 0; ;0 , 0;0; b b A B a C b S h ⇒ − − ÷ ÷ * Đáy ABC là tam giác đều Làm tương tự tam giác cân. Ví dụ minh họa : Ví dụ 1: (Đề thi thử Đại học của Boxmath, 2012) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = 2a, OC = 3a. Gọi M là trung điểm của OB, G là trọng tâm ∆ABC. Tính thể tích khối tứ diện GMBC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và OC theo a. 6 M S B C A y z x A B S N C x z y A C S B y z x Hướng dẫn: - Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn : Gốc O là một đỉnh của tứ diện Ox ≡ đường thẳng OA Oy ≡ đường thẳng OB Oz ≡ đường thẳng OC ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , ;0;0 , 0;2 ;0 , 0;0;3O A a B a C a⇒ ( ) ( ) 2 0; ;0 , ; ; , ; ;0 3 3 a a M a G a AM a a ⇒ = − ÷ uuuur * 3 1 ; . 6 6 GMBC a V MB MC MG = = uuur uuuur uuuur * Đường thẳng AM : đi qua A, có vectơ chỉ phương là ( ) 1;1;0u = − r Đường thẳng OC : đi qua O, có vectơ chỉ phương là ( ) 0;0;1k = r ( ) ; . 2 , 2 ; u k AO a d AM OC u k ⇒ = = r r uuur r r Ví dụ 2: (Đề thi Tuyển sinh vào Đại học khối A, 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mp(ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Hướng dẫn: - Ta có: ( )SA ABC⊥ ; ( ) ( ) ( ) · · 0 , 60SBC ABC SBA= = Mặt phẳng qua SM và song song với BC sẽ cắt mp(ABC) theo giao tuyến MN // BC ⇒ N là trung điểm của AC. - Chọn hệ trục tọa độ Oxyz : + Gốc O ≡ A + Ox ≡ đường thẳng qua A và // BC + Oy ≡ đường thẳng AB + Oz ≡ đường thẳng AS * Xét ∆SAB có SA = AB.tan60 0 = 2 3a ( ) 2 3 2 2 BCNM BC MN BM a S + = = 3 . 1 . . 3 3 S BCNM BCNM V SA S a⇒ = = * Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , 0;2 ;0 , 2 ;2 ;0 , 0;0;2 3A B a C a a S a− ( ) ( ) ( ) ; ;0 ; 0;2 ;0 ; ; ; 2 3N a a AB a SN a a a⇒ − = = − − uuur uuur ⇒ Đường thẳng AB: đi qua A, có vectơ chỉ phương là ( ) 1 0;1;0u = ur 7 A z x y C S N M B O B C A x y z M • Đường thẳng SN: đi qua N, có vectơ chỉ phương là ( ) 2 1; 1;2 3u = − uur ( ) 1 2 1 2 ; . 2 39 , 13 ; u u AN a d AB SN u u ⇒ = = ur uur uuur ur uur Bài luyện tập : Bài 1: ( Toán học & Tuổi trẻ, 2 / 2011 ) Cho hình chóp S.ABC có AB =BC =a; · 0 90ABC = ; SA ⊥ (ABC); góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 60 0 . Kẻ AM ⊥ SB, AN ⊥ SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN. Bài 2: ( Toán học & Tuổi trẻ, 10 / 2012 ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SB ⊥ (ABC), BC = a, SB = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Tính độ dài đoạn thẳng MN và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BC. Bài 3: (Đề thi thử Đại học của THPT Chuyên KHTN, 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, SA ⊥ (ABC). Góc giữa SC và mp(SAB) bằng 30 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC. Bài 4: (Đề thi thử Đại học của THPT Chuyên KHTN, 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, BC = 3a , AC = 7a , SA ⊥ (ABC), M là trung điểm của AB; góc giữa hai mp(SMC) và (ABC) bằng 30 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và diện tích ∆SMC. Hình chóp tứ giác S. ABCD có SA ⊥ (ABCD), SA = h * Đáy ABCD là hình vuông ( hoặc hình chữ nhật ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn : A ≡ gốc O Ox ≡ đường thẳng AB Oy ≡ đường thẳng AD Oz ≡ đường thẳng AS * Đáy ABCD là hình thoi AC = 2a, BD = 2b Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn : Gốc O AC BD= I Ox ≡ đường thẳng BD Oy ≡ đường thẳng AC Oz ≡ đường thẳng đi qua O và // SA 8 A D S B C x y z O S D C A B z y x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0; ;0 , ;0;0 , ; ;0 , ;0;0 , 0; ; A a B b C o a D b S a h ⇒ − − − * Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B: AB = a, BC = b, AD = c > b Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn : A ≡ gốc O Ox ≡ đường thẳng AB Oy ≡ đường thẳng AD Oz ≡ đường thẳng AS ( ) ( ) ( ) ( ) ;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0;B a C a c b D c S h⇒ − * Đáy ABCD là nửa lục giác đều : Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn : A ≡ gốc O Ox ≡ đường thẳng qua A và // CD Oy ≡ đường thẳng AC Oz ≡ đường thẳng AS Ví dụ minh họa : Ví dụ 1: (Đề thi thử Đại học của Chuyên Đại học Vinh, lần 1, 2013) Cho hình chóp S.ABCD có SC ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 3a và · 0 120ABC = . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD. Hướng dẫn : - Ta có: 3 , 3AC a BD a= = . Đặt SO = h - Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn : Gốc O AC BD= I Ox ≡ đường thẳng BD Oy ≡ đường thẳng AC Oz ≡ đường thẳng đi qua O và // SA 2 3 3 3 0; ;0 , ;0;0 , 0; ;0 , 2 2 2 3 3 3 3 3 3 ;0;0 , 0; ; ; ; ; 2 2 2 2 2 a a a A B C a a ah ah a D S h AB AS ⇒ − ÷ ÷ ÷ ÷ − − ⇒ = − − − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ uuur uuur ⇒ 2 mp(SAB) và (ABCD) lần lượt có vectơ pháp tuyến: ( ) 3; ;3n h h a= r , ( ) 0;0;1k = r 9 O S D A C B z y x B D C S A y z x S D C A B y z x ( ) ( ) ( ) · 2 2 3 2 3 3 3 3 os , 0; ; 0;3 ; 2 2 2 2 2 4 9 a a a a a c SAB ABCD h S SA a h a ⇒ = = ⇒ = ⇒ − ⇒ = − ÷ ÷ + uur 3 . 1 1 3 3 . . . 3 6 4 S ABCD ABCD a V SC S SC AC BD⇒ = = = * Đường thẳng SA đi qua A, có vectơ chỉ phương là : ( ) 0;2; 1u = − r Đường thẳng BD đi qua O, có vectơ chỉ phương là : ( ) 1;0;0i = r ( ) ; . 3 5 , 10 ; u i AO a d SA BD u i ⇒ = = r r uuur r r Ví dụ 2: (Đề thi thử Đại học của THPT Cù Huy Cận, Hà Tĩnh, 2013) Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a 2 , BC = 3a. Gọi M là trung điểm của CD và góc giữa (ABCD) và (SBC) bằng 60 0 . Chứng minh (SBM) ⊥ (SAC) và tính thể tích khối tứ diện SABM. Hướng dẫn: Ta có : ( ) ( ) ( ) · · 0 0 , 60 .tan 60 3 6ABCD SBC SBA SA AB a= = ⇒ = = Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn : A ≡ gốc O Ox ≡ đường thẳng AB Oy ≡ đường thẳng AD Oz ≡ đường thẳng AS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , 3 2;0;0 , 3 2;3 ;0 , 3 2 0;3 ;0 , 0;0;3 6 ;3 ;0 2 A B a C a a a D a S a M a ⇒ ⇒ ÷ ÷ * ( ) 2 2 2 ; 9 6;9 3;9 2SB SM a a a = uur uuur ; ( ) 2 2 ; 9 6;18 3;0AS AC a a = − uuur uuur ⇒ 2mp(SBM) và (SAC) lần lượt có vectơ pháp tuyến là ( ) ( ) 1 2 6; 3; 2 , 6;2 3;0n n= = − ur uur ( ) ( ) 1 1 . 0n n SBM SAC⇒ = ⇒ ⊥ uurur * 3 1 ; . 9 3 6 SABM V AB AM AS a = = uuur uuuur uuur Bài luyện tập : Bài 1: (Đề thi thử Đại học của THPT Mai Anh Tuấn, Thanh Hóa, 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 3a, AD = CD = SA = 2a, SA ⊥ (ABCD). Gọi G là trọng tâm ∆SAB, mp(GCD) cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.CDMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM, BC. Bài 2: (Đề thi thử Đại học của THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa, 2013) 10 y A D S B C x z M [...]... luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết một số bài toán hình học không gian ”, tôi đã đạt được một số kết quả và đóng góp sau đây: - Sơ lược về lịch sử ra đời của phương pháp tọa độ, qua đó thấy được con đường đại số hóa hình học ở trường THPT Việc sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết một số bài toán hình học không gian đóng vai trò quan trọng trong việc dạy học toán ở nhà trường... mạnh dạn đưa ra một số ý kiến sau: - Các trường học và ở các bộ môn học cần có những nghiên cứu về việc rèn luyện các kỹ năng cho học sinh - Trong quá trình dạy học toán cần phát huy cao độ việc rèn luyện kỹ năng vận dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết một số bài toán hình học không gian lớp 12, từ đó giúp học sinh thấy được sự hấp dẫn, thú vị trong việc kết hợp giữa hình học và đại số, khắc phục... tiết hình giải quyết một số bài toán hình học không gian có sử dụng phương pháp tọa độ hóa - Ở lớp 12A2 tôi cũng thực hiện tiết hình học không gian về thể tích nhưng chưa giới thiệu phương pháp tọa độ hóa, học sinh làm bằng phương pháp tổng hợp Sau giờ dạy tiến hành bài kiểm tra 15 phút và so sánh kết quả bài kiểm tra của hai lớp đồng thời có sự quan sát về hứng thú học tập, mức độ tham gia vào giờ học. .. chọn được hệ trục tọa độ; biểu diễn được các điểm, đường thẳng, mặt phẳng qua hệ trục tọa độ đó + Không khí học tập ở lớp thực nghiệm sôi nổi hơn, học sinh có thể tự học tự làm việc độc lập Hơn thế nữa, học sinh có hứng thú hơn trong các giờ học môn Hình không gian Như vậy, khi hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết một số bài toán hình học không gian tôi đã thu được... 2 Các dạng toán thường gặp 3 Dấu hiệu nhận biết một bài toán Hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ hóa 4 Các bước giải một bài toán Hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa 5 Kỹ năng chọn hệ trục tọa độ Oxyz với một số nhóm hình thường gặp - Nhóm 1: Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy - Nhóm 2: Hình chóp có một mặt bên ( hoặc... không chỉ trang bị cho học sinh về mặt tri thức mà còn giúp các em phát triển về trí tuệ và các đức tính cần thiết của người lao động 19 - Tổng quan về các kỹ năng cơ bản để giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa, với hệ thống bài toán kèm theo, góp phần khắc phục những yếu kém của học sinh khi học nội dung này Các kỹ năng đó là: + Kỹ năng thiết lập hệ tọa độ trong không gian + Kỹ. .. của học sinh ở hai lớp Kết quả bài kiểm tra thu được ở lớp thực nghiệm và đối chứng được thống kê trong bảng sau Bảng kết quả bài kiểm tra 15 phút: sau bài dạy “ Sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết một số bài toán hình học không gian Lớp Số 12A12 12A2 HS 46 45 0 1 2 3 Điểm Xi 4 5 6 0 0 0 0 0 2 0 3 2 5 4 6 6 6 Điểm 7 8 9 10 8 9 9 4 9 5 8 5 TB 7,67 6,42 * Những đánh giá qua bài kiểm tra của học. .. lập hệ tọa độ trong không gian + Kỹ năng chuyển hóa ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ tọa độ và ngược lại + Kỹ năng lập phương trình mặt phẳng + Kỹ năng lập phương trình đường thẳng + Kỹ năng lập phương trình mặt cầu + Kỹ năng chuyển hóa các phương trình đường thẳng + Kỹ năng kết hợp giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích + Kỹ năng chuyển hóa bài toán 2 Kiến nghị và đề xuất Qua quá... kết quả sau: - Đa số học sinh hứng thú trong việc tiếp thu bài học vì các em cảm thấy mình là người chủ động tìm ra đáp số của bài toán - Các em được rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để tính thể tích một khối đa diện; để tính góc, khoảng cách, một cách dễ dàng Bởi vì các em đã thành thạo trong việc chuyển từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ đại số và ngược lại - Giờ học trở nên sôi nổi,... Amsterdam,, 2 012) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài các cạnh bằng 1 Gọi I, K lần lượt là trung điểm của A'D', BB' Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IK, AD và thể tích khối tứ diện IKAD IV THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM : Đánh giá hiệu quả của việc sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết một số bài toán hình học không gian qua quan sát giờ học của học sinh và kiểm tra các lớp thực nghiệm Lớp thực . một đề thi đại học, cao đẳng bất kể khối A, B hay D thì câu hình học không gian thể tích là một trong những câu không thể thi u ở phần chung, để đạt được ít nhất 2 điểm hình trong đề thi đại. quyết bài toán mà các em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thi u căn cứ, không chính xác, đôi lúc không phân biệt được đâu là giả thi t, đâu là phần cần chứng minh. Do đó kết quả không như mong. diện • Diện tích thi t diện • Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc. 3. Dấu hiệu nhận biết một bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ hóa : Ở phần giả thi t của bài toán