Chương 4 Các phép biến đổi trong không gian 3 chiều Giảng viên: Ths.Vũ Minh Yến Tổ HTTT- Khoa CNTT Nội dung  Hệ tọa độ tay phải, hệ tọa độ tay trái  Biểu diễn điểm  Phép biến đổi khái quát  Các phép biến đổi hình học  Các phép biến đổi hệ trục  Chuyển đổi quan sát 1. Hệ tọa độ tay phải, hệ tọa độ tay trái  Hệ tọa độ tay phải  Là hệ tọa độ chuẩn biểu diễn trên văn bản của toán học  Chiều dương xác định ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ hướng dương của trục về gốc.  Hệ tọa độ tay trái  Phù hợp cho việc biểu diễn hình ảnh trên máy tính  Khi z càng lớn thì càng xa người nhìn  Chiều dương xác định cùng chiều kim đồng hồ khi nhìn từ hướng dương của trục về gốc.  Giá trị chiều dương cho hai hệ tọa độ trên là như nhau x O z y + x O z y 2. Biểu diễn điểm(1)  Trong hệ toạ độ đề các  M(x,y,z)  Biểu diễn bằng ma trận:  Ma trận hàng:  Ma trận cột:  Trong hệ tọa độ cực: M(R, ϕ, θ)           = z y x M [ ] zyxM =      ϕ= θϕ= θϕ= sinRz sincosRy coscosRx y O x x y z z M R ϕ θ H 2. Biểu diễn điểm(2)  Trong hệ toạ độ thuần nhất  M(kx, ky, kz, k) với k≠0, k=0 điểm M ở vô cùng  k=1 khi đó M(x, y, z, 1) được gọi là toạ độ đề các của điểm thuần nhất  Biểu diễn bằng ma trận  Ma trận hàng:  Ma trận cột: [ ] 1zyxM =             = 1 z y x M 3. Phép biến đổi hình học khái quát (1)  Phép biến đổi T biến điểm M thành điểm M’:  Công thức biến đổi:  Trong đó: a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3, m, n, p là hằng số  Ma trận biến đổi )'z,'y,'x('M)z,y,x(M T →      +++= +++= +++= pz3cy3bx3a'z nz2cy2bx2a'y mz1cy1bx1a'x             = 1pnm 03c2c1c 03b2b1b 03a2a1a T 3. Phép biến đổi hình học khái quát (2)  Ta có:  Suy ra: M'= M.T Trong đó: [ ] 1zyxM = [ ] 1'z'y'x'M =             = 1pnm 03c2c1c 03b2b1b 03a2a1a T 4. Các phép biến đổi hình học  Phép bất biến  Phép tịnh tiến  Phép biến đổi tỉ lệ tại gốc toạ độ  Phép đối xứng  Phép quay  Phép biến đổi kết hợp 4.1. Phép bất biến  Biến điểm M thành chính nó:  Ma trận biến đổi: )z,y,x(M)'z,'y,'x('M)z,y,x(M T ≡→ I 1000 0100 0010 0001 T =             = 4.2. Phép tịnh tiến  Tịnh tiến điểm M một vector (m,n,p) thành điểm M’:  Công thức biến đổi:  Ma trận biến đổi: v r )'z,'y,'x('M)z,y,x(M v T → r      += += += pz'z ny'y mx'x             = 1pnm 0100 0010 0001 T y O x z M M’ n m p [...]... z2 ư c h tr c O’x3y3z3 y3 O’z3 ch v g c O z y’ x’ (900+ϕ) z’ z3 O ϕ (900+ϕ) x x3≡x2 O’ y2 6.2.2 Chuy n h t a Oxyz thành h t a O’x’y’z’(6) Ma tr n bi n i: 0 0 0 1 0 sin ϕ cos ϕ 0  T3 =  0 − cos ϕ sin ϕ 0   0 0 1 0 6.2.2 Chuy n h t a Oxyz thành h t a O’x’y’z’(7) Bư c 4: L y i x ng h tr c O’x3y3z3 qua m t ph ng O’y3z3 thành O’x4y4z4≡O’x’y’z’ y3≡y4 ≡y’ z y’ z’ z3 ≡z4 ≡z’ O x x3 x’ O’ x4 ≡x’ 6.2.2... là phép bi n i k t h p c a T1 và T2, khi ó: T = T1 × T2 5 Các phép bi n i h tr c to Phép bi n i h tr c to là phép bi n i ngh ch o c a phép bi n i v t: Th tr c= Tv t-1 Hai phép bi n i ư c g i là ngh ch o c a nhau n u phép bi n i k t h p c a chúng là phép b t bi n Ví d : Phép t nh ti n h tr c b i vecto (m, n, p) b ng phép t nh ti n v t i vecto (-m,-n,-p) Phép quay h tr c quanh tr c Oz góc α b ng phép. .. sát M c ích Xây d ng công th c chuy n i quan sát Xây d ng b công c 3D Áp d ng b công c 3D mô ph ng hình l p phương ơn v 6.1.M c ích Mô ph ng hình nh trong không gian th c ba chi u lên màn hình Ví d : Mô ph ng chi c bàn, chi c gh , Mô ph ng các hình kh i: hình l p phương, hình h p ch nh t, hình kim t tháp, Cho phép nhìn các v t th t các góc khác nhau: t phía trư c, t phía sau, t trên xu ng, t dư i... ph i Chi u dương t Ox sang Oy y 4.5.2 .Phép quay quanh tr c Ox,Oy Phép quay quanh tr c Ox 0 0 1 0 cos α sin α T= 0 − sin α cos α  0 0 0 0 0  0  1 Phép quay quanh tr c Oy cos α  0 T=  sin α   0 0 − sin α 0 1 0 0  0 cos α 0  0 0 1 4.6 Phép bi n i k t h p (1) i m M qua phép bi n i T1 thành M1, M1 qua phép bi n i T2 thành M2, suy ra t n t i m t phép bi n i T bi n M thành M2: M ( x... 0 0  0  1 Phép i x ng qua m t ph ng Oyz: − 1 0 T= 0  0 Phép i x ng qua m t ph ng Ozx : 0 0 0 1 0 0  0 1 0  0 0 1 Phép 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0  0  1 i x ng qua tâm O 0 − 1 0  0 −1 0 T= 0 0 −1  0 0 0 0 0  0  1 4.5 Phép quay Phép quay quanh tr c Oz Phép quay quanh tr c Ox Phép quay quanh tr c Oy 4.5.1 Phép quay quanh tr c Oz i m M quay quanh tr c Oz góc quay α thành M’:... thành O’x’y’z’: T=T1×T2 × T3 × T4 − sin θ − cos θ sin ϕ − sin θ cos ϕ  cos θ − sin θ sin ϕ − cos θ sin ϕ T=  0 cos ϕ − sin ϕ  0 R  0 0 0  0  1 6.2 .3 Chi u 3D-2D(1) M t s khái ni m Xây d ng công th c chi u M t s khái ni m Chi u ph i c nh: Các tia chi u h i t Chi u song song Các tia chi u song song Xây d ng công th c chi u 3D-2D(1) Chi u ph i c nh: Gi s kho ng cách t i m quan sát O’ ph ng...4 .3 Phép bi n Co dãn so v i g c to i t l t i g c to : M ( x , y, z) T M ' ( x ' , y' , z' ) → Công th c bi n i: x ' = tlx × x   y' = tly × y  z' = tlz × z  Ma tr n bi n v i tlx, tly, tlz là các h s t l khác 0 i:  tlx 0 0 0  0 tly 0 0  T= 0 0 tlz 0   0 0 1 0 4.4 .Phép i x ng Phép i x ng qua m t ph ng Oxy: 1 0 T= 0  0 0 0 1 0 0 −1 0 0 1 0 T= 0  0 0 0  0  1 Phép. .. 3D v 2D Chuy n t không gian th c 2D lên màn hình 6.2.1 B trí h quan sát H t a th gi i th c Oxyz-h t a v t O’ là v trí t m t quan sát O’(xo,yo,zo) trong h t a Oxyz H t a O’x’y’z’ là h t a quan sát có O’z’ ch v O M t ph ng chi u P vuông góc v i OO’ 6.2.1 B trí h quan sát z y’ yp M(x,y,z) Mp(xp,yp) xp z’ y θ x O’ Op ϕ O x’ P Tính t a Mp(xp, yp) trên m t ph ng chi u (P) Chuy n Mp lên màn hình (chương 3) ... M(x,y,z) Mp(xp,yp) xp z’ y θ x O’ Op ϕ O x’ P Tính t a Mp(xp, yp) trên m t ph ng chi u (P) Chuy n Mp lên màn hình (chương 3) Nhi m v Tính t a c a M bi u di n trong h t a O’x’y’z’chuy n h t a Oxyz thành h t a O’x’y’z’ Chi u lên m t ph ng (P) – chi u 3D v 2D z yp M(x,y,z) y’ Mp(xp,yp) xp ϕ O θ x O p P x’ O’ z’ y 6.2.2 Chuy n h t a Oxyz thành h t a O’x’y’z’ (1) Bư c 1: T nh ti n h tr c Oxyz véctơ OO'( x0,... a O’x’y’z’ (3) Oxyz thành h Bư c 2: Quay h tr c O’x1y1z1 quanh tr c O’z1 góc quay –(900- θ) z1≡z2 thành h tr c O’x2y2z2 O’y2 thu c m t ph ng OO’z y’ z x’ y1 z’ O’ y2 x2 ϕ O –(900- θ) θ x –(900- θ) x1 6.2.2 Chuy n h t a Oxyz thành h t a O’x’y’z’(4) Ma tr n bi n i:  sin θ cos θ 0 0 − cos θ sin θ 0 0  T2 =   0 0 1 0   0 0 1  0 6.2.2 Chuy n h t a Oxyz thành h t a O’x’y’z’(5) Bư c 3: Quay h tr . đó: [ ] 1zyxM = [ ] 1'z'y'x'M =             = 1pnm 03c2c1c 03b2b1b 03a2a1a T 4. Các phép biến đổi hình học  Phép bất biến  Phép tịnh tiến  Phép biến đổi tỉ lệ tại gốc toạ độ  Phép đối xứng  Phép quay  Phép biến đổi kết hợp 4.1. Phép. 4 Các phép biến đổi trong không gian 3 chiều Giảng viên: Ths .Vũ Minh Yến Tổ HTTT- Khoa CNTT Nội dung  Hệ tọa độ tay phải, hệ tọa độ tay trái  Biểu diễn điểm  Phép biến đổi khái quát  Các phép. cột: [ ] 1zyxM =             = 1 z y x M 3. Phép biến đổi hình học khái quát (1)  Phép biến đổi T biến điểm M thành điểm M’:  Công thức biến đổi:  Trong đó: a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3, m, n, p là hằng số  Ma trận biến đổi )'z,'y,'x('M)z,y,x(M T →      +++= +++= +++= pz3cy3bx3a'z nz2cy2bx2a'y mz1cy1bx1a'x             = 1pnm 03c2c1c 03b2b1b 03a2a1a T 3.