Bài giảng môn giải tích A3: Tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt pptx

79 1.9K 15
Bài giảng môn giải tích A3: Tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt pptx

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bài giảng bổ sung mơn Giải tích A3: Tích phân Bội, Tích phân Đường, Tích phân Mặt Huỳnh Quang Vũ Current address: Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh Email: hqvu@hcmus.edu.vn z S v r r t y U u ψ V x s TÓM TẮT NỘI DUNG Đây tập giảng bổ sung cho môn Giải tích A3 (TTH024) Đây mơn bắt buộc cho tất sinh viên Khoa Tốn-Tin vào học kì thứ Tập giảng khơng thay giáo trình Giáo trình tương đương với sách Stewart [Ste08] Mục đích tập giảng cung cấp tài liệu đọc thêm, sâu hơn, sát với nội dung mơn học Những phần có đánh dấu * tương đối khó Đây thảo, tiếp tục sửa chữa Bản có trang web http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu Ngày tháng năm 2011 Mục lục Chương Tích phân bội 1.1 Tích phân hình hộp 1.2 Sự khả tích 1.3 Định lí Fubini 12 1.4 Tích phân tập tổng quát 15 1.5 Công thức đổi biến 23 Chương Tích phân đường 33 2.1 Tích phân đường 33 2.2 Định lí tích phân đường 42 2.3 Định lí Green 45 Chương Tích phân mặt 49 3.1 Tích phân mặt 49 3.2 Định lí Stokes 56 3.3 Định lí Gauss-Ostrogradsky 59 3.4 * Định lí Stokes tổng quát 63 3.5 Ứng dụng Định lí Stokes 69 Tài liệu tham khảo 73 Chỉ mục 75 iii iv Mục lục Điều tơi nói bạn phải làm việc gắng sức điều thực Bạn làm việc làm việc, suy nghĩ suy nghĩ Khơng có công thức khác Mikhail Gromov, 2009 Chương Tích phân bội Trong chương nghiên cứu tích phân Riemann khơng gian nhiều chiều Trong mơn học này, ta nói đến khơng gian Rn ta dùng chuẩn khoảng 2 cách Euclid, cụ thể x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn || x || = ( x1 + x2 + · · · + xn )1/2 1.1 Tích phân hình hộp Tích phân khơng gian nhiều chiều phát triển tương tự tích phân chiều Do ý quen thuộc khơng khó Người đọc xem lại phần tích phân chiều để dễ theo dõi 1.1.1 Chia nhỏ hình hộp Một khoảng (interval) tập R có dạng [ a, b] với a < b Một hình hộp n-chiều (rectangle) tập Rn có dạng [ a1 , b1 ] × [ a2 , b2 ] × · · · × [ an , bn ] 1.1.1 Định nghĩa Thể tích (volume) hình hộp I = [ a1 , b1 ] × [ a2 , b2 ] × · · · × [ an , bn ] định nghĩa số thực | I | = (b1 − a1 )(b2 − a2 ) · · · (bn − an ) Khi số chiều n = ta thường thay từ thể tích chiều dài (length) Khi n = ta thường dùng từ diện tích (area) Một phép chia (hay phân hoạch) (partition) khoảng [ a, b] tập hữu hạn khoảng [ a, b] mà chứa a b Ta thường đặt tên phần tử phép chia x0 , x1 , , xn với a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b Mỗi khoảng [ xi−1 , xi ] khoảng (subinterval) khoảng [ a, b] tương ứng với phép chia n Một phép chia hình hộp I = ∏i=1 [ , bi ] tích phép chia khoảng khoảng [ , bi ] Cụ thể Pi phép chia khoảng [ , bi ] n P = ∏i=1 Pi phép chia hình hộp I Một hình hộp (subrectangle) tích khoảng cạnh n hình hộp ban đầu Cụ thể hình hộp hình hộp I có dạng ∏i=1 Ti Ti khoảng khoảng [ , bi ] ứng với phép chia Pi 1.1.2 Ví dụ Tập P = {0, , 1} phép chia khoảng [0, 1] Đối với hình hộp [0, 1]2 Q = P × P = {(0, 0), (0, ), (0, 1), ( , 0), ( , ), ( , 1)} phép 2 2 chia Hình hộp [0, ] × [ , 1] hình hộp ứng với phép chia Q 2 Tích phân bội Cho P P hai phép chia hình hộp I Nếu P ⊂ P ta nói P mịn (finer) P 1.1.3 Ví dụ P = {0, , 1} phép chia khoảng [0, 1], {0, , , 1} phép chia mịn P 1.1.2 Ý tích phân hình hộp Ý tích phân Riemann quen thuộc, ta nhắc lại Cho I hình hộp, f : I → R Ta muốn tính tổng giá trị hàm f hình hộp I Ta chia nhỏ hình hộp I hình hộp Trên hình hộp ta xấp xỉ giá trị hàm f hàm Nếu hàm f liên tục lượng biến thiên giá trị f kích thước hình hộp “nhỏ”, xấp xỉ hàm “tốt” Nếu ta cho số hình hộp tăng lên vơ hạn ta giá trị tổng Sau cách giải thích hình học Giả sử thêm hàm f khơng âm, ta muốn tìm "thể tích" khối bên đồ thị hàm f bên hình hộp I Ta xấp xỉ khối hình hộp với đáy hình hộp I chiều cao giá trị f hình hộp Khi ta cho số hình hộp tăng lên vơ hạn giá trị thể tích Cụ thể hơn, với phép chia P I, thành lập tổng Riemann ∑ f (xR )| R| R tổng lấy tất hình hộp R P, x R điểm R “Giới hạn” tổng Riemann phép chia “mịn mịn hơn” tích phân hàm f I, kí hiệu Vậy I I f f tổng giá trị hàm f miền I.1 1.1.3 Định nghĩa tích phân hình hộp Để làm xác ý tưởng ta cần làm rõ q trình giới hạn Có thể làm việc này, không vào chi tiết Thay vào dùng cách trình bày khác Jean Gaston Darboux Ý tưởng cách trình bày có lẽ khơng dễ hiểu cách Riemann có phần đơn giản kỹ thuật Cho hình hộp I Rn Cho hàm f : I → R bị chặn 1Kí hiệu Gottfried Leibniz đặt Nó đại diện cho chữ "s" chữ Latin "summa" (tổng) 1.1 Tích phân hình hộp Cho phép chia P hình hộp I Gọi L( f , P) = ∑(inf f )| R|, R R tổng lấy tất hình hộp ứng với phép chia P, tổng (lower sum), hay xấp xỉ Tương tự, U ( f , P) = ∑(sup f )| R|, R R gọi tổng (upper sum), hay xấp xỉ 1.1.4 Bổ đề Nếu phép chia P mịn phép chia P L ( f , P ) ≥ L ( f , P ), U ( f , P ) ≤ U ( f , P ) CHỨNG MINH Mỗi hình hộp R P nằm hình hộp R P Ta có infR f ≥ infR f Vì ∑ (inf f )| R | ≥ R ⊂R R ∑ (inf f )| R | = inf f R ⊂R R R ∑ R ⊂R | R | = (inf f )| R| R Lấy tổng hai vế bất đẳng thức theo tất hình hộp R P ta L ( f , P ) ≥ L ( f , P ) n n n Nếu P = ∏i=1 Pi P = ∏i=1 Pi hai phép chia hình hộp I = ∏i=1 [ , bi ] n ∏i=1 ( Pi ∪ Pi ) phép chia I, mịn P P , gọi mịn hóa chung (common refinement) P P 1.1.5 Bổ đề (Xấp xỉ ≤ xấp xỉ trên) Nếu P P hai phép chia hình hộp L( f , P) ≤ U ( f , P ) CHỨNG MINH Lấy phép chia mịn hóa chung P P P Khi L( f , P) ≤ L ( f , P ) ≤ U ( f , P ) ≤ U ( f , P ) Một hệ kết chặn nhỏ xấp xỉ supP L( f , P) chặn lớn xấp xỉ infP U ( f , P) tồn tại, supP L( f , P) ≤ infP U ( f , P) 1.1.6 Định nghĩa (Tích phân Riemann) Cho hình hộp I Một hàm f : I → R khả tích (integrable) f bị chặn supP L( f , P) = infP U ( f , P) Nếu f khả tích tích phân (integral) f định nghĩa số thực supP L( f , P) = infP U ( f , P), kí hiệu 1.1.7 Ví dụ Nếu c số I I f c = c | I | Khi số chiều n = ta có tích phân hàm biến quen thuộc từ trung học, thường viết b a f ( x ) dx Khi n = ta có tích phân bội hai (double integral) Tích phân bội thường viết I thường viết f ( x, y) dA Khi n = ta có tích phân bội ba (triple integral), I f ( x, y, z) dV Hiện dx, dA dV kí hiệu để loại tích phân 1.1.4 Tính chất tích phân Những tính chất quen thuộc sau chứng minh dễ dàng từ 1.2.1, giống trường hợp hàm biến 1.1.8 Mệnh đề Giả sử f g khả tích hình hộp I, c số thực, đó: (1) f + g khả tích I( f + g) = I f f ≤ I g (2) c f khả tích (3) Nếu f ≤ g I I f+ I g I cf = c Bài tập 1.1.9 Giả sử f liên tục hình hộp I f ( x ) ≥ I Chứng minh f = I 1.1.10 Điều sau hay sai, giải thích: [0,1]×[1,4] ( x2 + √ y) sin( xy2 ) dA = 10 I f =0 1.2 Sự khả tích 1.2 Sự khả tích 1.2.1 Mệnh đề Cho f bị chặn hình hộp I Khi f khả tích I > có phép chia P I cho U ( f , P) − L( f , P) = ∑ R (supR f − infR f )| R| < với CHỨNG MINH (⇒) Cho f khả tích Cho > 0, có phép chia P P cho L( f , P) > − + I f U( f , P ) < + I f Lấy P mịn hóa chung P P Khi U ( f , P ) − L( f , P ) ≤ U ( f , P ) − L( f , P) < (⇐) Giả sử với > cho trước có phép chia P cho U ( f , P) − với >0 Do infP U ( f , P) = supP L( f , P) L( f , P) < Bất đẳng thức dẫn tới ≤ infP U ( f , P) − sup L( f , P) < Sau điều kiện đủ đơn giản quen thuộc cho khả tích, thường dùng: 1.2.2 Định lí (liên tục khả tích) Một hàm liên tục hình hộp khả tích CHỨNG MINH Ta dùng kết sau Giải tích (bạn đọc nên xem lại): (1) Một tập Rn compắc đóng bị chặn (2) Một hàm thực (tức hàm vào R) liên tục tập compắc Rn bị chặn (3) Một hàm thực liên tục tập compắc Rn liên tục Bây cho f hàm liên tục hình chữ hộp I Khi f liên tục I, cho trước > 0, có δ > cho || x − y|| < δ ⇒ f ( x ) − f (y) < Lấy phép chia P I cho khoảng cách hai điểm hình hộp P nhỏ δ Điều khơng khó: chiều dài cạnh lớn tất hình hộp P khơng q δ chiều dài đường chéo √ hình hộp khơng q nδ Với phép chia P, cho hai điểm x, y thuộc hình hộp R f ( x ) − f (y) < Suy supR f − infR f ≤ Vì U ( f , P) − L( f , P) = ∑(sup f − inf f )| R| ≤ ∑| R| = R R Theo tiêu chuẩn 1.2.1 ta có kết R R |I| Tích phân bội 1.2.3 Ví dụ Cho f : [0, 1] → R, x= 1, f (x) =  0, x= 2 Nếu ta lấy phép phân chia P [0, 1] cho chiều dài khoảng nhỏ sai khác U ( f , P) L( f , P) nhỏ Vì hàm f khả tích Chú ý f khơng liên tục 1.2.4 Ví dụ Cho f : [0, 1] → R, x∈Q 0, f (x) =  1, x∈Q / Với phép chia P khoảng [0, 1] ta có L( f , P) = and U ( f , P) = Do f khơng khả tích Chú ý f khơng liên tục điểm 1.2.1 Tập tích khơng 1.2.5 Định nghĩa Một tập C Rn gọi tích khơng (of content zero) (cịn gọi khơng đáng kể - negligible) với số > có họ Nói cách khác, tập ta phủ (cover) tập hữu hạn hình hộp có tổng thể tích nhỏ số dương cho trước m m i =1 Ui ⊃ C ∑i =1 |Ui | < Rn tích khơng hình hộp {U1 , U2 , , Um } cho 1.2.6 Ví dụ Dễ thấy tập hợp gồm điểm Rn tích khơng Mở rộng chút, tập hữu hạn Rn tích khơng Một tập vơ hạn có thể tích khơng, ví dụ cạnh hình chữ nhật R2 Về sau ta thấy nhiều tập khác tích khơng Vì điều kiện đủ sau kết mạnh: 1.2.7 Định lí (liên tục trừ tập thể tích khơng khả tích) Một hàm thực bị chặn hình hộp liên tục trừ tập tích khơng khả tích CHỨNG MINH Gọi f hàm thực bị chặn hình hộp I, có số thực M cho | f ( x )| ≤ M với x ∈ I Cho C tập hợp điểm thuộc I mà hàm f khơng liên tục Giả thiết C tích khơng Cho > 0, có họ hình hộp U phủ C có tổng thể tích nhỏ Mở rộng hình hộp thuộc U thành hình hộp có kích thước lớn hơn, để họ hình hộp U phủ C với tổng thể tích nhỏ Có thể giả sử hình hộp Ui thuộc U tập I, cách thay Ui Ui ∩ I cần Gọi P phép chia I nhận cách lấy tọa độ đỉnh hình hộp thuộc U làm điểm chia cạnh I Chú ý hình hộp P mà khơng phải tập hình hộp thuộc U rời khỏi C Gọi T hội hình hộp Khi f liên tục T 3.3 Định lí Gauss-Ostrogradsky CHỨNG MINH Vì f liên tục p nên cho 61 > 0, với r đủ nhỏ với q ∈ B ( p, r ) ta có | f (q) − f ( p)| ≤ Từ | B ( p, r )| B ( p,r ) f − f ( p) = ≤ ≤ | B ( p, r )| | B ( p, r )| | B ( p, r )| B ( p,r ) B ( p,r ) [ f (q) − f ( p)] | f (q) − f ( p)| B ( p,r ) = Áp dụng bổ đề cho div ta div F ( p) = lim r →0 Tích phân | B ( p, r )| | B ( p,r )| B ( p,r ) ∂B ( p,r ) div F dA = lim r →0 | B ( p, r )| ∂B ( p,r ) F · n dS F · n dS thông lượng trường F khỏi mặt cầu ∂B ( p, r ) Vậy div F ( p) độ phát tán trường F đơn vị thể tích quanh p Ý nghĩa vật lí toán tử curl Xét điểm p Lấy mặt phẳng qua p với phương định pháp tuyến n Xét hình trịn B ( p, r ) mặt phẳng với tâm p bán kính r Ta có: r →0 | B ( p, r )| curl F ( p) · n = lim B ( p,r ) r →0 | B ( p, r )| curl F · n dA = lim ∂B ( p,r ) F · dr Vậy curl F ( p) · nthể lưu lượng ngược chiều kim đồng hồ (độ xoay) trường F phần tử diện tích quanh p mặt phẳng qua p vng góc n Ta có curl F ( p) · n đạt giá trị lớn n phương chiều với curl F ( p) Vậy curl F ( p) cho phương mặt phẳng mà độ xoay trường quanh p lớn nhất, chiều xác định chiều xoay trường theo qui tắc bàn tay phải Hơn chứng tỏ độ lớn curl F ( p) tỉ lệ với tốc độ xoay theo góc trường quanh p Từ ta có miêu tả trực quan cho curl F ( p) Tưởng tượng ta thả chong chóng vào trường, cố định điểm p tự đổi hướng tự xoay Khi hướng ổn định chong chóng hướng curl F ( p), chiều xoay chiều xoay trường, cịn vận tốc xoay chong chóng độ xoay trường quanh p Nói vắn tắt, curl F ( p) độ xoay trường F điểm p Cũng từ tích phân S curl F · dS gọi lưu lượng trường F mặt S Bài tập 3.3.6 Trường sau có bảo tồn quanh điểm miền không? curl div điểm đó? 3.3.7 Tồn hay không trường F thỏa mãn curl F ( x, y, z) = (eyz , sin( xz2 ), z5 )? 62 Tích phân mặt 0.8 0.4 -0.4 -0.8 -0.8 -0.4 0.4 0.8 3.3.8 Cho F ( x, y, z) = (− x, y, z) Cho S khối tứ diện bao mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0, x + 2y + z = Tính tích phân S F · dS hai cách: (a) Tính trực tiếp (b) Dùng Định lí Gauss-Ostrogradsky 3.3.9 Tính thơng lượng trường F ( x, y, z) = (3x, y2 , z2 ) qua mặt cầu đơn vị x2 + y2 + z2 = 3.3.10 Cho S mặt z = − x2 − y2 với z ≥ 0, định hướng lên (a) Cho trường F ( x, y, z) = (2z − y, x + z, 3x − 2y) Tính trực tiếp lưu lượng F S, tức S curl F · d S (b) Dùng định lí Stokes tính S curlF · d S (c) Cho G ( x, y, z) = (ey cos z, x2 z, y2 + z) Cho S1 đĩa x2 + y2 ≤ 9, z = 0, định hướng xuống Tính thông lượng G qua S1 , tức S1 (d) Dùng định lí Gauss-Ostrogradsky tính S ∪ S1 G · dS G · dS Tính S G · dS 3.3.11 Cho f ( x, y) hàm thực miền D ⊂ R2 bao đường cong C Kí hiệu toán tử ∂2 f ∂2 f Laplace tác động vào f ∆ f = + Kí hiệu đạo hàm theo hướng v f Dv f Kí ∂x ∂y hiệu n véctơ pháp tuyến đơn vị C Chứng minh: D ∆ f dA = C Dn f ds Chẳng hạn f miêu tả nhiệt độ ∆ f miêu tả nhiệt 3.3.12 (a) Vẽ trường vectơ x2 y3 esin(3x −y ) , cos( x2 − 3y4 + 1) ln(sin( x2 y4 ) + 2)) lân cận (−3, 4) (b) Tính div F ( x, y) curl F ( x, y) ( x, y) = (−3, 4) (xem thành phần thứ ba F 0) Kết có phù hợp với hình vẽ phần (a) khơng? 3.4 * Định lí Stokes tổng quát 63 3.4 * Định lí Stokes tổng quát Định lí Stokes cho mặt (n − 1)-chiều không gian Rn Sau trường hợp Định lí Stokes dùng phổ biến nghiên cứu phương trình vật lí tốn phương trình đạo hàm riêng ([Evans97, tr 627],[GT01, tr 13]) 3.4.1 Định lí Cho Ω tập mở bị chặn không gian Euclid Rn Giả sử biên ∂Ω thuộc lớp C1 Giả sử v vectơ pháp tuyến đơn vị ∂Ω Giả sử trường vectơ F có thành phần thuộc lớp C1 (Ω) Khi đó: Ω F · v dS div F dx = ∂Ω Trong cơng thức trên, ta nói biên ∂Ω thuộc lớp C1 có nghĩa điểm ∂Ω có lân cận vi đồng phôi với tập mở Rn Điều có nghĩa điểm ∂Ω có lân cận mà ∂Ω đồ thị hàm trơn theo (n − 1) biến Như ta thấy phần chứng minh 2.1.16 3.1.16, khái niệm tổng qt hóa khái niệm đường qui mặt qui Một hàm thực f thuộc lớp C1 (Ω) có đạo hàm riêng cấp liên tục Ω đạo hàm có mở rộng liên tục lên Ω Nói cách khác, theo 2.1.1, hàm f hàm trơn Ω Tích phân theo phần tử diện tích mặt dS định nghĩa cách tương tự tích phân đường loại tích phân mặt loại Tuy nhiên có khó khăn cần tới nhiều phép tham số hóa để phủ hồn tồn mặt Để vượt qua khó khăn người ta dùng công cụ cao cấp gọi "phân hoạch đơn vị" Sự thống công thức Newton-Leibniz, Green, Stokes GaussOstrogradsky Xem lại công thức ta có: f · dr = f ( B) − f ( A) C P dx + Q dy = D ∂D F dr = ∂S S (curl F ) · n dS = F · n ds = ∂D F · n dS = ∂E ∂Q ∂P − ∂x ∂y D curl F · dS div F dA F · dS = ∂E S dA E divF dV Ta nhận thấy thống cơng thức này: tích phân đối tượng hàm w biên ∂M đối tượng hình học M với tích phân đối tượng hàm dw liên quan tới đạo hàm đối tượng hàm w ban đầu đối tượng hình học M ban đầu: 64 Tích phân mặt (3.4.1) w= ∂M M dw Đây dạng cơng thức Stokes tổng quát Định lí Stokes cho mặt k-chiều không gian Rn Công thức 3.4.1 trường hợp sau Về mặt hình học, M mặt k-chiều, theo nghĩa điểm M có lân cận vi đồng phôi với tập mở Rk tập mở nửa Rk , điểm không thuộc loại đầu tạo thành biên ∂M Đây khái niệm đa tạp trơn (smooth manifold) k-chiều Đối tượng hàm w phức tạp Đó dạng vi phân (differential form) bậc (k − 1) Khi dw đạo hàm dạng w dạng bậc k Thế tích phân dạng vi phân mặt? Vì điểm mặt có lân cận vi đồng phôi với với tập Rk nên thơng qua phép vi đồng phơi ta mang tích phân mặt tích phân Rk cơng thức liên quan tới cơng thức đổi biến tích phân Tất nhiên miêu tả chưa đủ để người đọc hiểu cụ thể Ở người viết khơng có tham vọng mà muốn giới thiệu vài ý niệm, hy vọng người đọc tìm hiểu thêm sau Vài nét dạng vi phân Những kí hiệu dx, dy, dA, dV, dxdy, ds, dS, dr, dS, mà ta thấy xuất môn học chưa giải thích ý nghĩa rõ ràng Chúng phần tử tập hợp nào? Quan hệ chúng sao? Dạng vi phân bậc Xét không gian Rn Giả sử x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Lạm dụng kí hiệu ta xi hàm cho tọa độ thứ i x, tức ( x1, x2 , , xn ) → xi Khi ta định nghĩa dạng vi phân dxi đạo hàm hàm xi Tức dxi = dxi ! Vậy dxi hàm Rn Tại điểm x ∈ Rn , giá trị dxi ( x ) ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R, đại diện vectơ (0, 0, , 0, 1, 0, , 0) số nằm tọa độ thứ i Tổng quát hơn, f : Rn → R hàm trơn đạo hàm d f f dạng vi phân Rn Tại điểm x d f ( x ) ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R, đại diện vectơ d f (x) = ∂f ∂f ∂f ∂x1 ( x ), ∂x2 ( x ), , ∂xn ( x ) Từ ta có đẳng thức: ∂f ∂f ∂f ( x )dx1 ( x ) + ( x )dx2 ( x ) + · · · + ( x )dxn ( x ) ∂x1 ∂x2 ∂xn hay ngắn gọn hơn: df = ∂f ∂f ∂f dx + dx2 + · · · + dxn ∂x1 ∂x2 ∂xn Trong trường hợp chiều công thức là: d f = f dx 3.4 * Định lí Stokes tổng quát 65 Có lẽ khác với mơ hồ ta thấy công thức lần đầu học vi phân giáo trình tốn giải tích trung học hay năm đầu đại học, thứ công thức có nghĩa xác Ta định nghĩa dạng vi phân bậc Rn hàm cho tương ứng điểm với ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R, cho cơng thức f dx1 + f dx2 + · · · + f n dxn f , , f n hàm trơn 3.4.2 Ví dụ Trên R2 , dạng bậc cho cơng thức Pdx + Qdy P, Q hàm trơn R2 Tích dạng vi phân Người ta định nghĩa phép nhân dạng vi phân, thường kí hiệu ∧ (wedge - tích chèn), ta bỏ qua kí hiệu cho đơn giản Phép nhân dạng vi phân có tính phân phối với phép cộng Nó cịn có tính chất đặc biệt, tính phản đối xứng: dxdy = −dydx Một hệ dxdx = 3.4.3 Ví dụ Khi n = 2: Ta có dxdy dạng vi phân bậc Tại điểm p ∈ R2 , giá trị dxdy( p) ánh xạ mà tác động vào cặp vectơ u, v ∈ R2 cho det(u, v), diện tích có hướng hình bình hành sinh u v Vì có lẽ khơng ngạc nhiên ta biết kí hiệu dA dxdy: dA = dxdy 3.4.4 Ví dụ Khi n = 3: Ta có dxdydz dạng vi phân bậc Tại điểm p ∈ R3 , giá trị dxdydz( p) ánh xạ mà tác động vào vectơ u, v, w ∈ R3 cho det(u, v, w), diện tích có hướng hình bình hành sinh u, v w Kí hiệu dV dxdydz: dV = dxdydz Tổng quát hơn, p ∈ Rn dx1 dx2 · · · dxn ( p) = det, dạng thể tích dV Rn dV = dx1 dx2 · · · dxn Với ≤ i1 , i2 , , ik ≤ n dxi1 dxi2 · · · dxik dạng bậc k Tổng hai dạng bậc k dạng bậc k Tích hàm trơn với dạng bậc k dạng bậc k Ta định nghĩa dạng vi phân bậc k Rn tổng hữu hạn dạng f dxi1 dxi2 · · · dxik 3.4.5 Ví dụ Một dạng bậc R3 có cơng thức Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, P, Q, R hàm trơn R3 66 Tích phân mặt Ở chưa bàn tới dạng vi phân đường, mặt, hay tổng quát tập "k-chiều" Rn Vì ta chưa có hội giải thích dạng ds, dS, Tích phân dạng vi phân Theo định nghĩa dạng vi phân bậc n Rn tổng hữu hạn dạng f dx1 dx2 · · · dxn Rất đơn giản, ta định nghĩa tích phân dạng f dx1 dx2 · · · dxn tập D Rn tích phân bội hàm f D Định nghĩa dùng cho tập D "n-chiều" Rn Nếu tập D có số chiều k < n (ví dụ đường, mặt Rn ) cần có định nghĩa khác dành riêng cho số chiều k Như ta thấy qua tích phân đường tích phân mặt, định nghĩa dùng tới việc "kéo lui" dạng D dạng k-chiều Rk , lấy tích phân Chi tiết phức tạp, nên ta dừng lại Đạo hàm dạng vi phân Người ta định nghĩa phép đạo hàm dạng Phép tính có tính tuyến tính, nên xác định cơng thức: d( f dxi1 dxi2 · · · dxik ) = (d f )dxi1 dxi2 · · · dxik ∂f ∂f ∂f dx2 + · · · + dx + dxn dxi1 dxi2 · · · dxik ∂x1 ∂x2 ∂xn = Như đạo hàm dạng bậc k dạng bậc (k + 1) 3.4.6 Ví dụ Trên R2 xét dạng w = Pdx + Qdy Ta có dw = ∂P ∂P dx + dy dx + ∂x ∂y ∂Q ∂Q dx + dy dy = ∂x ∂y ∂Q ∂P − ∂x ∂y dxdy 3.4.7 Ví dụ Trên R3 xét dạng w = Pdx + Qdy + Rdz Ta có ∂P ∂P ∂P dx + dy + dz dx + ∂x ∂y ∂z = dw + ∂R ∂R ∂R dx + dy + dz dz ∂x ∂y ∂z ∂R ∂Q − ∂y ∂z = ∂Q ∂Q ∂Q dx + dy + dz dy + ∂x ∂y ∂z dydz + ∂P ∂R − ∂z ∂x dzdx + ∂Q ∂P − ∂x ∂y dxdy Chú ý thành phần dw thành phần curl( P, Q, R) 3.4.8 Ví dụ Trên R3 xét dạng w = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Ta có dw ∂P ∂P ∂P dx + dy + dz dydz + ∂x ∂y ∂z = + = ∂Q ∂Q ∂Q dx + dy + dz dzdx + ∂x ∂y ∂z ∂R ∂R ∂R dx + dy + dz dxdy ∂x ∂y ∂z ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z dxdydz Thành phần dạng dw div( P, Q, R) Ta có tương ứng: 3.4 * Định lí Stokes tổng quát 67 • hàm f tương ứng dạng bậc khơng f • trường F = ( P, Q, R) tương ứng dạng bậc w = Pdx + Qdy + Rdz • trường curl F tương ứng dạng bậc hai ∂R − ∂Q dydz + ∂P − ∂R dzdx + ∂y ∂z ∂z ∂x ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy • hàm div F tương ứng với dạng bậc ba ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z dxdydz Một trường bảo toàn tương ứng với dạng vi phân bậc mà đạo hàm dạng vi phân bậc 3.4.9 Ví dụ Tính d(d f ) ta được: d(d f ) = d = ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂2 f ∂2 f − ∂y∂z ∂z∂y dydz + ∂2 f ∂2 f − ∂z∂x ∂x∂z dzdx + ∂2 f ∂2 f − ∂x∂y ∂y∂x dxdy Vậy f trơn cấp hai d(d f ) = Đây khơng khác hệ thức curl( ( f )) = 3.4.10 Ví dụ Nếu ta lấy w = Pdx + Qdy + Rdz tính dw = ∂R ∂y − ∂Q ∂z dydz + d(dw) = ∂P ∂z − ∂R ∂x dzdx + ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy, tương ứng với trường curl( P, Q, R), ∂2 R ∂2 Q ∂2 P ∂2 R ∂2 Q ∂2 P − + − + − ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y dxdydz Nếu trường ( P, Q, R) trơn cấp hai d(dw) = Đây hệ thức div(curl( F )) = Tổng quát, tích hai ánh xạ đạo hàm d nối tiếp bẳng không: d2 = Bổ đề Poincaré tổng quát Ta thấy w = du dw = Điều ngược lại nội dung Bổ đề Poincaré tổng quát: Trên miền mở hình Rn , w dạng bậc k dw = tồn dạng u bậc k − cho du = w Định lí Stokes tổng quát Định lí Stokes tổng qt cho cơng thức Rn : w= ∂M M dw • Định lí Newton-Leibniz ứng với trường hợp w dạng bậc không f M tập 1-chiều R (đoạn thẳng) • Định lí Green ứng với trường hợp w dạng bậc Pdx + Qdy M tập 2-chiều R2 • Định lí Stokes ứng với trường hợp w dạng bậc Pdx + Qdy + Rdz M tập 2-chiều R3 (mặt) • Định lí Gauss-Ostrogradski ứng với trường hợp w dạng bậc hai Pdydz + Qdzdx + Rdxdy M tập 3-chiều R3 (khối) 68 Tích phân mặt Hướng dẫn đọc thêm Để trình bày chặt chẽ nội dung mơn học tổng qt hóa lên khơng gian có số chiều cao cần nghiên cứu hai lãnh vực: đa tạp vi phân (differential manifolds) (tổng quát hóa đường mặt), dạng vi phân (differential forms) (tổng quát hóa khái niệm trường vectơ) Quyển sách Spivak [Spi65] tài liệu kinh điển cho lĩnh vực Quyển sách Munkres [Mun91] xuất sau, có nội dung tương tự có nhiều chi tiết Ngồi đọc sách Guillemin Pollack [GP74] Một tài liệu khác gần tập giảng [Sja06] Một tiếp cận khác vấn đề tích phân tập khơng gian Euclid trình bày Lí thuyết độ đo hình học (Geometric Measure Theory) Có thể đọc sách nhập môn Morgan [Mor00] Bài tập 3.4.11 Đây hệ đơn giản 3.4.1 Với giả thiết Ω, ta viết v = (v1 , v2 , , ) Giả sử hàm thực f thuộc lớp C1 (Ω) Khi đó: Ω ∂f dx = ∂xi f vi dS ∂Ω 3.4.12 (Tích phân phần) Đây hệ đơn giản 3.4.11 Với giả thiết Ω, giả sử hàm thực f g thuộc lớp C1 (Ω) Khi đó: Ω ∂f g dx = ∂xi f gvi dS − ∂Ω Ω f ∂g dx ∂xi 3.4.13 (Công thức Green) Đây hệ đơn giản 3.4.1 3.4.11 Với ∂f giả thiết Ω, giả sử hàm thực f g thuộc lớp C2 (Ω) Ta viết = f · v, đạo ∂v ∂2 f n hàm f theo hướng v Nhắc lại toán tử Laplace ∆ cho ∆ f = ∑i=1 ∂x2 Khi đó: i (a) ∂f ∆ f dx = dS Ω ∂Ω ∂v (b) ∂g f · g dx = f dS − f ∆g dx Ω ∂Ω ∂v Ω (c) ∂g ∂f ( f ∆g − g∆ f ) dx = f −g dS ∂v ∂v Ω ∂Ω 3.5 Ứng dụng Định lí Stokes 69 3.5 Ứng dụng Định lí Stokes Định luật Coulomb Định luật Gauss cho điện trường Định luật Coulomb định luật Vật lí có từ thực nghiệm phát biểu sau Giả sử có hai điểm R3 mang điện tích q1 q2 Khi điện tích q1 tác động lên điện tích q2 lực q1 q2 r 4π |r |3 Trong r vectơ từ điểm mang điện tích q1 sang điện tích q2 , số Giả sử có điện tích q điểm O Do Định luật Coulomb, ta đưa định nghĩa điện trường ứng với điện tích q điểm khơng gian có vị trí cho vectơ r từ điểm mang điện tích q tới điểm xét là: E (r ) = q r 4π |r |3 Đối với môn học chúng ta, điều đáng ý định luật Coulomb điện trường có độ lớn tỉ lệ nghịch với |r |2 , thường gọi luật nghịch đảo bình phương (inverse-square law) Như ta thấy (2.2.3), trọng trường cũng cho luật Tính tốn trực tiếp, ta thấy div E = 0, điều cho trường có dạng r/|r |m (trường xuyên tâm, radial) m = Giả sử S mặt đóng, mặt biên khối D Giả sử Cơng thức Stokes áp dụng cho D Nếu D khơng chứa điểm O ta có S E · dS = D div E dV = Mặt khác S bao điểm O, nói cách khác D chứa điểm O phần lấy cầu tâm O với bán kính R đủ nhỏ cho khơng cắt S, cho biên ∂B(O, R) định hướng ngồi B(O, R) Khi S ∂B(O, R) với định hướng ngược lại tạo thành biên khối D không chứa O Áp dụng Công thức Stokes cho D ta S Suy S S E · dS − E · dS = E · dS = ∂B(O,R) ∂B(O,R) ∂B(O,R) E · dS E · dS = D div E dV = E · dS Tính trực tiếp, ta = = r q dS = |∂B(O, R)| |r | 4π R2 ∂B(O,R) q q 4πR2 = 4π R2 E· 1Định luật phát biểu lần Charles Coulomb năm 1785 2Các thí nghiệm sau kiểm chứng số m Định luật Coulomb xác sai khác khơng q × 10−16 70 Tích phân mặt q ∂B(O, R) S D Như thông lượng điện trường qua mặt đóng bao điện tích khơng phụ thuộc vào mặt tỉ lệ với điện tích bao Đây nội dung định luật phát biểu Johann Carl Friedrich Gauss Ở ta vừa trình bày Định luật Coulomb Định luật Gauss cho điện tích Trong trường hợp mơi trường chứa điện tích điểm ta có: Định luật Coulomb Định luật Gauss ρ div E = , ρ hàm mật độ điện tích S E · dS = D ρ dV = Q , D khối bao mặt S Q tổng điện tích D Rõ ràng Định luật Gauss nhận từ Định luật Coulomb cách áp dụng Định lí Gauss-Ostrogradski Ngược lại Định luật Gauss suy Định luật Coulomb Xét điểm p xét cầu đóng B ( p, r ) tâm điểm với bán kính r Theo Định luật Gauss Định lí Gauss-Ostrogradski: B ( p,r ) ρ dV = ∂B ( p,r ) E · dS = B ( p,r ) div E dV Chia hai vế cho thể tích cầu B ( p, r ) lấy giới hạn r → 0, dùng tính chất giới hạn giá trị trung bình hàm liên tục 3.3.5 ta ρ( p) = div E( p) Tuy nhiên Định luật Gauss kiểm chứng thí nghiệm dễ Định luật Coulomb, Định luật Gauss có tính vĩ mơ Định luật Coulomb nói điểm 3Trong tài liệu Vật lí Định luật Gauss phát biểu mà khơng kèm theo điều kiện tính trơn mặt hàm công thức! Điều minh họa khác biệt ngành Tốn ngành Lí 3.5 Ứng dụng Định lí Stokes 71 Định luật Coulomb cho mơi trường mang điện liên tục nhận cách túy toán học từ Định luật Coulomb cho điện tích cách lấy tích phân dùng hàm Dirac, hàm suy rộng Các phương trình Maxwell điện từ Không lâu sau sau hai định luật Coulomb Gauss, thập kỉ 1820, André Marie Ampère phát dịng điện tạo quanh từ trường theo định luật: C B · dr = µ0 I, C đường cong kín bao quanh dịng điện có cường độ khơng đổi I, B từ trường, µ0 số Năm 1831 Michael Faraday phát từ trường thay đổi theo thời gian tới lượt lại tạo điện trường Định luật Faraday cho công thức: E · dr = − ∂S d dt S B · dS Năm 1864, James Clerk Maxwell phát triển Định luật Ampère thống điện trường với từ trường: Các phương trình Maxwell Dạng vi phân Dạng tích phân (1) (Coulomb) div E = ρ (Gauss) S E · dS = Q , với S mặt đóng (2) curl E = − ∂B ∂t (Faraday) ∂S (3) div B = d E · dr = − dt S S B · dS B · dS = 0, với S mặt đóng (4) (Ampère) µ0 curl B = J + mật độ dịng điện µ0 ∂E ∂t , với J I + ∂S d dt B · dS = S E · dS, với I cường độ dòng điện qua mặt S Giống tương đương Định luật Coulomb Định luật Gauss, dạng vi phân dạng tích phân phương trình Maxwell tương đương với nhau, thơng qua Định lí Stokes Định lí Gauss-Ostrogradski Bằng thí nghiệm, Maxwell phát µ0 = c2 , bình phương vận tốc ánh sáng chân khơng Các phương trình Maxwell với định luật Newton tổng kết toàn Vật lí cổ điển Chẳng lí thuyết Maxwell ứng dụng thực tế với việc phát minh sóng điện từ Heinrich Hertz năm 1887 Giải hệ phương trình Maxwell Để đơn giản ta giải hệ phương trình Maxwell trường hợp đặc biệt điện trường từ trường không đổi theo thời = ∂B = Ta cho ρ J ∂t Từ phương trình (2), curl E = R3 nên E = ψ với ψ hàm thực xác định sai khác số (đây Bổ đề Poincaré 2.3.3 cho không gian chiều) gian Vậy ∂E ∂t 72 Tích phân mặt Phương trình (1) trở thành div( ψ) = ∆, nên ta có phương trình ∆ψ = ρ ρ Vì div( ) tốn tử Laplace Đây phương trình đạo hàm riêng cấp hai, gọi phương trình Poisson Từ phương trình (3), div B = nên B = curl A, với A trường xác định sai khác lượng φ với φ hàm thực (đây hệ dạng tổng quát Bổ đề Poincaré) Thay vào phương trình (4) ta c2 curl(curl A) = J Bây dùng công thức 3.2.8: curl(curl A) = c2 ( (div A) − ∆A) = (div A) − ∆A, ta J Bây ta thêm ràng buộc div A = 0, phương trình trở thành ∆A = −J 0c Trong trường hợp tổng quát điện trường từ trường thay đổi theo thời gian cách tương tự ta phương trình sóng có xuất đạo hàm theo thời gian ([Feynman64, Chương 18]) Những phương trình đối tượng nghiên cứu ngành Phương trình đạo hàm riêng, ngành lớn Toán học Tài liệu tham khảo [Áng97] Đặng Đình Áng, Lý thuyết tích phân, Nhà Xuất Bản Giáo Dục, 1997 31 [Apo69] Tom M Apostol, Calculus, vol 2, John Wiley and Sons, 1969 [Arn89] V I Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, 2nd ed., Springer, 1989 [Buc78] R Greighton Buck, Advanced calculus, 3rd ed., McGraw-Hill, 1978 [Evans97] Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., AMS, 1997 63 [Feynman64] Feynman, Richard P., Robert B Leighton, Mathew Sands, The Feynman’s lectures in Physics, vol 2, Addison-Wesley, 1964 72 [GT01] David Gilbarg and Neil S Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, [GP74] Victor Guillemin and Alan Pollack, Differential topology, Prentice-Hall, 1974 68 Springer, 2001 63 [Hop07] Nguyễn Thừa Hợp, Giải tích, tập 3, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007 [Kap02] Wilfred Kaplan, Advanced calculus, 5th ed., Addison-Wesley, 2002 [Kel29] Oliver Dimon Kellogg, Foundations of potential theory, Springer, 1929 47 [Khue10] Nguyễn Văn Kh, Lê Mậu Hải, Giải tích tốn học, tập 2, Nhà Xuất Bản Đại học Sư phạm [Lan97] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997, a revision of Analysis I, [LDP02] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng, Giải tích hàm nhiều biến, Nhà Xuất [Mor00] Frank Morgan, Geometric measure theory: A beginner’s guide, Academic Press, 2000 68 Hà Nội, 2010 Addison-Wesley, 1968 26 Bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 [MT03] Jerrold E Marsden and Anthony J Tromba, Vector calculus, Freeman, 2003 [Mun91] James Munkres, Analysis on manifolds, Addison-Wesley, 1991 26, 68 [Mun00] , Topology a first course, 2nd ed., Prentice-Hall, 2000 53 [PTTT02] Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Cơng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình [Rat94] John G Ratcliffe, Foundations of hyperbolic manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol [Rud76] Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 26 giải tích - hàm nhiều biến, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2002 149, Springer-Verlag, 1994 31 [Rud86] , Real and complex analysis, 3rd ed., McGraw Hill, 1986 [Shi05] Theodore Shifrin, Multivariable mathematics, John Wiley & Sons, 2005 [Sja06] Reyer Sjamaar, Manifolds and differential forms, 2006, Cornell University 68 [Spi65] Michael Spivak, Calculus on manifolds, Addison-Wesley, 1965 24, 26, 68 [Ste08] James Stewart, Calculus: Early transcendentals, 6th ed., Brooks/Cole, 2008 ii, 26, 34 [Sti92] John Stillwell, Geometry of surfaces, Universitext, Springer, 1992 31 73 Chỉ mục Động năng, 41 phép chia, Định lí hàm ngược, 22 khoảng con, đồng phôi, 36 mịn hóa chung, mịn hơn, độ đo khơng, Poincaré Lemma, 43, 44 độc lập với đường đi, 40 định hướng, 38 tích phân, đường đi, 31 tích phân đường đóng, 31 loại hai, 34 đơn, 31 loại một, 33 định hướng, 38 tích phân lặp, 12 qui, 32 tích phân mặt loại 1, 46 hàm chiều dài, 39 tích phân mặt loại 2, 46 tham số hóa lại theo chiều dài, 39 tổng dưới, trái định hướng, 38 tổng Riemann, trơn, 31 tổng trên, vết, 31 Thế năng, 41 đường cong, 36 thơng lượng, 46 hướng tiếp tuyến, 38 Thể tích, 16 thể tích khơng, bảo tồn, 40 trơn, 22, 31 hầu khắp, vi đồng phơi, 22 hình hộp, vi đồng phơi đảo ngược định hướng, 47 thể tích, vi đồng phơi bải tồn định hướng, 47 hình hộp con, hình sao, 43 hàm thế, 40 hướng, 38 khả tích, khả vi liên tục, 22, 31 mặt, 45 đơn, 45 qui, 45 trơn, 45 vết, 45 ma trận Jacobi, 22 miền, 15 75 ... = and x2 + y2 = 1.4.20 Cho tích phân lặp 1 x e x/y dy dx (a) Viết lại tích phân dạng tích phân bội (b) Tính tích phân cách đổi thứ tự tích phân lặp 1.4.21 Tính tích phân D y dA D miền góc phần... ) Do F1 khả tích F3 khả tích tích phân chúng 16 Tích phân bội 1.4.1 Thể tích miền tổng quát Ta định nghĩa thể tích thơng qua tích phân 1.4.3 Định nghĩa Cho D tập bị chặn Rn Thể tích (n chiều)... Mục lục Chương Tích phân bội 1.1 Tích phân hình hộp 1.2 Sự khả tích 1.3 Định lí Fubini 12 1.4 Tích phân tập tổng qt 15 1.5 Cơng thức đổi biến 23 Chương Tích phân đường 33 2.1 Tích phân đường 33

Ngày đăng: 27/06/2014, 02:20

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Chng 1. Tích phân bội

    • 1.1. Tích phân trên hình hộp

    • 1.2. Sự khả tích

    • 1.3. Định lí Fubini

    • 1.4. Tích phân trên tập tổng quát

    • 1.5. Công thức đổi biến

    • Chng 2. Tích phân đường

      • 2.1. Tích phân đường

      • 2.2. Định lí cơ bản của tích phân đường

      • 2.3. Định lí Green

      • Chng 3. Tích phân mặt

        • 3.1. Tích phân mặt

        • 3.2. Định lí Stokes

        • 3.3. Định lí Gauss-Ostrogradsky

        • 3.4. * Định lí Stokes tổng quát

        • 3.5. Ứng dụng của Định lí Stokes

        • Tài lịu tham khao

        • Chi mục

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan