Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 ĐỀ TÀI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn : Sinh viên thực hiện : Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 BÀI THẢO LUẬN NHÓM 11 Môn Toán cao cấp Đề tài: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Nội dung bài hảo luận gồm có các nội dung chính như sau: A/ Sai phân và PT sai phân 1. Lưới thời gian và sai phân 2. Phương trình sai phân B/ Ứng dụng của PTSP 1. Ứng dụng trong tìm công thức tổng quát của dãy số 2. Ứng dụng của PTSP trong tính tổng của một dãy số 3.Ứng dụng của PTSP trong kinh tế 4. Một số ứng dụng khác của sai phân Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 Nội dung chi tiết: A/ Sai phân và phương trình sai phân 11.1.1. Lưới thời gian và sai phân a) Lưới và bước lưới Cho điểm t 0 trên trục thực và khoảng cách h>0. Tập các điểm trên trục thực: I := {t0 = nh : n ∈ Z } là một tập rời rạc, gồm các điểm cách điều nhau một khoảng cách là h, bắt đầu từ h 0 . Ta gọi I là một lưới thời gian với bước lưới là h. b) Sai phân GIả sử y(t) là một hàm trên lưới I; t ∈ I. Khi đó : ∆ Y(t) := y(t+h) – y(t) gọi là sai phân cấp một của hàm y(.) tại điểm t. ∆ 2 y(t) := ∆ ( ∆ y(t)) := [y(t+2h)-y(t+h)] - [y(t+h) – y(t)] := y(t+2h) – 2y(t+h) + y(t). gọi là sai phân cấp hai. Tương tự ta có k ∆ y(t) := ∆ ( 1 + ∆ k y(t)) := ∑ = = − ki oi i )1( C i k y(t+ih) gọi là sai phân cấp k. Ý nghĩa: -Giả sử y(t) là một hàm khả vi trên R. Khi h>0 là một khoảng thời gian đủ nhỏ thì ta có xấp xỷ: Y(t+h) – y(t) ≅ y’(t)h Như vậy với hàm số khả vi khi bước lưới là bé thì sai phân có thể coi là xấp xỷ tích của đạo hàm và độ dài bước lưới. -Giả sử y(n) là một hàm trên lưới Z. ta cũng dùng ký hiệu y(.) : Z → R : n  y(n) hoặc y(.) : Z → R : n  y n giá trị của hàm y(.) tại bước n ∈ Z được ký hiệu là y(n) hoặc y n . như vậy, trên lưới Z theo các định nghĩa ở trên, ta có : ∆ y(n) =y(n+1) – y(n) Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 2 ∆ y(n) = ∆∆( y(n)) = [ ] )1()2( +−+ nyny - [ ] )()1( nyny −+ = y(n+2) –2 y(n+1) + y(n) k ∆ y(n) = 1 ( − ∆∆ k y(n)) = ∑ = = − ki i i k i c 0 )1( y(n+k-i) Từ nay, để đơn giản khi trình bày, ta luôn lấy t 0 = 0 và h = 1 ( h=1 là đơn bị thời gian, chẳng hạn một giây, một giờ ) Trong trường hợp này ta có I ≡ Z := {0; 2;1 ±± ; }. Biến độc lập, theo truyền thống ta kí hiệu là n. c) Tính chất của sai phân 1) C ∆ = 0 ( C hằng số) 2) k ∆ [ α y(n) + β y(n)] = k ∆ α y(n) + k ∆ β ( α , β ∈ R) 3) k ∆ n m = 0 khi k > m Đa thức bậc m-k khi k ≤ m 4) )()1()( 11 MyNyny k N Mn kk − = − ∆−+∆=∆ ∑ (k = 1, 2, 3 … ) Hệ quả: ∑ = ∆ N Mn k y(n) = y(N + 1) –y(M) 11.1.2 Phương trình sai phân ( PTSP) Định nghĩa 11.1 Giả sử y(n) là một hàm đối số nguyên, chưa biết, cần tìm từ đẳng thức. Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 F(n, k ∆ y(n), 1− ∆ k y(n), , ∆ y(n), y(n)) = 0 (11.1) Trong đó không được khuyết k ∆ y(n). Khi đó đẳng thức trên được gọi là một phương trình sai phân cấp k. Từ định nghĩa sai phân ta thấy phương trình (11.1) có thể viết dưới dạng tương đương như sau : F 1 (n, y(n+k), y(n+k-1), ,y(n+1), y(n) = 0 (11.2) Trường hợp đặc biệt, ta được phương trình sau : Y(n+k) = f(n, y(n+k-1), y(n+k-2), ,y(n+1),y(n)) (11.3) được gọi là một phương trình sai phân cấp k dạng chính tắc. Nghiệm Giả sử ta xét bải toán trên tập n ∈ J ⊆ Z + := {0;1;2; ). Mọi hàm số đối số nguyên mà khi thay vào phương trình được đẳng thức đúng với mọt n ∈ J đều gọi là nghiệm của phương trình sai phân đó ( trên J). Điều kiện ban đầu Cho một giá trị bất kì n 0 ∈ Z + và một bộ k giá trị thực tùy ý ( yyy k 0 1 0 1 0 0 ; ;; − ). Nghiệm y(.) của phương trình sai phân, sao cho: Y(n 0 = y 0 0 Y(n 0 +1) = y 0 1 (11.4) Y(n 0 +k -1) = y 0 1 − k gọi là nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu (11.4). Để đơn giản, nếu không nói gì thêm, ta mặc định m 0 = 0 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng Trng i hc Thng mi Nhúm 11 nh ngha 11.2: Gii phng trỡnh sai phõn cp k, c kt qu l mt ng thc tng ng dng y(n) = (n, C 1, C 2 , C k ) (11.5) trong ú C 1 , C 2 , ,C k l k hng s t do, khi ú (11.5) gi l nghim tng quỏt ca phng trỡnh sai phõn ú. Thay mt b giỏ tr hng s c th vo nghim tng quỏt , ta c ng thc: y(n) = (n, CCC k 00 2 0 1 , ,, ) ng thc ny c gi l mt nghim riờng. Thụng thng, nghim riờng c xỏc nh theo iu kin ban u. 11.2 Phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất. Phơng trình dới đây gọi là phơng trình sai phân tuyến tính ( PTSPTT) cấp k. a k y(n +k) +a k-1 y(n+k-1)++a 1 y(n+1)+a 0 y(n) = f(n) (a k a 0 0) (11.6) Nếu tồn tại n sao cho f(n) 0 thì phơng trình gọi là không thuần nhất. Nếu f(n) = 0 thì phơng trình sau đaay là phơng rtình thuần nhất tơng ứng của (11.6) a k y(n +k) +a k-1 y(n+k-1)++a 1 y(n+1)+a 0 y(n) = 0 (11.7) Nếu có hệ só a i phụ thuộc vào n thì nói phơng trình có hệ số biến thiên. Trờng hợp ngợc lại, khi mọi hệ số a i đều không phụ thuộc và n thì nói phơng trình có hệ số hằng. Tính chất tập nghiệm của phơng trình tuyến tính thuần nhất. Mệnh đề 11.1 1) Nếu y 1 (n) là các nghiệm của (11.7) thì với mọi cấp số thực , hàm y(n) = y 1 (n) + y 2 (n) cũng là nghiệm của (11.7) 2) Nếu y 1 (n), y 2 (n),,y k (n) là k nghiệm độc lập tuyến tính của (11.7) thì = C 1 y 1 (n) + C 2 y 2 (n) ++ C k y k (n) Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 Trong ®ã C 1 ,C 2 , ,C n lµ c¸c h»ng sè tuú ý, lµ nghiÖm tæng qu¸t cña (11.7) Ngoµi ra, ta dÔ thÊy ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt lu«n cã nghiÖm tÇm thêng y(n) = 0. 11.2.1 Ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 vµ hÖ sè h»ng. 1. Phương trình thuần nhất * Dạng tổng quát: ay(n + 1) + by(n) = 0 (*) Với a, b là hằng số ≠ 0 * Cách giải: Cách 1: Xét phương trình đặc trưng: aλ + b = 0  λ = -b/a  Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: Y(n) = c(-b/a) n Cách 2: Truy hồi VD: y(n + 1) – 3y(n) = 0 (1) - Cách 1: Xét phương trình đặc trưng của (1) là λ – 3 = 0 =>λ = 3 => Nghiệm tổng quát của (1) là: y(n) = C. 3 n - Cách 2: Truy hồi: y(n) ≠ 0 √ n, y(n + 1) = 3y(n) Ta có: y(1) = 3y(0) Y(2) = 3y(1) …………. Y(n) = 3y(n-1) Nhân vế với vế ta có: y(n) = y(0) * 3 n Đặt y(0) = C => y(n) = C. 3 n 2. Phương trình không thuần nhất: * Dạng tổng quát: ay(n + 1) +by(n) = f(n) (a.b ≠ 0; f(n) ≠ 0) • Cách giải: Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 - Cách 1: Phương pháp chọn Bước 1: Giải phương trình thuần nhất ay(n+1) +by(n) = 0 Ta tìm được nghiệm tổng quát y(n) = (-b/a) n .c Bước 2: Tìm nghiệm riêng ü(n) của 1 Trường hợp 1: Cho hàm f(n) = α n .P m (n) Với P m (n) là đa thức bậc m của n + Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nghĩa là α ≠ -b/a. Nghiệm riêng của (1) có thể tìm dưới dạng: ü(n) = α n . Q m (n) Trong đó Q m (n) là một đa thức bậc m có hệ số chưa biết và có thể tìm bằng phương pháp hệ số bất định + Nếu α là nghiệm của phương trình đặc trưng thì tìm nghiệm riêng ở dạng: ü(n) = n. α n . Q m (n) Trường hợp 2: Cho hàm f(n) = α n . [ P m (n)cos(nβ) + Q l (n).sin(nβ) ] Nghiệm riêng có thể tìm dưới dạng ü(n) = α n . [ P h (n)cos(nβ) + Q h (n).sin(nβ) ] Trong đó h = max(l,m) Cách giải 2: Phương pháp biến thiên hằng số: Bước 1: Giải phương trình thuần nhất ay(n+1) +by(n) = 0 Ta tìm được nghiệm tổng quát y(n) = (-b/a) n .c Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình thuần nhất bằng biến thiên hằng số Coi C = C(n) khi đó: Y(n) = C(n). (-b/a) n  y(n+1) = C(n+1). (-b/a) n+1 Thay vào phương trình Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 Ay(n + 1) +by(n) = f(n) ta được: a.C(n+1).(-b/a) n+1 + b.C(n).(-b/a) n = f(n)  C(n+1) – C(n) = (-1/b).(-a/b) n .f(n) Đây là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng đối với C(n) ta có thể giải bằng các cách đã biết C(1) – C(0) = (-1/b). f(0).(-a/b) 0 C(2) – C(1) = (-1/b). f(1). (-a/b) 1 ………………… C(n) – C(n-1) = (-1/b). f(n-1). (-a/b) n-1 Cộng theo từng vế ta được: n-1 C(n) – C(0) = (-1/b). ∑ f(i). (-a/b) i i=0 Lấy hằng số tự do là C(0) = C ta được n-1 C(n) = C +(-1/b). ∑ f(i). (-a/b) i i=0 Thay vào y(n) ta được nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là n-1 Y(n) = (-b/a) n .[ C +(-1/b). ∑ f(i). (-a/b) I ] i=0 Ví dụ: Giải phương trình: y(n+1) – 5y(n) = 5 n (n + 3) Cách giải 1: Bước 1: Xét phương trình thuần nhất y(n+1) – 5y(n) = 0 Xét phương trình đặc trưng: λ – 5 = 0  λ = 5  y(n) = C.5 n Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 Bước 2: Ta có: f(n) = 5 n (n+3) α=5 là nghiệm của phương trình đặc trưng Vậy ü(n) = n5 n .(An+B)  ü(n+1) = (n+1)5 n+1 (An +A + B). Thay vào phương trình ban đầu ta được: (n+1)5 n+1 (An + A + B) - 5n5 n .(An+B) = 5 n (n + 3)  5(n+1)(An + A +B) – 5n(An + B) = n+3  10An + 5(A + B) = n+3  10A = 1 và 5(A + B) = 3  A=1/10 và B = ½  ü(n) = n.5 n (n/10 + 1/2)  Nghiệm của phương trình là y(n) = C.5 n + n.5 n (n + 5)/10 Cách giải 2: Xét phương trình thuần nhất y(n+1) – 5y(n) = 0 Xét phương trình đặc trưng: λ – 5 = 0  λ = 5  y(n) = C.5 n Coi C = C(n) ta có: C(n+1) 5 n+1 - 5.5 n .C(n) = 5 n (n+3)  C(n+1) – C(n) = 5 -1 (n+3) C(1) – C(0) = 5 -1 (0+3) C(2) – C(1) = 5 -1 (1+3) ………… C(n) – C(n-1) = 5 -1 (n-1+3) Cộng vế với vế ta được: C(n) – C(0) = 5 -1 (3+4+5+…+n+2) = (n 2 + 5n)/10 Đặt C = C(0) [...]... tổng quát của phơng trình thuần nhất để tránh nhầm lẫn về sau Ta cũng có thể viết nghiệm tổng quát đơn giản là y(n) 11.2.2 Phơng trình tuyến tính thuần nhất cấp 2 hệ số hằng Xét phơng trình sau với a, b, c là các hằng số và ac 0 ay(n+2) + by(n+1) +cy(n) = 0 (11.9) Phơng trình nghiệm phức sau đây gọi là phơng trình đặc trng của (11.9) a + b + c = 0 (ac 0 ) Mệnh đề 11.3 1) Nếu phơng trình đặc trng (11.10)... sao cho: a) f ( x ) = 2 f '( x ) x R b) f ( x ) = 2 f '( x ) + x (x R ) c) f ( x) = 2 f '( x) + e x ( x R) d) f ( x ) = 2 f '( x ) + cosx (x R ) e) f ( x ) = 2 f '( x ) + x 2 + 3x ( x R ) Gii: a) Ta ó bit nu hm s g(x) cú g '( x ) = 0x ( a; b) thỡ g ( x) = Cx ( a; b) - C l hng s Gi thit f ( x ) 2 f '( x ) = 0x R Ta li cú ( e ax f ( x ) )' = ae ax f ( x ) + e ax f '( x ) = ae ax ( f ( x ) +... trong vic mụ t quỏ trỡnh tớnh sai phõn Sai phõn bc nht: DYt = Yt - Yt - 1 S dng toỏn t dch chuyn lựi, cú th vit li nh sau DYt = Yt - LYt = (1 - L)Yt Lu ý rng sai phõn bc nht c biu din bi (1 - L) Tng t, nu tớnh sai phõn bc hai (ngha l, sai phõn bc nht ca sai phõn bc nht), thỡ: Sai phõn bc hai Trng i hc Thng mi Nhúm 11 D2Yt = DYt - DYt -1 = (1 - 2L + L2) Yt = (1 - L)2Yt Lu ý sai phõn bc hai c ký hiu l (1... chỉ xét phơng trình sau: Y(n+1) = a(n)y(n) (a(n) 0, n ) (11.16) Gán cho n lần lợt các giá trị ta 0, 1, 2, , n-1, ta đợc: y(1) = a(0)y(0) y(2) = a(1)y(1) y(n) = a(n-1)y(n-1) Nhân theo từng vế là lấy hằng số tự do là C = y(n) ta đợc nghiệm tổng quát của phơng trình (11.16) là : (n) = C Chú ý : 1)Nếu trong phơng trình (11.16) a(n) 0 bắt đầu n0 trở đI thì ta lấy C = y(n0) và bắt đầu tính các giá trị liên... - 2L + L2) Yt = (1 - L)2Yt Lu ý sai phõn bc hai c ký hiu l (1 - L)2 (iu quan trng l phi nhn thy c sai phõn bc hai khụng phi l sai phõn th hai, c ký hiu l 1 L2 Tng t, sai phõn th mi hai s l 1 - L12, nhng sai phõn bc mi hai s l (1 - L)12) Mc ớch ca vic ly sai phõn l t c trng thỏi dng, v tng quỏt nu ly sai phõn bc th d s t c dng, DdYt = (1 - L)dYt l chui dng Mụ hỡnh ARIMA m rng bao gm cỏc yu t thi v... B/ ng dng ca PT sai phõn I.ng dng ca PTSP trong tỡm CTTQ ca dóy s Vn sai phõn v ng dng ca sai phõn gii toỏn dóy s cng nh gii toỏn núi chung ó c nhiu ngi quan tõm, cho dự mc cng nh dng loi cng cú phn khỏc nhau Sai phõn v ng dng ca sai phõn l phn rt quan trng nú khụng nhng gúp phn gii quyt cỏc bi toỏn dóy s m cũn giỳp gii mt s bi toỏn khỏc nh: phng trỡnh hm, a thc, bt ng thc V bn cht sai phõn l tỡm... + e ax f '( x ) = ae ax ( f ( x ) + Chn a = (e 1 x 2 1 2 1 f '( x )) a suy ra gi thit tr thnh f ( x ) )' = 0 x R e 1 x 2 1 x 2 f ( x) = C f ( x ) = Ce (C l hng s bt k ) b)Ta ỏp dng sai phõn: Tỡm mt hm g(x) = ax+b sao cho g(x) - 2 g'(x) = x( x R ) D dng tỡm c g(x) = x+2 Khi ú theo gi thit ta cú f ( x ) g ( x ) = 2 ( f '( x ) g '( x ) ) x R Theo cõu a) ta cú 1 x 2 1 x 2 f ( x ) g ( x )... trong đó 0; i = r( i ) thì nghiệm tổng quát của (11.9) là : (n) = (C1 + C2 ) ở đây C1,C2 là các hằng số tùy ý 11.2.3 Phơng trình tuyến tính thuần nhất cấp k hệ số hằng Xét phơng trình sau với a0a1,ak là các hằng số với aoak 0: aky(n +k) +ak-1y(n+k-1)++a1y(n+1)+a0y(n) = 0 (11.12) Trng i hc Thng mi Nhúm 11 Phơng trình nghiệm phức sau(11.13) 11.2.4 PTSPTT cấp 1 hệ số biến thiên a Phng trỡnh thun nht Dng:... Thng mi Nhúm 11 Th li tho món e) Ta phi tỡm hai hm s: g(x) = ax 2 + bx + c h(x) = d 3x sao cho g(x) - 2g'(x) = x 2 ( x R ) sao cho h( x ) 2h '( x ) = 3x ( x R ) 3x Gii ra ta c g ( x ) = x + 4 x + 8 ; h( x ) = Khi ú gi thit tr thnh: 1 2ln 3 2 f ( x ) g ( x ) h( x ) = 2 ( f '( x ) g '( x) h '( x) ) x R Theo cõu a) ta cú: 1 x 2 1 x 3x 2 2 f ( x ) g ( x ) h( x ) = Ce x R hay f ( x ) = Ce... dóy s { U n } : U = 1 Vi iu kin Un khỏc 0 thỡ n+1 aU + b n Vn ta cú th t V1 = 1;U n = ; T gi thit s suy ra c Vn + 2 = aVn+1 + bVn Gii Vn +1 phng trỡnh sai phõn cp II ny suy c Un 4 )Sai phõn cp II suy rng: Tng t sai phõn cp I , ta xột cỏc phng trỡnh sai phõn dng: aU n+ 2 + bU n+1 + cU n = f (n ) ; trong ú hm cosn, sinn f ( n) l hm a thc ca n, hm m ca n, Ta cú th thy phng phỏp thụng qua vớ d c th: Vớ . SAI PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Nội dung bài hảo luận gồm có các nội dung chính như sau: A/ Sai phân và PT sai phân 1. Lưới thời gian và sai phân 2. Phương trình sai phân B/ Ứng dụng của PTSP 1. Ứng. 11 ĐỀ TÀI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn : Sinh viên thực hiện : Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 BÀI THẢO LUẬN NHÓM 11 Môn Toán cao cấp Đề tài: PHƯƠNG TRÌNH SAI. Nội dung chi tiết: A/ Sai phân và phương trình sai phân 11.1.1. Lưới thời gian và sai phân a) Lưới và bước lưới Cho điểm t 0 trên trục thực và khoảng cách h>0. Tập các điểm trên trục thực: