Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân Chương IV NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài 1 Nguyên Hàm A.Tóm Tắt Lý Thuyết: 1.Đònh nghóa nguyên hàm: Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu ' F (x)= f(x) ( ; )x a b∀ ∈ Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên [ ] ;a b ' ' '( ) ( ); ( ; ) ( ) ( ); ( ) ( ) F x f x x a b F a f a F b f b + − = ∀ ∈  ⇔  = =  2.Đònh lý: * Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) thì F(x)+C cũng là một nguyên hàm củaf(x) trên (a;b) c∀ (hằng số) . * Cho F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì tồn tại hằng số C sao cho: ( ) ( ) ; ( ; )F x G x C x a b= + ∀ ∈ . ⇒ Mọi nguyên hàm F(x) của f(x) trên (a;b) đều có thể viết dưới dạng :F(x)+C với C là hằng số; Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là ( )f x dx ∫ ,đọc là tích phân bất đònh của f(x) hay là họ các nguyên hàm của f(x). Vậy ( ) ( )f x dx F x C= + ∫ ,trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) và C là hằng số tuỳ ý. 3.Các tính chất của nguyên hàm: ' ) ( ( ) ) ) . ( ) . ( ) ; 0 a f x dx b a f x dx a f x dx a= ≠ ∫ ∫ ∫ [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;( ( )) c f x g x dx f x dx g x dx d f t dt F t C f u du F u C u u x + = + = + ⇒ = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4.Mọi hàm số liên tục trên đoạn [ ] ;a b đều có nguyên hàm trên đoạn đó . 5. Bảng các nguyên hàm : 1 ( 1) 1 ln (0 1) ln x x x x dx x c x x dx c dx x c x e dx e c a a dx c a a α α α α + = + = + ≠ − + = + = + = + < ≠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 sin sin (1 ) (1 ) sin cosxdx x c xdx cosx c dx tg x dx tgx c cos x dx cotg x dx cotgx c x = + = − + + = = + + = = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 ( 1) 1 ln (0 1) ln u u u u du u c u u dx c dx u c u e dx e c a a dx c a a α α α α + = + = + ≠ − + = + = + = + < ≠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 cos sin sin cos (1 ) (1 ) cot sin udu u c udu u c du tg u du tgu c cos u du cotg u du gu c u = + = − + + = = + + = = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: TRẦN HỮU QUYỀN - 1 - Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân 3 5 2 2 2 2 2 3 3 1) ( 4 ) 2 1 2) ( 1) 3) 4) (1 2 ) x x dx x x dx x x dx x x dx − + + + − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 5) (2 ) 6) 2 7) 1 8) (2 ) x x x x x x x x e e dx e dx e dx e e e dx cos x − − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ 20 1 2 2 4 10) (2 1) 11) (1 ) 12) ( ) ;( 0) (ln ) 13) x dx x xdx cos ax b dx a x dx x + + + ≠ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 14) 15) 16) sin 17) cot cosx tgxdx x dx x a e xdx gxdx + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 3 4 3 1) 1 2) (5 ) 3) ( ) sin 4 ( ) sin x x dx x x dx tgx tg x dx x cosx dx x cosx +   −   + − + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 5) ( 1). 2 5 3 4ln 6) 7) 8) x x x dx x dx x cos xdx sin xdx + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 3 3 9) 10) sin 11) sin 7 2 12) 7 3 13) sin 7 sin 4 cos xdx xdx xcos xdx cos xcos xdx x xdx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ sin 14) 1 3 2 15) sin . 16) 1 3sin 17) ( ln ) x dx cosx cos x dx x cosx cosx dx x dx x x x + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài tập3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 3 4 3 1) sin .cos 2) cos .sin cos 3) sin sin 4) cos x xdx x xdx x dx x x dx x ∫ ∫ ∫ ∫ 3 2 2 2 2 1 2 5) sin 6) .sin 7) 8) 1 3 cosx x x x cosx dx x e xdx x e dx e dx e − − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 3 3 2 3 3 2 9) . 10) 8 11) 1 11) 1 x x e dx x x dx x dx x x dx x − − + − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 1 ln 12) 13) . 1 4sin 1 sin 2 14) sin 1 2sin 15) x dx x cosx xdx x dx x x dx cos x + + + − ∫ ∫ ∫ ∫ Bài tập4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 2 2 2 1) 25 2) 25 2 3) 2 3 2 3 4 4) 4 dx x xdx x xdx x x x dx x − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 3 2 5) ( 1) 6) ( 1)(2 1) 2 41 91 7) ( 1)( 12) 3 2 3 8) dx x x xdx x x x x dx x x x x x dx x x + + + + − − − − + − − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9) 10) 4 11) 12) 9 13) a x dx x x dx dx x a dx x dx a x − − + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 14) 2 15) 4 1 16) 1 17) dx x x dx x x dx x x dx x − + − − + ∫ ∫ ∫ ∫ TRẦN HỮU QUYỀN - 2 - Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân Bài 2: TÍCH PHÂN A.Tóm tắt lý thuyết : 1.Đònh nghóa tích phân :( SGK) Ký hiệu : ( ) ( ) ( ) ( ). b b a a f x dx F x F b F a= = − ∫ (công thức Newton-leibnitz) 2) Các tính chất của tích phân: [ ] ) ( ) 0 ) ( ) ( ) ) . ( ) ( ) , ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a b a a b b b a a b b b a a a a f x dx b f x dx f x dx c k f x dx k f x dx k R d f x g x dx f x dx g x dx = = − = ∈ ± = ± ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ] [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) 0, , ( ) 0 ) ( ) ( ), , ( ) ( ) ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) c b c a a b b a b b a a b a e f x dx f x dx f x dx f f x x a b f x dx g f x g x x a b f x dx g x dx h m f x M x a b m b a f x dx M b a = + ≥ ∀ ∈ ⇒ ≥ ≥ ∀ ∈ ⇒ ≥ ≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ − ≤ ≤ − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài tập 1: Tính các tích phân sau: 16 1 1 1 1) 2) e e xdx dx x ∫ ∫ 2 1 2 1 3 2 2 3 1 1 1 3) 2 4) 2 5 7 5) e dx x x x dx x x x dx x − + − ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 6) 3 5 7) sin 2 sin 7 cos xcos xdx x xdx π π π π − − ∫ ∫ 2 2 1 0 2 2 1 8) sin 2 9) 1 10) 2 xcosxdx x dx x x dx x π π − + + ∫ ∫ ∫ 1 3 0 3 2 0 4 0 11) (2 1) 4sin 12) 1 13) x dx x x dx cosx cos xdx π π + + ∫ ∫ ∫ CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN SỐ: Ta có thể sử dụng các kết quả sau đây để giải thì nhanh hơn là dùng phương pháp đổi biến số . ( ) ( ) '( ). '( ) ln ( ) ( ) u x u x u x e dx e C u x dx u x C u x = + = + ∫ ∫ [ ] [ ] '( ) ( ) 2 ( ) '( ). ( ) sin ( ) u x dx u x C u x u x cos u x d u x C = + = + ∫ ∫ [ ] [ ] '( ).sin ( ) ( ) 1 ax ax u x u x d cos u x C e dx e C a = − + = + ∫ ∫ BÀI TẬP2 :(đổi biến dạng 1) 2 1 0 1 3 1 0 1 0 1) . 2) 3) 1 x x e xdx e dx dx x − + + ∫ ∫ ∫ 1 2 3 0 2 sin 0 1 ln 4) 5) sin . 6) . e x x dx x x cosxdx e cosxdx π π + ∫ ∫ ∫ 6 0 2 0 7) 1 4 sin . 8) 1 sin x cosxdx cosx dx x π π + + ∫ ∫ 2 3 0 1 0 3 1 9) 10) 1 2 11) 3 2sin cos xdx x dx x cosx dx x π π + + ∫ ∫ ∫ 1 2 4 2 ln 12) 2 sin 13) sin e x dx x x cosx dx x cosx π π + − + ∫ ∫ BÀI TẬP 3: TRẦN HỮU QUYỀN - 3 - Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân 7 3 3 2 0 1 0 3 5 2 0 1) 1 2) 1 3) . 1 x dx x dx x x x dx + + + ∫ ∫ ∫ 1 0 1 0 1 2 0 4) 1 5) 1 6) (4 ) x x e dx e x xdx x dx x − − + − − ∫ ∫ ∫ ln3 0 1 3 2 0 3 4 2 0 7) 2 8) 1 sin 9) x dx e x x dx x dx cos x π + ± ∫ ∫ ∫ 1 0 4 2 7 4 2 0 10) 2 1 11) 9 sin 4 12) 1 x dx x dx x x x dx cos x π + + + ∫ ∫ ∫ ln 2 2 1 2 3 1 1 3 2 0 13) 1 14) . 1 15) 1 x x e dx e dx x x x dx x x + + + ∫ ∫ ∫ Bài tập 4: (đổi biến loại 2) 1 2 2 0 2 2 1 2 2 2 2 0 2 2 2 0 1) 1 2) 4 3) 1 4) 4 x dx x dx x dx x x x dx − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 2 0 2 1 2 0 1 3 2 0 3 2 1 2 2 5) 6) 4 7) 1 8) 1 a x a x dx x dx x x dx dx x x − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 0 3 2 0 1 4 2 0 2 2 0 9) 1 10) 3 11) 4 3 12) a dx x dx x dx x x dx a x + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 13) Chứng minh rằng : 0 0 (sin ) (sin ) 2 xf x f x π π π = ∫ ∫ 14) Cho 4 4 2 2 4 4 4 4 0 0 sin ; sin sin cos xdx xdx I J cos x x cos x x π π = = + + ∫ ∫ a) chứng minh rằng I=J. b) Tính I. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ta có b b b a a a udv uv vdu= − ∫ ∫ B1: Biến đổi ( ) ( ) ( ) 1 2 b b a a I f x dx f x f x dx= = ∫ ∫ B2: Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 du df x u f x dv f x dx v f x dx  = =   ⇒   = =     ∫ B3: Tính b b a a I uv vdu= − ∫ *) Chú ý: Phải thực hiện theo nguyên tắc sau: - Chọn phép đặt dv sao cho dễ xác đònh được v . - b a vdu ∫ phải được tính dễ hơn b a I udv= ∫ *) Các dạng cơ bản: Kí hiệu ( ) P x là đa thức Dạng 1: ( ) sinP x xdx ∫ , ( ) P x cosxdx ∫ , ( ) , x P x e dx ∫ ( ) , x P x a dx ∫ nên đặt ( ) u P x= Dạng 2: ( ) ln ,P x xdx ∫ ( ) log , a P x xdx ∫ Nên đặt lnu x = , log a u x= Dạng 3: sin x a xdx ∫ , cos x a xdx ∫ .cos ax e xdx ∫ thì phảisử dụng tích phân từng phần 2 lần. Chú ý :Nếu ( ) P x hoặc log a x có bậc cao thì ta có thể phải dùng tích phân từng phần nhiều lần liên tiếp để tính. Bài tập: Tính các tích phân sau: TRẦN HỮU QUYỀN - 4 - Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân Bài tập 1: ĐỀ THI Bài 1:(đề thi học kỳ 2 –ĐN năm 2002) a) ∫ = 1 0 2 dxxeI x b) ∫ = 2 0 3 sincos π xdxxJ Bài 2:(đề thi học kỳ 2 –ĐN năm 2003) a) ∫ = 1 0 2 dxxeI x b) ∫ + = 1 0 12x xdx J Bài 3: 3 1 ln e xdx I x = ∫ (hk 2-ĐN năm 2004) Bài 4:I= 2 (ln ) , x dx x ∫ :(hk 2 –ĐN 2005) Bài 5:(đề thi học kỳ 2 –TPHCM 2000) a) ∫ + = 1 0 2 1 dx x x I b) ∫ = π 0 sin xdxxJ Bài 6: 2 2 0 ( sin )I x x co dx π = + ∫ sx (TN-05) Bài 7: 2 0 sin 2 4 x I dx co x π = − ∫ 2 s ( TN -2006) Bài 8: 2 3 2 5 4 dx I x x = + ∫ (ĐHCĐ-kA-03) Bài 9: 2 1 1 1 xdx I x = + − ∫ :(ĐHCĐ-kA-04) Bài 10: :(đề thi ĐHCĐ-kA 2006) 2 2 0 sin 2 4sin x I dx co x x π = + ∫ 2 s Bài 11: 2 4 0 1 2sin 1 sin x I dx x π − = + ∫ 2 (KB-03) Bài 12:(đề thi ĐHCĐ-kB-2004) 1 1 3ln .ln e x x I dx x + = ∫ Bài 13: 2 0 sin 2 . 1 x cosx I dx cosx π = + ∫ (KB-05) Bài 14 2 2 0 I x x dx= − ∫ (KD-03) Bài 15 3 2 2 ln( )I x x dx= − ∫ (KD-04) Bài 16(đề thi ĐHCĐ-kD-2005) 2 sin 0 ( ) x I e co co dx π = + ∫ sx sx Bài 17(đề thi đhspHCM-kA-2000) 1 2 0 0 4 11 ) 5 6 ) x a I dx x x b J co dx π + = + + = ∫ ∫ 4 s x Bài 18(đề thi HH-kA-2000) 2 2 1 ln(1 )x I dx x + = ∫ Bài 19: thi QG TP-kB-2000) 2 3 sin dx I x π π = ∫ Bài 20( Ngân hàng kD-00) 2 4 0 1 2sin 1 sin x I dx x π − = + ∫ 2 Bài 21 (ĐH luật-2001) 1 5 3 0 1I x x dx= − ∫ 1 3 2 0 1J x x dx= − ∫ Bài 22 (ĐHSPVinh-2001) 2 0 1 sin 2I xdx π = − ∫ Bài 23(Đh văn hoá HN-01) 4 0 sin . sin 2 x cosx I dx x cos x π = + ∫ 2 Bài 24(ĐHTM – 97) I= ln 0 1 1 e x x e dx e − + ∫ Bài 25(ĐHQGHCM – 00) I= ( ) 1 2 0 sin x e x dx π ∫ Bài 26(ĐHCT – 00) 3 0 2 4 x H dx= − ∫ Bài 27: 2 1 0 (2 1) x x In x e dx − = − ∫ TRẦN HỮU QUYỀN - 5 - 6 0 1 3 0 2 0 1) (2 )sin 2) . 3) ( 1) x x xdx x e dx x cosxdx π π − − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 1 2 0 2 4 0 1 2 0 2 2 1 4) 5) 2cos 1 6) 1 ln 7) x x x e dx x x x e dx x dx x π − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 0 10 2 1 2 2 1 1 2 2 0 2 2 1 8) sin 9) lg 10) ln 11) 4 2 1 ln 1 12) e x x xdx x xdx x xdx x x e dx x dx x π − − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 0 2 0 3 4 0 13) .sin 14) cos 15) sin 4 x x x xdx e xdx e xdx π π π ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 0 2 6 4 0 1 16) ln 17) 1 18) 1 cos sin 19) cos e x o x xdx x x e dx x x x x xdx π π + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân Bài 3:ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG BÀI TOÁN 1: Cho hàm số ( ) y f x= liên tục trên [ ] ;a b . Khi đó diện tích hình phẳng (D) giới hạn bởi: - Đồ thò hàm số ( ) y f x= - Trục Ox : ( 0y = ) - Hai đường thẳng ;x a x b= = Được xác đònh bởi công thức : ( ) b D a S f x dx= ∫ 1) ĐHTMại 99: Tính ? D S = , biết D giới hạn bởi đồ thò: 2 2y x x= − , 1, 2x x= − = và trục Ox . 2) HVCNBCVT 2001: Tính ? D S = , biết { } , 0, 1, 2 x D y xe y x x= = = = − = 3) CĐTCKToán 2003: Tính ? D S = với { } 2 4 , 1, 3D y x x x x= = − − = − = − 4) ĐHNN1 -97: Tính ? D S = , với , 0, , 0 3 D y tgx x x y π   = = = = =     5) ĐHNN1 – 98: Tính ? D S = , 2 ln , 0, 1, 2 x D y y x x x   = = = = =     6) ĐHHuế – 99B: Tính ? D S = , ln 1, , 0, 2 x D x x e y y x   = = = = =     7) Tính ? D S = 2 3 1 , 0, 1, 0 1 x x D y x x y x   + + = = = = =   +   8) ĐHBKN – 2000: Tính ? D S = , 2 3 sin cos , 0, 0, 2 D y x x y x x π   = = = = =     BÀI TOÁN 2 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi : + ( ) ( ) 1 :C y f x= , ( ) ( ) 2 :C y g x= + đường thẳng ,x a x b= = Được xác đònh bởi công thức: ( ) ( ) b a S f x g x dx= − ∫ PP giải: B1: Giải phương trình : ( ) ( ) f x g x= tìm nghiệm ( ) 1 2 , , , ; n x x x a b∈ ( ) 1 2 n x x x< < < B2: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 , , n n x x b a x x x b a x S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx = − + − + + − = − + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1) ĐHHuế 99A: Tính ? D S = , ( ) { } 5 1 , , 0, 1 x D y x y e x x= = + = = = 2) Tính ? D S = , 2 2 1 1 , , , sin cos 6 3 D y y x x x x π π   = = = = =     3) ĐHTCKToán 2001: Tính ? D S = , [ ] { } 2 2 sin , 1 cos , 0;D y x y x x π = = + = + ∈ 4) HVBCVT 2000: Tính ? D S = , 2 3 12 1 2sin , 1 , 0, 2 2 x x D y y x x π π   = = − = + = =     TRẦN HỮU QUYỀN - 6 - Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân 5) Tìm b sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò ( ) 2 2 : 1 x C y x = + và các đường thẳng 1, 0,y x x b= = = bằng 4 π BÀI TOÁN 3: Hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thò: ( ) ( ) , ,y f x y g x x a= = = . Khi đó diện tích ( ) ( ) ( ) 0 x a S f x g x dx= − ∫ với 0 x là nghiệm duy nhất của phương trình ( ) ( ) f x g x= . 1) ĐHTCKToán 2000: Tính ? H S = , với { } , , 1 x x H y e y e x − = = = = 2) HVNHàng –HCM _ 99: Tính ? H S = , { } 2 1 , , 1H y x x Ox x= = + = 3) ĐH-CĐ_ 2002KD: Tính ? D S = 3 1 , , 1 x D y Ox Oy x − −   = =   −   4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 2 ; 3 ; 0 x y y x x= = − = 5) ĐHCĐoàn 2000: Tính ? H S = , { } , 2 0, 0H x y x y y= = + − = = BÀI TOÁN 4: Tính diện tích hình phẳng ( ) D giới hạn bởi đồ thò hai hàm số: ( ) ( ) ;y f x y g x= = PP giải: B1 : Giải phương trình ( ) ( ) 0f x g x− = có nghiệm 1 2 n x x x< < < B2: Ta có diện tích hình ( ) D : ( ) ( ) 1 n x D x S f x g x dx= − ∫ 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 2y x x= − ; 2 4y x x= − + 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 2y x x= − + và 3y x= − 3) ĐHBKHN -2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 4y x= − − và 2 3 0x y+ = 4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 2 0y y x− + = và 0x y+ = 5) ĐHKTQD – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 5 0y x+ − = và 3 0x y+ − = 6) ĐH – CĐ : KA 2002 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 4 3y x x= − + và 3y x= + 7) ĐH – CĐ : KB 2002: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 4 4 x y = − và 2 4 2 x y = 8) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 3 3 2 2 y x x= + − và y x= 9) ĐHSPHN – 2000 A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 1y x= − và 5y x= + BÀI TOÁN 5: Tính diện tích hình phẳng ( ) D giới hạn bởi ba đồ thò hàm số: ( ) ( ) ( ) ; ;y f x y g x y h x= = = PP giải: B1: Giải các phương trình : ( ) ( ) 0f x g x− = ; ( ) ( ) 0f x h x− = ; ( ) ( ) 0g x h x− = B2: Thiết lập công thức diện tích. ( Có thể vẽ ba đồ thò trên cùng hệ trục toạ độ ) 1) ĐHCĐ - 99: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 y x= ; 2 8 x y = ; 8 y x = 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 y x x= − + ; 2 y x= ; 2 2y x x= + − BÀI TẬP: 1) ĐHQGHN – 97A : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 2y x x= + + và 2 4y x= + . TRẦN HỮU QUYỀN - 7 - Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 4y x= và 2 4x y= 3) ĐHKTế – 97: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 2y x= ; 2 2 0x y− + = và trục hoành Ox . 4) ĐHNN1 HN – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 ln x y x = , các đường thẳng : 1; 2x x= = và trục hoành Ox . 5) ĐHNN1 HN – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 3 2 4 6y x x x= − + + và trục hoành. 6) ĐHNN1 HN – 97: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò: y tgx = , đường thẳng 3 x π = và các trục toạ độ. 7) ĐHTLợi – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 1 4 y x= và 2 1 3 2 y x x= − + . 8) ĐHTMại – 96: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 y x= và 2 x y= − 9) ĐHTCKToán – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 y x= − và 2y x= − − . 10) ĐHTCKToán – 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: x y e= ; x y e − = và 1x = . 11) ĐHBKHN - 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 3 sin cosy x x= , 0; 2 x x π = = và trục hoành. 12) ĐHTMại – 99: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 2y x x= − , 1x = − , 2x = và trục hoành Ox . 13) ĐHHuế 99A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: ( ) 5 1y x= + , x y e= và các đường thẳng 0; 1x x= = . 14) ĐHNN1 – 99A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 1 1 y x = + và 2 2 x y = 15) ĐHTLợi – 99: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 3 3 2 2 y x x= + − và y x= . 16) ĐHSPHN – 2000B: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 4 3y x x= − + và 3y = . 17) HVBCVT – 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 3 1 2sin 2 x y = − , 12 1 x y π = + và đường thẳng 2 x π = . 18) ĐHTCKToán – 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 siny x= + , 2 1 siny x= + với [ ] 0;x π ∈ . 19) HVBCVT – 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: x y xe= , 1x = − , 2x = và trục hoành . 20) ĐHY TB- 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 5 x y − = , 3y x= − và các trục toạ độ. 21) ĐHKTQD HN -2000 : Parabon 2 2y x= chia hình tròn 2 2 8x y+ = thành hai phần, tính diện tích mỗi phần TRẦN HỮU QUYỀN - 8 - Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân 22) .ĐHKTQD HN – 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabon 2 4y x x= − và các đường tiếp tuyến đi qua 5 ;6 2 M       . 23) Cho đồ thò ( ) 2 4 : 1 x x C y x − + = − . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) C , tiệm cận xiên của ( ) C và 2; 4x x= = 24) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabon 2 4 3y x x= − + − và hai tiếp tuyến tại các điểm ( ) 0; 3A − ; ( ) 3;0B 25) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: 2 y x x= − + ; 2 y x= ; 2 2y x x= + − 26) ĐHMĐC HN – 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò: siny x= , y x π = − . 27) ĐH – CĐ : KA 2002 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 4 3y x x= − + và 3y x= + 28) CĐSPPThọ KA – 2003: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò 2 2 4 ; 2y x y x x= − = − 29) ĐH – CĐ : KB 2002: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 4 4 x y = − và 2 4 2 x y = 30) ĐH – CĐ Dự bò 3 – 2002: Cho ( ) 3 2 1 1 : 2 2 3 3 C y x mx x m= + − − − . Tìm 5 0; 6 m   ∈     sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thò ( ) ; 0; 2; 0C x x y= = = có diện tích bằng 4 31) Hình ( ) H giới hạn bởi Parabol (P), 0, 1, 2y x x= = − = . Lập phương trình Parabol (P) , biết (P) có đỉnh ( ) 1;2S và diện tích ( ) H bằng 15 .  ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH BÀI TOÁN I: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các đường: ( ) y f x= ; 0y = ; ( ) ; ;x a x b a b= = < xung quanh trục Ox ”. PP giải: Ta áp dụng công thức ( ) 2 2 b b Ox a a V y dx f x dx π π = = ∫ ∫ Chú ý: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các đường: ( ) x f y= ; 0x = ; ( ) ; ;y a y b a b= = < xung quanh trục Oy ”. PP giải: Ta áp dụng công thức ( ) 2 2 b b Oy a a V x dy f y dy π π = = ∫ ∫ 1) Cho hình phẳng D giới hạn bởi : , 0, 0, 3 D y tgx y x x π   = = = = =     a) Tính diện tích hình phẳng D b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox 2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Oy của hình giới hạn bởi Parabol ( ) 2 : ; 2; 4 2 x P y y y= = = và trục Oy 3) Cho hình phẳng ( ) D giới hạn bởi ( ) 2 : 8P y x= và đường thẳng 2x = . Tính thể tích khối tròn xoay khi lần lượt quay hình phẳng ( ) D quanh trục Ox và trục Oy . TRẦN HỮU QUYỀN - 9 - Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân BÀI TOÁN II: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các đường: ( ) y f x= ; ( ) y g x= ; ( ) ; ;x a x b a b= = < xung quanh trục Ox ”. PP giải: Ta áp dụng công thức ( ) ( ) 2 2 b Ox a V f x g x dx π = − ∫ 1) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox hình phẳng D giới hạn bởi các đường: 2 1 1; 2; ;x x y y x x = = = = 2) Cho hình phẳng D giới hạn bởi 2 2 4 ; 2y x y x= − = + . Quay D xung quanh Ox ta được một vật thể, tính thể tích của vật thể này. BÀI TẬP 1) ĐHXDHN -97: Tính Ox V biết: { } ln , 0, 1,D y x x y x x e= = = = = 2) CĐSPBTre - KA – 2002: Cho D là miền giới hạn bởi đồ thò 2 ; 0; 0; 4 y tg x y x x π = = = = a) Tính diện tích miền phẳng D b) Cho D quay quanh Ox , tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành. 3) ĐHHH -99: Tính Ox V biết: 3 2 , 3 x D y y x   = = =     4) HVKTQS – 95: Tính Ox V biết: 4 4 0; 1 sin cos ; 0, 2 D y y x x x x π   = = = + + = =     5) ĐHKTQD -98: Tính Ox V biết: { } 2 5 0; 3 0D x y x y= + − = + − = 6) ĐHLHN – 96: Tính Ox V biết: { } 2 2 ; 2 4D y x y x= = = + 7) ĐHQGHN – 99B: Tính Ox V biết: { } 2 2 4 6; 2 6D y x x y x x= = − + = − − + 8) ĐHNN1 HN -98: Tính Ox V biết: { } 2 ;D y x y x= = = 9) HVNH TPHCM – 99: Tính Ox V biết: ( ) { } 2 ln 1 ; 0; 1D y x x y x= = + = = 10)CĐCNHN 2003: Tính Oy V biết: 1 ; ; 0; 0 x D y e y y x e   = = = = =      NHỊ THỨC NIUTON *) Công thức: ( ) 0 0 n n n k n k k k k n k n n k k a b C a b C a b − − = = + = = ∑ ∑ *) Tính chất: a) 0 1 n n n C C= = b) k n k n n C C − = c) 1 1 1 k k k n n n C C C − − − = + d) Số hạng thứ 1k + là 1 k n k k k n T C a b − + = *) Khai triển thường dùng: ( ) 0 1 n n k k n k x C x = + = ∑ và ( ) ( ) 0 1 1 n n k k k n k x C x = − = − ∑ *) Hệ thức đặc biệt 0 1 2 1 2 n n n n n n n n C C C C C − + + + + + = và ( ) 0 1 2 1 0 n n n n n n C C C C− + − + − = I – BÀI TOÁN TÌM HỆ SỐ VÀ TÌM SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC. TRẦN HỮU QUYỀN - 10 - . nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu ' F (x)= f(x) ( ; )x a b∀ ∈ Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên [ ] ;a b ' ' '( ) ( ); ( ; ) ( ) ( ); ( ) ( ) F x f. dùng phương pháp đổi biến số . ( ) ( ) '( ). '( ) ln ( ) ( ) u x u x u x e dx e C u x dx u x C u x = + = + ∫ ∫ [ ] [ ] '( ) ( ) 2 ( ) '( ). ( ) sin ( ) u x dx u x C u x u. phương trình : ( ) ( ) f x g x= tìm nghiệm ( ) 1 2 , , , ; n x x x a b∈ ( ) 1 2 n x x x< < < B2: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 , , n n x x b a x