CHƯƠNG : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN  Phương trình vi phân phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’,…,y(n))= x biến số độc lập, y =y (x) hàm số, y’,y’’,…,y(n) đạo hàm  Cấp phương trình cấp cao đạo hàm  Nghiệm phương trình vi phân hàm số y= (x) thỏa mãn phương trình 7.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 7.1.1 Khái niệm Phương trình vi phân cấp 1: phương trình có dạng F (x,y,y’) = Nếu giải y’ phương trình có dạng y’= f(x,y) Nghiệm tổng qt:Nghiệm tổng quát phương trình vi phân hàm số y =  (x,C) thỏa phương trình vi phân Nghiệm riêng: Nghiệm y = (x,C0) nhận từ nghiệm tổng quát y = (x,C) ứng với giá trị cụ thể C = Co gọi nghiệm riêng.Giá trị cụ thể Co C suy từ điều kiện ban đầu y (x0) = y0 Tích phân tổng quát : Trong số trường hợp , ta không tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân dạng tường minh y = (x,C) mà tìm hệ thức dạng ẩn (x,y,C) = Ta gọi tích phân tổng qt phương trình vi phân Đường cong tích phân : Đồ thị nghiệm y =  (x,C) phương trình vi phân gọi đường cong tích phân phương trình nầy Nghiệm kỳ dị :Nghiệm phương trình vi phân khơng nhận từ họ nghiệm tổng qt gọi nghiệm kỳ dị 7.1.2 Phương trình vi phân biến số phân ly ( tách biến được) Định Nghĩa: Phương trình vi phân biến số phân ly phương trình có dạng: f(x)dx = g(y)dy Cách giải Lấy tích phân vế (1) Trang (1)  f ( x)dx   g ( y)dy F(x) = G(y) + C Ví Dụ Giải phương trình vi phân: xy’ + y = Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân với điều kiện ban đầu y (3) = dy dy dx dy dx  y      dx y x y x C  ln y   ln x  ln C  y  x xy  y   x Thay điều kiện ban đầu y(x = 3) = Ta C = Vậy nghiệm riêng pt là: y = x Ví Dụ Giải phương trình vi phân : (1+x2)dy – ydx = (1  x )dy  ydx  dy dx dy dx     y 1 x y  x2  ln y  arctgx  ln C  y  C.earxtgx Ví Dụ Giải phương trình vi phân : ( y  x y )dy  ( xy  x)dx  (1) Ta có (1)  y (1  x )dy  x( y  1)dx  (2)  Nếu x    x  1 dx  , nên (2) thỏa mãn Vậy x  1 nghiệm (1)  Nếu x    x  1 (2)   y x dy  dx y 1 x 1 1 ln y   ln x   ln C  y   C ( x  1) 2      y   C ( x  1) Vậy nghiệm phương trình là:  x  1  Ví Dụ Giải phương trình vi phân : y  x y (1) Ta có (1)  dy  x y  dy  x ydx (2) dx  Nếu y  y  nên (2) thỏa mãn Vậy y  nghiệm (1) Trang  Nếu y  (2)   dy  3x dx Lấy tích phân hai vế: y 3 dy   3x dx  ln y  x3  ln C  ln y  ln Ce x  y  Ce x y Vậy nghiệm phương trình là: y  Ce x 7.1.3 Phương trình đẳng cấp Định nghĩa Phương trình vi phân y’ = f (x,y) gọi đẳng cấp x y phương trình có dạng: y’ = f ( y ) x Cách giải Đặt u = y hay y = ux x Suy : y’ = u + xu’ f(u) = u + x du du x = f (u) - u dx dx Nếu f (u) - u  ta có : du dx = Đây ph trình biến số phân ly x f (u )  u Ví Dụ Giải phương trình vi phân : y  x y (1) x y Đặt y  ux  y  u x  u , ta có: (1)  ux  u  x  ux 1 u 1 u dx  ux  u  du  1 u 1 u x  ux x Lấy tích phân hai vế ta được: 1 u  1 u du   dx du 2udu dx     2 x 1 u 1 u x ln Cx 1  arctgu  ln(1  u )  ln x  ln C  arctgu  ln(1  u )  2 2 Vậy nghiệm phương trình là: 2arctg Trang y  ln C ( x  y ) x Ví Dụ2 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân y’ = với điều kiện ban đầu y (1) =  y y + sin x x ĐS : y = 2xarctgx 7.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Định Nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình có dạng y’ + p(x).y = q(x) (1) p (x) q (x) hàm liên tục Phương trình vi phân tuyến tính gọi q(x) = : y’ + p(x) y = (2) Nhận xét : Nếu y1 nghiệm riêng phương trình tuyến tính nhất: y’ + p(x) y = (2) nghiệm tổng quát y = Cy1 (C số tùy ý) Nghiệm tổng quát (1) = nghiệm tổng quát (2) + nghiệm riêng (1) Cách giải : y’+ p(x)y = q(x) (1) Bước : Giải phương trình tương ứng : y’ + p(x)y = (2) Giả sử y = (x,C) nghiệm tổng quát phương trình (2) Bước : Xem C hàm theo x ,tính y’ thay vào (1) Ví Dụ Tìm nghiệm phương trình vi phân (x2+1)y’+xy = thỏa điều kiện ban đầu y (0) = ĐS :y = ln (x   x )  1 x2 Ví dụ Giải phương trình vi phân : y’+ 2xy = xe-x ĐS : y = ( 2 x2 + K ) e -x Ví Dụ Giải phương trình vi phân : y  xy  x (1)  Giải phương trình tương ứng: y  xy  , ta có nghiệm y  dy  xdx  ln y  x  ln C  y  Ce x y Trang  Xem C hàm số theo x: C ( x) 2 Ta được: y  C ( x)e x  y  C ( x)e x  xC ( x)e x Thay y, y vào phương trình (1): 2 2 (1)  C ( x)e x  xC ( x)e x  xC ( x)e x  x  C ( x)e x  x  dC  xe x dx  C ( x)   e x  K     2 Vậy nghiệm phương trình là: y    e  x  K  e x Ví Dụ Giải phương trình vi phân : y  xy  xe x (1)  Giải phương trình tương ứng: y  xy  , ta có nghiệm y  dy  2 xdx  ln y   x  ln C  y  Ce  x y  Xem C hàm số theo x: C ( x) 2 Ta được: y  C ( x)e  x  y  C ( x)e  x  xC ( x)e  x Thay y, y vào phương trình (1): 2 2 (1)  C ( x)e  x  xC ( x)e  x  xC ( x)e  x  xe x  C ( x)  x  dC  xdx  C ( x)  x2 K  x2   K  e x   Vậy nghiệm phương trình là: y   7.1.5 Phương trình Bernouilli( Bec-nu-li) Định Nghĩa Phương trình Bec-nu-li phương trình có dạng: y’ + p(x)y = q(x) y  p(x), q(x) hàm liên tục,  R Cách giải  Nếu  =  =1, phương trình trở thành phương trình tuyến tính  Giả sử    1: Với y 0, chia vế cho y  : Trang y-  y’ + p(x).y1-  = q(x) Đặt z = y1-  suy z’= (1-  ) y -  y’, phương trình trở thành : z’+ (1-  ) p(x)z = (1-  )q(x) Đây phương trình tuyến tính cấp z Ví Dụ Giải phương trình vi phân : y  xy  xe  x (1) Nếu y   y  , (1) thỏa mãn nên y = nghiệm phương trình 3 2 Nếu y  (1)  yy  xy  x y 2 Đặt z    z   yy 3 , phương trình trở thành: z   xz  x (2) Giải phương trình nhất: z  xz   z  Ce x Xem C hàm số theo x: C ( x) 2 Ta được: z  C ( x)e x  z   C ( x)e x  xC ( x)e x Thay z, z vào phương trình (2): 2 2 (2)  C ( x)e x  xC ( x)e x  xC ( x)e x  x  C ( x)e x  x3 2 1 1  dC  x 3e 2 x dx  C ( x)    x   e 2 x  K 2 2 Vậy nghiệm phương trình (2) là: 2  1  1 x2 z     x   e 2 x  K  e x     K e x 2  2  1 x2  y  2 Ke  x  Nghiệm phương trình (1) là:   y0  7.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 7.2.1 Khái niệm  Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = Nếu giải phương trình y’’, ta có dạng khác: y’’= f(x,y,y’) Trang  Nghiệm tổng quát : y = (x,C1,C2)  Nghiệm riêng : y =  (x, C10 ,C 20 ) với C10 ,C 20 giá trị xác định C 1, C  Tích phân tổng quát :  (x,y,C1,C2) 7.2.2 Phương trình vi phân cấp giảm cấp Xét phương trình vi phân y’’ = f (x.y,y’) (1) Vế phải không chứa y,y’ : y’’ = f (x)  y’ = ſ f(x)dx + C1  y = ſ (ſ f(x)dx)dx + C1x + C2 Ví Dụ : Tìm nghiệm phương trình vi phân y’’ = sinkx (k  0) thoả điều kiện ban đầu y(o) = y’(o) = ĐS : y = - 1 sin kx + (1+ ) x k k (2) Vế phải không chứa y : y’’ = f(x,y’) Đặt y’=z lúc ta phương trình vi phân cấp theo ʓ z’= f (x,z) Giải nghiệm tổng quát z =  (x,C1)  y’ =  (x,C1)  y    ( x, C1 )dx  C2 Ví Du Giải phương trình vi phân ( 1-x2)y’’ – xy’ = ĐS : y = (arcsinx)2 + C1 arcsinx + C2 (3) Vế phải không chứa x : y’’ = f (y,y’) Đặt y’ = ʓ, đạo hàm vế : y’’ = dz dz dy dz   z dx dy dx dy Phương trình có dạng : ʓ dz = f (y,z) dy Giaûi ʓ =  (y,C1) Trang  y’ =  (y,C1) => 1 =  (y, C1) => x' y = x' y  ( y, C1 ) => x = dy   ( y, C ) + C2 Ví Dụ Giải phương trình vi phân 2yy’’ = y’2 +1  ĐS : y  C1 1  (   x  Cx   C2 )  y  1  (  C2 )  2C1 C1    7.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số y’’ + py’ + qy = f(x) (1) ( p,q số) Phương trình vi phân tuyến tính cấp tương ứng với (1): y’’ + py’ + qy = (2)  Phương pháp giải : Bước : Tìm nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: y’’+py’ +qy = (2) Bước : Tìm nghiệm riêng phương trình (1) Bước :Nghiệm tổng quát (1) = nghiệm tổng quát (2) + nghiệm riêng (1) 1- Bước : Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất: y’’ + py’ + qy = (2) Giải phương trình đặc trưng : (3) k2 + pk + q = Ta có trường hợp xảy : * ∆= p2 - q > : Phương trình (3) có nghiệm thực phân biệt k1 k2 Nghiệm tổng quát phương trình (2) : Trang y = C1 e k1 x +C2 e k1 x * ∆ = p2 - 4q = : Phương trình (3) có nghiệm kép thực k Nghiệm tổng quát phương trình (2) : y = e k x (C1 + C2x) * ∆ = p2- 4q