CHUYÊN ĐỀ 8 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Các đònh nghóa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng như : . Qui tắc 3 điểm : A, B, C thì ∀ A B J JJG + BC J JJG = A C J JJG . Cộng 2 vectơ cùng gốc là một vectơ cùng gốc và là đường chéo hình bình hành có 2 cạnh là 2 vectơ đã cho. . I là trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kỳ nào ta luôn có: MI = JJJG 2 MA MB+ J JJJG JJJJG . G là trọng tâm của Δ ABC ⇔ GA J JJG + GB J JJG + GC J JJG = 0 G . Ngoài ra ta còn có : . Ba vectơ khác gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trong một mặt phẳng . 0 G . Bất kỳ vectơ a 0 nào đồng phẳng với hai vectơ không cùng phương , trong không gian, đều có thể phân tích theo G ≠ G 1 e G 2 e G 1 e G , 2 e G có nghóa: a = G α 1 e G + β 2 e G ( α , β ∈ R) và sự phân tích trên là duy nhất . . Bất kỳ vectơ a nào trong không gian cũng có thể phân tích được theo 3 vectơ không đồng phẳng , , có nghóa : G ≠ 0 G 1 e G G G 2 e 3 e a = + β G α 1 e G 2 e G + γ 3 e G ( α , β , γ ∈ R) . G được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD + + GC + ⇔ GA JJJG GB JJJG JJJG GD J JJG = 0 G Ghi chú : 1) Nếu một trong 3 vectơ , a G b G , c G là 0 G thì chúng đồng phẳng. 2) a , b , c đồng phẳng ⇔ G G G ,. 0ab c ⎡⎤ = ⎣⎦ G GG 1 3) OA , OB , đồng phẳng JJJG JJJG OC JJJG ⇔ O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng. Ví dụ 1: Cho một hình lăng trụ ABC A ′ B ′ C ′ . Gọi I, I ′ lần lượt là trọng tâm của Δ ABC và Δ A ′ B ′ C ′ , O là trung điểm của I I ′ . a) Chứng minh rằng + + OBOA JJJG OA ′ JJJJG J JJG + OB ′ J JJJG + OC J JJG + OC ′ J JJJG = 0 G b) Gọi G là trọng tâm của hình tứ diện ABC C ′ và M là trung điểm của A ′ B ′ . Chứng minh rằng O, M, G thẳng hàng. c) Tính tỉ số OM OG JJJJG JJJG Giải a) + OA + + OA JJJG ′ JJJJG OB JJJG OB ′ JJJJG + OC J JJG + OC ′ J JJJG = 0 G I là trọng tâm của ABC ⇒ Δ IA J JG + IB J JG + IC J JG = 0 G ( + ) + ( IO + OB ) + (⇒ IO JJG OA JJJG JJG JJJG IO J JG + OC J JJG ) = 0 G OA + + OC = 3 OI ⇒ JJJG OB JJJG JJJG JJG Tương tự, là trọng tâm của I ′ Δ A ′ B ′ C ′ OA + + OC = 3 OI ⇒ ′ JJJJG OB ′ JJJJG ′ JJJJG ′ JJJG Vậy OA + JJJG OA ′ J JJJG + OB + JJJG OB ′ J JJJG + OC J JJG + OC ′ J JJJG = = 3 OI J JG + 3 OI ′ J JJG = 3( OI J JG + OI ′ J JJG ) = 0 G (vì 0 là trung điểm I I ′ ) b) O, M, G thẳng hàng G là trọng tâm của tứ diện ABC C ′ ⇒ GA + + GC + JJJG GB JJJG JJJG GC ′ JJJJG = 0 G ⇒ ( + OA ) + ( GO + ) + ( GO JJJG JJJG JJJG OB JJJG GO J JJG + OC J JJG ) + ( GO J JJG + OC ′ J JJJG ) = 0 G ⇒ OA + + OC + OC JJJG OB JJJG JJJG ′ JJJJG = 4 OG J JJG M là trung điểm của A B ′′ ⇒ OA + = 2 OM ′ JJJJG OB ′ JJJJG JJJJG ⇒ OA + + OC + OC JJJG OB JJJG JJJG ′ JJJJG + OA ′ J JJJG + OB ′ J JJJG = 4 OG J JJG + 2 OM J JJJG 2 ⇒ 0 = 4 + 2 OM G OG JJJG JJJJG ⇒ OM = –2 JJJJG OG JJJG ⇒ OM cùng phương với OG JJJJG J JJG ⇒ OM , OG cùng giá (vì cùng gốc O) JJJJG JJJG ⇒ O, M, G thẳng hàng. c) Tỉ số JJJJG JJJG OM OG OM JJJJG = –2 OG JJJG ⇒ OM OG J JJJG J JJG = –2 Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD. A ′ B ′ C ′ D ′ với A A ′ J JJJG = a G , A B J JJG = b G , / A C J JJJG = . Hãy biểu thò các vectơ c G A D JJJG , A C ′ JJJJG JJJJG JJJJG , , theo các vectơ a BD ′ BD ′ G , b G , c G . Giải Ta có với hình hộp ABCD. A ′ B ′ C ′ D ′ thì : A D J JJG = A C ′ J JJJG + / CD ′ J JJJJG + DD ′ JJJJG = c G – b G – a G A C ′ J JJJG = A A ′ J JJJG + / A C JJJJG + / CC JJJJG A C ′ J JJJG = –2 a G + c G BD ′ J JJJG = BB ′ J JJJG + BA J JJG + A D JJJG = – a G – b G + c G – – b G a G = – 2 a G – 2 b G + c G BD ′ J JJJG = BA J JJG + A D J JJG + DD ′ JJJJG = – b G + ( c G – – a ) + b G G a G = – 2 b G + c G * * * D ′ A B ′ ′ c G B C D A a C ′ G b G 3 . CHUYÊN ĐỀ 8 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Các đònh nghóa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng. giá của chúng cùng song song hoặc nằm trong một mặt phẳng . 0 G . Bất kỳ vectơ a 0 nào đồng phẳng với hai vectơ không cùng phương , trong không gian, đều có thể phân tích theo G ≠ G 1 e G 2 e G 1 e G ,. ∈ R) và sự phân tích trên là duy nhất . . Bất kỳ vectơ a nào trong không gian cũng có thể phân tích được theo 3 vectơ không đồng phẳng , , có nghóa : G ≠ 0 G 1 e G G G 2 e 3 e a = +