Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phương trình mũ b n có d ng: a x = m , a > 0, a ≠ m s ñã cho ● N u m ≤ , phương trình a x = m vô nghi m ● N u m > , phương trình a x = m có nghi m nh t x = log a m Bài Gi i phương trình sau: 1) 5x +1 + 6.5x − 3.5x −1 = 52 2) 3x +1 + 3x + + 3x +3 = 9.5x + 5x +1 + 5x + 3) 3x.2 x +1 = 72 4) 4x −3x + + 4x + 6x +5 = 42x +3x +7 +1 5) 5.32x −1 − 7.3x −1 + − 6.3x + x +1 Bài Gi i phương trình sau: 1) log x ( x + ) = 2) log ( x − 3) − log ( 6x − 10 ) + = 3) log ( x + 15 ) + log ( 2x − ) = 4) log ( 2x +1 − ) = x Bài Bài t p rèn luy n Gi i phương trình sau: x −1 + log ( x − 1)( x + ) = x+4 1) 3x +1 − 2.3x − = 25 2) log 3) 3.2x +1 + 2.5x − = 5x + 2x − 4) log x 16 − log x 4 7 5)     7 4 3x −1 − 16 =0 49 7) 4log x +1 − 6log x = 2.3log x 9) log +2 ( x − ) log5 x = log3 ( x − ) x 7=2 6) log8 ( 2x ) + log ( x − 2x + 1) = 1 8) 2.5x +1 − x + − 5x + = 4x +1 10) 2x −5 − x −7 = 32 11) (10x − 6x + ) + 4.10 x +1 = (10x −1 − x −1 ) Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH DẠNG PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ Phương pháp ñưa v s S d ng công th c: ● aα = a β ⇔ α = β  b > ( hc c > )  b = c  ● log a b = log a c ⇔  Bài Gi i phương trình sau: 1) 52x +1 + x +1 − 175x − 35 = 1 2) 3.4x + x + = 6.4 x +1 − x +1 Bài 3) x 2 x +1 + x −3 + = x 2 x −3 + + x −1 4) 4x +x + 21− x = 2( x +1) +1 Gi i phương trình sau: 1) log x 2.log x = log x 16 64 + log x = x 2) log 5x 3) log x + log x + log x = log 20 x 4) log ( 3x − 1) + log ( x +3) 5) log ( x − 5x + ) = ( = + log ( x + 1) log ) x −1 + log x − ( ) 6) log x + 3x + + log x + 7x + 12 = + log log ( x + 3) + log ( x − 1) = log ( 4x ) Bài Gi i phương trình sau: Bài Bài t p rèn luy n Gi i phương trình sau: 1 1)    3 x 2 − 3x 6) log ( − 4x − x ) = log ( x + ) = 27 x 81x +3 2) 3.13x + 13x +1 − x + = 5.2 x +1 7) log ( x − 1) = log x − log x 3) log ( log x ) + log ( log x ) = 2 8) log9 x = log x.log3 4) log ( x + 2x − 3) = log 5) log ( x + 1) + = log 2 x −1 x+3 ( ) 2x + − 9) log ( x − 1) − log ( x − 1) = log x − − x + log8 ( + x ) Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH DAÏNG ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH A.B = Ví d 1: Gi i phương trình: 2x HD: 2x +x − 4.2 x −x +x − 4.2 x −x − 22x + = − 22x + = ⇔ (2 x2 −x ) − ( 22x − ) = Nh n xét: M c dù s không th bi n ñ i ñ ñ t ñư c n ph ta ph i phân ( tích thành x −x ) − ( 22 x − ) ðây phương trình tích bi t cách gi i Gi i phương trình sau: Bài 1) 8.3x + 3.2 x = 24 + 6x 2) 2x +x − 4.2x −x − 22x + = 3) 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20 Ví d 2: Nh n Gi i phương trình: ( log x ) = log x.log xét: Tương log x − log  ( t ta ph i ( ) 2x + − bi n đ i phương trình thành tích ) x + −  log x = ðây phương trình tích ñã bi t cách gi i  T ng quát: Trong nhi u trư ng h p s khơng th bi n đ i đ đ t n ph đư c ta bi n đ i thành tích Bài Gi i phương trình: log x + 2.log x = + log x.log x DẠNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ S d ng cơng th c v hàm s mũ lơgarit đ bi n đ i tốn, sau đ t n s ph , quy phương trình cho v phương trình đ i s (phương trình ch a ho c khơng ch a th c) Sau gi i phương trình trung gian ta quy v gi i ti p phương trình mũ ho c lôgarit b n A - Phương pháp đ t n ph d ng PHƯƠNG TRÌNH MŨ ● Phương trình α k a kx + α k −1a (k −1) x + α k − 2a (k −2)x + + α1a x + α = , ta đ t t = a x , t > ● Phương trình α1a x + α b x + α = , v i a.b = Khi đ t t = a x , t > ⇒ b x = , ta ñư c t phương trình: α1t + α t + α = ● Phương trình α1a 2x + α (ab) x + α b 2x = Chia hai v 2x x x a a a α1   + α   + α = , ñ t t =   , t > b b b cho a 2x ho c b 2x ta ñư c Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH Bài Gi i phương trình sau: 1) 4x + x2 −2 − 5.2 x −1+ x2 −2 −6 = 2) 43+ 2cos x − 7.41+ cos x − = 3) Bài ( 26 + 15 ) x ( +2 7+4 ) x ( −2 2− ) x =1 Gi i phương trình sau: (2 − 3) + (2 + 3) x 1) x = 14 2) 5.23 x −1 − 3.25−3x + =  3)  23x − 3x     x  −  − x −1  =    4) 27 x + 12 x = 2.8x PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT k ● N u đ t t = log a x, ( x > ) log a x = t k ; log x a = , < x ≠ t ● N u ñ t t = a logb x t = x logb a Vì a logbc = clogba Bài Gi i phương trình sau: 1) log ( x +1 + ) log ( x + 1) = 2) log ( log x ) + log ( log x ) = 5) log ( x + 1) = log x +1 16 3) log x (125x ) log 25 x = 6) ( − log3 x ) log9x − 1) log 6.5x + 25.20 x = x + log 25 3) log x log8 4x = log 2x log16 8x 2) log x.log x (4x ) = 12 Bài 4) log x + log x = log 4) log x = log + log x + x =1 − log x Gi i phương trình sau: ( ) ( x +2 ) B - Phương pháp ñ t n ph d ng PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương pháp: Ý tư ng s d ng m t n ph chuy n phương trình ban đ u thành m t phương trình v i m t n ph h só v n cịn ch a n x Khi thư ng ta đư c m t phương trình b c theo n ph có bi t s ∆ m t s phương Ví d : Gi i phương trình: 9x + ( x − ) 3x + 2x − = HD: ð t t = 3x (*) , ta có: t + ( x − ) t + 2x − = ⇒ t = −1, t = − 2x Thay vào (*) ta tìm đư c x Lưu ý: Phương pháp ch s d ng ∆ s phương Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH ( ) Bài Gi i phương trình: 9x + x − 3x − 2x + = Bài Gi i phương trình: 42x + 23x +1 + 2x + − 16 = 2 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Ví d 2: Gi i phương trình: log ( x + 1) + ( x − ) log ( x + 1) − 2x + = HD: ð t t = log ( x + 1) , ta có: t + ( x − ) t − 2x + = ⇒ t = 2, t = − x Suy x = 8, x = Bài Gi i phương trình: lg ( x + 1) + ( x − ) lg ( x + 1) − 5x = Bài Gi i phương trình sau: 1) lg x − lgxlog ( 4x ) + 2log x = 2) lg x + lg x − 2lg x − 9lgx − = C - Phương pháp đ t n ph d ng PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương pháp: L a ch n n ph thích h p r i chuy n phương trình v h đơn gi n Bài Gi i phương trình: 4x +1 + 21− x = 2(x +1) + Bài Gi i phương trình: 4x −3x + 2 + 4x 2 + 6x + = 42x +3x + +1 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT S d ng n ph cho bi u th c logarit phương trình khéo léo bi n đ i phương trình thành phương trình tích ( ) Bài Gi i phương trình: log x ( x − 1) + log xlog x − x − = Bài Gi i phương trình: log x − log x + log x − log xlog x = Bài Gi i phương trình: + 2 ( ) log x ( +x 2− ) log x = + x2 D - Phương pháp ñ t n ph d ng ð t n ph chuy n thành h phương trình PHƯƠNG TRÌNH MŨ Ví d : Gi i phương trình: HD: Vi t 2x 18 = x −1 1− x x −1 x +1 + 2 + + + phương trình dư i u = x −1 + 1, v = 21− x + 1; u, v > d ng x −1 18 , = x −1 1− x +1 + 2 + + + 1− x ñ t Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 18 8  + = Nh n xét: u.v = u + v T ta có h :  u v u + v u.v = u + v  Bài Gi i phương trình: 22x − x + = PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ) ( ) ( Bài Gi i phương trình: log x − x − + 3log x + x − = Bài Gi i phương trình: − lgx = − lgx − Bài Gi i phương trình: + log x − 4x + + − log x − 4x + = ( ) ( ) E - Phương pháp ñ t n ph d ng PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT S d ng m t n ph chuy n phương trình ban đ u thành m t h phương trình v i m t n ph m t n x Ta th c hi n bư c: + ð t ñi u ki n có nghĩa cho phương trình + Bi n đ i phương trình v d ng: f(x; φ (x)) =  y = φ ( x) + ð t y = φ (x) ñưa v h :   f ( x; y ) = Chú ý: ð i v i phương trình logarít có m t d ng r t đ c bi t, phương trình d ng s ax +b = c.log s (dx + e) + α x + β V i d = ac + α ; e = bc + β Cách gi i: - 0 < s ≠ ði u ki n có nghĩa c a phương trình:   dx + e ≠ - ð t ay + b = log s (dx + e) phương trình cho tr thành:  s ax +b = c(ay + b) + α x + β  s ax +b = acy + α x + bc + β  s ax +b = acy + (d − ac) x + e(1) ⇔  ay +b ⇔  ay +b  = dx + e = dx + e(2) s s ay + b = log s (dx + e) - L y (1) tr cho (2) ta ñư c: s ax +b + acx = s ay +b + acy (3) - Xét hàm s f ( x) = s at +b + act hàm s dơn ñi u R T (3) ta có f(x) = f(y) ⇔ x = y, (2) ⇔ s ax +b = dx + e (4) dùng phương pháp hàm s ñ xác ñ nh nghi m phương trình (4) Ví d : Gi i phương trình: x −1 = 6log ( 6x − ) + HD: ð t y − = log ( 6x − ) Khi chuy n thành h Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 7 x −1 = ( y − 1) +  x −1  7 = 6y − ⇔  y −1 ⇒ x −1 + 6x = y−1 + 6y  7 = 6x −  y − = log ( 6x − )   Xét hàm s f ( t ) = t −1 + 6t suy x = y , Khi x −1 − 6x + = Xét hàm s g ( x ) = x −1 − 6x + Nh m nghi m ta ñư c nghi m: x = 1, x = Bài Gi i phương trình sau: 1) log x + log x + = lgx + = lg x + 4lgx + 2) Bài 3) 4) 3log x + = −4log x + 13log x − Gi i phương trình sau: lgx + = lg x + 4lgx + 1) 2) log x + = 3 3log x − 2 Bài 3log x + = 4log x + 13log x − 3) x = 3log ( 5x − 1) + 2x + 4) x + = 3 2x − Bài t p rèn luy n Gi i phương trình sau: 1) 9x − 10.3x + = 2) 4x − 6.2x + = 2 3) 15.25x − 34.15x + 15.9 x = 2 (2 + 3) + (2 − 3) x 4) ( 17) ( 18) ( 16) x =4 ( ) ( ) =5 3) +( 2− 3) = 15 ) + ( + 15 ) = cosx 7+4 2+ 4− 19) + + 7−4 x cosx x x x x ) + (7 − ) x x 5) 5x −1 + 5.0, x − = 26 20) log x 3x log x + = 6) 25x − 12.2x − 6, 25.0,16x = 21) = 14.2 x x 7) 64 − 8) 4x − 3+ x x +1 + 12 = 22) + log x + = log ( x + ) = 3.2x + 23) log ( log x ) + log ( log x − ) = x 24) log ( 3x − 1) log ( 3x +1 − 3) = 9) 9x − 8.3x + = 10) 2x −1 + 21 = 13.4x −1 x x x 11) 6.9 − 13.6 + 6.4 = 12) 25x − 9x + 15x = 13) 9sin x + 9cos x = 10 log x log8 4x = log 2x log16 8x 25) log ( − x ) = − x 26) log x + log x = 27) 2x log x + 2x −3log8 x − = 28) 5log x + 2.x log = 15 Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH log ( 5x ) −1 25 14) 2sin x + 5.2cos x = 29) 15) 4cos2x + 4cos x = 30) 25log x = + 4.x log5 2 − x log5 = F - M t s tốn (đ c bi t logarrit) ta thư ng ph i đưa v phương trình – h phương trình – b t phương trình mũ r i s d ng phương pháp ●D ng Khác s Ví d : Gi i phương trình: log x = log ( x + 2) ð t t = log x ⇒ x = t Phương trình tr thành t = log ( +2 t ) t t  7 1 ⇔ = +2 ⇔ 1=  +      3   t t ●D ng Khác s bi u th c d u log ph c t p Ví d 1: Gi i phương trình: log ( x − 2x − ) = log (x − 2x − 3) ð t t = x − 2x − , ta có log ( t + 1) = log t Ví d 2: Gi i phương trình: log ( x + 3log6 x ) = log x t 3 ð t t = log x , phương trình tương đương t + 3t = t ⇔ 3t +   = 2 ●D ng Ví d a log b ( x + c ) = x (ði u ki n: b = a + c ) Gi i phương trình: 4log7 ( x +3) = x ð t t = log ( x + 3) ⇒ t = x + t t 4 1 Phương trình tr thành: 4t = t − ⇔   +   = 7 7 Ví d Gi i phương trình: 2log3 ( x + 5) = x + ð t t = x + Phương trình tr thành: 2log3 ( t +1) = t Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH DẠNG PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA S d ng cơng th c l y logarit hai v c a phương trình v i s thích h p PHƯƠNG TRÌNH MŨ ● D ng 1: 0 < a ≠ 1, b > a f (x) = b ⇔  f (x) = log a b ● D ng 2: a f (x) = b g(x) ⇔ log a a f (x) = log a b g(x ) ⇔ f (x) = g(x).log a b Bài Gi i phương trình sau: 1) x log4 x − = 23( log4 x −1) Bài 2) x lg x + lg x + = 1 − + x −1 1+ x +1 Gi i phương trình sau: 2 1)   5 4x +1 1 =  7 3x + 2) x lg x = 1000x PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ● D ng 1: 0 < a ≠ log a f (x) = b ⇔  b f (x) = a ● D ng 2: 0 < a ≠ log a f (x) = log a g(x) ⇔  f (x) = g(x) > Bài Gi i phương trình sau: 1) log x ( x + 4x − ) = { 3) log x ( x + ) = } 2) log 2log 1 + log (1 + 3log x )  =   Bài Gi i phương trình sau: 1)  2x −3  log3    x  ( 3) log (x − 1) = 2log (x + x + 1) =1 ) 2) log x − = log ( x − 1) 4) x + lg(1 + x ) = xlg5 + lg6 Bài Bài t p rèn luy n Gi i phương trình sau: 1) 4.9x −1 = 22x +1 3) 2x x − 2x 5) 3x = 1,5 2x −1 x +1 3x = 50 7) 3x.2 x + = 2) 23 = 32 x x 4) 5x 3x = x 6) x x+2 =6 Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH DAÏNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ● Nh m nghi m s d ng tính đơn u đ ch ng minh nghi m nh t (thư ng s d ng cơng c đ o hàm) ● Ta thư ng s d ng tính ch t sau: Tính ch t 1: N u hàm s f tăng ( ho c gi m ) kho ng (a;b) phương trình f(x) = C có khơng q m t nghi m kho ng (a;b) ( n u t n t i x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = C nghi m nhat c a phương trình f(x) = C) Tính ch t : N u hàm f tăng kho ng (a;b) hàm g hàm m t hàm gi m kho ng (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhi u nh t m t nghi m kho ng (a;b) ( n u t n t i x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = g(x0) ñó nghi m nh t c a phương trình f(x) = g(x)) y = f ( x ) l i ho c lõm kho ng ( a; b ) Tính ch t : ð nh lí Rơn: N u hàm s phương trình f ( x ) = có khơng qua hai nghi m thu c kho ng ( a; b ) Ví d 1: Gi i phương trình: x + 2.3log2 x = HD: x + 2.3log2 x = ⇔ 2.3lo g2 x = − x , v trái hàm ñ ng bi n, v ph i hàm ngh ch bi n nên phương trình có nghi m nh t x = Ví d 2: Gi i phương trình: x + x = 5x + 3x HD: Phương trình tương đương x − 5x = 3x − x , gi s phương trình có nghi m α Khi đó: 6α − 5α = 3α − 2α Xét hàm s f ( t ) = ( t + 1) − tα , v i t > Ta nh n th y f ( 5) = f ( ) lagrange nên ñ nh theo f ' ( c ) = ⇔ α ( c + 1)  α −1 lý α t n t i c ∈ ( 2;5 ) cho: − cα −1  = ⇔ α = 0, α = , th l i ta th y x = 0, x =  nghi m c a phương trình Ví d 3: Gi i phương trình: −2 x −x + 2x −1 = ( x − 1) HD: Vi t l i phương trình dư i d ng 2x −1 + x − = x −x + x − x , xét hàm s f ( t ) = t + t hàm ñ ng bi n R (???) V y phương trình đư c vi t dư i d ng: f ( x − 1) = f ( x − x ) ⇔ x − = x − x ⇔ x = Ví d 4: Gi i phương trình: 3x + x = 3x + HD: D dàng ta tìm ñư c nghi m: x = x = Ta c n ch ng minh khơng cịn nghi m khác Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 3 th× VT > 0, VP < 0, bất phơng trình có nghiệm với < x < 2 3  - VËy tập nghiệm bất phơng trình < x <  \ {1} 2  1 Lu ý: Với bất phơng trình dạng , ta thờng gi¶i nh− sau: > log a u log b v + Lập bảng xét dấu log a u log b v tập xác định bất phơng trình + Trong tập xác định log a u log b v dấu bất phơng trình tơng đơng với log a u < log b v + TH3: Víi < x < Ví d ( x; y ) cđa bÊt nghiƯm cã tỉng ( 2x + y ) lín nhÊt Trong c¸c nghiƯm phơng trình log x + y2 ( 2x + y ) ≥ , chØ c¸c L i gi i: - Bất phơng trình tơng đơng víi hai hƯ sau  < x + 2y < ( I ) : 2x + y ≤ x + 2y2    2x + y > - vµ  x + 2y > II ) :  ( 2  2x + y ≥ x + 2y Râ rµng nÕu ( x; y ) lµ nghiƯm cđa bÊt phơng trình tổng ( 2x + y ) lớn xảy nghiệm hệ ( II ) -  x + 2y >  ( II ) ⇔    x − 1) +  2y − (  ≤ 2     Ta cã 2x + y = ( x − 1) +  2y − + 2 2    p dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai sè  x − 1; 2y −  vµ  2; , ta đợc 2 2        9 81   ( x − 1) +  2y −   ≤ ( x − 1) +  2y −    +  ≤ = 16 2 2   2          9 ≤ ( x − 1) +  2y −  ≤ ⇔ < 2x + y ≤ 2 2  2x + y =   x =   D u '' = '' x y ch 2x + y = ⇔  ⇔  2y − x −1 2  y = =     Víi x = 2, y = thoă mÃn bất phơng trình x + 2y > ⇔ − - - Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH  1 VËy nghiệm bất phơng trình nghiệm 2;  lµ nghiƯm cã tỉng ( 2x + y ) 2  lín nhÊt b»ng BÀI TẬP Gi i b t phương trình sau: - ( ( x 1) log x log − 72 2) 3) ( ) >3 log a 35 − x log a ( − x ) log 2x − 3x + )) ≤ v i < a ≠ > log ( x + 1) 3 4) Trong c¸c nghiệm ( x; y ) bất phơng trình log x + y2 ( x + y ) ≥ T×m nghiƯm cã tỉng (x + 2y ) lín nhÊt BÀI TẬP LUYỆN TẬP Gi i b t phương trình sau: 1) 2) ( 10 − ) x +1 x +3 < ( 10 + log 2x − 3x + > ) x −3 x −1 (H c vi n GTVT năm 1998) log ( x + 1) 3 ( ) ( 3) + log 2x + 3x + > log 2x + 3x + 4) log x + log x < + log x.log x 5) 6) (ðH Qu c gia TPHCM 1999)  2x −  log   3 (ðH Y DƯ C TPHCM) 13) + 21+ x − 4x + 21+ x > 14) 15.2x +1 + ≥ 2x − + x +1 +1 16)  x  x   +   > 12 3 3 x 2.14 + 3.49x − 4x ≥ 17) ( 15) 18) 19) 5+2 ) x −1 ≥ ( 5−2 ) x −1 x +1 ( 5x + 24 ) − 5x − ≥ 5x + x −3 x −1 x +1 x +3 ( ) ( ) ( + ) + ( + )( − ) > 4.( + ) ( + 11 ) + ( − 11) ≤ 10 + < 10 − x 20) 21) x 2x −1 2x −1 22) + 5x − 2x + 3x > 3x.5− x + 5x − 2x + 9x 5− x 23) 24) −3x − 5x + + 2x > 3x.2x −3x − 5x + + 4x 3x log log x − < ( ( )) 25) log x log 3x − ≤ 26) log 4x + 144 − log < + log 2x − + ( (3 x ) ) ( ) + + 2.log 3x + 2 − > 27) log 28) log 2x 64 + log x 16 ≥ 29) 30) 1 log x +3 ( x − ) < + log 2 12 64 1 > log ( x + 1) log 2x − 3x + 31) 32) ( ) log ( −3x −5) − log ( −6x −2 ) 16 ≥ ( lg x − 3x + lg x + lg ) >2 log ( x + 1) − log ( x + 1) 33) 34) 35) 36) x − 3x − ) (2 + >0 2  x − 7x + 12  − 1 ≤ x  log x − 9x + log x − ) 40) 1 > x log − log − x ) ( x + − x − + log x ≤ 41) log 42)   log 25 ( x − 1) ≥  log  log ( x − 1) 2x − −   43) log ( 2x + 3x + ) + > log ( 2x + 3x + )   x log x −1   log log  + 2 ( )  + 3   3    2  44) 1   3 45) log 46) 47) 48) ( ≥1 ) ( ) x − 5x + + + log x − 5x + ≤  4x −  log x  ≥  x −2     log 4x + 144 − log < + log 2x − + ( log x ( 5x ( 2x 49) log 50) + 21+ ) ( ) ) − 18x + 16 > 2 + 3x + + > log 2x + 3x + 3− x ) −4 3− x ( + 21+ 3− x  x +1  > log −1  2x +  x+   ) >5  2x +  −1  x +    51) log 52) log + x > log x 53) + x ( x −1 + 22− x ) > 3x + 22 − x + x −1 x− x ( ) x ( 54) 2x +1 + ( 5x + 11) 21− x − x < 24 − x − ( x − ) 2− x 55) 56) ) 32x − 8.3x + x + − 9.9 x + ≥ log ( log x ) ≤ log ( log x ) 57) 58) log ( 3x + 4x + ) + > log ( 3x + 4x + ) 3+ x log x 2 log x > 6x log x H T Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT PHƯƠNG PHÁP BIEN ẹOI TệễNG ẹệễNG Đặt điều kiện cho biểu thøc hƯ cã nghÜa - Sư dơng c¸c phÐp để nhận đợc từ hệ phơng trình theo ẩn x y (đôi theo hai Èn x vµ y)  log ( y − x ) − log = y Ví d Gi i h phương trình:   x + y = 25  L i gi i: y > - ði u ki n:  y > x − log ( y − x ) + log y = - Víi điều kiện hệ tơng đơng với x + y = 25  4x   x = y=   log y = log ( y − x )  y = ( y − x )     x = −3 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔  2 x + y = 25  4x  x + y = 25  x +  4x  = 25      y =     + Víi x = suy y = (tmđk) + Víi x = −3 suy y = −4 (kh«ng tmđk) - - VËy hƯ cã nghiÖm ( x; y ) = ( 3; ) Ví d Gi i h phương trình: 2 x.3y = 12  x y 3 = 18 L i gi i: - -  x + y.log = + log Lôgarit số hai vế hai phơng trình hƯ ta đư c   x.log + y = + 2.log hệ phơng trình bậc hai ẩn log Ta cã D = = − log ≠ log Dx = Dy = + log log + log 1 + log log + log = − log = − log Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH Dx  x = D =  - Suy hÖ cã nghiÖm   y = Dy =  D   log y = log x + Ví d Gi i h phương trình:  log y = ( log x − 1) log L i gi i: - ði u ki n: x > 0, y > 2 log y = log x +  - HÖ phơng trình tơng đơng với log y  log = log x −  -  log x =  log y = log x + x = ⇔  ⇔  ⇔  y =  log y = log x − log y = Vậy hệ phơng trình cã nghiÖm ( x; y ) = ( 9; ) Ví d log x + log y + log z =  log y + log x + log z = log z + log x + log y = 16 16  Gi i h phương trình: L i gi i: - ði u ki n: x > 0, y > 0, z > - Khi h phương trình cho tương đương ( ( ( ) ) ) ( ( ( ) ) ) log x yz =  x yz = 24 log x + log y + log z =      log y + log x + log z = ⇔ log xy z = ⇔  xy z = 34     2 log16 z + log16 x + log16 y = log16 xyz =  xyz =   - T suy ( xyz ) = 24.34.44 = 244 xyz > nên xyz = 24 T suy 27 32 x= ; y= ; z= Ví d  x − − 3x − k < (1)  Tìm k đ h b t phương trình có nghi m:  1  log x + log ( x − 1) ≤ (2) 2 L i gi i: - Từ bất phơng trình (2) hệ suy ( x − 1) > ⇔ x > ( 2) - ⇔ log x + log ( x − 1) ≤ ⇔ log x( x − 1) ≤ ⇔ x ( x − 1) ≤ ⇔ < x ≤ Víi < x ≤ th× (1) ⇔ ( x − 1) − 3x < k XÐt hµm sè f ( x ) = ( x − 1) − 3x víi < x ≤ f ' ( x ) = 3x − 6x, f ' ( x ) = ⇔ x = ∨ x = Ta cã b¶ng biÕn thiªn Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH x -∞ ’ y + - - -3 y +∞ -∞ + +∞ -5 Tõ bảng biến thiên ta suy k BÀI TẬP Gi i h phương trình sau: y  x+x 4 y = 32 2)  log ( x − y ) = − log ( x + y )  x − 2y  x−y 1 =   4)  3 log x − y + log x − y = ) ) 2(  2(  x −1 + − y =  1)  3log 9x − log y =  ( ) ( )  x −1 + − y =  3)  3log 9x − log y =  ( ) 23x = 5y − 4y  6)  x + 2x +1 =y  x  +2  y − x = x +1  8)   x + 2y = 10  log x + y =  10)  2 log x + log y =   4−x  x + − 3y = 5)  x  y + log x =  log8 y x + y log8 x = 7)  log x − log y = ( ) ( x − y + =  9)   log x − log y =  ) 3− x.2 y = 1152  12)  log ( x + y ) =  2 x.4 y = 64  11)   x + y =3  12  x+y x = y 13)  x + y 12 y = x  PHƯƠNG PHÁP ĐẶT AN PHUẽ - - Đặt điều kiện cho biểu thøc hƯ cã nghÜa Lùa chän Èn phơ ®Ĩ biến đổi hệ ban đầu hệ đại số đà biết cách giải u = a f (x) Ta thư ng ñ t bi n:  ð ñưa h v i bi n x, y thành h v i bi n u, v g ( y) v = b  thư ng g p (ð i x ng lo i 1, lo i 2, ñ ng c p ) Ví d L i gi i: Gi i h phương trình:  9x − 4y =   log ( 3x + 2y ) − log ( 3x − 2y ) =  Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH - 3x > −2y ði u ki n:   3x > 2y -  ( 3x + 2y )( 3x − 2y ) =  Hệ tơng đơng với log ( 3x + 2y ) = log 3 ( 3x − 2y )     -  3x + 2y = 5t Đặt t = log ( 3x + 2y ) = log 3 ( 3x − 2y )  , suy    t 3x 2y = - Thay vào phơng trình (1) hệ ta đợc 5t 3t = ⇔ (15 ) = 15 ⇔ t = (1) ( 2) t 3x + 2y = x = ⇔  Do ®ã ta cã hƯ  (tmđk)  3x − 2y = y = 2  f (x) − g (x) = k Lu ý: Với hệ phơng trình dạng , thông thờng ta giải log a [ f (x) + g (x)] = log a [ f (x) g (x) ] - theo hớng: Đặt t = log a  f ( x ) + g ( x )  = log a  f ( x ) − g ( x )  , suy f ( x ) + g ( x ) = a t vµ     f ( x ) − g ( x ) = a t Thay vào phơng trình đầu hệ ta tìm đợc t Vớ d 5log x = 7log y   log log5 ( 7x ) = ( 5y )  Gi i h phương trình: L i gi i: - ði u ki n: x > 0, y > - log x.log = log y.log  LÊy logarit theo c¬ sè 10 hai vế ta đợc ( l og + log x ) log = ( log + log y ) log u.log − v.log = Đặt u = logx, v = logy Khi hệ có dạng 2 u.log − v.log = log − log Ta có D = log − log log − log Du = Dv = = log − log − log log − log − log 2 log log log − log 2 ( ) = log − log log ( ) = log − log log Du  u = D = − log  - DÔ thÊy D ≠ nªn hƯ cã nghiƯm nhÊt  , suy  v = D v = − log   D  x=   - VËy hÖ cã mét nghiÖm  y =   log  (1) 4log3 xy = + ( xy ) Ví d Gi i h phương trình:  2 (2)  x + y − 3x − 3y = 12  L i gi i: - ði u ki n: x.y >  x =   y =   Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH ( ) - NhËn xÐt a logb c = clog b a , phơng trình (1) tơng đơng với 22 - Đặt t = 2log3 xy - - log3 xy = + 2log3 xy  t = −1 ta cã t = + t ⇔ t − t − = ⇔  t = Víi t = th× log xy = hay xy = ( t > 0) ( loai ) ( x + y ) = BiÕn ®ỉi phương trình (2) thµnh ( x + y ) − ( x + y ) − 18 = ⇔  ( x + y ) = −3  x + y =  x + y = −3 Nh− vËy, ta cã hai hƯ  vµ   x.y =  x.y = VËy hÖ cã hai nghiÖm − 6; + vµ + 6; − ( ) ( ) BÀI TẬP Gi i h phương trình sau: log 27 ( xy ) = 3log 27 x.log 27 y  x 3log x  log y = log y  log8 y log8 x x +y =4  log x − log y = log x + − log y =   3 log x − − log y = −1   log x y + log y x =   x − 3x − y = 20 + log y x   5log x − 3log y = 1)  10 log x − log y = −9 2)  x log + log y = y + log x 3)   x log 12 + log x = y + log y 4) 2 x + y = 5)  x + y = 6) 3y+1 − x =  7)  x y 4 − 6.3 + =  8) 42x − − 22x + y + y =  9)  2y + − 3.22x + y = 16 2  92cot x +siny =  10)  sin y 2cot x =2 9 − 81  log xy = log x y  11)  y 2x + 2y =   x + lg y =  12)   x − 3lg y =  2 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Ví d Gi i h phương trình: L i gi i: - ði u ki n: x, y > - -  x − y = ex − ey (1)   x log + log 4y = 10 (2) Phơng trình (1) e x − x = e y − y ( 3) XÐt hµm sè f ( t ) = e − t liên tục với t > Mặt khác f ' ( t ) = e t − > víi mäi t > , t ®ã hàm s f ( t ) ®ång biÕn t > - Phơng trình (3) viết dới d¹ng f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y - ThÕ x = y vµo phơng trình (2) đợc log x + log 2 4x = 10 Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH ⇔ log x − + ( + 3log x ) = 10 ⇔ log x = - VËy hÖ cã nghiÖm nhÊt ( x; y ) = ( 2; ) Ví d Gi i h phương trình: ln (1 + x ) − ln (1 + y ) = x − y  2 2x − 5xy + y = (1) (2) L i gi i: - ði u ki n: x > −1, y > - Phng trỡnh (1) hệ đợc viÕt l¹i d−íi d¹ng: ln (1 + x ) − x = ln (1 + y ) − y - XÐt hµm sè f ( t ) = ln (1 + t ) − t , víi t ∈ (−1; +∞) Ta cã f ' ( t ) = - ( 3) −t Ta thÊy −1 = 1+ t 1+ t f ' ( t ) = ⇔ t = Hµm sè f ( t ) đồng biến ( 1; ) nghịch biÕn ( 0; +∞ ) Ta cã ( 3) ⇔ f ( x ) = f ( y ) Lúc x = y xy < + Nếu xy < vế trái (2) dơng Phơng trình không thoả mÃn + Nếu x = y , thay vµo phương trình (2), ta đợc nghiệm hệ x = y =  f ( x ) = f ( y)  Ta tìm lời giải theo hai Lu ý: Khi gặp hệ phơng trình dạng  g ( x,y ) =  h−íng sau Hư ng 1: Phương trình (1) ⇔ f ( x ) f ( y ) = tìm cách đa phng trỡnh tích H ng 2: Xét hµm sè y = f ( t ) ta thờng gặp trờng hợp hm s liên tục tập xác định + Nếu hàm số y = f ( t ) đơn điệu, từ (1), suy x = y + NÕu hµm sè y = f ( t ) có cực trị t = a thay đổi chiều biến thiên mét lÇn qua a Tõ (1) suy x = y hc x, y n»m vỊ hai phÝa cđa a Ví d Chøng minh r»ng víi mäi a > 0, hệ phơng trình sau có nghiệm e x − e y = ln (1 + x ) − ln (1 + y ) (1)  (2) y−x = a L i gi i: - ði u ki n: x > −1, y > −1 - Rót y từ phơng trình (2) thay vào phơng trình (1), ta đợc phơng trình f ( x ) = e x +a − e x + ln (1 + x ) − ln (1 + a + x ) = ( ) f ' ( x ) = e x ea − + - a > , a > vµ x > −1 + x (1 + a + x ) VËy f ( x ) hàm số liên tục, đồng biến ( 1; + ) Mặt khác lim f ( x ) = −∞ ; lim f ( x ) = + nên phơng trình f ( x ) = cã mét nghiÖm x →+∞ x →−1 ( −1; + ∞ ) VËy hƯ ph−¬ng trình đà cho có nghiệm với a > Lu ý: Học sinh dễ mắc sai lầm thấy hm s đồng biến đà kết luận phơng tr×nh f ( x ) = cã nghiƯm Ta kết luận phơng trình có nghiệm hàm số đơn điệu, liên tục tập giá trị có giá trị âm dơng Biờn so n: GV HUNH C KHÁNH Ví d log x + = log ( 3y )   log y + = log ( 3x )  Gi i h phương trình: L i gi i: - ði u ki n: x; y > -  log x + − log y + = log ( 3y ) − log ( 3x ) Hệ tơng đơng với log x + = log ( 3y ) - Phơng trình (1) tơng đơng với log x + + log ( 3x ) = log - XÐt hµm sè f ( t ) = log t + + log ( 3t ) liªn tơc víi mäi t > Mặt khác f ' ( t ) = (1) ( 2) y + + log ( 3y ) ( 3) 1 + > 0, ∀t > ®ã f ( t ) ®ång biÕn víi mäi t > ( t + 3) t.ln Phơng trình (3) viết dới dạng f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y Khi ®ã hƯ t−¬ng ®−¬ng víi x = y   log x + = log ( 3x ) - ( 4) Giải (4): Đặt u = log x + = log ( 3x ) u  x + = 2u   x = 3u −1  x + = Suy  ⇔  ⇔  u u −1 u u  x =3 3 + = 3.4 3x = u Phơng trình + = 3.4 u u u 3 1 ⇔   +   = 4 4 u u 3 1 NhËn thÊy hµm sè f ( u ) =   +   hàm liên tục, nghịch biến với u ℝ vµ 4 4 f (1) = Víi u > th× f ( u ) < Víi u < th× f ( u ) > - Vậy phơng trình có nghiệm u = , suy x = vµ y = VËy hÖ cã mét nghiÖm ( x; y ) = (1; 1) Ví d Gi i h phương trình:  x − 2x + 6.log ( − y ) = x    y − 2y + 6.log ( − z ) = y   z − 2z + 6.log ( − x ) = z  L i gi i: - ði u ki n: x, y, z < -  x  log ( − y ) =  x − 2x +  y  HƯ ph−¬ng trình tơng đơng với log ( z ) = y − 2y +   z  log ( − x ) =  z − 2z +  (1) (2) (3) Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH - x NhËn xÐt f ( x ) = x 2x + hàm đồng biến (vì f ' ( x ) = (x 6−x − 2x + víi x < ) cßn g ( x ) = log ( − x ) hàm nghịch biến với x < - ) x − 2x + >0 NÕu ( x, y, z ) nghiệm hệ phơng tr×nh ta chøng minh x = y = z Không tổng quát giả sử x = max ( x, y, z ) có hai trờng hợp: + x ≥ y ≥ z (1) suy f ( x ) ≥ f ( y ) ≥ f ( z ) nªn log ( − y ) ≥ log ( − z ) ≥ log ( x ) Mặt khác g ( x ) hàm giảm nên x z ≥ y (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã x = y = z x ≥ z ≥ y T−¬ng tự ta lại có x = y = z Phơng tr×nh f ( x ) = g ( x ) cã nghiÖm nhÊt x = VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm nhÊt + - ( x, y, z ) = ( 3, 3, 3) Lưu ý: Nếu hệ phơng trình ba ẩn x, y, z không thay đổi hoán vị vòng quanh x, y, z không tính tổng quát có thĨ gi¶ thiÕt x = max ( x, y, z )  x + y3 = 29  Hãy xác ñ nh s nghi m c a h phương trình n ( x, y ) sau  log x.log y =  Ví d (1) ( 2) L i gi i: - DÔ thÊy, ( x, y ) nghiệm hệ th× x > 1, y > (*) ( (*) ) Khi đó, x = 3t từ phơng trình (2) có y = t Vì thế, từ - Đặt log x = t, t > - phơng trình (1) ta có phơng trình ẩn t sau: 9t + t = 29 (3) DƠ thÊy sè nghiƯm cđa hƯ b»ng sè nghiệm dơng phơng trình (3) - t XÐt hµm sè f ( t ) = t + − 29 trªn ( 0; +∞ ) Ta cã f ' ( t ) = t.ln − t y = ln vµ y = hàm s t ln Trên ( 0; + ) , t2 hàm nghịch biến nhận giá trị dơng Vì thế, t2 t ln hàm ®ång biÕn trªn ( 0; +∞ ) Suy f ' ( t ) hàm đồng biến t2 ( 0; + ) Hơn nữa, f '   f ' (1) = 18 ( ln − ln 2256 ) ( ln 27 ln16 ) < nên tồn t ∈ ( 0;1)  2 cho f ' ( t ) = Do đó, ta có bảng biến thiên sau hàm f ( t ) khoảng ( 0; + ) khoảng đó, y = t t0 ’ f (t) +∞ - +∞ + +∞ f(t) f(1) f(t0) - Tõ ®ã, víi l−u ý r»ng f (1) = −12 ≤ , suy phng trỡnh (3) có nghiệm dơng Vì vậy, hệ có tất nghiệm Biờn so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH BÀI TẬP Gi i h phương trình sau:  + 42x − y 51−2x + y = + 22x − y +1  1)  2 x + y =  ( ) ( ( ) ) ( ( log sin x + = log ( 3cos y )  2)  log cos y + = log ( 3sin x )  ) ) log + − x = log − y +  3)  log + − y = log − x +  3x − 3y = y − x  5)  2  x + xy + y = 12  2 x + 2x = + y  4)  y 2 + 2y = + x PHệễNG PHAP KHAC Ngoài cách giải nói trên, giống nh phơng trình, bất phơng trình mũ lôgarit ta đánh giá hai vế, sử dụng bất đẳng thức, dùng đồ thị để giải bất phơng trình, phơng pháp sử dụng điều kiện cần đủ x y = ( log y − log x )(1 + xy ) (1)  Ví d Gi i h phương trình:  ( 2)  xy − 3y + =  L i gi i: - ði u ki n: x > 0, y > - XÐt phơng trình thứ hệ + Nếu x > y th× log y < log x suy VP < 0, VT > Do ®ã hƯ vô nghiệm - - + Nếu x < y log y > log x suy VP > 0, VT < Do hệ vô nghiệm + Vậy x = y nghiệm phơng trình (1) Khi hệ tơng đơng với x = y x = y x = y x = y =1  ⇔  ⇔  x = ⇔    xy − 3y + = x = y =  x − 3x + =  x =  VËy hÖ cã hai nghiÖm: (1;1) , ( 2; ) Ví d Tìm m đ h sau có nghi m log x + y2 ( x + y ) ≥    x + 2y = m  (1) ( 2) L i gi i: - Trớc hết ta biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm M(x, y) thoả mÃn (1) Ta thấy (1) tơng đơng với hai hệ sau: x + y2 > 2 x + y >  2 ⇔  ( I) :   1  1 2 x+y≥x +y x −  +y−  ≤    2  2   x + y > x + y >    II ) : 0 < x + y < ⇔ 0 < x + y < (   2 x + y ≤ x + y  x −  +  y −  ≥     2  2  Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH - Từ suy chúng đợc biểu diễn miền gạch hình bên (trong lấy biên đờng tròn tâm O1 bán kính không lấy biên đờng tròn tâm O bán kính 1) Điểm A giao điểm đờng thẳng x + y = với đờng tròn y x+2y= x+2y= 2 + 10 x x + y = vµ chó ý r»ng A lµ giao điểm x+y=0 phía dới nên suy toạ độ 2 x= , y= Đờng thẳng x + 2y = m 2 qua ®iĨm A m = − Áp dơng điều kiện để đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn ta  3 + 10 ph¶i cã =  − m +  Do tiÕp tuyÕn phía trên, nên ta lấy m = Từ suy ®Ĩ 2  2 + 10  10)  log 4− y ( 2x − ) >  H T GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 0563.602.929 Th y KHÁNH (GV Toán) 22A – PH M NG C TH CH – TP QUY NHƠN ... ng ph i ñưa v phương trình – h phương trình – b t phương trình mũ r i s d ng phương pháp ●D ng Khác s Ví d : Gi i phương trình: log x = log ( x + 2) ð t t = log x ⇒ x = t Phương trình tr thành... + v  Bài Gi i phương trình: 22x − x + = PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ) ( ) ( Bài Gi i phương trình: log x − x − + 3log x + x − = Bài Gi i phương trình: − lgx = − lgx − Bài Gi i phương trình: + log x... =1 − log x Gi i phương trình sau: ( ) ( x +2 ) B - Phương pháp ñ t n ph d ng PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương pháp: Ý tư ng s d ng m t n ph chuy n phương trình ban đ u thành m t phương trình v i m t n