A/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Hệ thức cơ bản 2 2 sin cos 1x x+ = tan .cot 1x x = sin tan cos x x x = 2 2 1 1 tan cos x x + = cos cot sin x x x = 2 2 1 1 cot sin x x + = 2. Các cung liên kết: sin( ) sinx x− = − tan( ) tanx x− = − os( ) cosc x x− = cot( ) cotx x− = − sin( ) sinx x π − = tan( ) tanx x π − = − os( ) c osc x x π − = − cot( ) cotx x π − = − sin cos 2 x x π   − =  ÷   tan cot 2 x x π   − =  ÷   cos sin 2 x x π   − =  ÷   cot tan 2 x x π   − =  ÷   sin( ) sinx x π + = − tan( ) tanx x π + = os( ) cosc x x π + = − cot( ) cotx x π + = sin cos 2 x x π   + =  ÷   tan cot 2 x x π   + = −  ÷   cos sin 2 x x π   + = −  ÷   cot tan 2 x x π   + = −  ÷   3. Công thức cộng: sin( ) sin cos cos sinx y x y x y± = ± cos( ) cos cos sin sinx y x y x y ± = m tan tan tan( ) 1 tan tan x y x y x y ± ± = m 4. Công thức nhân đôi, hạ bậc sin2 2sin cosx x x= 2 2tan tan2 1 tan x x x = − 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin x x x x x = − = − = − 2 1 cos2 sin 2 x x − = 2 1 cos2 cos 2 x x + = 5. Công thức nhân ba, hạ bậc: 3 sin3 3sin 4cosx x x= − 3 3sin sin3 sin 4 x x x − = 3 cos3 4cos 3cosx x x= − 3 3cos cos3 cos 4 x x x + = 6. Công thức biểu diễn sin ,cos , tanx x x theo tan 2 x t = : 2 2 sin 1 t x t = + 2 2 1 cos 1 t x t − = + 2 2 tan 1 t x t = − 7. Công thức biến đổi: a. Tổng thành tích: cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 sin( ) sin( ) * tan tan * cot cot cos cos sin sin sin( ) * tan tan * cot - cos cos x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x x y + − + = + − − = − + − + = + − − = + + + = + = − − = sin( ) cot sin sin y x y x y − = Đặc biệt: 2 sin cos 2sin 2 cos 4 4 sin cos 2sin 2 cos 4 4 1 sin2 (sin cos ) x x x x x x x x x x x π π π π     + = + = −  ÷  ÷         − = − = +  ÷  ÷     ± = ± b. Tích thành tổng: 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y   = + + −     = − + − −     = + + −   9. Một số công thức đặc biệt: 4 4 2 1 sin cos 1 sin 2 2 x x x+ = − 6 6 2 3 sin cos 1 sin 2 4 x x x+ = − 1 tan tan 1 tan 4 x x x π   + = +  ÷ −   4 4 sin cos cos2x x x− = 6 6 1 sin cos 1 sin2 2 x x x− = − 1 tan tan 1 tan 4 x x x π   − = −  ÷ +   Đỗ Minh Tuấn – THPT Mường Bi Ôn thi đại học – Phương trình lượng giác 1 B/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình cơ bản: * 2 sin sin ( ) 2 x k x k x k α π α π α π  = + = ⇔ ∈  = − +  ¢ Đặc biệt: sin 1 2 2 x x k π π = ⇔ = + sin 1 2 2 x x k π π = − ⇔ = − + sin 0x x k π = ⇔ = * 2 cos cos ( ) 2 x k x k x k α π α α π  = + = ⇔ ∈  = − +  ¢ Đặc biệt: cos 1 2x x k π = ⇔ = cos 1 2x x k π π = − ⇔ = + cos 0 2 x x k π π = ⇔ = + * tan tan ( )x x k k α α π = ⇔ = + ∈¢ * cot cot ( )x x k k α α π = ⇔ = + ∈¢ 2. Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác: Dạng: 1 1 1 0 sin sin sin 0 n n n n a x a x a x a − − + + + + = , trong đó sin x có thể là cos x , tan x hoặc cot x . Cách giải: Đặt sint x= , khi đó phương trình đã cho trở thành: 1 1 1 0 0 n n n n a t a t a t a − − + + + + = Chú ý: Nếu sint x= hoặc cost x= thì ta có điều kiện 1;1t   ∈ −   3. Phương trình bậc nhất theo sin x và cos x : Dạng: sin cosa x b x c + = , với điều kiện 0ab ≠ Điều kiện của pt có nghiệm là: 2 2 2 a b c+ ≥ Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 2 2 a b+ và sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản. 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x : Dạng: 2 2 sin sin cos cosa x b x x c x d + + = Cách giải: - Kiểm tra xem cos 0x = có thỏa mãn pt hay không? - Nếu không thỏa mãn, ta chia cả hai vế của pt cho 2 cos x ta được pt: 2 2 tan tan (1 tan )a x b x c d x+ + = + 2 ( )tan tan ( ) 0a d x b x c d⇔ − + + − = Đặt tant x= , khi đó pt trở thành: 2 ( ) 0a d t bt c d− + + − = Chú ý: Khi cos 0x = thì ta có: 2 sin 1x = 5. Phương trình đối xứng: Dạng: (sin cos ) sin cos 0a x x b x x c ± + + = Cách giải: - Đặt sin cost x x= ± , với 2; 2t   ∈ −   . Khi đó ta có: 2 2 1 1 2sin cos sin cos ( 1) 2 t x x x x t= ± ⇒ = ± − - Thay vào pt đã cho ta được pt bậc hai đối với ẩn t Đỗ Minh Tuấn – THPT Mường Bi Ôn thi đại học – Phương trình lượng giác 2 . tan 4 x x x π   − = −  ÷ +   Đỗ Minh Tuấn – THPT Mường Bi Ôn thi đại học – Phương trình lượng giác 1 B/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình cơ bản: * 2 sin sin ( ) 2 x k x k x k α. x π   + = −  ÷   3. Công thức cộng: sin( ) sin cos cos sinx y x y x y± = ± cos( ) cos cos sin sinx y x y x y ± = m tan tan tan( ) 1 tan tan x y x y x y ± ± = m 4. Công thức nhân đôi, hạ bậc sin2. cos2 sin 2 x x − = 2 1 cos2 cos 2 x x + = 5. Công thức nhân ba, hạ bậc: 3 sin3 3sin 4cosx x x= − 3 3sin sin3 sin 4 x x x − = 3 cos3 4cos 3cosx x x= − 3 3cos cos3 cos 4 x x x + = 6. Công thức biểu diễn sin ,cos