dce 2011 Chương Thiết kế Bộ lọc Số BK TP.HCM ©2011, TS Đinh Đ ức Anh Vũ dce 2011 Nội dung • Bộ lọc lý tưởng • Bộ lọc thực tế – Bộ lọc với đáp ứng xung hữu hạn (FIR) • Bộ lọc tuyến tính pha – Phương pháp cửa sổ – Phương pháp mẫu tần số • Bộ lọc tuyến tính pha tối ưu • Bộ biến đổi Hilbert • So sánh phương pháp thiết kế – Bộ lọc với đáp ứng xung vô hạn (IIR) • Phương pháp xấp xỉ đạo hàm • Phương pháp bất biến xung DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ dce 2011 Giới thiệu • Phương pháp thiết kế lọc tần số – Đặc tính lọc mơ tả đáp ứng biên độ pha – Tùy theo đáp ứng mong muốn, lọc nhân FIR IIR chọn • FIR – Được dùng có u cầu đáp ứng pha tuyến tính passband – Nhiều thơng số IIR → Độ phức tạp tính tốn cao • IIR – Có thuỳ biên dải stopband thấp lọc FIR có số tham số → dùng nhiều so với FIR (khi độ méo pha passband chấp nhận được) – Độ phức tạp tính tốn khơng cao tiêu tốn nhớ – Xác định hệ số lọc DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ dce 2011 Tính nhân • Xét lọc lý tưởng ω ≤ ωc 1 H (ω ) =  0 ωc < ω ≤ π H(ω) -ωc  ωc π h( n) =  ω c π  n=0 sin(ω c n ) ωcn n≠0 ωc = π/4 ωc ω Bộ lọc không nhân → không thực DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ dce 2011 Đ/k để lọc nhân • Định lý Paley-Wiener h(n) có lượng hữu hạn h(n) = ∀n Θ(ω ) =  32 π M −1  − ω ( ) H r (ω ) < M −3 Tuyến tính Đối xứng hay phản đối xứng ? – Tùy h(n) = –h(M–1–n) M lẻ DSP – Thiết kế Bộ lọc Số Hr(0) = Hr(π) = Khơng thích hợp cho lọc thơng thấp thơng cao ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 11 dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP cửa sổ • Giả sử ∞ – Hd(ω): hàm đáp ứng tần số mong muốn H d (ω ) = ∑ hd (n)e − jωn n =0 π – hd(n): hàm đáp ứng xung đơn vị mong muốn hd ( n) = 2π • hd(n) có chiều dài vơ hạn • Để chiều dài hd(n) hữu hạn, cắt hd(n) điểm n = M-1 – Nhân hd(n) với hàm cửa sổ w(n) – Cửa sổ hình chữ nhật • h( n) Đáp ứng xung mẫu lọc = hd (n) w(n) hd (n) n = 0,1, , M − = otherwise 0 H d (ω )e jωn dω ∫ −π n = 0,1, , M − otherwise 1 w(n) =  0 H (ω ) = π ∫π H 2π d (v)W (ω − v)dv − – Với Hd(ω) cho trước, W(ω) có tác dụng làm trơn Hd(ω) – Một W(ω) tốt • Có thuỳ phải rộng, cao nhiều so với thuỳ phụ • w(n) khơng nên giảm xuống hai bên cạnh DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 12 dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP cửa sổ − j ωM 1− e W (ω ) = ∑ e = − e − jω n =0 − jω ( M −1) / sin(ωM / 2) =e sin(ω / 2) M −1 − j ωn W (ω ) = M sin( ω2 ) ω sin( ) − ω ( M2−1 ) Θ(ω ) =  π − ω ( M2−1 )  −π ≤ ω ≤ π M sin( ω2 ) ≥ M sin( ω2 ) < Độ rộng thùy chính: 4π /M [được đo điểm zero W(ω)] Nhận xét: - Thuỳ hẹp M tăng - Các thuỳ phụ tương đối lớn so với thuỳ khơng thay đổi M tăng - Chiều cao thuỳ phụ tăng M tăng DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 13 dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP lấy mẫu tần số • Hd(ω) định nghĩa M điểm tần số cách 2π ωk =α ) M (k + k = M2−1 0,1, , = 0,1, , M − k M −1 H d (ω ) = ∑ hd (n)e − jωn n =0 M le M chan α = 0| H d (k + α ) ≡ H d [ 2π (k + α )] M M −1 α=0, công thức cơng thức DFT IDFT Chuỗi h(n) thực H d (k + α ) = ∑ hd (n)e − j 2π ( k +α ) n / M k = 0,1, , M − n =0 hd (n) = M −1 M H d (k + α )e j 2π ( k +α ) n / M ∑ n = 0,1,  , M − k =0 * H d (k + α ) = H d ( M − k − α ) Chỉ cần định nghĩa Hd(ω) (M+1)/2 điểm M lẻ M/2 điểm M chẵn DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 15 dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP lấy mẫu tần số • Mẫu tần số H d (k + α ) = H r ( 2π (k + α ) )e j [βπ / 2− 2π ( k +α )( M −1) / M ] M  β = {h(n)} doi xung Với   β = {h(n)} phan doi xung • Định nghĩa mẫu tần số thực G(k+m) G (k + α ) = (−1) k H r ( 2π (k + α ) ) M H d (k + α ) = G (k + α )e jkπ e j [βπ / 2− 2π ( k +α )( M −1) / M ] • Tùy theo giá trị α (0|½) β (0|1), H(k) h(n) có cơng thức đơn giản – Ví dụ α = β = H (k ) = G (k )e jπk / M k = 0,1,  , M − π G (k ) = (−1) k H r ( 2Mk ) G (k ) = −G ( M − k ) DSP – Thiết kế Bộ lọc Số U  2π k  h(n) = + 2∑ G (k ) cos M (n + )  G (0) M k =1  voi  M2−1 U = M  −1 M le M chan ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 16 dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – Phương pháp tối ưu • Bài tốn xấp xỉ Chebyshev – Tối ưu: sai số xấp xỉ đáp ứng t/s mong muốn thực tế phân bố passband stopband ⇒ tối thiểu hóa sai số cực đại – Bộ lọc có gợn sóng passband stopband DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 17 dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu • Trường hợp 1: đáp ứng xung đơn vị đối xứng M lẻ H r (ω ) = h( M2−1 ) + ( M −3) / ∑ h(n) cos ω ( n =0 M −1 − n) k = (M-1)/2 – n H r (ω ) = ( M −1) / ∑ a(k ) cos ωk k =0 h( M2−1 ) α (k ) =  M −1 2 h ( − k ) DSP – Thiết kế Bộ lọc Số k =0 k = 1,2,  , M2−1 ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 18 dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu • Trường hợp 2: đáp ứng xung đơn vị đối xứng M chẵn H r (ω ) = M / −1 ∑ h(n) cos ω ( n =0 M −1 − n) k = M/2 – n M /2 H r (ω ) = ∑ b(k ) cos ω (k − ) k =1 M b( k ) = 2h( − k ) b' (0) = b(1) b' (k ) + b' (k − 1) = 2b(k ) b' ( M − 1) = 2b( M ) 2 DSP – Thiết kế Bộ lọc Số k = 1,2,  , M H r (ω ) = cos ω M / −1 ∑ b' (k ) cos ωk k =0 k = 1,2, , M − 2 ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 19 dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu • Trường hợp 3: đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng M lẻ H r (ω ) = ( M −3) / h(n) sin ω ( M2−1 − n) ∑ n =0 k = (M-1)/2 – n H r (ω ) = ( M −1) / ∑ c(k ) sin ωk k =1 c(k ) = 2h( M2−1 − k ) k = 1,2,  , M2−1 c' ( M2−3 ) = c( M2−1 ) H r (ω ) = sin ω ( M −3) / ∑ c' (k ) cos ωk k =0 DSP – Thiết kế Bộ lọc Số c' ( M2−5 ) = 2c( M2−3 )    c' (k − 1) − c' (k + 1) = 2c(k ) 2≤k ≤ c' (0) + c' (2) = c(1)©2011, Đinh Đức Anh Vũ M −5 20 dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu • Trường hợp 4: đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng M chẵn H r (ω ) = M / −1 h(n) sin ω ( M2−1 − n) ∑ n =0 k = M/2 – n M /2 H r (ω ) = ∑ d (k ) sin ω (k − ) k =1 M d ( k ) = 2h( − k ) d ' ( M − 1) = 2d ( M ) 2 d ' (k − 1) − d ' (k ) = 2d (k ) k = 1,2,  , M H r (ω ) = sin ω 2≤k ≤ M M / −1 ∑ d ' (k ) cos ωk k =0 −1 d ' (0) − d ' (1) = d (1) DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 21 dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu • Tổng qt 1 cos ω  Q(ω ) =  sin ω sin ω  L H r (ω ) = Q(ω ) P (ω ) truong hop truong hop truong hop truong hop P (ω ) = ∑ α (k ) cos ωk k =0 DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ( M − 1) / M / −  L= ( M − 3) / M / −  truong hop truong hop truong hop truong hop ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 22 ... dung • Bộ lọc lý tưởng • Bộ lọc thực tế – Bộ lọc với đáp ứng xung hữu hạn (FIR) • Bộ lọc tuyến tính pha – Phương pháp cửa sổ – Phương pháp mẫu tần số • Bộ lọc tuyến tính pha tối ưu • Bộ biến... Passband ripple δ2 ω DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ωp ωs π ©2011, Đinh Đức Anh Vũ dce 2011 • Bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng Bộ lọc FIR • M −1 y (n) = ∑ bk x(n − k ) k =0 Bộ lọc FIR tuyến tính... stopband thấp lọc FIR có số tham số → dùng nhiều so với FIR (khi độ méo pha passband chấp nhận được) – Độ phức tạp tính tốn khơng cao tiêu tốn nhớ – Xác định hệ số lọc DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011,