1 CHNG 1 : M U I. Vecteur hình học và không gian R 3 : A. Ví dụ: Chúng ta tiến hành xét bài toán chuyển động tròn đều. Vị trí của điểm M ở thời điểm t đợc xác định bởi vectơ OM . ở đây, ta thấy vectơ vận tốc v vuông góc với véc tơ OM ( Véc tơ vị trí). V OM V . OM = 0 Gia tốc hớng tâm: = - (/R)OM Mặt khác ta có: Lực hớng tâm F = m Vectơ vị trí OM là một bộ phận của không gian phẳng bao gồm điểm gốc: Đây là không gian hình học hai chiều. Môđun || OM || đồng nhất trên toàn bộ chiều dài || OM || = R. ở đây chúng ta cần phân biệt OM với các vectơ V và F . Theo quan điểm vật lý, OM và V , , F thuộc những không gian khác nhau. Ta nhận thấy sẽ không có khái niệm vuông góc ( V OM ) hay tích vô hớng ( V . OM ) nếu V và OM trong cùng một không gian. 2 Vậy tại sao ta có các khái niệm vuông góc và tích vô hớng? Là do ta cố tình đa tất cả các véc tơ về cùng một không gian duy nhất. Trong thực tế, ta thờng biểu diễn các vectơ V và F trên cùng một tờ giấy. Ta gọi đây là không gian hình học phẳng. Khi nghiên cứu chuyển động của một điểm trong không gian, các vectơ vận tốc, gia tốc đợc xem xét nh là những vectơ của một không gian 3 chiều (luôn đợc phân tích thành 3 thành phần). B. Sự hợp nhất giữa các không gian Khi những đại lợng vật lý có những đặc điểm toán học tơng đồng (3 chiều; tuân theo những quy tắc tính toán giống nhau) thì chúng ta coi những đại lợng đó là các yếu tố của không gian R 3 . Không gian vectơ hình học đợc gọi là biểu diễn có thể có của R 3 (Présentation possible). Một cách tổng quát hơn, khi những đại lợng có bản chất vật lý khác nhau thuộc những không gian toán học có cùng n chiều và tuân theo cùng một quy tắc tính toán, chúng ta coi những đại lợng này nh là những bộ phận của cùng một tập hợp: không gian vectơ R n . II.Quy ớc: Kí hiệu Einstein A. Chỉ số câm: Xét các chỉ số i và j (i, j = n,1 ) và ma trận với các thành phần: x ij . Giả thiết rằng chúng ta tiến hành tính với mỗi giá trị của i, tính tổng của các thành phần khi j từ 1 đến n. Ví dụ: Với mỗi dòng của ma trận ta tính tổng các thành phần có chỉ số cột biến đổi. x 11 x 12 x 13 t 1 = x 11 + x 12 + x 13 x 21 x 22 x 23 t 2 = x 21 + x 22 + x 23 x 31 x 32 x 33 t 3 = x 31 + x 32 + x 33 Ta có thể viết dới dạng tổng quát: t i = = n j 1 X ij 3 Chỉ số j, theo nó mà ngời ta có thể tính tổng tất cả các giá trị đợc gọi là chỉ số câm. Hiển nhiên là chúng ta có thể thay đổi kí hiệu của chỉ số câm: t i = = n j 1 X ij t i = = n k 1 X ik B. Quy ớc của Einstein: Xét hai ma trận vuông (n, n): A và B. Các thành phần của chúng lần lợt là a ij và b ij . Chỉ số dòng quy ớc phía trái. Chỉ số cột quy ớc ở phía phải. Ta tiến hành tính tích P = A.B với các thành phần P ij . Khi đó: P ij = = n l 1 a il b lj b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 a 11 a 12 a 13 p 11 p 12 p 13 a 21 a 22 a 23 p 21 p 22 p 23 a 31 a 32 a 33 p 1 p 32 p 33 Einstein quy ớc chỉ số câm xuất hiện hai lần trong một biểu thức. Khi đó ta bỏ dấu và viết một chỉ số ở trên và một chỉ số ở dới. k j i k i j n k k j i k i j aapaap == =1 Trong đó : i j p Với i là chỉ số dòng còn j là chỉ số cột. Ví dụ: 1) = = n l l jk i l i jk rqp 1 hay l jk i l i jk rqp = 2) == = n l l j k lik n k ij tsrt 11 hay l j k likij tsrt = Xét ví dụ sau: 4 Nhân ma trận P = A.B với Q = C.D với k j i k i j bap = và k j i k i j dcq = Nếu chúng ta muốn viết rõ tích P.Q thì phải tiến hành đổi tên của cặp chỉ số và viết nh sau: |PQ| i j = k m i k ba l j m l dc P.Q = A . B. C . D III. Đổi cơ sở trong R 3 Ta có thể viết mọi vectơ V của R 3 nh là một tổ hợp tuyến tính của 3 vectơ tuỳ ý có chung gốc o nhng độc lập tuyến tính. Ký hiệu i e với e = 1,2,3. Các vectơ i e làm thành cơ sở của R 3 . Ta phân tích vectơ V : V = = 3 1i v i i e = v i i e v i là thành phần của vectơ V trong hệ cơ sở ( i e ). Xét một hệ cơ sở khác của không gian R 3 , ( I E ) với I = 1,2,3. Mỗi vectơ i E là một tổ hợp tuyến tính của i e và ta có thể viết: I E = a i . i e Để có thể biểu diễn dễ dàng dới dạng ma trận ta viết dới dạng: I E = a i I . i e Trong đó: 5 A = [a i I ] = 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 aaa aaa aaa Khi đó: [ 1 E 2 E 3 E ] = [ 1 e 2 e 3 e ] 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 aaa aaa aaa Với I là chỉ số cột i là chỉ số dòng A: ma trận chuyển Ta sẽ tiến hành tìm thành phần v i của vectơ V trong hệ toạ độ mới. Nhận thấy rằng V không phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ nên ta có: V = v i . i e v t I E Mặt khác I E = i I a i e nên ta có: V I i I a i e = v i i e hay v i = a i I v I . Đây là biểu thức biểu diễn thành phần của V trong hệ toạ độ cũ theo hệ toạ độ mới. Nếu muốn tìm theo hệ toạ độ cũ ta cần phải đảo ma trận A. Chúng ta sẽ tìm thấy tính độc lập tuyến tính của i e và I E ảnh hởng tới trật tự của A. Kí hiệu B = A -1 là ma trận đảo của A với các thành phần b i I . Khi đó: v I = b i I v i Ta có bảng sau: Hệ mới hệ cũ Hệ cũ hệ mới i e = b i I I E (B = A -1 ) I E = i I a i e v i = i I a v I (A) v I = i I b v I Chúng ta cần chú ý rằng thành phần của các vectơ của R 3 tuân theo sự thay đổi của hệ cơ bản. Có nghĩa là khi hệ cơ bản thay đổi thì thành phần của các vectơ cũng thay đổi theo. Ta gọi thành phần này là 6 phản biến với sự thay đổi hệ cơ bản. Khi các thành phần tuân theo sự thay đổi của hệ cơ bản thì ta gọi là hợp biến. Các chỉ số kết hợp với thành phần hợp biến của hệ ( i e ) nằm ở dới còn chỉ số kết hợp với thành phần phản biến của (v i ) nằm ở phía trên. Biểu diễn dới dạng ma trận: = 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 bbb bbb bbb hay V I = b i I v i Ví dụ: Cho hệ trực giao Oxyz với các vectơ đơn vị i , j , k bây giờ kí hiệu 1 e , 2 e , 3 e . Ta tiến hành quay một góc quanh trục oz ta sẽ có thành phần vectơ đơn vị I E : 1 E = cos 1 e + sin 2 e + 0 3 e 2 E = -sin 1 e + cos 2 e + 0 3 e 3 E = 0 1 e + 0 2 e + 1 3 e Ta có thể viết: [ 1 E 2 E 3 E ] = [ 1 e 2 e 3 e ] Khi đó B = A -1 có dạng: B = và V I = b i I . v I đợc viết nh sau: = V 1 V 2 V 3 v 1 v 2 v 3 cos - sin 0 sin cos 0 0 0 1 cos - sin 0 sin cos 0 0 0 1 V 1 V 2 V 3 v 1 v 2 v 3 cos - sin 0 sin cos 0 0 0 1 7 IV. Không gian đối ngẫu, ánh xạ tuyến tính trên R 3 : A. Định nghĩa: F đợc gọi là một ánh xạ từ không gian vectơ vào tập vô hớng thì F làm tơng ứng mọi vectơ V của R 3 là một số thực. Ví dụ: a. Cho hệ cơ sở đặc biệt j e thuộc R 3 . Tơng ứng giữa vectơ V và thành phần thứ hai của nó trong hệ cơ bản đặc biệt này có dạng: V R 3 F (V ) R bởi F (V ) v 2 b. Sự kết hợp của một môđun với một vectơ, trên một đơn vị chiều dài định sẵn, có dạng: V R 3 F (V ) = |V | R Trong trờng hợp này tích vô hớng luôn dơng hoặc bằng không c. Nhân vô hớng vectơ V bởi một vectơ U có dạng V R 3 F (V ) = U . V R Vô hớng kết hợp của mọi vectơ V luôn độc lập với hệ trục toạ độ trong không gian. F ( V ) gọi là vô hớng thực. Trong trờng hợp b và c ta có: F ( V ) = |V | = 232221 )()()( vvv ++ và F( V ) = V .U = = 3 1 i v i u i = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 Định nghĩa: Không gian tuyến tính trên R 3 là một ánh xạ tuyến tính từ R 3 vào tập vô hớng. V R 3 F (V ) R F ( V + V ) = F(V ) + F(V ) V và V R 3 và R. Ta sẽ chứng minh trờng hợp b và c. Trong trờng hợp b F ( V +V ) = |(V +V )| |V | + |V | không tuyến tính 8 Trong trờng hợp c F ( V +V ) = U .(V +V ) = U .V + U .V = F( V ) + F(V ) là một không gian tuyến tính. B. Hệ số của một không gian tuyến tính: a. Định nghĩa: Xét vô hớng thực F( V ) trong hệ cơ sở đặc biệt ( i e ). Ta có thể biểu diễn V bởi các thành phần v i . Do F là ánh xạ tuyến tính nên ta có thể viết: F( V ) = F (v i i e ) = v i F( i e ) Kí hiệu f i = F ( i e ). Các thành phần của f i là các hệ số của F trong hệ cơ sở ( i e ). Ta có thể viết đơn giản nh sau: F( V ) = v i f i . b. ảnh hởng của việc thay đổi hệ cơ sở trong R 3 : Nếu chúng ta thay đổi hệ cơ sở ( I E = i I a i e ), các thành phần của V sẽ có dạng v I = I i b . v i Ta thấy biểu thức v i f i là một bất biến khi hệ cơ sở thay đổi. Nh vậy, các hệ số của F buộc phải biến đổi ngợc so với các thành phần v i . Ta tiến hành xem xét sự thay đổi này: Gọi F i là thành phần của hệ số F trong hệ toạ độ mới. Ta có F I = F ( I E ). Nh vậy: F ( V ) = F I V I = f i v i với v i = i I a V I . F I = f i i I a Vậy ta có: F I = i I a f i Kết luận: F I = i I a f i f i = I i b F I C. Không gian đẳng cấu R 3 : Xét tập hợp các không gian tuyến tính trên R 3 . Ta có các tính chất sau: a. Tổng của hai không gian tuyến tính 9 S = F + G S( V ) = F(V ) + G(V ) V b. Tích với một vô hớng : P = F P( V ) = F(V ) V với giả thiết chúng ta có: F = G F( V ) = G(V ) V Trờng hợp đặc biệt: F = 0 F( V ) = 0 V Nh vậy, tập hợp các không gian tuyến tính trên R 3 là một không gian vectơ 3 chiều gọi là không gian đẳng cấu của R 3 và ta ký hiện là R 3* . D) Hệ cơ sở trong không gian đẳng cấu: R 3* là một không gian vectơ, ta có thể luôn tìm đợc 3 không gian tuyến tính độc lập tạo nên hệ cơ sở trong R 3* cho phép phân tích tất cả các không gian tuyến tính còn lại. Chúng ta sẽ đi tìm hệ cơ sở đặc biệt này của R 3* đồng thời sẽ dẫn ra những đặc điểm đơn giản đem lại sự thuận tiện cho công tác tính toán. Chúng ta sẽ đa ra dạng đầu tiên, kí hiệu e * , mà ánh xạ của nó làm cho vectơ đơn vị của hệ cơ sở bằng 1, và hai vectơ còn lại bằng 0. e * ( 1 e )= 1 ; e * ( 2 e ) = 0 ; e * ( 3 e ) = 0 Tơng tự nh trên ta lập đợc ba dạng sau: e *1 , e *2 , e 3* . Chỉ số Kronecker i j : e *i ( j e ) = i j Với i j = 1 si i = i 0 si i j Ta có thể biểu diễn dới dạng ma trận 1 0 0 [ i j ] = 0 1 0 ma trận đơn vị 0 0 1 Chúng ta sẽ tiến hành khảo sát tính độc lập tuyến tính của 3 chỉ số e *i . Tiếp đó, ta sẽ chứng minh tổ hợp i e *i cho ta giá trị bằng 0 khi và chỉ khi hệ số i = 0. 10 Nếu i e *i (V ) = 0 V = v i i e i e *i (v j j e ) = 0 (thay đổi chỉ số câm) hay i e *i (v j ( j e )) = 0 i v j e *i ( j e ) Thay e *i ( j e )= i j ta có Khai triển tổng này theo chỉ số j ta có: i v 1 i 1 + i v 2 i 2 + i v 3 i 3 = 0 Khai triển tiếp tổng trên với chỉ số i thay đổi từ 1 đến 3 ta nhận thấy: khi i = j thì i j = 1, j i thì i j = 0. Vậy ta có: i v i i i = 0 i v i = 0 Để đẳng thức trên đúng V thì i = 0. Kết luận : Ba ánh xạ e *i đợc định nghĩa bởi e *i ( j e ) = i j là độc lập tuyến tính và nó tạo thành một cơ sở của không gian đẳng cấu R 3* . Hệ cơ sở (e *i ) của R 3* đợc định nghĩa từ cơ sở ( i e ) của R 3 . Ta gọi nó là cơ sở đẳng cấu kết hợp với ( i e ). Khi không gian R 3 đợc thiết lập bởi cơ sở ( i e ) thì ta có thể sử dụng không gian R 3* với cơ sở ( i e ) để khai triển các vectơ của không gian đó (dạng tuyến tính). E. Thay đổi cơ sở trong không gian đẳng cấu: Xét cơ sở đẳng cấu mới (E *I ) trong đó E *I ( j E ) = I J . Khi đó vectơ V đợc khai triển trong hệ mới nh sau: E *I (v J j E ) = v J E *I ( j E ) = v J I J Khai triển tổng v J I J ta có với I =J thì I J = 1 E *I (V ) = v J = v I Trong hệ cơ sở cũ ta cũng có e *i (V ) = v i Xét mối quan hệ giữa 2 cơ sở: i v j i j = 0 [...]... biến đổi với ma trận B = A-1 - t ij đợc gọi là 2 lần hợp biến - t ij và t ji đợc gọi là một lần phản biến và một lần hợp biến Ta còn gọi đây là các tenseur hỗn hợp - Các tenseur hỗn hợp có thể có các dạng: - t ij là một phần tử của R 3 R 3* - t ji là một phần tử của R 3* R3 III Tích tenseur của n không gian A Tích của nhiều hơn hai không gian : 34 Nh ta đã biết phép nhân tenseur cho phép ta có đợc... 4 tenseur khác nhau Ta sẽ phân biệt các dãy này bằng vị trí của các chỉ số: - Phần phía trên đợc chọn để có thể sử dụng quy ớc Einstein trong tính tổng các chỉ số câm - Hàng ngang cho ta biết tích tenseur mà ta tiến hành, không gian mà tenseur đó thuộc về Cũng nh vậy, dãy (t ji) đợc kết hợp với dãy của cơ sở ij = ei e*j : tenseur có thành phần tji thuộc không gian R3 R 3* C Cơ sở chuẩn của tích tenseur: ... xây dựng những quy ớc thống nhất về tenseur là rất tiện lợi cho công tác tính toán Một tenseur hoàn toàn có thể đợc định nghĩa bởi dãy các thành phần trong cơ sở chuẩn kết hợp với một cơ sở của R3 Một dãy đợc đánh số biến đổi khi cơ sở bị chuyển đợc coi nh là một tenseur Nh vậy, việc tính toán tenseur sẽ dẫn tới việc thao tác trên các dãy đợc đánh số Đặc biệt, một tenseur quy ớc viết T = t ij ( ei ... cơ sở ở trên, ta đã xét đến 2 ma trận A và B Dãy các phần tử của một ma trận đổi cơ sở có tính tenseur hay không? Trớc hết phải trả lời là không Trong thực tế, một ma trận nh vậy đợc dùng để chuyển từ một cơ sở đợc xác định bởi ( ei ) sang một 28 cơ sở khác đợc xác định bởi ( EI ) Dãy các phần tử này chỉ có một nhiệm vụ là liên kết hai cơ sở đặc biệt với nhau mà thôi Dãy này không phải là hàm của cơ. .. phép tính trên tenseur sẽ đơn giản hơn rất nhiều nếu chúng ta giữ nguyên những chỉ số ban đầu của chúng C Biểu diễn hình học của cơ sở (ij) D So sánh giữa tích Đề cac và tích Tenseur Không gian R 2 xR 2 là một tập hợp của các tích tenseur của tất cả các vectơ của R2 với tất cả các vectơ của R2 Không gian R2 R2 là một tập hợp của tất cả các tổ hợp tuyến tính của các tích tenseur này Liệu giữa hai không... này cấu tạo nên dãy các thành phần của một tenseur gij (e*i e*j) R 3* R 3* Tenseur này gọi là tenseur cơ bản trên R3 Điều quan trọng hàng đầu về mặt hình học đó là việc nhận viết 9 tích vô hớng g ij xác định chiều dài vectơ cơ sở và các góc mà chúng đôi một hợp thành Trong thực tế, ei e j chính là g ij: v i = g ij v j Khi chúng ta tính toán gij trong cơ sở đã dùng thì chúng ta đã rút gọn các thành... những cơ sở nào đó độc lập với nhau Tuy nhiên, không phải tất cả các cơ sở đều thuận lợi cho việc tính toán Chúng ta đã thấy, khi cơ sở ( ei ) đợc chọn trong R 3 chúng ta có lợi khi đa ra R3* với hệ cơ sở đẳng cấu kết hợp (e*i) Điều đó có nghĩa là (ij), (ij), v.v đợc sử dụng để tạo ra những không gian vectơ từ chính chúng Một cơ sở nh vậy sẽ đợc gọi là cơ sở chuẩn kết hợp với ( ei ) Cũng nh vậy, cơ sở... ]A = A -1 [ c ij ]A = B [ c ij ] B -1 Ta nhận ra quy luật của sự thay đổi của cơ sở liên quan đến 2 ma trận đồng dạng [ C JI ] và [ c ij ] Hai ma trận này biểu diễn cùng một toán cử C trong hai cơ sở khác nhau Chúng ta nhận thấy rằng các phần tử của ma trận kết hợp với một toán tử sẽ biến đổi khi ta thay đổi cơ sở: ta nói rằng dãy hai chỉ số ( c ij ), kí hiệu trong ngoặc đơn là một hàm của cơ sở (... (ij) = (e*i e*j) b Thay đổi cơ sở chuẩn: Dẫu rằng những không gian tích tenseur đợc sinh ra bởi cơ sở đặc biệt (cơ sở chuẩn) ta phải chấp nhận ngầm 23 với nhau rằng những phần tử của chúng, có khả năng biểu diễn các đại lợng vật lý, đợc định nghĩa theo cách đồng nhất, nh là những vectơ của R 3 Kết quả là tất cả những thay đổi cơ sở trong R 3 dẫn tới một sự thay đổi của cơ sở chuẩn,ảnh hởng tới sự... cơ sở ( ei ) mà không nhất thiết phải là cơ sở trực giao Xét trờng hợp đặc biệt khi cơ sở trực giao, ta có g ij = ei e j = ij Vậy thì ui= g iju j = u j Mỗi thành phần hợp biến bằng một thành phần phản biến tơng ứng 3 Ta rút gọn: u v = u i v i i=1 u iv i và nhận đợc tổng các thành = phần cổ điển trong cơ sở trực giao Chú ý: Khi gij = ij , đặc tính tenseur của (g ij) không kéo theo đặc tính của tenseur . lập tuyến tính và nó tạo thành một cơ sở của không gian đẳng cấu R 3* . Hệ cơ sở (e *i ) của R 3* đợc định nghĩa từ cơ sở ( i e ) của R 3 . Ta gọi nó là cơ sở đẳng cấu kết hợp với ( i e ) bởi cơ sở ( i e ) thì ta có thể sử dụng không gian R 3* với cơ sở ( i e ) để khai triển các vectơ của không gian đó (dạng tuyến tính). E. Thay đổi cơ sở trong không gian đẳng cấu: Xét cơ. với cơ sở là ( ij ). Các phần tử của R 2 R 2 là các tenseur trên R 2 . Nếu chúng ta kí hiệu một tenseur T nh là một tổ hợp của ( ij ), chúng ta có thể biểu diễn các thành phần của T trên cơ