Dùng phơng pháp giản đồ véctơ để giải bài toán điện xoay chiều II. giải quyết vấn đề A. Cơ sở lý thuết Để học sinh có kỹ năng vận dụng giản đồ véc tơ vài giải quyết tốt các bài tập điện xoay chiều trớc hết cần trang bị cho học sinh cơ sở lý thuyết là các kiến thức cơ bản có liên quan, sau đó đa ra các bài toán để áp dụng. Cụ thể, về nội dung lý thuyết cơ bản cần làm cho học sinh nắm chắc các nội dung sau: 1. Phơng pháp giản đồ véc tơ Frexnen: + Mỗi dao động điều hoà có phơng trình x = Asin(t + ) đợc mô tả nhờ một véctơ A có độ lớn bằng A, hợp với trục làm gốc một góc và quay theo chiều thuận với vận tốc góc bằng . + Dùng giản đồ véctơ để tổng hợp 2,3 dao động điều hoà cùng ph ơng cùng tần số. + Khi áp dụng vào mạch điện xoay chiều, các đại lợng hiệu điện thế u, cờng độ dòng điện i đều là các dao động điều hoà, nên có thể biểu diễn chúng nhờ các véctơ quay 00 , IU (hoặc tơng đơng IU, ). 2. Có hai cách vẽ giản đồ véc tơ: Cách 1: Theo nh SGK: Quy các véc tơ U của các phần tử R,L,C về cùng một gốc, véc tơ tổng hợp đợc xác định bằng quy tắc hình bình hành. Cách 2: Các véctơ U của các phần tử R, L, C "nối đuôi nhau", tức là véc tơ này nối tiếp véctơ kia, véc tơ tổng đợc xác định bằng cách nối điểm gốc của véctơ đầu tiên và ngọn của véctơ cuối cùng. Minh ho ạ: Cách 1 L U d U Cách 2 r U R U 0 A U MB U C U 1 L,r N C A B R M R U r U M N L U C U U L,r N C A B R M U L = 2 340 V Z L = 320 L = 3 2,0 H Nếu mạch có nhiều phần tử R,L,C, bài toán tìm cực trị của U L hoặc U C khi C hoặc L thay đổi thì cách vẽ thứ hai sẽ thuận lợi hơn vì hình vẽ đơn giản và dễ thấy quan hệ về góc (pha) của các phần tử. 3. Các công thức lợng giác: Định lý hàm số sin, cosin, hệ thức trong tam giác, các tính chất về tam giác đều, cân, vuông, hình chữ nhật, hình thoi. Giáo viên có thể nhắc lại từ khi luyện về tổng hợp các dao động điều hoà bằng phơng pháp giản đồ véctơ. Những kiến thức này hoàn toàn không khó đối với học sinh mà chỉ do học sinh quên hoặc nhầm lẫn nên sẽ không mất nhiều thời gian. 4. Mối quan hệ về pha giữa các đại lợng u với i; Định luật Ôm đối với các giá trị hiệu dụng. b. các ví dụ Ví dụ 1: Cho mạch điện xoay chiều nh hình vẽ Biết: i = 2 sin(100t) A; u AM = 40 2 sin (100t + /3) V; u lệch pha so với i là /6. Tìm R, r, C? Giải Vì mạch không có tụ C nên u sớm pha hơn i. Lấy trục i làm gốc ta có giản đồ véc tơ Ta có: I = 1 A + U r = U AM cos /3 = 20 V r = 20 + U L = Usin /6 = U AM sin /3 * + Từ * ta có U = 2U L = 40 3 V Và U R + U r = Ucos /6 = 60 V Suy ra R + r = 60 . R = 40 . Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều nh hình vẽ. Tần số dòng điện là f Cho: U AB = 2U AM = 4U NB = 200V. Viết biểu thức U AM , lấy gốc thời gian của cờng độ dòng điện? Biết U AB trùng pha với i. Giải Có: + U AM = 100 V; u AM trùng pha với i + U NB = 50 V; u NB chậm pha /2 so với i. 2 A M B R L,r L U AM U U r U R U I MN U AM U AB U I 0 U = cosI P = 120V R 1 = 2 I P = 200 ; tg = 3 1 = R Z L L = f Z L 2 = 3 + U MN sớm pha so với i góc . Ta có giản đồ véc tơ Từ giản đồ véc tơ ta có: U MN Cos + U AM = U AB ; Cos = 100/U MN (1) U MN Sin = U NB ; Sin = 50/U MN (2) Từ (1) và (2): U MN = 50 5 V ; tg = 1/2 Vậy biểu thức của u MN là: u MN = 50 10 sin (2ft + ) V; Với tg = 1/2 Ví dụ 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng toàn quốc - 2002) Cho mạch điện xoay chiều nh hình vẽ. Hiệu điện thế u AB ở hai đầu mạch có tần số 100Hz và giá trị hiệu dụng không đổi U. 1. Mắc Ampe kế có điện trở rất nhỏ vào M và N thì Ampe kế chỉ I = 0,3A, dòng điện trong mạch lệch pha 60 0 so với u AB , công suất toả nhiệt là P = 18W. Cuộn dây thuần cảm. Tìm R 1 , L, U. 2. Mắc vôn kế cos điện trở rất lớn vào M và N thay cho Ampe kế thì vôn kế chỉ 60V, hiệu điện thế trên vôn kế trễ pha 60 0 so với u AB . Tìm R 2 ,C? Giải 1. Khi mắc Ampe kế vào M và N thì trong mạch chỉ còn R 1 , L nên hiệu điện thế nhanh pha hơn dòng điện; = /3 P = UI Cos Z L = 200 3 Vậy: 2. Ký hiệu U AM = U 1 ; U MN = U 2 = 60V. Mạch có R 1 , L, R 2 , C. Ta có giản đồ véc tơ U = 120V = 2U 2 2 = 60 0 ; Tam giác OHN vuông tại H. Do L, R 1 vẫn nh trớc nên 1 = 60 0 Suy ra u AB nhanh pha so với i góc 60 0 ; Góc NOM = 30 0 U 1 = Ucos 30 0 = 60 3 V 3 L N C A B M R 2 R 1 L U C U 1 U 2 U 2R U 1R U I 0 M N H 1 2 I = 1 1 R U R = 0,15 3 A I = C C Z U = 1A U = 2 Uo = 120V U = U L U R1 = U 1 cos 60 0 = 30 3 V U R2 = U 2 cos 30 0 = 30 3 V ; R 2 = U R2 /I = 200 U C = U R2 tg30 0 Z C = R 2 .1/ 3 = 200/ 3 Vậy: C = 1,38.10 - 15 F. Ví dụ 4: Cho mạch điện nh hình vẽ Cuộn dây thuần cảm; C = 15,9àF Hiệu điện thế giữa hai đầu mạch có biểu thức: u AB = 200sin(100t) V Tìm R, L biết hiệu điện thế giữa hai bản tụ là: u C = 200 2 sin(100t - /4) V. Giải Vì u C chậm pha hơn i góc /2; theo đề ra u C chậm pha hơn u góc /4 nên giản đồ véc tơ nh hình vẽ: Từ tam giác OMN có: U R = Ucos = 100 2 cos /4 = 100V. Tam giác OMN vuông cân nên: U C - U L = U R U L = U C - U R = 100V Vậy: R = U R /I = 100 ; Z L = U L /I = 100 L = 1/ H. Ví dụ 5: Cuộn dây chỉ có hệ số tự cảm L = 0,636 H mắc nối vào đoạn mạch X rồi áp hai đầu cả đoạn mạch vào một hiệu điện thế u = 120 2 sin (100t) V thì cờng độ dòng điện qua cuộ dây là i = 0,6 2 sin (100t - /6) A a. Tìm hiệu điện thế hiệu dụng u x giữa hai đầu đoạn mạch x. b. Đoạn mạch x gồm hai trong ba phần tử . Điện trở R x , cuộn dây chỉ có độ tự cảm L x tụ điện có điện dung C x mắc nối tiếp. Hãy xác định hai trong ba phần tử đó? Giải a. Z L = L = 200 ; U L = I.Z L = 120V Giản đồ véc tơ nh hình vẽ Từ giản đồ ta có: tam giác OAB đều 4 L C A B R L U R U C U U 0 I M N P /4 0 x A B C L U X U U Cos Zx Rx X = R X = Z X . cos X = 6/cos. I Ux tg X = - Zx Rx = - 3 3 I = AM AM Z U = 22 L AM Zr U + Z AM = 22 C ZR + = I U MB = 200 Z AB = 22 )()( cL ZZrR ++ = I U AB = 400 (OA = OB, Góc AOB = 60 0 ). Vậy: U X = U L = 120V b. Từ giản đồ ta thấy + U X trễ pha hơn i góc: 6/ == X Vậy: Hai phần tử của X là R X và C X + R X = 173 + Vậy: Z CX = 100 ; C X = 31,8. 10 - 6 (F) Ví dụ 6: Cho mạch điện nh hình vẽ Biết: r = 100 3 ; L = 3/ H; Vôn kế có điện trở vô cùng lớn. Đặt vào hai đầu A,B một hiệu điện thế u AB = 120 2 sin (100t) V thì vôn kế chỉ 60 3 V và hiệu điện thế giữa hai đầu vôn kế nhanh pha hơn hiệu điện thế u AB góc /6. Tính R và C? Giải Vẽ giản đồ véc tơ theo cách 2 Ta có: 6/cos2 22 MAABABMB UUUU = U MB = 60V Định luật Ôm: ; I = 0,3A. R 2 + Z 2 C = 4.10 4 (1) Vậy: (100 3 + R) 2 + (300 - Z C ) 2 = 16.10 4 (2) Từ (1) và (2): R = 100 3 ; Z C = 100 C = 31,8. 10 - 6 F Ví dụ 7: Cho mạch điện nh hình vẽ 5 L,r C A B M R V L,R 0 C A B N R V 2 2 2 2 V A M B AM U MB U AB U /6 U AN = U NB = 2 AB U = 100 V Z AN = Z NB = I U NB = 50 Cos 2 3 == AN AN Z R ; R = 325 2 3 = AN Z AN = - /6 tg AN = 2 3 = R Z C Cos NB = NB Z R 0 = 2 1 R 0 = 25 tg 3 0 == R Z L NB 3253 0 == RZ L ; L = 0,138H u AB = 200 sin (100t) V; i = 2 2 sin (100t - /12) A. Các vôn kế V 1 , V 2 chỉ cùng một giá trị, nhng u NB nhanh pha hơn u AN góc /2; điện trở các vôn kế vô cùng lớn. Tính a. R, L, R 0 và L? b. Công suất tiêu thụ của mạch? Giải a. u AN chậm pha hơn i (mạch có R,C) u NB nhanh pha hơn i (mạch có R 0 , L) Theo đề ra: U AN = U NB và U NB nhanh pha hơn U AN góc /2 Ta có giản đồ véctơ + Tam giác ANB vuông cân AN = /4 - /12 = /6 Z C = 25 ; C = 127àF + Tính chất góc ngoài tam giác cho ta: NB = + ABN = /12 + /4 = /3 b. P = I 2 (R + R 0 ) = 273,2 W. Ví dụ 8: (Trích đề thi đại học Quốc gia Hà Nội - 1998) Cho mạch điện xoay chiều nh hình vẽ 6 V 2 2 2 2 L,R 0 C M Q N R V P A B N AN AB U NB NB U AN U V U U NP L 45 2 == 330 30cos 0 == L MN U U V 22 0 )()( CLRRMQ UUUUU ++= = 90 V I = R U R I U Z L L = = R U U R L . = 15 3 Đặt một hiệu điện thế có tần số 50Hz vào hai đầu M,Q thì vôn kế chỉ 90V. Khi đó U MN lệch pha 150 0 và U MP lệch pha 30 0 so với U NP , đồng thời U MN = U MP = U PQ Cho R = 30. Tính hiệu điện thế hiệu dụng U MQ và hệ số tự cảm L của cuộn dây? Vôn kế có điện trở vô cùng lớn. Giải Dựa vào độ lệch pha giữa các hiệu điện thế so với nhau và với dòng điện ta có giản đồ véctơ + Theo đề ra U MN = U MP nên tam giác MNP là tam giác cân tại M, MH là đờng trung tuyến U R0 = U L tg30 0 = 15 3 V U R = U PQ = U MN =30 3 V Vậy: + L = 0,0827 H, với = 2f = 100 rad/s. Ví dụ 9: (Trích đề thi Cao đẳng s phạm Hà Nội - 1997) Cho mạch điện xoay chiều u AB = 120 2 sin(100t) V. Hiệu điện thế hiệu dụng U AM = 120V và u AM sớm pha so với u AB là /2. a. Viết biểu thức hiệu điện thế u AM , u MB ? b. cho R = 50 . Tính L,C? Giải a. + u AM = 120 2 sin(100t + /2) V. + Giản đồ véc tơ biểu diễn phơng trình AM U + MB U = AB U Tam giác AMB vuông cântại A (vì u AM = u AB ) 7 A M B C L,R M N P H MN 30 0 R U L U C U I A M B AM AM U AB U R U CMB UU = I tg ===== 501 RZ R Z U U L L R L AM Z C = FC U U I U R CC 6 10.8,31100 === tg = 3 3 1 2 == U U U AN = V Sin U 60 2 = I = 2= R U R A = 45 0 = /4 u MB trễ pha /4 so với u AB và U MB = ABAM UU 22 + = 120 2 V U 0MB = 240V Vậy: u MB = 240 sin(100t - /4) V b. U R = U AM cos AM = 120cos /4 = 60 2 V U L = U R = 60 2 V L = 0,16H Ví dụ 10: (Đề thi Đại học Ngoại thơng - 1998) Cho mạch điện nh hình vẽ u AB = 80 2 sin(100t) V; R= 15 ; Các vôn kế lần lợt chỉ U 1 = 30V; U 2 = 30 3 V U 3 = 100V; Điện trở của các vôn kế rất lớn, cuộn dây thuần cảm. Viết biểu thức của cờng độ dòng điện i; Tìm các giá trị C, L, R 0 ? Giải Giản đồ véc tơ nh hình vẽ * Viết biểu thức i: + + Theo đề ra: U AB = 80V; U NB = 100V Tam giác BAN vuông tại A (theo Pitago) u AB sớm pha hơn i góc = /2 - /3 = /6 Mặt khác Vậy: i = 2 2 sin(100t - /6) A 8 L C M B N R 0 V A R V V A M B N Q H 2 U 1 U 3 U 0R U I Z C = 315= I U C C = 122,5 àF Z L = 46 I U L L = 0,146H C = F 9 10 3 tg 3 1 180 60 === AM MB U U 32,0= rad I = AM AM Z U = 2 A * Tính C, L, R 0 . + + Trong tam giác ABH có BH = U L - U 2 = U AB sin = 40V. U L = 40 + 30 3 + Trong tam giác vuông NQB có: 22 3 2 0 LR UUU = U R0 = 39,19 V; R 0 = 19,6 . Ví dụ 11: Cho mạch điện nh hình vẽ X là đoạn mạch gồm 2 trong số 3 phần tử R 0 , L 0 , C 0 mắc nối tiếp. Đặt vào A,B một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị U không đổi. Khi R = 90 thì u AM = 180 2 sin(100t - /2) V và u MB = 60 2 sin(100t) V. a. Viết biểu thức u AB ? b. Xác định các phần tử của X và giá trị của chúng? Giải Theo bài ra u MB sớm pha /2 so với u AM nên u MB = u x nhanh pha hơn i X chứa hai phần tử R 0 , L 0 . Giản đồ véc tơ: a. Trong tam giác vuông AMB có 2 U = 22 MBAM UU + = 180 2 + 60 2 U 190 V u AB sớm pha so với u AM góc Vậy: u AB = 190 2 sin(100t - /2 + 0,32) V b. Ta có Z C = 90 = R U C = U R , tam giác ANM vuông, cân Z AM = 22 C ZR + = 90 2 ; Góc BMH = góc MBH = 45 0 tam giác MHB vuông, cân U R0 = U L0 = U MB sin45 0 = 30 2 V R 0 = Z L0 = 30 ; L 0 = 3/10 H. Ví dụ 12: Cho mạch điện xoay chiều 9 X N C A B R M L C M B A R V A B M N 45 0 H R U U I 0L U 0R U tg RC = tg AM = R Z C = const sin 22 C C RC ZR Z + = sin 22 C ZR R + = = cos RC sinsin U U L = sin sin UU L = U L ) max = sin U khi sin =1 22 2 222 C C LC ZR Z ZZR + =+ C C C C L Z ZR L Z ZR Z 2222 + = + = 22 max CL ZR R U U += Biết: U AB = U = const; R, C, không đổi. Điều chỉnh L để số chỉ của vôn kế đạt cực đại. Xác định giá trị L tơng ứng? Cuộn dây thuần cảm. Giải Do R, C, không đổi Z C = const; RC = const; RC < 0 Dựa vào độ lệch pha của các hiệu điện thế với dòng điện ta có giản đồ véctơ Từ giản đồ véc tơ có: = /2 - RC = const (1). áp dụng định lý hàm sin ta có: ( hay = /2; Khi đó tam giác BAM vuông tại A Khi đó U AM = U L Cos Kết hợp với (1) Z AM = Z L Sin RC 10 L U C U R U A M RC . /6 = 60 V Suy ra R + r = 60 . R = 40 . Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều nh hình vẽ. Tần số dòng điện là f Cho: U AB = 2U AM = 4U NB = 200V. Viết biểu thức U AM , lấy gốc thời gian của cờng. liên quan, sau đó đa ra các bài toán để áp dụng. Cụ thể, về nội dung lý thuyết cơ bản cần làm cho học sinh nắm chắc các nội dung sau: 1. Phơng pháp giản đồ véc tơ Frexnen: + Mỗi dao động điều. Những kiến thức này hoàn toàn không khó đối với học sinh mà chỉ do học sinh quên hoặc nhầm lẫn nên sẽ không mất nhiều thời gian. 4. Mối quan hệ về pha giữa các đại lợng u với i; Định luật Ôm