1 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 “CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC, CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG” Tác giả: NGUYỄN VĂN NGHIÊU (Trưng Vương) NGUYỄN TĂNG CƯỜNG (Trưng Vương) THÂN TRỌNG DUY THẠC (Kim Đồng) TRẦN ĐỨC KIỆT (Tây Sơn) LỜI NÓI ĐẦU: Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn Toán, nhất là môn Toán lớp 9, người thầy cung cấp cho học sinh những phương pháp giải Toán có tầm quan trọng bậc nhất. Với hành trang là những phương pháp giải Toán có được, nhiều kĩ năng giải Toán được hình thành. Thông qua đó, năng lực phân tích tìm tòi, khả năng suy đoán, khả năng diễn đạt chính xác, hợp lí và tư duy sáng tạo của học sinh được phát triển. Thông qua chuyên đề này, tài liệu sẽ cung cấp những kiến thức cần thiết về phương pháp giải Toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải, giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo. Ngoài ra chúng tôi còn cung cấp một số đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 của thành phố Đà Nẵng và các tỉnh bạn trong các năm học qua có sử dụng phương pháp giải này. Chúng tôi hy vọng rằng những kinh nghiệm này sẽ là một tài liệu thiết thực và bổ ích để đào sâu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán. Tuy nhiên tài liệu chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của các bạn. Hải Châu, 2009 http:/nvnghieu.tk/ 2 A. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC: I. Phương pháp giải : 1. Chứng minh hai đường thẳng song song: Ta thường sử dụng một trong các phương pháp sau: a. Dựa vào mối quan hệ giữa các góc so le trong, hoặc góc đồng vị hoặc các góc trong cùng phía. b. Dựa vào đường thẳng thứ ba làm trung gian (các hệ quả của tiên đề Ơ- clit). c. Chứng minh cho các đoạn thẳng là cạnh đối của một hình bình hành, của một hình thang, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. d. Dựa vào đường trung bình của tam giác, của hình thang hoặc đoạn thẳng tỉ lệ 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: Ta thường sử dụng một trong các phương pháp sau: a. Dựa vào tính chất hai đường chéo của hình thoi, hình vuông thì vuông góc với nhau. b. Dựa vào tính chất về đường phân giác của góc ở đỉnh của tam giác cân. c. Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc bằng góc vuông cho trước hoặc dựa vào hai góc phụ nhau. d. Dựa vào tính chất ba đường cao trong tam giác. e. Dựa vào tính chất đối xứng của đường tròn II. Các bài toán áp dụng : Bài toán 1.1 : Cho tam giác ABC và ba trung tuyến AM, BN, CE. Kẻ Ax//BC và Ny //AB. Ax cắt Ny tại D. Chứng minh DC // AM và ED //BN. Gợi ý giải: Chứng minh ADCM là hình bình hành (theo cách nhận biết hình bình hành) Suy ra: DC // AM (đpcm) Tương tự BEDN cũng là hình bình hành (theo cách nhận biết hình bình hành) y x D A B C N E M http:/nvnghieu.tk/ 3 Suy ra: ED // BN (đpcm). Nhận xét: Để chứng minh DC // AM hoặc EĐ // BN, ta chứng minh các đoạn thẳng là cạnh đối của hình bình hành. Bài toán 1.2: Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhon, AD là tia phân giác và AM là trung tuyến xuất phát từ đỉnh A ( DBC, MBC). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD cắt AB tại E và AC tại F. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh IM // AD. (Đề thi HS giỏi THCS lớp 9 năm học 2003-2004, thành phố Đà Nẵng) Gợi ý giải:  BAD   BME (gg) Suy ra : BE.BA = BD.BM Tương tự:  CFD   CMA (gg) Suy ra : CF.CA = CM.CD hay : BE = BD .BM BA CF = CD .CM CA (1) Mặt khác, do tính chất của đường phân giác, ta có: BD CD BA CA  (2) Từ (1),(2) và do BM = CM, suy ra: BE = CF. Kẻ EE' và FF' cùng song song với AD (E', F' thuộc BC). Ta có: BD BE ' BA BE  và CD CF' CA CF  (3) Từ (2) và (3) và do BE = CF nên M là trung điểm của E'F'. Do đó IM là đường trung bình của hình thang EE'FF'. Vậy IM // EE' hay IM // AD. Nhận xét: Để chứng minh IM // AD, ta phải dựa vào đường trung bình của hình thang. A B C E F D M I F' E' http:/nvnghieu.tk/ 4 Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC, có góc A nhọn, nội tiếp trong đường trong tâm O, bán kính R. Hai đường cao BI và CJ lần lượt cắt đường tròn tại I', J'. a. Chứng minh IJ // I'J'. b. Chứng minh OA  IJ. Lời giải: a. Tứ giác BCIJ nội tiếp đường tròn (do I và J cùng nhìn BC dưới một góc vuông). Suy ra: ˆ ˆ BIJ = BCJ (cùng chắn cung BI) Trong khi đó trong đường tròn (O) ta có: ˆ ˆ BI'J' = BCJ' (cùng chắn BJ'). Vậy : ˆ ˆ BIJ = BI'J' Hai góc này ở vị trí đồng vị nên IJ // I'J' b. Ta có: ˆ ˆ ABI' ACJ'  (cùng phụ với ˆ BAC ) Suy ra: AI' AJ'  ) ) => AO  I'J' => AO  IJ. Nhận xét : - Để chứng minh IJ // I'J' ta cũng chứng minh cặp góc đồng vị bằng nhau. - Để chứng minh OA  IJ ta sử dụng định lí được học ở lớp 7: "Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia". - Bài này cũng gợi ý một bài toán rất hay: Cho B, C cố định, A di chuyển trên cung lớn BC của đường tròn (O). Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ không đổi. Có 2 cách giải. Cách 1 : Gọi K là giao điểm của BI và CJ. Tứ giác AIKJ nội tiếp d dường tròn đường kính AK. Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ có độ dài bằng AK 2 . Ta có  ABK =  ABJ', từ đó suy ra AK = AJ'. Do góc A có số đo bằng 1 2 sđ BC ) không đổi nên số đo góc J'CA không đổi (góc phụ của góc A). Vậy cung J'A có số đo không đổi và do đó dây cung J'A có độ dài không đổi, nghĩa là AK có độ dài không đổi. Cách 2: Ta có thể chứng minh rằng AK = 2OH (với H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống BC). A B C O . I' J' J I http:/nvnghieu.tk/ 5 Bài toán 1.4: Trong đường tròn (O) cho hai dây AC và BD vuông góc với nhau tại I. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua I và trung điểm của BC vuông góc với AD. Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC và N là giao điểm của IM và AD. Ta có: IM = MC => ˆ ˆ ICM CIM  Mặt khác, ta có: ˆ ˆ ˆ ˆ NDI ADB ACBM ICB    (cùng chắn cung AB). ˆ ˆ NID BIM  (góc đối đỉnh) Từ đó, ta có: ˆ ˆ ˆ ˆ NID NDI BIM ICB    = 0 ˆ ˆ BIM MIC 90   Bởi vậy: 0 ˆ IND 90  Bài toán 1.5 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên AB lấy 2 điểm C và D cách đều tâm O. Qua C và D, kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn ở I và K. Chứng minh rằng IC vuông góc với IK. Lời giải: Gọi H là trung điểm của IK. Ta có OH là đường trung bình của hình thang CDKI nên OH // IC. Ta lại có OH  IK (tính chất đường kính và dây) nên IC  IK Nhận xét: Bài tập này sử dụng cả tính chất đường kính và dây và tính chất một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song. Bài toán 1.6: Cho cung phần tư AB của đường tròn (O). Từ A và B, ta kẻ hai dây bằng nhau AM và BN. Hai dây này cắt nhau ở C. Chứng minh rằng OC vuông góc với AB. Lời giải: Từ O, kẻ OI  AM, OH  BN (I AM, H  BN) A D C B M N I K H A B C O D http:/nvnghieu.tk/ 6 Ta có:  OIA =  OHB (cgc) => ˆ ˆ AOI BOH  (1) và  ICO =  HCO (cạnh huyền, cạnh góc vuông). => ˆ ˆ IOC HOC  (2) Từ (1) và (2) suy ra: ˆ ˆ AOC BOC  nên OC là đường phân giác của tam giác cân AOB. Nhận xét : Để chứng minh OC AB, ta phải sử dụng tính chất đường phân giác phát xuất từ đỉnh của tam giác cân. III. Bài tập luyện: Bài toán 1.7 : Cho 2 đường tròn tâm O và O' cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) tại C và đường tròn (O') tại D. Vẽ đường thẳng qua B cắt đường tròn (O) tại E và đường tròn (O') tại F. Chứng minh CF // DF. Gợi ý giải: Chứng minh 0 ˆ ˆ ACE ADF 180   . Suy ra: CE // DF. (2 góc trong cùng phía bù nhau). Bài toán 1.8: Cho tam giác ABC, vẽ trung tuyến AM. Các đường phân giác của các góc AMB và AMC cắt AB ở D và AC ở E. Chứng minh DE // BC. Gợi ý giải: Chứng minh AD AE DB EC  Vậy DE // BC (theo định lí Ta -lét) Bài toán 1.9 : Cho đường tròn đường kính BC. Một điểm P ở ngoài đường tròn có hình chiếu trên BC là một điểm A ở ngoài đường tròn. Giao diểm của PB, PC với đường tròn lần lượt là M, N. Giao điểm AN với đường tròn là E. Chứng minh EM  BC. Gợi ý giải : Cần chú ý các tình huống là 2 hình vẽ khác nhau. - Trường hợp AC > AB. - Trường hợp AB > AC. A N M C O B I H http:/nvng hieu.tk/ 7 Bài toán 1.10: Cho tam giác ABC có các cạnh AB, AC và BC thoả mãn điều kiện AB< AC và AB + AC = 2BC . Gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Tia phân giác trong của góc BAC cắt BC tại D. Chứng minh rằng: OI vuông góc với AD. (Đề thi chọn HS giỏi lớp 9 thành phố Đà Nẵng, năm học 2005 - 2006) Gợi ý giải : Gọi M là giao điểm của tia phân giác góc BAC và dường tròn (O). Chứng minh được ID = DM. Suy ra: AI = IM. Do đó OI  AM (t/c đường kính di qua điểm chính giữa của một dây). Bài toán 1.11: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi O, O', I theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH, ACH, ABC. Chứng minh: AI vuông góc với OO'. (Trích đề thi chọn HS giỏi lớp 9, thành phố Đà Nẵng, năm học 1999-2000) Gợi ý giải : Tam giác AOO' có 2 đường cao cắt nhau tại I nên I là trực tâm => AI là đường cao thứ ba, hay AI  OO'. Bài toán 1.12 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O, D là trung điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng OE vuông góc với CD. (Đề thi chọn HS giỏi lớp 9, thành phố Đà Nẵng, năm học 1998 - 1999) Gợi ý giải: Trong tam giác DEG có 2 đường cao cắt nhau tại O, nên O là trực tâm của tam giác DEG. Vậy EO là đường cao thứ ba của tam giác DEG, nên DE vuông góc với CD. B. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG (Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng) Với bài toán đơn giản: Cho đường tròn (O) đường kính AB vẽ hai dây AC và BD song song với nhau. Chứng minh AC = BD. Một số học sinh sẽ nối OC, OD và chứng minh tam giác AOC bằng tam giác DOB theo trường hợp c – g – c với · AOC = · BOD (hai góc đối đỉnh) như vậy đã nhầm lẫn D, O, C thẳng hàng Trong một số bài toán nâng cao nhiều khi học sinh cũng có những nhầm lẫn tương tự như vậy nên bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là bài toán quan trọng cần bồi dưỡng cho học sinh. http:/nvnghieu.tk/ D B O A C 8 I .Một số phương pháp giải thường vận dụng để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng.  Chứng tỏ hai trong ba đường thẳng AB, AC, BC trùng nhau do cùng song song hay vuông góc với một đường thẳng.  Sử dụng mối quan hệ về góc (hai góc bằng nhau, hai góc kề bù).  Chứng tỏ hai tia đối nhau (hoặc C là tâm đường tròn đường kính BA, giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ,hình chữ nhật với hai đỉnh đối của nó)  Hai đường tròn tâm A và tâm B tiếp xúc nhau tại C.  II.Các bài toán áp dụng: Bài toán 2.1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), các đường phân giác trong của góc A, B, C cắt nhau tại I và cắt đường tròn theo thứ tự tại D, E, F. a/ Chứng minh các tam giác DCI và DBI cân. b/ DE cắt AC tại K, DF cắt AB tại N. Chứng minh ba điểm N, I, K thẳng hàng. (Đề thi vào lớp 10 Thanh Hóa – 1994) Gợi ý giải: a/ Chứng minh · DIC = · DIB ; · DBI = · DIB để suy ra các tam giácDIC, DIB cân. b/ Chứng minh · KIC = · ICB (= · KIB ) để suy ra IK // BC Tương tự chứng minh NI // BC Suy ra N,I,K thẳng hàng Nhận xét: Để chứng minh ba điểm N, I, K thẳng hàng ta chứng minh hai đường thẳng IK, IN cùng song song với BC. Bài toán 2.2 : Cho hai điểm A,B cố định trên đường tròn (O), các điểm C,D di động trên đường tròn sao cho AD // BC và C, D ở cùng phía với dây AB. M là giao điểm của AC và BD. Các tiếp tuyến với đường tròn tại A, D cắt nhau tại I. Chứng minh: a/ Ba điểm I, O, M thẳng hàng. b/ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC là hằng số Gợi ý giải: a/ Chứng minh ba điểm thẳng hàng: BC // AD cung DC bằng cung AB dễ dàng chứng minh được MD =MA Lại có OD = OA; ID = IA nên chứng minh được I, O, M cùng thuộc trung trực của AD nên chúng thẳng hàng. N I K E O B C F A M I O A B C D http:/nvnghieu.tk/ 9 O y x A' E F C D A B Bài toán 2.3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; R). Vẽ tia Ax vuông góc với AD cắt BC tại E ; vẽ tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F . Chứng minh E,O,F thẳng hàng. Gợi ý giải: Xét ba trường hợp xảy ra:  Nếu · BAD = 90 0 thì EF là đường kính của đường tròn (O) suy ra điều phải chứng minh.  Nếu · BAD > 90 0 , gọi A’ đối xứng với A qua EF · ' EA F = · EAF = · BAF + · EAD – · BAD = 180 0 – · BAD = · ECF Suy ra tứ giác EFA’C nội tiếp nên · ' A EF + · ' A CF = 180 0 suy ra · AEF + · ' A CF = 180 0 ( · AEF = · ' A CF ) mà · AEF = · ' A AD ( góc có cạnh tương ứng vuông góc ) nên · ' A AD + · ' A CD = 180 0 do đó tứ giác ADCA’ nội tiếp hay A’  (O) suy ra O thuộc đường trung trực của AA’ suy ra E, O, F thẳng hàng.  Trường hợp · BAD < 90 0 chứng minh tương tự Nhận xét: Bài tập này vận dụng phương pháp chứng minh ba điểm cùng nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng để suy ra ba điểm thẳng hàng. Bài toán 2.4 : Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, trực tâm H . Gọi AM,AN là các tiếp tuyến với đường tròn (O) đường kính BC (M,N là tiếp điểm ) . Chứng minh : a/ Tứ giác AMDN nội tiếp được đường tròn . b/ Ba điểm M,H,N thẳng hàng. Gợi ý giải: a/ A,M,D,N cùng thuộc đường tròn đường kính AO b/ Chứng minh AN 2 = AE.AC Chứng minh AE.AC = AH.AD Suy ra AN 2 = AH.AD nên AN AH AD AN  từ đó chứng minh được ∆AHN ~ ∆AND suy ra · AHN = · A ND Tương tự ∆AHM ~ ∆AMD suy ra · AHM = · A MD H D O B C A N M http:/nvnghieu.tk/ 10 · AHM + · AHN = · A ND + · A MD = 180 0 Suy ra M, H, N thẳng hàng Nhận xét : Bài tập này vận dụng hệ thức lượng trong đường tròn để chứng minh tam giác đồng dạng dẫn đến chứng minh hai góc kề nhau là kề bù suy ra ba điểm thẳng hàng. Bài toán 2.5: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ cát tuyến ABC và tiếp tuyến AE, AF tới (O). Các tiếp tuyến với (O) tại B, C cắt nhau tại K. Chứng minh K, E, F thẳng hàng. Gợi ý giải : Kẻ KH vuông góc với AO suy ra K, B, H, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính OK nên tứ giác OCBH nội tiếp được đường tròn. Chứng minh : AH.AO = AB.AC = AF 2 Gọi H’ là giao điểm của EF và AO Chứng minh AF 2 = AH’.AO suy ra AH.AO = AH’.AO nên H trùng với H’ hay EF vuông góc với AO. suy ra K, E, F thẳng hàng. 3.Bài tập luyện : Bài tập 2.6: Cho tam giác ABC với các đường cao AA 1 , BB 1 , CC 1 . Chứng minh rằng: Các hình chiếu vuông góc của A 1 lên AB, AC, BB 1 , CC 1 thẳng hàng. Gợi ý giải : Gọi M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu của A 1 xuốngAB, BB 1 , CC 1 ,AC. · MNB = · 1 MA B = · 1 BCC = · 1 1 BBC suy ra MN // B 1 C 1 . · PNH = · 1 PA H = · 1 HAC = · 1 1 HB C suy ra NP//B 1 C 1 từ đó suy ra M, N, P thẳng hàng. Tương tự Q, P, N thẳng hàng. Suy ra đpcm. Bài tập 2.7 : Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) điểm E nằm giữa C và D. Vẽ đường tròn (O) đi qua E và tiếp xúc với AD tại D. Vẽ đường tròn (O’) đi qua E và tiếp xúc với AC tại C. Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đường tròn đó. Chứng minh rằng: a/ Năm điểm A, B, C, D, K cùng thuộc một đường tròn. b/ Ba điểm K, E, B thẳng hàng. H K B F E O A C P N Q M C1 A1B A C B1 http:/nvnghieu.tk/ [...]... hàng suy ra đpcm N Bài tập 2 .9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) với H là trực tâm Giả sử M là một điểm trên cung BC không chứa A (M khác B,C) Gọi N, P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB; AC a/ Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp b/ Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng (Trích đề thi vào lớp 10 của tỉnh A Hải Dương năm 08 – 09) Gợi ý giải: a/ Chứng minh... của đường tròn (O) với cạnh BC, CA, AB lần lượt là D, E, F; kẻ BB’ vuông góc với AO; AA’ vuông góc với BO Chứng minh tứ giác AA’B’B nội tiếp và bốn điểm D, E, A’, B’ thẳng hàng (Đề thi vào lớp 10 của tỉnh Bắc Giang A năm 08 – 09) Gợi ý giải: a/ Dễ dàng chứng minh được tứ giác AA’B’B ; tứ giác AEA’O nội tiếp E F Tứ giác AA’B’Bnhb nội tiếp suy A' · · ra BA’B’ = BAO O · · · · mà BAO = OAE suy ra BA’B’ = . Sơn) LỜI NÓI ĐẦU: Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn Toán, nhất là môn Toán lớp 9, người thầy cung cấp cho học sinh những phương pháp giải Toán có tầm quan trọng bậc nhất. Với. 1 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 “CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC, CHỨNG. trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng OE vuông góc với CD. (Đề thi chọn HS giỏi lớp 9, thành phố Đà Nẵng, năm học 199 8 - 199 9) Gợi ý giải: Trong tam giác DEG có 2 đường cao cắt nhau tại O,