Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề tích phân luyện thi đại học
Trang 78 1. Khái niệm nguyên hàm · Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu: '( ) ( ) F x f x = , "x Î K · Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: ( ) ( ) f x dx F x C= + ò , C Î R. · Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất · '( ) ( ) f x dx f x C= + ò · [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ò ò ò · ( ) ( ) ( 0) kf x dx k f x dx k = ¹ ò ò 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 4. Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu ( ) ( ) f u du F u C= + ò và ( ) u u x= có đạo hàm liên tục thì: [ ] [ ] ( ) . '( ) ( ) f u x u x dx F u x C = + ò b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: udv uv vdu = - ò ò CH ƯƠ NG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I. NGUYÊN HÀM · 0 dx C= ò · dx x C= + ò · 1 , ( 1) 1 x x dx C + = + ¹ - + ò a a a a · 1 ln dx x C x = + ò · x x e dx e C= + ò · (0 1) ln x x a a dx C a a = + < ¹ ò · cos sin xdx x C= + ò · sin cos xdx x C= - + ò · 2 1 tan cos dx x C x = + ò · 2 1 cot sin dx x C x = - + ò · 1 cos( ) sin( ) ( 0) ax b dx ax b C a a + = + + ¹ ò · 1 sin( ) cos( ) ( 0) ax b dx ax b C a a + = - + + ¹ ò · 1 , ( 0) ax b ax b e dx e C a a + + = + ¹ ò · 1 1 ln dx ax b C ax b a = + + + ò HOÀNG THÁI VIT - ĐI HC BÁCH KHOA ĐÀ NNG 2013 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com Trang 79 VN 1: Tớnh nguyờn hm bng cỏch s d n g b ng nguyờn hm Bin i b i u thc hm s s dng c b ng cỏc nguyờn hm c bn. Chỳ ý: s dng phng phỏp ny cn ph i: Nm vng bng cỏc nguyờn hm. Nm vng phộp tớnh vi phõn. Baứi 1. Tỡm nguyờn hm ca cỏc hm s sau: a) 2 1 ( ) 3f x x x x = + b ) 4 2 2 3 ( ) x f x x + = c) 2 1 ( ) x f x x - = d) 2 2 2 ( 1 ) ( ) x f x x - = e) 3 4 ( ) f x x x x = + + f ) 3 1 2 ( )f x x x = - g) 2 ( ) 2sin 2 x f x = h ) 2 ( ) tan f x x = i ) 2 ( ) cos f x x = k) 2 2 1 ( ) si n .cos f x x x = l ) 2 2 cos2 ( ) si n .cos x f x x x = m ) ( ) 2sin3 cos2 f x x x = n ) ( ) ( ) 1 x x f x e e= o) 2 ( ) 2 c o s x x e f x e x - ổ ử = + ỗỗỗ ữữữ ố ứ p) 3 1 ( ) x f x e + = Baứi 2. Tỡm nguyờn hm F( x ) ca hm s f(x) tho i u kin c h o t r c: a) 3 ( ) 4 5 ; ( 1 ) 3 f x x x F = - + = b ) ( ) 3 5cos ; ( ) 2 f x x F = - = p c) 2 3 5 ( ) ; ( ) 1 x f x Fe x - = = d) 2 1 3 ( ) ; ( 1 ) 2 x f x F x + = = e) 3 2 1 ( )= ; ( 2) 0 x f x F x - - = f ) 1 ( ) ; ( 1 ) 2 f x x x F x = + =- g) ( ) sin 2 .cos ; ' 0 3 f x x x F ổ ử = = ỗ ữ ố ứ p h ) 4 3 2 3 2 5 ( ) ; ( 1 ) 2 x x f x F x - + = = i ) x x x f x F x 3 2 2 3 3 7 ( ) ; (0) 8 ( 1 ) + + - = = + k) x f x F 2 ( ) sin ; 2 2 4 p p ổ ử = = ỗ ữ ố ứ Baứi 3. Cho hm s g(x). Tỡm nguyờn hm F(x) ca hm s f(x) tho i u kin c h o t r c: a) 2 ( ) cos ; ( ) sin ; 3 2 g x x x x f x x x F ổ ử = + = = ỗ ữ ố ứ p b ) 2 ( ) sin ; ( ) cos ; ( ) 0 g x x x x f x x x F = + = = p c) 2 ( ) ln ; ( ) ln ; (2) 2 g x x x x f x x F = + = =- Baứi 4. Chn g m i n h F ( x ) l mt nguyờn hm ca hm s f(x): a) ( ) (4 5) ( ) (4 1 ) x x F x x e f x x e ỡ ù = - ớ = - ù ợ b) 4 5 3 ( ) tan 3 5 ( ) 4 tan 4 tan 3 F x x x f x x x ỡ ù = + - ớ = + + ù ợ c) 2 2 2 2 4 ( ) ln 3 2 ( ) ( 4)( 3) x Fx x x f x x x ỡ ổ ử + ù = ỗỗỗ ữữữ ù + ố ứ ớ - ù = ù + + ợ d) 2 2 2 4 2 1 ( ) ln 2 1 2 2( 1 ) ( ) 1 x x Fx x x x f x x ỡ - + = ù ù + + ớ - ù = ù + ợ HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013 st : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com Trang 80 Baứi 5. Tỡm i u kin F(x) l mt nguyờn hm ca hm s f(x): a) 3 2 2 ( ) (3 2) 4 3 . . ( ) 3 10 4 F x mx m x x Tỡm m f x x x ỡ ù = + + - + ớ = + - ù ợ b ) 2 2 ( ) ln 5 . . 2 3 ( ) 3 5 F x x mx Tỡm m x f x x x ỡ = - + ù + ớ = ù + + ợ c) 2 2 2 ( ) ( ) 4 . , , . ( ) ( 2) 4 F x ax bx c x x Tỡm a b c f x x x x ỡ ù = + + - ớ = - -ù ợ d) 2 ( ) ( ) . , , . ( ) ( 3 ) x x F x ax bx c e Tỡm a b c f x x e ỡ ù = + + ớ = - ù ợ e) 2 2 2 2 ( ) ( ) . , , . ( ) (2 8 7) x x F x ax bx c e Tỡm a b c f x x x e - - ỡ ù = + + ớ = - - + ù ợ f ) 2 2 ( ) ( ) . , , . ( ) ( 3 2) x x F x ax bx c e Tỡm a b c f x x x e - - ỡ ù = + + ớ = - + ù ợ g) b c F x a x x x f x x Tỡm a b c ( ) ( 1 ) s i n sin 2 si n 3 2 3 ( ) c o s , , . ỡ ù = + + + ớ ù = ợ h ) F x ax bx c x x x f x x Tỡm a b c 2 2 ( ) ( ) 2 3 20 30 7 ( ) 2 3 , , . ỡ = + + - ù - +ớ = ù - ợ VN 2: Tớnh nguyờn hm ( )f x dx ũ bng phng phỏp i b i n s ã Dng 1: Nu f(x) cú dng: f(x) = [ ] ( ) . '( ) g u x u x thỡ ta t ( ) '( ) t u x dt u x dx = ị = . Khi ú: ( )f x dx ũ = ()g t dt ũ , t ro n g ú ()g t dt ũ d dng tỡm c . Chỳ ý: Sau khi tớnh ()g t dt ũ theo t, ta phi thay li t = u(x). ã Dng 2: T h ng gp cỏc trng hp sau: Baứi 1. Tớnh cỏc nguyờn hm sau ( i bin s dng 1): a) x dx 1 0 (5 1 )- ũ b ) 5 (3 2 ) dx x - ũ c) x dx 5 2- ũ d) 2 7 (2 1 ) x xdx + ũ e) 3 4 2 ( 5 ) x x dx + ũ f ) 2 5 x dx x + ũ g) 2 1 . x xdx + ũ h ) 2 3 3 5 2 x dx x+ ũ i ) 2 ( 1 ) dx x x + ũ k) 4 sin cos x xdx ũ l ) 5 sin cos x dx x ũ m ) 2 tan cos xdx x ũ n ) 3 x x e dx e - ũ o) 2 1 . x x e dx + ũ p) x e dx x ũ f(x) cú cha Cỏch i bin 2 2 a x - si n , 2 2 x a t t = - Ê Ê p p hoc cos , 0x a t t = Ê Ê p 2 2 a x + hoc a x 2 2 1 + tan , 2 2 x a t t = - < < p p hoc cot , 0x a t t = < < p HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013 st : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com Trang 81 q) 3 ln x dx x ò r) 1 x dx e + ò s) tan 2 cos x e dx x ò Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau ( đổi biến số dạng 2): a) 2 3 ( 1 ) dx x- ò b ) 2 3 ( 1 ) dx x+ ò c) 2 1 . x dx - ò d) 2 4 dx x - ò e) 2 2 1 . x x dx - ò f ) 2 1 dx x+ ò g) 2 2 1 x dx x - ò h ) 2 1 dx x x + + ò i ) 3 2 1 . x x dx + ò VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từ ng phầ n Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau: a) .sin x xdx ò b ) cos x xdx ò c) 2 ( 5)sin x xd x + ò d) 2 ( 2 3 ) c o s x x xdx + + ò e) si n 2 x xd x ò f ) cos 2 x xdx ò g) . x x e dx ò h ) 2 3 x x e dx ò i ) ln xdx ò k) ln x xd x ò l ) 2 ln x dx ò m ) 2 ln( 1 ) x dx + ò n ) 2 tan x xdx ò o) 2 2 cos x xd x ò p) 2 cos2 x xdx ò q) 2 ln(1 ) x x dx + ò r) .2 x x dx ò s) lg x xdx ò Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau: a) x e dx ò b ) ln xdx x ò c) sin x dx ò d) cos x dx ò e) .sin x x dx ò f ) 3 sin xdx ò g) ln(ln )x dx x ò h ) sin(ln ) x dx ò i ) cos(ln ) x dx ò Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau: a) .cos x e x dx ò b ) 2 ( 1 t a n tan ) x e x x dx + + ò c) .sin2 x e xdx ò d) 2 ln(cos ) cos x dx x ò e) 2 ln(1 ) x dx x + ò f ) 2 cos x dx x ò g) ( ) 2 2 ln 1 1 x x x dx x + + + ò h ) 3 2 1 x dx x+ ò i ) 2 ln x dx x æ ö ç ÷ è ø ò ( ). x P x e dx ò ( ).cos P x xd x ò ( ).sin P x xd x ò ( ).ln P x x dx ò u P ( x ) P ( x ) P ( x ) lnx dv x e dx cos x dx sin x dx P ( x ) d x HOÀNG THÁI VIT - ĐI HC BÁCH KHOA ĐÀ NNG 2013 Trang 82 VN 4: Tớnh nguyờn hm bng phng phỏp dựng nguyờn hm ph xỏc nh nguyờn hm ca hm s f(x), ta cn tỡm mt hm g(x) sao cho nguyờn hm ca cỏc hm s f(x) g(x) d xỏc nh hn s o v i f(x). T ú suy ra nguyờn hm ca f ( x ) . Bc 1: Tỡm hm g(x). Bc 2: Xỏc nh nguyờn hm ca cỏc hm s f ( x ) g(x), t c l: 1 2 ( ) ( ) ( ) (*) ( ) ( ) ( ) F x G x A x C F x G x B x C ỡ + = + ớ - = + ợ Bc 3: T h (*), ta suy ra [ ] 1 ( ) ( ) ( ) 2 F x A x B x C = + + l nguyờn hm ca f ( x ) . Baứi 1. Tớnh cỏc nguyờn hm sau: a) sin sin cos x dx x x - ũ b ) c o s sin cos x dx x x - ũ c) si n sin cos x dx x x + ũ d) cos sin cos x dx x x + ũ e) 4 4 4 si n sin cos x dx x x + ũ f ) 4 4 4 cos sin cos x dx x x + ũ g) 2 2sin .sin2 x x dx ũ h ) 2 2 cos .sin2 x xd x ũ i ) x x x e dx e e - - ũ k) x x x e dx e e - - - ũ l ) x x x e dx e e - + ũ m ) x x x e dx e e - - + ũ VN 5: Tớnh nguyờn hm ca mt s h m s thng gp 1. f(x) l hm hu t: ( ) ( ) ( ) Px f x Qx = Nu bc ca P(x) bc ca Q ( x ) t h ỡ t a t h c hi n phộp chia a t h c. Nu bc ca P(x) < bc ca Q(x) v Q(x) cú dng tớch nhiu nhõn t thỡ ta phõn tớch f(x) thnh tng ca n h i u phõn thc (bng phng phỏp h s b t nh). Chng hn: 1 ( )( ) A B x a x b x a x b = + - - - - 2 2 2 1 , 4 0 ( )( ) A Bx C v ụự i b ac x m x m ax bx c ax bx c + = + = - < - - + + + + D 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) A B C D x a x b x a x b x a x b = + + + - - - - - - 2. f(x) l hm vụ t + f(x) = , m ax b R x cx d ổ ử + ỗ ữ + ố ứ đ t m ax b t c x d + = + + f(x) = 1 ( )( ) R x a x b ổ ử ỗỗỗ ữữữ + + ố ứ đ t t x a x b = + + + ã f(x) l hm lng giỏc Ta s dng cỏc phộp bin i lng giỏc thớch hp a v cỏc nguyờn hm c bn. Chng hn: HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013 st : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com Trang 83 + [ ] si n ( ) ( ) 1 1 . si n( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( ) x a x b x a x b a b x a x b + - + = + + - + + , si n( ) 1 si n( ) a b sửỷ duùng a b ổ ử - = ỗ ữ - ố ứ + [ ] sin ( ) ( ) 1 1 . cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( ) x a x b x a x b a b x a x b + - + = + + - + + , si n( ) 1 si n( ) a b sửỷ duùng a b ổ ử - = ỗ ữ - ố ứ + [ ] cos ( ) ( ) 1 1 . si n( ).cos( ) cos( ) sin( ). co s ( ) x a x b x a x b a b x a x b + - + = + + - + + , cos( ) 1 cos( ) a b sửỷ duùng a b ổ ử - = ỗ ữ - ố ứ + Nu ( sin ,cos ) (s in , co s ) R x x R x x - =- thỡ t t = c o s x + Nu (sin , cos ) (s in , c o s ) R x x R x x - =- thỡ t t = s i n x + Nu ( sin , cos ) ( s in , c o s ) R x x R x x - - =- thỡ t t = t a n x ( h o c t = cotx) Baứi 1. Tớnh cỏc nguyờn hm sau: a) ( 1 ) dx xx + ũ b ) ( 1 ) ( 2 3 ) dx x x + - ũ c) 2 2 1 1 x dx x + - ũ d) 2 7 10 dx x x - + ũ e) 2 6 9 dx x x - + ũ f ) 2 4 dx x - ũ g) ( 1 ) ( 2 1 ) x dx x x+ + ũ h ) 2 2 3 2 x dx x x - - ũ i ) 3 2 3 2 x dx x x - + ũ k) 2 ( 1 ) dx xx + ũ l ) 3 1 dx x+ ũ m ) 3 1 x dx x - ũ Baứi 2. Tớnh cỏc nguyờn hm sau: a) 1 1 1 dx x+ + ũ b ) 1 2 x dx x x + - ũ c) 3 1 1 1 dx x+ + ũ d) 4 1 dx x x + ũ e) 3 x dx x x - ũ f ) ( 1 ) x dx xx + ũ g) 3 4 2 dx x x x + + ũ h ) 1 1 x dx x x - + ũ i ) 3 1 1 x dx x x - + ũ k) 2 3 (2 1 ) 2 1 dx x x + - + ũ l ) 2 5 6 dx x x - + ũ m ) 2 6 8 dx x x + + ũ Baứi 3. Tớnh cỏc nguyờn hm sau: a) sin 2 sin5 x xd x ũ b ) cos sin3 x xd x ũ c) 2 4 (tan tan ) x x dx + ũ d) cos2 1 sin cos x dx x x + ũ e) 2sin 1 dx x + ũ f ) cos dx x ũ g) 1 sin cos x dx x - ũ h ) 3 sin cos x dx x ũ i ) cos cos 4 dx x x ổ ử + ỗ ữ ố ứ ũ p k) cos cos 2 cos3 x x x d x ũ l ) 3 cos xdx ũ m ) 4 sin x dx ũ HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013 st : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com Trang 84 1. Khái niệm t í c h ph â n · Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b v à k í h i ệu là ( ) b a f x dx ò . ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b Fa = - ò · Đối v ới b i ến s ố lấy t í c h p h â n , t a c ó t h ể chọn b ất kì một chữ khác thay cho x, tức l à : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx f t dt f u du F b Fa = = = = - ò ò ò · Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới h ạn b ởi đồ thị c ủa y = f(x), trục Ox và hai đườn g t h ẳn g x = a, x = b l à : ( ) b a S f x dx = ò 2. Tính chất của tích phân · a a f x dx ( ) 0 = ò · ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx =- ò ò · ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx = ò ò (k: const) · [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ò ò ò · ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + ò ò ò · Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì ( ) 0 b a f x dx ³ ò · Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx ³ ò ò 3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số [ ] ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) ubb a ua f u x u x dx f u du = ò ò trong đ ó: u = u(x) c ó đạo hàm liên tục trên K, y = f ( u ) l i ê n t ục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a , b Î K. b) Phương pháp tích phân từng phầ n Nếu u, v l à h a i h à m s ố có đạo hàm liên tục trên K, a, b Î K thì: b b b a a a u d v uv v d u = - ò ò Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. – Trong phương pháp tích phân từng phần , t a c ần chọn sao cho b a v d u ò dễ tính hơn b a u d v ò . II. TÍCH PHÂN HOÀNG THÁI VIT - ĐI HC BÁCH KHOA ĐÀ NNG 2013 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com Trang 85 VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa t í c h p h â n : ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b Fa = - ò Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải nắm vững bảng các nguyên hàm và phép tính vi phân. Baøi 1. Tính các tích phân sau: a) ò ++ 2 1 3 )12( dxxx b ) x x e dx x 2 2 3 1 1 3 + æ ö + + ç ÷ è ø ò c) ò - 2 1 2 1 dx x x d) 2 2 1 2 x dx x - + ò e) ( ) ò - - + 1 2 2 2 4 4 dx x x f ) e x x dx x x 2 2 1 1 1 æ ö + + + ç ÷ è ø ò g) ( )( ) x x x dx 2 1 1 1+ - + ò h ) ( ) x x x x dx 2 2 3 1 + + ò i ) ( ) ò -+ 4 1 43 42 dxxxx k) 2 2 3 1 2 x x dx x - ò l ) 2 1 2 5 7 e x x dx x + - ò m ) 8 3 2 1 1 4 3 x dx x æ ö ç ÷ - ç ÷ è ø ò Baøi 2. Tính các tích phân sau: a) 2 1 1 x dx + ò b ) dx x x 5 2 2 2 + + - ò c) x dx x 2 2 0 2 + ò d) x dx x 2 2 0 1+ ò e) x dx x 2 2 3 3 0 3 1+ ò f ) x x dx 4 2 0 9. + ò Baøi 3. Tính các tích phân sau: a) x dx 0 sin 2 6 p p æ ö + ç ÷ è ø ò b ) x x x dx 2 3 (2sin 3cos ) p p + + ò c) ( ) x x dx 6 0 sin3 cos2 p + ò d) 4 2 0 tan . c o s x dx x ò p e) 3 2 4 3tan x dx ò p p f ) 4 2 6 (2 cot 5 ) x dx + ò p p g) 2 0 1 sin dx x + ò p h) 2 0 1 cos 1 cos x dx x - + ò p i) 2 2 2 0 si n .cos x x d x ò p k) 3 2 6 (ta n c o t ) x x dx - - ò p p l ) x dx x 2 2 si n 4 sin 4 p p p p - æ ö - ç ÷ è ø æ ö + ç ÷ è ø ò m ) 4 4 0 cos x dx ò p Baøi 4. Tính các tích phân sau: a) 1 0 dx x x x x e e e e - - - + ò b ) 2 2 1 ( 1 ) . ln x dx x x x + + ò c) x x e dx e 1 2 0 4 2 - + ò HOÀNG THÁI VIT - ĐI HC BÁCH KHOA ĐÀ NNG 2013 Trang 86 d) x x e dx e l n 2 0 1 + ũ e) x x e e dx x 2 1 1 - ổ ử - ỗ ữ ố ứ ũ f ) x x e dx 1 0 2 ũ g) x e xd x 2 cos 0 .sin p ũ h ) x e dx x 4 1 ũ i ) e x dx x 1 1 ln+ ũ k) e x dx x 1 ln ũ l ) x xe dx 2 1 0 ũ m ) 1 0 1 1 x d x e+ ũ VN 2: Tớnh tớch phõn bng phng phỏp i bin s Dng 1: Gi s ta cn t ớ n h ( ) b a g x dx ũ . Nu vit c g(x) di dng: [ ] ( ) ( ) . '( ) g x f u x u x = thỡ ( ) ( ) ( ) ( ) ubb a ua g x dx f u du = ũ ũ Dng 2: Gi s ta cn t ớ n h ( )f x dx ũ b a . t x = x(t) (t ẻ K ) v a, b ẻ K t h o m ó n a = x ( a ) , b = x(b) thỡ [ ] ( ) ( ) '( ) () b b a a f x dx f x t x t dt g t dt = = ũ ũ ũ b a [ ] ( ) ( ) ( ) . '( ) g t f x t x t = Dng 2 thng gp c ỏ c t r ng hp sau: Baứi 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau ( i bin s dng 1): a) ũ - 1 0 1 9 )1( dxxx b ) x dx x 1 3 2 3 0 ( 1 ) + ũ c) ũ + 1 0 2 5 1 dx x x d) ũ + 1 0 12x xdx e) 1 2 0 1 x x dx - ũ f ) 1 3 2 0 1 x x dx - ũ g) ũ + 32 5 2 4xx dx h) ũ + + 3 0 2 35 1 2 dx x xx i ) l n 2 0 1 x x e dx e+ ũ f(x) cú cha Cỏch i bin 2 2 a x - si n , 2 2 x a t t = - Ê Ê p p hoc cos , 0x a t t = Ê Ê p 2 2 a x + hoc a x 2 2 1 + tan , 2 2 x a t t = - < < p p hoc cot , 0x a t t = < < p 2 2 x a - {} , ; \ 0 sin 2 2 a x t t ộ ự = ẻ - ờ ỳ ở ỷ p p hoc [ ] , 0 ; \ cos 2 a x t t ỡ ỹ = ẻ ớ ý ợ ỵ p p HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013 st : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com Trang 87 k) ( ) x x e dx e ln3 3 0 1 + ò l ) ò + e x dxx 1 2 l n2 m ) ò + e dx x xx 1 l nl n31 n ) ò + 2 0 22 sin4cos 2sin p dx xx x o) ò + 2 0 2 3 sin1 sin.cos p dx x xx p) ò + 6 0 22 cossin2 2sin p dx xx x Baøi 2. Tính các tích phân sau ( đổi biến số dạng 2): a) ò - 2 1 0 2 1 x dx b) ò - 1 0 2 2 4 x dxx c) ò - 2 1 22 4 dxxx d) ò + 3 0 2 3x dx e) ò ++ 1 0 22 )2)(1( xx dx f ) ò ++ 1 0 24 1xx xdx g) 0 2 1 2 2 dx x x - + + ò h ) ò - 2 1 3 2 1 dx x x i ) ( ) ò + 1 0 5 2 1 x dx k) 2 3 2 2 1 dx x x - ò l ) 2 2 2 2 0 1 x dx x- ò m ) 2 2 0 2 x x x dx - ò VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: Baøi 1. Tính các tích phân sau: a) ò 4 0 2sin p xdxx b ) ò + 2 0 2 cos)sin( p xdxxx c) ò p 2 0 2 cos xdxx d) x x dx 2 4 0 cos p ò e) 3 2 4 tan x x d x ò p p f ) ò - 1 0 2 )2( dxex x g) dxxe x ò 2ln 0 h) dxxx e ò 1 l n i ) ò - 3 2 2 )l n ( dxxx k) ò 2 0 3 5sin p xdxe x l ) ò 2 0 c o s 2s in p xdxe x m ) ò e xdx 1 3 l n o) dxxx e ò 1 23 l n p) ò e e dx x x 1 2 l n q) dxxex x )1( 0 1 3 2 ò - ++ b ( ). x a P x e dx ò ( ).cos b a P x xd x ò ( ).sin b a P x xd x ò b a P x x dx ( ).ln ò u P ( x ) P ( x ) P ( x ) lnx dv x e dx cos x dx sin x dx P ( x ) d x HOÀNG THÁI VIT - ĐI HC BÁCH KHOA ĐÀ NNG 2013 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com [...]... 10: Thit lp cụng thc truy hi b Gi s cn tớnh tớch phõn I n = ũ f ( x, n)dx (n ẻ N) ph thuc vo s nguyờn dng n Ta a thng gp mt s yờu cu sau: ã Thit lp mt cụng thc truy hi, tc l biu din In theo cỏc In-k (1 Ê k Ê n) ã Chng minh mt cụng thc truy hi cho trc ã Tớnh mt giỏ tr I n c th no ú 0 Baứi 1 Lp cụng thc truy hi cho cỏc tớch phõn sau: Trang 94 st : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com HONG THI. .. p -4 2 Trang 132 st : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com HONG THI VI T - I H C BCH KHOA N NG Baứi 15 (TN 2010) Tớnh tớch phõn: 1 I = ũ x 2 ( x - 1)2 dx 0 1 30 Baứi 16 (TN 2011) Tớnh tớch phõn: S: S: I= Trang 133 st : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com 2013 HONG THI VI T - I H C BCH KHOA N NG THI I HC Baứi 1 (H 2002A) Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng: y = x 2... 0 1 + cos x p/2 m) q) dx ũ sin x dx 1 + 3cos x ũ cos3 x dx sin x + 1 0 p/2 3 4 sin x dx 1 + cos x x sin x ũ 0 st : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com dx HONG THI VI T - I H C BCH KHOA N NG 2013 III NGUYấN HM TCH PHN THI TT NGHIP Baứi 1 (TN 2002) Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y 2 = 2 x + 1 v y = x 1 S: S= Baứi 2 (TN 2003) 16 3 x 3 + 3x 2 + 3x - 1 1 bit rng F(1) = 2 3 x... l din tớch thit din ca vt th b ct bi mt phng vuụng gúc vi trc Ox ti im cú honh x (a Ê x Ê b) Gi s S(x) liờn tc trờn on [a; b] b Th tớch ca B l: V = ũ S( x )dx a ã Th tớch ca khi trũn xoay: Th tớch ca khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng: (C): y = f(x), trc honh, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trc Ox: Trang 96 st : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com HONG THI VI T - ... logarit Xem li cỏc phng phỏp tỡm nguyờn hm Baứi 1 Tớnh cỏc tớch phõn sau: 1 e x dx a) ũ 1+ ex 0 ln 2 b) ũ 0 dx x e +5 Trang 91 1 c) ũ 0e 1 x +4 st : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com dx HONG THI VI T - I H C BCH KHOA N NG ln 8 d) ũ ex +1 ln 3 2 g) 1 ũ k) ln 8 ex ũ 1 1- e e -x dx ln 3 2 2x dx h) ln x 2 1 x (ln x + 1) dx l) ũ ũ f) 0 e x 0 e +1 1 -2 x ũ ln 2 e x + 1.e 2 x dx ũ e) 1 dx i) dx... f ( x) f ( x) ử I= ũ dx = ũ dx + ũ dx ỗJ = ũ dx; K = ũ dx ữ ax + 1 ax +1 ax + 1 ax +1 ax + 1 ứ -a -a 0 ố -a 0 tớnh J ta cng t: t = x Trang 92 st : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com HONG THI VI T - I H C BCH KHOA N NG p 2 p 2 0 ộ pự Dng 3 Nu f(x) liờn tc trờn ờ 0; ỳ thỡ ở 2ỷ 2013 0 ũ f (sin x )dx = ũ f (cos x )dx p -x 2 Dng 4 Nu f(x) liờn tc v f (a + b - x ) = f ( x ) hoc f (a + b -... sau (dng 3): p 2 a) ũ 0 n cos x cos n x + sin n x dx (n ẻ N*) b) p 2 7 sin x ũ sin7 x + cos7 x dx 0 Trang 93 c) p 2 ũ 0 sin x sin x + cos x st : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com dx HONG THI VI T - I H C BCH KHOA N NG d) p 2 sin 2009 x ũ sin2009 x + cos2009 x p 2 4 cos x sin 4 x 0 e) 0 ũ cos4 x + sin 4 x dx p dx ũ cos4 x + sin 4 x p 2 2013 p 2 dx f) 0 Baứi 4 Tớnh cỏc tớch phõn sau (dng...HONG THI VI T - I H C BCH KHOA N NG 2013 VN 4: Tớnh tớch phõn cỏc hm s cú cha giỏ tr tuyt i tớnh tớch phõn ca hm s f(x) cú cha du GTT, ta cn xột du f(x) ri s dng cụng thc phõn on tớnh tớch phõn trờn tng... = x ù x t ớ dv = dx ù (1 + x 2 )n ợ ỡu = x n ù ã t ớ ùdv = 1 - x dx ợ ã Phõn tớch 1 cos n x = cos x cos n+1 x Trang 95 đ t t = 1 cosn +1 x st : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com 2013 HONG THI VI T - I H C BCH KHOA N NG 2013 III NG DNG TCH PHN 1 Din tớch hỡnh phng ã Din tớch S ca hỡnh phng gii hn bi cỏc ng: th (C) ca hm s y = f(x) liờn tc trờn on [a; b] Trc honh Hai ng thng x = a,... x 2 + 9 x + 9 4 x 2 dx ũ (1 - x )9 2 1 dx ũ x(x - 1) 2 0 k) x 3 dx c) ũ 2 x + 2x + 1 0 3 x ũ (1 + 2 x )3 dx 0 4 g) 3 dx b) ũ 2 x - 5x + 6 0 dx x3 + 2x 2 + 4 x + 9 dx ũ x2 + 4 0 1 ũ x 4 0 1+ x dx HONG THI VI T - I H C BCH KHOA N NG 2 g) 1 ũ x (1 + x 4 ) 1 2 k) 1 ũ 4 + x2 0 dx dx 2 h) 1 - x 2008 ũ x (1 + x 2008 ) 1 2 l) 1 - x2 ũ 1 1+ x4 dx dx 3 i) x4 ũ 2 (x 1 - 1)2 2 - x4 ũ m) 2 0 1+ x2 2013 dx dx . 2 0 2 x x x dx - ò VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: Baøi 1. Tính các tích phân sau: a) ò 4 0 2sin p xdxx. nguyenvanvietbkdn@gmail.com Trang 88 VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa g i á t r ị tuyệt đối Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để t í. xdx - - ò p p i ) 2 0 1 sin xdx + ò p VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu t ỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ. Baøi 1. Tính các tích phân sau: a) ò + 3 1 3 xx dx b) ò