tài liệu ôn thi đại học môn toán tham khảo bồi dưỡng thi Tóm tắt sách giáo khoa Lượng giác

13 563 1
tài liệu ôn thi đại học môn toán tham khảo bồi dưỡng thi Tóm tắt sách giáo khoa Lượng giác

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

LƯNG GIÁC Chuyên đề 8: TÓM TẮTGIÁO KHOA A KIẾN THỨC CƠ BẢN: I Đơn vị đo góc cung: Độ: 180 o Góc 10 = góc bẹt 180 Radian: (rad) x O y 1800 = π rad Bảng đổi độ sang rad ngược lại số góc (cung ) thông dụng: 00 Độ Radian 300 π 450 600 π 900 π 1200 2π π 1350 3π 1500 5π 1800 π II Góc lượng giác & cung lượng giác: Định nghóa: (tia ngọn) y y (điểm ngọn) + B O x (Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z) + α α t α 3600 2π x O (tia gốc) t M A (điểm gốc) AB = α + k 2π Đường tròn lượng giác: Số đo số cung lượng giác đặc biệt: A → B → C → D → A, C → B, D → y 2kπ B π + 2kπ + π + 2kπ - π + 2kπ C kπ D π + kπ 33 x A O − y III Định nghóa hàm số lượng giác: x' u B u' Đường tròn lượng giác: • A: điểm gốc • x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y'Oy : trục sin ( trục tung ) • t'At : trục tang • u'Bu : trục cotang t −1 C R =1 O + A − −1 D y' x t' Định nghóa hàm số lượng giác: a Định nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α Gọi P, Q hình chiếu vuông góc M x'Ox vàø y'Oy T, U giao điểm tia OM với t'At u'Bu Ta định nghóa: t y t Trục sin Trục cotang u' U B M Q x' O Trục cosin + T α α t u P b Các tính chất : • y' sin α = OQ x A − −1 Trục tang t' Với α ta coù : −1 ≤ sin α ≤ hay sinα ≤ −1 ≤ cosα ≤ hay cosα ≤ • • tgα xác định ∀α ≠ π + kπ cotgα xác định ∀α ≠ kπ c Tính tuần hoàn sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cosα tg(α + kπ ) = tgα cot g(α + kπ ) = cot gα cosα = OP (k ∈ Z ) 34 tgα = AT cot gα = BU IV Giá trị hàm số lượng giác cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị đặc biệt y t - - /3 -1 u' B 2π/3 π u π/4 /2 5π/6 π/6 1/2 1/2 - /2 - /2 -1/2 -1 /2 /2 -π/6 -1 -π/2 cos α tg α cotg α kxñ 300 450 2 2 π 3 3 π 600 900 π π 3 2 3 − - /3 kxñ t' 1200 2π 3 − − − 35 -1 -π/3 y' x -π/4 - /2 Hslg sin α + O - /2 00 /3 A (Điểm gốc) -1/2 Góc π/3 /2 3π/4 x' /3 π/2 3 1350 3π 2 − -1 -1 - 1500 5π 3 − − − 1800 3600 π 2π 0 -1 0 kxđ kxđ V Hàm số lượng giác cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó cung : Cung đối : α -α Cung bù : α π -α Cung phụ : α Cung π : α π π (tổng 0) −α ( tổng π ) ( tổng baèng π ) sin(−α ) = − sin α tg(−α ) = −tgα cot g(−α ) = − cot gα π (Vd: π π 6 ,…) 5π ,…) & π ,…) & 2π ,…) & 7π ,…) cos(π − α ) = − cosα Bù sin Đối cos Cung phụ : sin(π − α ) = sin α tg(π − α ) = −tgα cot g(π − α ) = − cot gα Cung π sin( − α ) = cosα tg( − α ) = cotgα Phụ chéo Hơn π sin cos cos trừ sin π cos( + α ) = − sin α π sin( + α ) = cosα tg( + α ) = −cotgα π π cot g( − α ) = t gα cot g( + α ) = − t gα Cung π : cos(π + α ) = − cosα sin(π + α ) = − sin α tg(π + α ) = tgα π π cos( − α ) = sin α cot g(π + α ) = & π Cung buø : cos(−α ) = cosα π π (Vd: (Vd: Cung đối nhau: &− (Vd: +α Cung π : α π + α π π (Vd: Hơn π tang , cotang cot gα 36 Ví dụ 1: Tính cos(− 21π 11π ) , tg 4 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = cos( VI Công thức lượng giác: Các hệ thức bản: π + x) + cos(2π − x) + cos(3π + x) cos2α 1 + cotg2α = sin α tgα cotgα = 1 + tg2α = cos α + sin α = sinα tgα = cosα cosα cotgα = sinα Ví dụ: Chứng minh rằng: cos4 x + sin x = − sin x cos2 x cos x + sin x = − sin x cos x Công thức cộng : cos(α + β ) = cosα cos β − sin α sin β cos(α − β ) = cosα cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cosα sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cosα tgα +tgβ − tgα tg β tgα − tgβ tg(α − β ) = + tgα tgβ tg(α +β ) = Ví dụ: Chứng minh rằng: π 1.cos α + sin α = cos(α − ) π 2.cos α − sin α = cos(α + ) Công thức nhân đôi: cos α = + cos 2α sin α = − cos 2α cos 2α = cos2 α − sin α = cos2 α − = − sin α = cos4 α − sin α sin 2α = sin α cos α 2tgα tg2α = − tg2α sin α cos α = 37 sin 2α Công thức nhaân ba: cos α = sin α = cos 3α = cos3 α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin α cos 3α + cos α sin α − sin 3α Công thức hạ bậc: cos α = + cos 2α − cos 2α ; sin α = ; 2 6.Công thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tg sin α = 2t ; + t2 α cos α = − t2 ; + t2 tgα = 2t − t2 Công thức biến đổi tích thành tổng : [ cos(α + β ) + cos(α − β )] sin α sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] cosα cos β = Ví dụ: Biến đổi thành tổng biểu thức: A = cos x cos x 5π 7π sin Tính giá trị biểu thức: B = cos 12 12 Công thức biến đổi tổng thành tích : cosα + cos β = cos α+β cos α −β 2 α+β α −β cosα − cos β = −2sin sin 2 α+β α−β sin α + sin β = 2sin cos 2 α+β α−β sin α − sin β = cos sin 2 sin(α + β ) tgα + tgβ = cosα cos β sin(α − β ) tgα − tgβ = cosα cos β 38 tg 2α = − cos 2α + cos 2α Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: A = sin x + sin 2x + sin 3x Các công thức thường dùng khác: π + cos 4α + cos 4α cos α + sin α = π cos α + sin α = cosα + sin α = cos(α − ) = sin(α + ) 4 π π cosα − sin α = cos(α + ) = − sin(α − ) 4 B PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Các bước giải phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghóa Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận I Định lý bản: ( Quan troïng ) sinu=sinv cosu=cosv ⎡ u = v+k2π ⇔ ⎢ ⎣ u = π -v+k2π ⎡ u = v+k2π ⇔ ⎢ ⎣ u = -v+k2π tgu=tgv ⇔ u = v+kπ cotgu=cotgv ⇔ (u;v ≠ u = v+kπ π + kπ ) (u;v ≠ kπ ) ( u; v biểu thức chứa ẩn k ∈ Z ) Ví dụ : Giải phương trình: π 3π 4 sin x + cos4 x = (3 − cos x ) sin x = sin( − x ) cos( x − cos x = sin x II Các phương trình lượng giác bản: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m Dạng 1: Nếu m > pt(1) vô nghiệm • Nếu m ≤ ta đặt m = sin α ta có ⎡ x = α +k2π (1) ⇔ sinx=sinα ⇔ ⎢ ⎣ x = (π -α )+k2π * Gpt : cosx = m (2) 39 ) = cos ( ∀m ∈ R ) * Gpt : sinx = m (1) • π • Nếu m > pt(2) vô nghiệm • Nếu m ≤ ta đặt m = cos β ta có ⎡ x = β +k2π (2) ⇔ cosx=cosβ ⇔ ⎢ ⎣ x = − β +k2π * Gpt: tgx = m (3) ( pt có nghiệm ∀m ∈ R ) • Đặt m = tg γ (3) ⇔ tgx = tgγ ⇔ x = γ +kπ * Gpt: cotgx = m (4) • ( pt có nghiệm ∀m ∈ R ) Đặt m = cotg δ (4) ⇔ cotgx = cotgδ ⇔ x = δ +kπ Các trường hợp đặc biệt: sin x = −1 ⇔ x = − sinx = ⇔ x = kπ sin x = ⇔ x = cosx = ⇔ x= π + k 2π π + k 2π cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π cos x = π + kπ ⇔ x = k 2π Ví dụ: 1) Giải phương trình : a) sin x = π b) cos( x − ) = − π d) cos( x + c) sin(2 x − ) + = e) sin x + cos x = π )− =0 f) cos x + sin x = cos x 2) Giải phương trình: a) + cos4 x − sin x = cos x c) 4(sin x + cos x) + sin x − = d) sin3 x.cos x − cos3 x.sin x = b) sin x + cos6 x = cos x x e) cot gx + sin x(1 + tgx.tg ) = 40 Daïng 2: a sin x + b sin x + c = a cos2 x + b cos x + c = ( a ≠ 0) atg x + btgx + c = a cot g2 x + b cot gx + c = Cách giải: Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx) Ta phương trình : at + bt + c = (1) Giải phương trình (1) tìm t, suy x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) Ví dụ : =0 d) cos x cos x = + cos x + cos3 x a) cos2 x + 5sin x − = b) cos x − cos x + c) sin x = + cos x e) sin x + cos4 x = sin x − f) 2(sin x + cos x) − cos( x x + cos4 = − 2sin x 2 2(cos x + sin x) − sin x cos x g) sin k) Daïng 3: − sin x a cos x + b sin x = c (1) • =0 l) 5(sin x + a a2 + b2 = cos α vaø ( a;b ≠ 0) b (2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα = ⇔ cos(x-α ) = c a +b Pt (3) có dạng Giải pt (3) tìm x (2) = sin α với α ∈ [ 0;2π ) : a2 + b − x) = cos 3x + sin 3x ) = cos x + + sin x Chia hai vế phương trình cho a2 + b2 pt a b c (1) ⇔ cos x + sin x = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Đặt h) sin x + cos x + sin x cos x = Cách giải: • π 41 c a2 + b (3) Chú ý : Pt acosx + bsinx = c có nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2 Ví dụ : Giải phương trình : a) cos x + sin x = −1 b) cos x + sin x = d) tgx − = cos x c) 4(sin x + cos4 x ) + sin x = e) d Daïng 4: cos x − sin x = cos x − sin x − a sin x + b sin x.cos x + c cos2 x = (a;c ≠ 0) (1) Caùch giaûi 1: − cos x + cos x vaø cos2 x = 2 vaø công thức nhân đôi : sin x.cos x = sin x thay vào (1) ta biến đổi pt (1) dạng p dụng công thức hạ bậc : sin x = Cách giải 2: ( Quy pt theo tang cotang ) Chia hai vế pt (1) cho cos2 x ta pt: atg2 x + btgx + c = Đây pt dạng biết cách giải Chú ý: Trước chia phải kiểm tra xem x = π + kπ có phải nghiệm (1) không? Ví dụ : Giải phương trình: sin x + (1 − ) sin x cos x − cos x + − = d Daïng 5: a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = Cách giải : π (1) Đặt t = cos x + sin x = cos( x − ) với - ≤ t ≤ t2 − Do (cos x + sin x )2 = + 2sin x.cos x ⇒ sinx.cosx= • Thay vào (1) ta phương trình : t2 − at + b + c = (2) • 42 • Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện giải pt: π cos( x − ) = t tìm x Ví dụ : Giải phương trình : sin x − 2(sin x + cos x ) − = Chú ý : a(cos x − sin x ) + b sin x.cos x + c = Ta giải tương tự cho pt có dạng : Ví dụ : Giải phương trình : sin x + 4(cos x − sin x ) = 4 Caùc phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a Phương pháp 1: Biến đổi pt cho dạng pt lượng giác biết Ví dụ: Giải phương trình: sin x + cos x + sin x − = b Phương pháp 2: Biến đổi pt cho dạng tích số Cơ sở phương pháp dựa vào định lý sau đây: ⎡ A=0 A.B = ⇔ ⎢ ⎣ B=0 hoaëc A.B.C = Ví dụ : Giải phương trình : a sin x + sin2 x + sin2 x = ⎡ A=0 ⇔ ⎢ B=0 ⎢ ⎢C=0 ⎣ b sin x − cos2 x = sin x − cos2 x c sin3 x + cos x − cos x = d sin x + 2 cos x + sin( x + π )+3= c Phương pháp 3: Biến đổi pt dạng đặt ẩn số phụ Một số dấu hiệu nhận biết : * Phương trình chứa một hàm số lượng giác ( cung khác lũy thừa) Ví dụ : Giải phương trình : a cos x + cos x − cos x − = b cos x − cos x − cos x + = c cos x − 8cos x + = cos x d sin x + cos x = * Phương trình có chứa (cos x ± sin x ) sinx.cosx Ví dụ : Giải phương trình : a + sin3 x + cos3 x = sin 2x 3 b sin x + cos x = 2(sin x + cos x) − 43 BÀI TẬP RÈN LUYỆN DẠNG 1: Giải phương trình lượng giác Sử dụng phương pháp sau • Biến đổi phương trình dạng phương trình lượng giác • Biến đổi phương trình dạng phương trình tích số • Biến đổi phương trình dạng đặt ẩn số phụ chuyển phương trình đại số Bài 1: Giải phương trình lượng giác sau π 7x 3x x 5x 1) sin x + 2 cos x + sin( x + ) + = 2) sin cos + sin cos + sin x cos x = 2 2 3) cos ( x + π ) + cos (2 x + x x cos − sin 2 = 4) sin x π ) + cos (3x − π ) = cos + sin x sin ( x + 6) sin x + cos x = sin x + π π 5) cos x + sin x = cos x − sin x ) Baøi : Giải phương trình lượng giác sau x π x sin ( − ).tg2 x − cos2 = 2 cos x (cos x − 1) = 2(1 + sin x ) sin x + cos x 10 tg2 x − tgx = cos x.sin x 11 cos x − 8cos x + = cos x cos x 12 cot gx − = + sin x − sin x + tgx 2 13 cot gx − tgx + 4sin x = sin x x 14 tgx + cos x − cos2 x = sin x.(1 + tgx.tg ) 2sin3 x + cos x + cos x = π x sin x.cos x − sin 2 x = 4sin ( − ) − 2 sin x + cos x − 3sin x + cos x = sin x + cos4 x 1 = cot g2 x − 5sin x 8sin x (2 − sin x )sin x tg x + = cos4 x − tgx (tgx + 2sin x ) + cos x = cos x + cos x.(2tg2 x − 1) = DẠNG 2: Phương trình lượng giác có chứa tham số Sử dụng phương pháp sau • Chọn ẩn phụ thích hợp tìm điều kiện cho ẩn phụ vừa chọn (tùy thuộc vào x) • Chuyển phương trình phương trình đại số • Lập luận để chuyển toán cho theo ẩn phụ vừa chọn • Sử dụng phương pháp giải tích đại số để tìm tham số theo yêu cầu đề Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: sin x + cos x − cos x + sin 2 x + m = 1 Bài 2: Định m để phương trình : sin x + cos x + + (tgx + cot gx + + )=m sin x cos x 44 ⎛ π⎞ có nghiệm x ∈ ⎜ 0; ⎟ ⎝ 2⎠ Baøi 3: Cho haøm soá: 2( + cos x) + m( − cos x) = cos x cos x π Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc (0; ) Bài 4: Cho phương trình : + 3tg x + m(tgx + cot gx) − = sin x Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm Bài 5: Xác định m để phương trình : 2(sin x + cos4 x) + cos 4x + 2sin 2x − m = π có nghiệm thuộc đoạn [0; ] Bài 6: Cho phương trình : sin x − 4(cos x − sin x) = m (1) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Bài 7: Tìm m để phương trình : 4(sin x + cos4 x) − 4(sin x + cos6 x) − sin 4x = m có nghiệm Bài 8: Cho phương trình cos x + sin x cos x − m = ⎡ π⎤ Định m để phương trình có nghiệm x ∈ ⎢ 0; ⎥ ⎣ 4⎦ Baøi 9: Tìm m để phương trình : cos x + (sin x cos x − m)(sin x + cos x) = ⎡ π⎤ có nghiệm đoạn ⎢0; ⎥ ⎣ 2⎦ cos x + sin x Bài 10: Cho phương trình: = mtgx cos x − sin x Với giá trị m phương trình có nghiệm Bài 11: Cho phương trình: sin x + (sin x − 1) = m Với giá trị m phương trình có nghiệm π π Bài 12: Tìm m để phương trình : + 2sin 2x = m(1 + cos x)2 có nghiệm x ∈ [− ; ] 2 Heát 45 ... cotang t −1 C R =1 O + A − −1 D y'' x t'' Định nghóa hàm số lượng giác: a Định nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α Gọi P, Q hình chiếu vuông góc M x''Ox vàø y''Oy T, U giao điểm tia OM với t''At... lượng giác có chứa tham số Sử dụng phương pháp sau • Chọn ẩn phụ thích hợp tìm điều kiện cho ẩn phụ vừa chọn (tùy thuộc vào x) • Chuyển phương trình phương trình đại số • Lập luận để chuyển toán. .. gα cosα = OP (k ∈ Z ) 34 tgα = AT cot gα = BU IV Giá trị hàm số lượng giác cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị đặc biệt y t - - /3 -1 u'' B 2π/3 π u π/4

Ngày đăng: 08/06/2014, 09:10

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan