KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TOÁN: KHÔNG GIAN SOBOLEV PHỤ THUỘC V€ÀO THỜI GIAN

59 333 0
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TOÁN: KHÔNG GIAN SOBOLEV PHỤ THUỘC V€ÀO THỜI GIAN

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P KHÔNG GIAN SOBOLEV PHỤ THUỘC V€ÀO THỜI GIAN

ầ èấ ặ ẻ ầè ầ è ẻốè ổặ ặ ỵ ặ è è ặ ởẩ ặ ậầ ầ ẻ ẩ è íũề ề ề ặ ề ẻ ầ è ặ ỉự ề èậ ẻ èệ ề ề ậ ề áỉ ề ề ẹ ắẳẵ ẹ ề è ề ỉệ ế Ø Ø Ị Ị ¸ Ơ Đ Ø Đ Đ Ĩ Ị Ø Ị Ị Ị Đ º Ỉ Ị Ý Ị Ĩ¸ Ù Đđ Ị ơỊ ØƯ Ị Ơ ØƯ Ị Ð Ơ Đ ¸ Ø Ý Đ ¸ Ị Đ Ú Ĩ Ị Ú ÐĨ Ð Ị º Ỵ Ý Đ Ù Ị Đ Ị ØƯ ÕÙ Ị Ị Đ º Ị Ị Đ Ø Ơ Ú Ĩ Ị¸ Ú Ø Ú ¸ Ị Ị Ú Ơ Ị Đ Ø Ị Ị ĐøỊ Ị Ø Ú Ø ÕÙ º Ỉ Ị ĐĨỊ ĐÙ Ị Ð Đ ÐÙ Ị Ø Ø Ị ÷Ơ Ø Ý Đ Ơ Ị Ù Ị óÙ ØƯĨỊ Ø Ơº Ù Ị Ú ÕÙ Ø ØƯĨỊ Ị Đ Ù¸ Đ óÙ ÷Ị Ð Đ ÐÙ Ị × Ị Ị Ø Ý Ỵ ÌƯ Ị Ä Ị º Ð Đ ÐÙ Ị Ð Đ Ø Ị óĐ ÚÙ ¸ Ị óĐ Ú Ị Ð Ị Ú Đº Ỉ Ị ịỊ Ị Ị Ị ùØ Ị ÐĨ Ú Ị ùØ Ị¸ Ị Ĩ é ề ụẹ ỉ é ữá ỉ ề ề ủễá ụề ỉ ỉ ứ ẹ ỉ ề áặ ề Ú ơỊ Ø Đ Đ Ø Ý Đ Ị ØƯ Ị ØƯĨỊ Ị Đ ÕÙ Ị Ú × Ị ề ề ữỉ ỉứề ỉ í ẻ èệ ề ề ề ề ì ề ũềá ễ ứề Ú Ị Ù Ị ÐÙ Ị Ị Ĩ ỊØ Ị º Đ Ü Ị Ð Đ Ị Ị Ø Ị Ị Ø ơỊ Ø Ý Ị Ị¸ Ø Ý ØƯĨỊ Đ Ị¸ Ị øỊ Ú Ị º Ë ề é ỉ ề ề ẹ ắẳẵ ậ ề ũề ẻ ụỉ ũề ắ é  ¼º½ Ä Ĩ Ị ÐÙ Ị º º º º º º º º º º º º º º ẳắ ỉ ề ễ ề ễ ễá ễ ẹ ề ũề ẳắẵ ỉ ề ề ũề º º º º º º º º º º ¼º¾º¾ È Ị Ơ Ơ Ị ịỊ Ùº º º ẳắ ẩ ẹ ề òÒ Ù º º º º º º º º ẳ ự ề ữẹ ề ề ề ễ ẳẵ ự º º º º º º º º º º ẳắ ặ ữẹ º º º º º º º º º º ẳ ặ ề ề ễ é ề ẵ ỉì º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ò ºººººººººººººººººººººº Ò À Ð Öغ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ị À ƯĐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ìù Ú Ị ººººººººººººººººººººº Ị ËĨ ĨÐ Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ã Ò Ò C k (Ω)º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ã Ò Ò Lp(Ω) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ĩ Đ Ý ØƯĨỊ Ị Ị Wpk (Ω) º º º º º º º Ó Đ ×ÙÝ Ư Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º à Ị Ị ËĨ ĨÐ Ú Wpk (Ω), (1 ≤ p < ∞), (k ∈ Z+.) ◦ k Ã Ò Ò Wp (Ω), (1 ≤ p < ∞) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ơỊ Ø Ð ịỊ ÕÙ Ị ½º½ à ề ẵắ ề ẵắẵ ẵắắ ẵ ề ẵẵ ½º¿º¾ ½º¿º¿ ½º¿º ½º¿º ½º¿º ¿ º º º º º º º º º º ººº ººº ººº ººº ººº ÐÙ Òº ººººº ººººº ººººº º º º º ẵẵ ẵắ ẵắ ẵ ẵ ắẵ ắ ẳ ẵ ẵ ẵ ắ ề ễ Üû º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¾ Ị Ðù Ø ØƯ ưỊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ à Ị Ị Đ H −1(Ω) º º º º º º º º º º º º º º º º º Ị ËĨ ểé ễ ỉ ể ỉ ắẵ Ò Ò Lp(0, T ; X) º º º º º º º º º º º ¾º¾ à Ị Ò C([0, T ]; X) º º º º º º º º º º ¾º¿ Ĩ Đ Ý ØƯĨỊ Ò Ò L1(0, T ; X) ¾º Ã Ò Ò ËÓ ÓÐ Ú Wp1(0, T ; X) º º º º º à ÐÙ Ị Ì Ð ÷Ù Ø Đ Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ẳẵ Ĩ Ị ÐÙ Ị È Ị ØỊ Ĩ Đ Ư ịỊ Ư Ú Ĩ Ĩ Ị Ø û Ø 17¸ Ĩ Ị Ù Ù Ú Ị óÙ Ị Ị Ĩ º Ỉ Ị Ý Ị Ú ØƯ ÕÙ Ị ØƯ Ị Ú Ị Ị Ư Ị Ư ØƯĨỊ ể ề ề ữ ặ í ề íá ễ Ị ØỊ Ĩ Đ Ư ịỊ ØƯ Ø Ị Đ Ị ØĨ Ị Ị Ú Đ Ị ØùỊ Ðù Ø ÙÝ Ĩ¸ Ú Đ Ị ØùỊ Ị Ị Ư Ị Ư º ÌƯ × Ơ Ø ØƯ ưỊ ĐỊ ẹ ể ề ề ữá ề ệ ề Ơ Ị ØỊ Ĩ Đ Ư ịỊ Ị Ơ Ø ØƯ ưỊ Đ Ị Đ Ị Ị ØƯĨỊ Ø Ị Ð ¸ Đ Ư Đ Ø ĨỊ Ị Ĩ Ị Ị ÝịÙ Ø ù Ị ịỊ Ù ÌĨ Ị Ị Ị º È Ị ØỊ Ĩ Đ Ư ịỊ Ú Ị Ơ Ø ØƯ ưỊ Ư Ø Đ Ị Đ ØƯịỊ Ø ¸ Ị Ị Ị Ø Ø ø Ú Ị Ị Ị × Ị Úó Đ Ị Ị ݸ ỊịỊ Ị Ú Ị Ð Ú Ị ó ề ẹ ẹá ự ề ự ỉ ự ì Đ Ơ Ị Ị ÝịÙ Ø ù Ị º À Ị Ị ¸ ØƯĨỊ ÕÙ ØỊ Ø Ơ Ø Ý ỉ ữá ề ềá ỉ ẹ ỉ í ệ ỉ Ò Ø Ú Ñ Ò Ò Ýº ùÒ Úø Ú Ý¸ Ị Đ Ơ Ơ Ị Ĩ Ị Ị ÝịÙ Ø ù Đ Ị Ị Ý Ị ÙỊ Ú Ị Ø Ị Ø Ị Ư ịỊ × Ù Ị Úó Đ Ị Ị Ý Ø Đ Ị Ị ØøĐ ó Ø Ã Ị Ị ËĨ ĨÐ Ú Ơ ỉ ể ỉ ề ẳắ ẳắẵ ỉ Ị ¸Ơ Ị Ơ Ơ¸ Ơ Đ Ú Ị ịỊ Ù Ø Ị Ị ịỊ Ù Ø Ị Ị ịỊ Ù Ð Ị Ị ËĨ ĨÐ Ú Ơ Ø Ù ể ỉ ề ẳắắ ẩ ề ễ ễ ề ịỊ Ùº Ỵ Ị ó Ị ịỊ Ù ØƯĨỊ ÐÙ Ị Ð Ú Ị ó Ị Đ Đð ×Ĩ Ú × Ị Ú ịỊ ¸ Úø Ú Ý Ơ Ị Ơ Ơ Ị ịỊ Ù × Ị Ý Ð Ị ịỊ Ù Ðù Ø ÙÝ Ø Ð Ị Ị ËĨ ĨÐ Úº È Ị Ơ Ơ Ị ịỊ Ù ẹ ì ỉẹ ỉ é ữá ỉ é ữ ỉệũề ì ễ ề ỉự ỉ ề ễá õỊ ¸ Ð Đ Ư Ú ØỊ Ý Ø Ị Đ Ø ÷ Ø Ị ÕÙÝ Ú Ị ú ỉ ệ é ề ẳắ ẩ ẹ ề ịỊ Ù È Đ Ú Ị ịỊ Ù ÐÙ Ị Ð Ị Ị Ị Ị ú ¸ ØùỊ ظ Ị Ðù¸ Ú Ú Ị ó Ð ịỊ ÕÙ Ị Ị Ị ËĨ ĨÐ Ú Ơ Ø Ù Ú Ĩ Ø Ị¸ Ĩ Đ Ị Ị Lp(0, T ; X), Ị Ị C([0, T ]; X), Ĩ Đ Ý ØƯĨỊ Ò Ò ËÓ ÓÐ Ú Wp1(0, T ; X)º Ò ề Lp(0, T ; X), ẳ ự Ị ÷Đ Ú Ú Ị Ị ÐÙ Ịº Ị Ơ ¼º¿º½ Å ù Å ù ÐÙ Ị Ð Ð Đ ệ ề ữẹá ỉựề ỉá ề éựáỉệểề ề ề ËĨ ĨÐ Ú Ơ Ø Ù Ú Ĩ Ø Ịº Ị Ơ Ø ịĐ Ø Ð ÷Ù Ø Đ Ĩ Ĩ × Ị Ú ịỊ Ú Ø Ø Ị Ị ÝịÙ Ø ù ¸ ÕÙ Ị Ø Đ ơỊ Đ ề ễ ề ỉệứề ể ẹ ệ ũề ẳắ ặ ữẹ ẻ ẹ ự ỉ ệ ề ữẹ Ú Ị ịỊ Ù ÐÙ Ị Ð ỊịÙ Ư Ú Ị Đ Ị Ú Ị ó Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ Ị Ị ËĨ ĨÐ Ú Ơ Ø Ù ể ỉ ề ẳ ặ ề ề ề ễề ỉ ỉ ẹ íũề ì ú ễ é Ị ÐÙ Ị Ð Ð Đ Ư Ư Ị ¸ Ø Ị ÷ Ø Ị ØƯ Đ Ị Ơ Ị ØỊ Ĩ Đ Ư ịỊ ÷Ị º Ð Ị ÷Đ ơỊ Ø Đ Ị Ị Ị ú Ĩ Đ íụá ể ẹ ìí ệ ề ề ề ậể ĨÐ Ú Ị Ĩ Ư Ø ØùỊ Ø Ú Ú Ị ó Ð ịỊ ÕÙ Ị Ị Ị ậể ểé ữỉ é ề ề ễ ỉ ũẹ Đ Ø Ơ Ị ơỊ Ø Đ Ị Ơ Ị ỉệứề ể ẹ ệ ũề ữề é ề ú Ị Ị ËĨ ĨÐ Ú Ơ Ø Ù Ú Ĩ Ø Ị Ú Ú Ị ó Ð ịỊ ÕÙ ề ề ẵ ỉì ụề ỉ ẵẵ ề Ð ịỊ ÕÙ Ị Ị Ị Ĩ Ị Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ø º Ị Ị ú ½º½º Ị Ị Ú Ø ØƯịỊ ØƯ Ị Ú Ị × × Ø R Ý × Ơ Cº À Đ ρ Ü Ị ØƯịỊ E Ð Đ Ø Ù Ị ØƯịỊ E Ị ỉ ẹ ề ú ữề ì (x) ≥ Ú º ρ(λx) = |λ| ρ(x) º ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) ∀x ∈ E Ú Ú ρ(x) = ∀λ ∈ K Ú Ú Ø øx=0 ∀x ∈ E ∀x, y ∈ E Ã Ò Ò Ú Ø E Ò Ú Ñ Ø Ù Ò ρ ØƯịỊ Ị Ð ØùỊ Ị Ù Ị Ý Ị Ị Ị Ð Ị Ị Ị Ù Ịº Å÷Ị ó ½º½º Ỉ ρ Ð Đ Ø Ù Ị ØƯịỊ E ỉ ứ ề ỉ ề ề ỉíụề ẵẵà d(x, y) := ρ(x − y), (∀x, y ∈ E) Ü Ị Đ Ø Ĩ Ị ØƯịỊ E Ø Đ Ò   d(x + y, y + z) = d(x, y)  d(λx, λy) = |λ| d(x, y) Ú ∀x, y, z ∈ E, ∀λ ∈ K Ã Ó Ò dÜ Ù Ò ρ Ò Ò Ø (1.1) Ð Ĩ Ị ×Ị Ị Ị ú ½º¾º à Ị Ị Ị ÙỊ ĐØ Ù ỊÜ Ị ể ề ìề ề ề ỳ ẵ d(x, y) := x − y , Ú Ị Đ ØƯ Ú Ý Ù Ý ØƯĨỊ x, y ∈ E Ý {uk }∞ ⊂ E k=1 Ị Ú Đ ǫ > 0, ∃N > × Ĩ Ĩ uk − ul º Ò Ð < ǫ, Ú k, l ≥ N Ị Đ Ý Ù Ý ØƯĨỊ E óÙ Ø ¸ Ò ú Ð Ú {uk }∞ ⊂ E Ð Ý íá ỉ ề ỉ u E ì ể Ĩ {uk }∞ Ø ơỊ u k=1 k=1 E Ð Ý º à Ị Ị Ị Ị Ị ú ½º º à Ị ´ Ý µ Ị Đ Ý E Ð Ị Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ị Ù Ị Ý º Ị Đ ØƯ E Ð Ù Ý ØƯĨỊ E óÙ Ø º Ị Ị Đ ØƯ Ý Ị Ị ú ½º º à Ị Ị E Ị Đ ØƯ ݺ Ò ØÙÝôÒ ØùÒ Ò Ù Ò E Ð Ù Ò ØƯịỊ E Ð Đ Ø Ị Ị E Ị Ú ẹ ỉệ ì ề ề ề ỳ ẵ Ò Ò Ò Ù ÒE Ð ÐÝ Ò Ò ÒôÙ E Đ Ø Ø Ơ ĨỊ ơĐ ØƯ Đ Ø ØƯĨỊ E Ð Ị Ø Ị Ø Đ Ø Ý {xn}n∈N Ơ Ị Ø E × Ĩ Ĩ Ú Đ E x ∈ E óÙ ùØ Ị Ø Đ Ø Ý ĨỊ {xn }n∈N Ø ơỊ x ∗ k Ị Ị ú ½º º Ì Ị Ư Ị ∗ Ý {uk }∞ ⊂ E k=1 Ø ơỊ u ∈ E Ị lim uk − u = k→∞ Ì ề ụỉá ẵắ ề uk u ề é ệỉ ẵắẵ ề ệẹ ỉ ề Ị ú ½º º Ĩ E Ð Ð Ị Ü k → ∞ ϕ : E × E −→ C Ø Ị Ị Ú Ø ´Ơ µº ĐỊ Ị À ƯĐ Ø ØƯịỊ E Ú Ị × C Ị Ơ Ø Ù ØƯịỊ uº Úø ∂U Ð C º Ý Ø Ü Ø ØƯ Ị Ơ ∂U Ị Ơ Ị Ị x0º à ỊịỊ Ø Ø ơỊ Ị Ð Đ Ơ Ị ∂U Ị x0º Ì Ð Ø Ü Ị Ị Ü Φ ØƯĨỊ C 1¸ Ú Ị Ü Ị Ð Ψ¸ Ø Đ Ị Φ Ð Đ Ơ Ị ∂U Ị x0 Ư Ơ ù ỊĨ º Ì Ú ôØ y = Φ(x), x = Ψ(y), u′(y) := u(Ψ(y))º Ì ơƠ Ø Ĩ Ø Ð Ü Ị øỊ Ñ u′ Ø By+ Ø Ù By = B(y0, r)º Ì Ị Ø Ị ØƯịỊ¸ Ø Đ Ư Ị Đ u′ Ü Ị ØƯịỊ ØĨ Ị By Đ u′ ∈ C 1(By ) Ò Ò Ø Ò Ø Øø u′ Wp (By ) ≤ Cy u′ + Wp (By ) èệểề Cy é ề ì ề ễ Ø Ù Ú Ó u′ º Ó W := Ψ(By )º Ë Ù ÕÙ Ý ØƯ Ð ơỊ x¸ Ø Ø Ù u u ØƯịỊ W Đ u Wp (W ) C u ẹ ỉ ẹẹ ệ ề ẵẵắà Wp (U ) º Ì ∂U Ð ĨĐƠ ظ ỊịỊ Ø Ị Ø Ù Ị ưĐ x0 ∈ ∂U ¸ Wi Ð Ñ ¸ Ú ui Ð i Ñ Ư Ị u ơỊ Wi (i = 1, N)¸ Ị Ị Đ Ị ØƯ Γ ⊂ N Wiº Ä Ý i=1 W0 ⊂⊂ U Ĩ U ⊂ N Wi ¸ Ú Ø {ζi }N Ð Đ Ø Ơ Ị Ĩ ỊÚ i=0 i=1 N Ø Ị Ị Ú Ơ Đ {Wi}N U ¸ Ø Ú u = ζiui¸ ØƯĨỊ u0 = uº i=0 i=0 Ë Ò (1.12) Ø u Wp (Rn ) ≤C u Wp (U ) Ú Ị × C û Ơ Ø Ù Ú Ĩ Ú Ĩ U, p, n Ị Ị Ị Ơ Ø Ù Ú Ĩ uº À Ị Ị Ø Ø × Ơ Ø Ĩ Ø u Ð Ị Đ ØƯĨỊ V ⊃⊃ U º Ý Ø ÜØ Ị Ü EÑ 1 E : Wp (U ) −→ Wp (Rn) u −→ Eu = u Ø ø E Ð ØĨ Ị Ø ØÙÝơỊ ØùỊ º Ý Ø Ü Ø u ∈ Wp1(U )º Ĩ ØùỊ ØƯ Đ Ø C ∞ (U) ỊịỊ ÐÙ Ị Ø Ị Ø Ý Ù Ý Đ {um}∞ Đ um → u ØƯĨỊ m=1 Ø Ị Ø i Ị Ú ØùỊ ØÙÝơỊ ØùỊ Eum − Eul = E(um − ul ) E Ø øØ Wp (Rn ) m → ∞ ≤ C um − ul Ơ Ị Wp (U ) Ù Ý Ø Úó u m → ∞¸ Ú E Ð ØĨ Ị Ø ØÙÝơỊ ØùỊ ỊịỊ {Eum}∞ Ị Ð Ý Ù Ý Ø Ø u Ú Ø Ø Eu := u m=1 Ë Đ Ư Ị Ị ÝỊ Ị Ơ Ø Ù Ú Ĩ Ú ÷ Ị Ý Đ Ü Ơ Üû {um}∞ m=1 Ø Đ Ị ÐÙ Ị Ò Ðùº {um }∞ m=1 Ð Wp (Rn ) Wp (U ) Ý ½º¿º à Ị Ị Đ H 1() ề ề ỳ ẵắắ ề ề ề Ù f ∈ H −1 (Ω) H0 (Ω) Ị f Ð Đ Ø Ơ ơĐ Đ ØÙÝơỊ ØùỊ ù ÷Ù Ð H −1(Ω)º Ị ØƯịỊ H01(Ω)º Ị Ị ú ẵắ ặụ f H 1()á ề ĩ ề f H −1 (Ω) = ×ÙƠ{ f, u |u ∈ H0 (Ω), u Ì Ú < f, v > ự ữ ề é ẵắ ØÖ Ù ØÖ f ∈ H −1(Ω) H0 (Ω) ≤ 1} ØƯịỊ u ∈ H01(Ω) H −1 µ × f ∈ H −1 (Ω) à ÜÙ Ø ÷Ị Ñ f , f 1, , f n ØƯĨỊ L2 (Ω) × Ĩ Ĩ n f, v = f v+ i=1 Ω º À ỊỊ ¸ f H −1 (Ω) = Ò n Ω i=0 f Ø Ì Ú f = f − Ị ĐỊ ẵ ẻ f ivxi dx, (v H0 (Ω)) f i dx | Đ Ị (1) Ú f 0, , f n ∈ L2(Ω) n i i=1 fxi Ĩ¸ Ø u, v ∈ H0 (Ω) (u, v) := Ị Ị ú Øù ØƯĨỊ Du.Dv + uvdx ẵẵà ẻ ẹ f H 1() u H0 () ề éự ấ ìị ỷ ệ ì ỉ ề ỉ ẵ ẹ ẹ ề B[u, v] = f, v Ĩ Ø Ø Đ v H01()á é ẵẵ Du.Dv + uvdx = f, v Ø Ơ Ị Ω Ĩ Đ v ∈ H01(Ω)º Ĩ u ∈ H01(Ω) ×ÙÝ Ư Ú i = 1, , nº Ĩ ỊịỊ Ị Ø Ø u ∈ L2 (Ω) Ú Ø Ò   f = u ẵẵ i f = ux , (i = 1, , n) i Ú Ø Ý Ú Ó (1.14) Ø ø Ø uxi ∈ L2 (Ω) n f, v = i=1 ắ í ì L2() ì Ó Ó f ivxi dx f v+ f ∈ H − 1(Ω)¸ ỊịỊ Ø Ĩ (1.13) Ø ø Ø Ị Ø Ñ g0, g1, , gn ∈ n f, v = Ø v = u ØƯĨỊ (1.14) i=1 Ω Ú × Ị (1.16) Ị Ø n Ĩ Ø Ω (1.15) |Du| + |u| dx ≤ Ø Ø Ý f ¿º Ì (1.13) Ω Ø i i=0 | f, v | ≤ 1 f g i dx i=0 Ω n dx ≤ Ω i=0 H () f ẵẵ g i dx n Ị v H (Ω) ≤ 1º Ø v = u u ØƯĨỊ H (Ω) Å 2 n ẵẵ g i vxi dx g v+ i 2 dx i=1 (1.14)¸ = supp f, v |v ∈ H1 (Ω), u H1 (Ω) ≤1 ´½º½ µ ỊịỊ Ø (1.17), (1.18) Ø f, ⇔ u u = H0 (Ω) u Du.D u u Ω f, v = H0 (Ω) u Ω H0 (Ω) + u H0 (Ω) u u dx H0 (Ω) |Du|2 + |u|2 dx ÀÝ n f H −1 (Ω) f i dx = Ω à ề ề ìí ệ ỉ (1.16) (1.19) ề Ðù Ị Đ Ị º i=1 ´½º½ µ Ị ¾ à Ị Ị ËĨ ĨÐ Ú Ơ ỉ ề ểXé ắẵ ề ề ề ỉ ÚĨ Ị Ø Ú Ù Ị º Ị Lp(0, T ; X) ề ề ỳ ắẵ ề ề Lp(0, T ; X) Đ Ø Ø Đ Ĩ u : [0, T ] → X Ú T u L (0,T ;X) := ( u(t) pdt) º p u ắắ ề L (0,T ;X) := ìì ×ÙÔ 0≤t≤T p

Ngày đăng: 07/06/2014, 16:14

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan