Phạm Hồng Phong CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tổng hợp dạng toán liên quan Lovebook.vn sưu tầm giới thiệu 29/10/2013 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Mục lục §1 Các phương pháp tìm cực trị A Tóm tắt lý thuyết B Một số ví dụ C Bài tập D Đáp số §2 Cực trị hàm bậc ba A Tóm tắt lý thuyết B Một số ví dụ C Bài tập 10 D Đáp số 11 §3 Cực trị hàm bậc bốn trùng phương 12 A Tóm tắt lý thuyết 12 B Một số ví dụ 12 C Bài tập 15 D Đáp số 15 Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ §1 Các phương pháp tìm cực trị A Tóm tắt lý thuyết Khái niệm cực trị hàm số Cho f : D  x0  D a) x0 gọi điểm cực đại f tồn khoảng  a; b  cho  x0   a; b   D    f  x   f  x0  x   a; b  \  x0   b) x0 gọi điểm cực tiểu f tồn khoảng  a; b  cho  x0   a; b   D    f  x   f  x0  x   a; b  \  x0   c) Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Bảng sau tóm tắt khái niệm sử dụng phần này: x0 f  x0   x0 ; f  x0  Điểm cực đại f Giá trị cực đại (cực đại) f Điểm cực đại đồ thị hàm số f Điểm cực tiểu f Giá trị cực tiểu (cực tiểu) f Điểm cực tiểu đồ thị hàm số f Điểm cực trị f Cực trị f Điểm cực trị đồ thị hàm số f Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Giả sử hàm f có đạo hàm x0 Khi đó: f đạt cực trị x0 f '  x0   Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị a) Quy tắc  Nếu f '  x  đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 ;  Nếu f '  x  đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Quy tắc 2:   f '  x0     f đạt cực đại x0 ;  f "  x0       f '  x0     f đạt cực tiểu x0  f "  x0     Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ B Một số ví dụ Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y  x3  x  3x  3 , y '  x  x  , y '   x  1 x  Giải Hàm số có TXĐ  Bảng biến thiên: x -1 -∞ + f '(x) Kết luận: _ +∞ + +∞ Hàm số đạt cực đại x  1 , giá trị cực đại tương ứng y  1  ; hàm số đạt cực tiểu x  , giá trị cực tiểu tương ứng 23 y  3   3 f(x) -∞ 23 Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y  x  x   Giải Hàm số có TXĐ  Ta có y  x2  x  2  y '   x2  x  x x  2  x  ( x  )  x x Ta thấy với x  , dấu y ' dấu tam thức bậc hai x  x Nên ta có bảng biến thiên hàm số sau: x Kết luận: hàm số đạt cực đại x  1 , giá trị cực -1 -∞ + y' 0 _ +∞ đại tương ứng y  1  ; hàm số đạt cực tiểu x  , giá trị cực tiểu tương ứng y    + +∞ y -∞ Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y  x3  x  3x  3 Giải TXĐ  Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ  y '  x  x  , y '   x  1 x   y "  2x  , +) y "  1  4   hàm số đạt cực đại x  1 , giá trị cực đại tương ứng y  1  ; +) y "  3    hàm số đạt cực tiểu x  , giá trị cực tiểu tương ứng y  3   23 Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y  x  sin x  Giải TXĐ   y '   2cos x , y '   cos 2x   2x     k  x   k ( k  )  y "  4sin x ,     +) y   k   4sin   2k     hàm số đạt cực tiểu điểm 6  3  x     k , giá trị cực tiểu tương ứng y   k     k  2 6 6        +) y    k   4sin    2k   2   hàm số đạt cực đại điểm     x       k , giá trị cực tiểu tương ứng y    k     k   6   Ví dụ [SGK] Tìm a , b , c cho hàm số y  ax3  bx  cx  d đạt cực tiểu điểm x  , y    đạt cực đại x  , f 1  Giải Ta có y '  3ax2  2bx2  c Từ giả thiết suy  y '0  c   d   y 0       3a  2b  c   y ' 1  a  b  c  d  y 1      a  2 b    c  d   Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Khi y  2 x3  3x , y '  6 x2  x , y "  12 x  Ta có y "      hàm số đạt cực tiểu x  , y " 1  6   hàm số đạt cực đại x  (thỏa mãn) Vậy a  2 , b  , c  0, d  C Bài tập Bài Tìm cực trị hàm số 1) y  x3  x2  12 x  ; 2) y  5x3  3x  x  ; 3) y  3x  x3  24 x  48x  ; 4) y  x   ; x2 x  x  24 ; x2  x 6) y  ; x 4 5) y  7) y  x  x ; 8) y  x  x  ; 9) y  sin x  cos x ; 10) y  2sin x  cos x Bài Tìm a , b , c để hàm số y  x3  ax2  bx  c đạt cực tiểu x  , y 1  3 đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ q Bài Tìm p , q cho hàm số y  x  p  đạt cực đại điểm x  2 y  2   2 x 1 D Đáp số Bài Error! Reference source not found Hàm số đạt cực đại điểm x  , y 1  đạt cực tiểu điểm x  , y    ; Error! Reference source not found Hàm số nghịch biến nên khơng có cực trị; Error! Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu x  2 , y  2   115 x  , y    13 , đạt cực đại điểm x  , y 1  20 ; Error! Reference source not found Hàm số đạt cực đại điểm x  1 , y  1  7 đạt cực tiểu điểm x  , y  5  ; Error! Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu điểm x  , y 1  đạt cực đại điểm x  , y    ; Error! Reference source not found Hàm số 1 đạt cực đại điểm x  , y    ; Error! 4 Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu điểm x  , y 1  đạt cực đại điểm đạt cực tiểu điểm x  2 , y  2    x  , y    Error! Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu x  2 , Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 y  2    , đạt cực đại điểm x  , y    ; Error! Reference source not found Hàm số 4 đạt cực tiểu điểm x  2k , y  2k    x    2k , y   2k    Hàm số đạt cực đại điểm x   5  5   k , y    2k    ; Error! Reference source not       2k , y   2k   x    2k , 2 2        y    2k   3 Hàm số đạt cực đại điểm x   2k , y   2k   6    found Hàm số đạt cực tiểu điểm x  x  5  5   k , y   2k   Bài a  , b  9 , c  Bài p  q    Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ §2 Cực trị hàm bậc ba A Tóm tắt lý thuyết Xét hàm y  ax3  bx  cx  d C  ( a  ) Điều kiện có cực trị  Hàm số có cực trị  hàm số có hai cực trị   C  có cực trị   C  có hai điểm cực trị  y ' có hai nghiệm phân biệt  f khơng có cực trị   '  Quy tắc tính cực trị phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số Giả sử hàm số có cực trị, thực phép chia đa thức y cho y ' để có: y  p  x  y ' ax  b Từ suy ra:  x0 điểm cực trị hàm số  y '  x0    y  x0   ax0  b   : y  ax  b đường thẳng qua tất điểm cực trị  C  B Một số ví dụ Ví dụ Tìm m để hàm số y   m   x3  3x  mx  có cực đại, cực tiểu Giải Ta có y '   m   x  x  m y có cực đại, cực tiểu trước hết m    m  2 (1) Khi y ' tam thức bậc hai có  '  3  m2  2m  3 y có cực đại, cực tiểu  '   m2  2m    3  m  1   m  3; 2    2;1 Kết hợp với (2) ta có giá trị m thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ [ĐHD12] Tìm m để hàm số y  x  mx   3m2  1 x  có hai điểm cực trị x , 3 x2 cho x1 x2   x1  x2   Giải Ta có Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y '  x  2mx   3m2  1   x  mx  3m2  1 , t  x   x  mx  3m2  tam thức bậc hai có   13m2  Do hàm số có hai điểm cực trị y ' có hai nghiệm phân biệt  t  x  có hai nghiệm phân biệt  13 m  13  0    13 m   13   x1  x2  m x1 , x2 nghiệm t  x  nên theo định lý Vi-ét, ta có  x1 x2  3m2   Do m  2 x1 x2   x1  x2    3m  2m    3m  2m    m   Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy m  thỏa mãn yêu cầu tốn (1) Ví dụ [ĐHB07] Tìm m để hàm số y   x3  3x   m2  1 x  3m2  có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số cách gốc tọa độ O Giải Ta có y '  3x2  x   m2  1  3  x2  x  m2  1 , t  x   x2  x  m2  tam thức bậc hai có  '  m2 Do đó: y có cực đại cực tiểu  y ' có hai nghiệm phân biệt  t  x  có hai nghiệm phân biệt   '   m  (1) Khi y ' có nghiệm là:  m  tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số A 1  m; 2  2m3  B 1  m; 2  2m3  Ta có OA 1  m; 2  2m3   OA2  1  m   1  m3  ; 2 OB 1  m; 2  2m3   OB  1  m   1  m3  2 A B cách gốc tọa độ OA  OB  OA2  OB  1  m   1  m3   1  m   1  m3   4m  16m  2 m    m    Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ [ĐHB12] Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  3mx2  3m3 có hai điểm cực trị A B Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy m   cho tam giác OAB có diện tích 48 Giải Ta có x  y '  3x  6mx  3x  x  2m  , y '     x  2m Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị 2m   m  Khi đó, điểm cực trị đồ thị hàm số A  0;3m  , B  2m; m  Ta có: (1)  OA  0;3m3   OA  m3 (2)  Ta thấy A  Oy  OA  Oy  d  B, OA  d  B, Oy   m (3) Từ (2) (3) suy SOAB   OA  d  B; OA  3m4 Do đó: SOAB  48  3m  48  m  2 (thỏa mãn (1)) Ví dụ Xác định tọa độ điểm cực trị viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y  x3  3x  x   C  Giải Ta có y '  3x  x    x  x   Vì t  x   x  x  có  '   nên t  x  có hai nghiệm phân biệt, suy y ' có hai nghiệm phân biệt Do C  có hai điểm cực trị Ta thấy nghiệm y' x1    x2   y ' đổi dấu từ dương sang âm x qua x1 nên x1 điểm cực đại, y ' đổi dấu từ âm sang dương x qua x1 nên x1 điểm cực đại Thực phép chia y cho t  x  ta y   x  1 t  x   x  Suy ra:   y  x1   6 x1  (vì t  x1   )  y  x1   6       tọa độ điểm cực đại  C   3;6   Tương tự, tọa độ điểm cực tiểu  C   3; 6 Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ta thấy tọa độ điểm cực trị  C  thỏa mãn phương trình y  6 x  nên phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y  6 x  Nhận xét Trong ví dụ thay chia y cho y ' , ta thực phép chia y cho t  x  đơn giản mà đạt mục đích phương pháp Sở dĩ làm y ' t  x  có tập nghiệm Ví dụ [ĐHA02] Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y   x3  3mx2  1  m2  x  m3  m2 Giải Ta có y '  3x  6mx  1  m2   3  x  2mx  m2  1 Tam thức bậc hai t  x   x  2mx  m2  có  '   nên t  x  có hai nghiệm phân biệt đổi dấu tiên tiếp x qua hai nghiệm Do hàm cho có cực đại, cực tiểu Thực phép chia y cho t  x  ta có y   m  x  t  x   x  m2  m Giả sử x0 điểm cực trị hàm số, ta có y  x0    m  x0  t  x0   x0  m2  m  2x0  m2  m (do t  x0   ) Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y  x  m2  m Nhận xét Trong ví dụ này, ta tính tọa độ điểm cực trị cách dể dàng Do đó, áp dụng phương trình đường C Bài tập Bài Cho y  mx3  3mx2   m  1 x  Tìm m để hàm số có cực trị điểm cực trị âm Bài Cho y  x3  mx2  12 x  13  Cm  1) Chứng tỏ với m ,  Cm  ln có điểm cực đại, cực tiểu Gọi x1 , x2 hoành độ điểm cực trị  Cm  , tìm giá trị nhỏ biểu thức S  x12  x2   x1  1 x2  1 2) Tìm m để điểm cực đại, cực tiểu  Cm  cách trục tung Bài Cho y   x3  3x   m2  1 x  3m2   Cm  1) Tìm m để hàm số có giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu 2) Tìm m để  Cm  có điểm cực trị khoảng cách chúng Bài Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số 1) y   x3  3x  x  ; 2) y  x3  x  x  ; Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 10 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3) y  x3  x  10 x   Bài Tìm m để hàm số sau có cực đại, cực tiểu viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số 1) y  x3  3mx   m2  1 x  m3 ; 2) y  x3   m  1 x   2m2  3m   x  m  m  1 Bài Tìm m để đồ thị hàm số 1) y  x3   m  1 x   m   x  có điểm cực đại, cực tiểu nằm đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y  4 x  ; 2) y  x3   m  1 x  6m 1  2m  x có điểm cực đại, cực tiểu nằm đường thẳng y  4 x ; 3) y  x3  mx  x  có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu vng góc với đường thẳng y  3x  ; 4) y   x3  3mx2  1  m2  x  m3  m2 có điểm cực đại cực tiểu cho điểm cực đại cực tiểu điểm M 1;0  thẳng hang; 5) y  x3  3x2  m2 x  m có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng x ; 2 1 6) y  x3   m  1 x  mx có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng 72 x  12 y  35  y D Đáp số 19  m  Bài 1) A  , đạt  m   ; 2) m  Bài 1) m  1  4 2 m  ; 2) m  1 Bài Error! Reference source not found y  x  ; Error! Reference 3 89 68 29 source not found y   x  ; Error! Reference source not found y   x   18 9 Bài Error! Reference source not found Hàm số có cực đại, cực tiểu m , phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y  2 x  m Error! Bài 3 3 ,  m 2 phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số 2 8  y    m2  2m   x  m3  m2  m  3 3 3  Reference source not found Hàm số có cực đại, cực tiểu  m  Bài 1) m  ; 2) m  ; 3) m  3 10 ; 4) m  1  m  ; 5) m  ; 6) vô nghiệm Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 11 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ §3 Cực trị hàm bậc bốn trùng phương A Tóm tắt lý thuyết b   Xét hàm f  x   ax  bx  c ( a  ) Ta có f '  x   4ax3  2bx  4ax  x   2a   t x Trường hợp 1: ab  Khi t  x  vơ nghiệm có nghiệm x   f '  x  có nghiệm x  f '  x  đổi dấu lần x qua  f có cực trị Trường hợp 2: ab  Khi t  x  có hai nghiệm phân biệt khác  f '  x  có ba nghiệm f '  x  đổi dấu liên tiếp x qua ba nghiệm  f ba cực trị Một số kết cụ thể:  f có cực trị  ab  ;  f có ba cực trị  ab  ;  a  ; f có cực trị cực trị cực tiểu   b   a  ; f có cực trị cực trị cực đại   b   a  ; f có hai cực tiểu cực đại   b   a  f có cực tiểu hai cực đại   b  B Một số ví dụ Ví dụ [ĐHB02] Tìm m để hàm số y  mx   m2   x  10 có điểm cực trị Giải Để hàm số có ba điểm cực trị trước hết hàm số phải hàm bậc , tức m  Ta có    y '  4mx3   m2   x  4mx x  m2 m9 t x Hàm số có điểm cực trị Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 12 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y ' có nghiệm phân biệt  t  x  có nghiệm phân biệt khác  m2  0 2m 0  m   m  m2       m  3 Ví dụ Tìm m để hàm số y   m  1 x  mx  có cực tiểu mà khơng có cực đại Giải Ta xét hai trường hợp sau đây:   hàm số có cực tiểu ( x  ) mà khơng có cực đại  m  1 thỏa mãn yêu cầu toán  m    m  1 Khi hàm số cho hàm bậc có m    m  1 Khi y  x   m  y '   m  1 x3  2mx   m  1 x  x    m  1   Hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại  y ' có nghiệm đổi dấu từ âm sang 4  m  1   dương x qua nghiệm   m  1  m  0   m  1  Kết hợp giá trị m tìm được, ta có 1  m  Ví dụ [ĐHB11] Cho hàm số y  x   m  1 x2  m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A , B , C cho OA  BC ; O gốc tọa độ, A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị cịn lại Giải Ta có y '  x3   m  1 x  x  x   m  1    t x Hàm số có điểm cực trị y ' có nghiệm phân biệt  t  x  có nghiệm phân biệt khác  m    m  1  * Khi đó, ta có Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 13 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ  A 0; m  x      y '    x   m    B  m  1; m  m  ,   x  m 1 C m  1; m  m       (vai trò B , C tốn nên cung giả sử B     m  1; m2  m  , C  m  1; m2  m  ) Ta có   OA  0; m   OA  m ; BC m  1;0  BC  m  Do OA  BC  m  m   m2  4m   (  '  )  m   (thỏa mãn * ) Vậy m   Ví dụ [ĐHA12] Tìm m để đồ thị hàm số y  x   m  1 x  m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vng Giải Ta có y '  x3   m  1 x  x  x   m  1    t x Đồ thị hàm số có điểm cực trị y ' có nghiệm phân biệt  t  x  có nghiệm phân biệt khác  m    m  1  * Khi đó, ta có x   y '   x   m 1  x  m 1 Suy điểm cực trị đồ thị hàm số    A  0; m2  , B  m  1; 2m  , C  m  1; 2m  Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 14 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ta thấy A  Oy , B C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân A Do tam giác vng A Ta có   AB  m  1;   m  1 , AC  m  1;   m  1  AB AC   m  1   m  1 Tam giác ABC vuông ABAC    m  1   m  1    m  1  m  1  1     m  1 m   , kết hợp với điều kiện * ta có m      m  m   C Bài tập Bài Tìm m để hàm số y  x   m  1 x   2m có cực trị Bài Cho hàm số y  x – 2mx  2m  m4 ( m tham số) Tìm m để 1) Đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu lập thành tam giác vuông 2) Đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu lập thành tam giác 3) Đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu lập thành tam giác có diện tích 2012 đơn vị diện tích Bài [DHA04] Cho hàm số y  x  2m2 x  Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực đại cực tiểu  C  lập thành tam giác vuông cân Bài Cho hàm số y  x   3m  1 x  2m  Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu A , B , C cho ba điểm với D  7;3 thuộc đường tròn D Đáp số 18 Bài m  Bài 1) m  ; 2) m  ; 3)  503    Bài m  1 Bài m    Lovebook.vn vinh dự đơn vị phân phối sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn Với sách độc này, em học sinh hồn tồn n tâm việc luyện đề Bộ sách tổng hợp kiến thức kinh nghiệm đội ngũ 10 thủ khoa GSTT GROUP Khơng có sách, em cịn tặng sổ tay nhỏ để sử dụng q trình luyện đề Hãy liên hệ với chúng tơi để có tài liệu độc này: Website: http://lovebook.vn/ Facebook: https://www.facebook.com/Lovebook.vn?bookmark_t=page SĐT: 0466.860.849 Địa chỉ: Số 16, ngõ 61 Khương Trung, Thanh Xuân, Hà Nội Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 15 ... Điểm cực đại f Giá trị cực đại (cực đại) f Điểm cực đại đồ thị hàm số f Điểm cực tiểu f Giá trị cực tiểu (cực tiểu) f Điểm cực tiểu đồ thị hàm số f Điểm cực trị f Cực trị f Điểm cực trị đồ thị hàm. .. HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ §2 Cực trị hàm bậc ba A Tóm tắt lý thuyết Xét hàm y  ax3  bx  cx  d C  ( a  ) Điều kiện có cực trị  Hàm số có cực trị  hàm số có hai cực trị   C  có cực trị. .. GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ §1 Các phương pháp tìm cực trị A Tóm tắt lý thuyết Khái niệm cực trị hàm số Cho f : D  x0  D a) x0 gọi điểm cực đại f tồn khoảng