Khóa luận tốt nghiệp toán học:TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NIU-TƠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN THỊ LÀNH TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NIU-TƠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN THỊ LÀNH TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NIU-TƠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn: ThS. Nguyễn Hải Lý SƠN LA, NĂM 2013 Lời cảm ơn! Trong quá trình hoàn thành khóa luận này tôi luôn nhận được sự giúp đỡ và chỉ bảo tận tình của Cô giáo - ThS. Nguyễn Hải Lý, các thầy cô giáo trong khoa Toán - Lí - Tin, phòng đào tạo, phòng quản lý khoa học và quan hệ quốc tế, thư viện trường Đại học Tây Bắc. Cùng các thầy cô giáo và các em học sinh trường THPT Tân Lạc, trường THPT Mường Bi, sự động viên và góp ý của các bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Toán. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Cô giáo - ThS. Nguyễn Hải Lý, các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và các em học sinh đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành khóa luận. Khóa luận của tôi đã hoàn thành nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận này hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Lành BẢNG KÍ HIỆU CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt và kí hiệu Nghĩa DH Dạy học ĐH Đại học GV Giáo viên HĐ Hoạt động HS Học sinh NXB ĐHSP Nhà xuất bản đại học sư phạm NXB GD Nhà xuất bản giáo dục PP Phương pháp SGK Sách giáo khoa THPT Trung học phổ thông MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................... 2 4. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................... 2 5. Phạm vi nghiên cứu ...................................................................................... 2 6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 3 7. Cấu trúc khóa luận ....................................................................................... 3 8. Đóng góp của khóa luận ............................................................................... 3 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ......................................... 4 1.1. Cơ sở lí luận ............................................................................................... 4 1.1.1. Vị trí chức năng của bài tập Toán học .................................................... 4 1.1.2. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học .................................... 4 1.1.3. Phương pháp chung tìm lời giải bài toán ................................................ 5 1.1.4. Yêu cầu đối với lời giải bài toán .............................................................. 6 1.1.5. Một số kiến thức về nhị thức Niu-tơn .................................................... 6 1.2. Cơ sở thực tiễn ........................................................................................... 8 1.2.1. Điều tra giáo viên .................................................................................... 9 1.2.2. Điều tra đối với học sinh. ...................................................................... 12 CHƯƠNG 2: TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NIU-TƠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT ...................... 14 2.1. Bài toán 1: Khai triển lũy thừa của các biểu thức ................................. 14 2.2. Bài toán 2: Tìm số hạng trong khai triển Niu-tơn ................................. 16 2.3. Bài toán 3: Tìm hệ số trong khai triển Niu-tơn ...................................... 19 2.3.1. Tìm hệ số của k x trong khai triển nhị thức ........................................... 19 2.3.2. Xác định hệ số lớn nhất trong một khai triển nhị thức Niu-tơn. .......... 23 2.4. Bài toán 4: Chứng minh đẳng thức chứa tổ hợp ................................... 26 2.4.1. Trực tiếp khai triển nhị thức Niu-tơn.................................................... 26 2.4.2. Dùng đạo hàm cấp 1, cấp 2 .................................................................. 28 2.4.3. Dùng tích phân ...................................................................................... 30 2.5. Bài toán 5: Tính tổng một biểu thức chứa tổ hợp .................................. 33 2.5.1. Sử dụng trực tiếp khai triển Niu-tơn ..................................................... 34 2.5.2. Dùng đạo hàm cấp 1, 2 .......................................................................... 36 2.5.3. Dùng tích phân ...................................................................................... 39 2.5.4. Dùng số phức......................................................................................... 42 Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ...................................................... 47 3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................. 47 3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................. 47 3.3. Phương pháp thực nghiệm ...................................................................... 47 3.4. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................ 47 3.5. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................... 48 3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................................ 48 3.6.1. Biện pháp .............................................................................................. 48 3.6.2. Kết quả .................................................................................................. 48 3.7. Kết luận rút ra từ thực nghiệm ............................................................... 50 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong thời đại chúng ta đang sống, nhân loại đang bước vào ngưỡng cửa của nền kinh tế tri thức mà cơ sở của nó là sự phát triển mạnh mẽ như vũ bão của cuộc cách mạng khoa học - công nghệ. Những phát minh khoa học được áp dụng nhanh vào sản xuất vật chất và tinh thần. Các thành tựu khoa học - kĩ thuật - công nghệ trên không chỉ làm biến đổi quá trình sản xuất của xã hội mà còn kéo theo sự thay đổi cả nội dung, phương pháp và quá trình giảng dạy, học tập ở mọi cấp học trong nền giáo dục các nước, kéo nhà trường vào các hoạt động sản xuất, kinh doanh, dịch vụ, biến nhà trường thành trung tâm nghiên cứu, phát minh, tạo ra và ứng dụng những thành tựu khoa học đó. Mô hình, nội dung và phương pháp giáo dục truyền thống “Học một lần để có kiến thức sử dụng suốt đời” không còn phù hợp. Do vậy, động lực của nghiên cứu khoa học và ứng dụng những kết quả của những phát minh mới của khoa học chính là những đòi hỏi bức bách của cuộc sống vật chất và tinh thần con người hiện nay. Giáo dục đào tạo ngày nay không chỉ phục vụ cuộc sống mà còn là cơ sở để con người phát hiện ra những năng lực tiềm ẩn trong bản thân mình, khẳng định những năng lực ấy bằng đổi mới bản thân, tạo ra con người mới, cuộc sống mới. Những năm gần đây, tình hình dạy học môn toán ở trường THPT đạt được những thành tựu đáng kể qua các kì thi học sinh giỏi và thi Đại học. Tuy nhiên, thực trạng dạy và học môn Toán còn không ít vấn đề cần khắc phục. Trong quá trình dạy học môn Toán để nâng cao chất lượng dạy học và khả năng nhận thức của học sinh bằng nhiều biện pháp và nhiều phương pháp khác nhau. Trong đó giải bài tập toán là một trong những nội dung có tác dụng tích cực đối với việc giáo dục và rèn luyện, phát triển trí tuệ cho học sinh. Mặt khác nội dung này cũng là thước đo để đánh giá thực chất khả năng nắm vững kiến thức và kĩ năng thực hành của học sinh. Trong chương trình toán THPT các bài toán về nhị thức Niu-tơn luôn được quan tâm và là một trong những nội dung kiến thức quan trọng trong chương “Tổ hợp và xác suất”. Các bài toán liên quan đến “Nhị thức Niu-tơn” rất đa dạng và cũng là nội dung rất phức tạp trong chương trình Toán ở trường THPT. 2 Trong những năm gần đây trong các kì thi tốt nghiệp và thi vào các trường đại học và cao đẳng, thường thấy xuất hiện các bài toán phải vận dụng đến công thức “Nhị thức Niu-tơn” để giải, do hạn chế về thời gian lên lớp và đối tượng học sinh không đồng đều nên sách giáo khoa chỉ đưa ra một số tình huống cơ bản của bài toán này, vì vậy học sinh gặp nhiều hạn chế về kiến thức cũng như khả năng phân tích khi giải các bài toán này. Mặt khác theo chương trình mới, thì kiến thức ở chương trình 11 chỉ giải được một số dạng toán với số mũ nguyên. Đối với đối tượng là học sinh khá giỏi thì việc phân dạng bài toán này nhằm nâng cao kiến thức và khả năng vận dụng kiến thức “Nhị thức Niu-tơn” một cách hiệu quả trong các kì thi là thật sự cần thiết. Với lí do trên, tôi chọn và nghiên cứu khóa luận: “Tìm hiểu một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn trong chương trình Toán THPT” nhằm giúp học sinh có được hướng tiếp cận dễ dàng hơn đối với những bài toán về “Nhị thức Niu-tơn”, để từ đó nâng cao khả năng giải toán và hứng thú học tập cho học sinh. Bên cạnh đó đề tài này cũng giúp tôi - giáo viên Toán tương lai, hiểu hơn đối tượng kiến thức cần giảng dạy, để từ đó có những vận dụng thích hợp trong quá trình thực hành nghề nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu việc vận dụng kiến thức “Nhị thức Niu-tơn” vào việc giải các bài toán liên quan. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu một số vấn đề lí luận có liên quan. - Tìm hiểu, phân dạng một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn. - Tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung “Nhị thức Niu-tơn” trong việc giải một số bài toán ở THPT. - Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định kết quả. 4. Đối tượng nghiên cứu Một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn trong chương trình toán THPT. 5. Phạm vi nghiên cứu Toán lớp 11.