BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Tạ Thị Hồng Hiệp MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ VIỆC DẠY HỌC KHÁI NIỆM TỔ HỢP Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM VÀ PHÁP Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60.14.1 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ÁI QUỐC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Ái Quốc, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh nhiệt tình giảng dạy, truyền cho chúng tơi tình u Didactic Toán, trang bị đầy đủ cho công cụ cần thiết hiệu để thực việc nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Annie Bessot, PGS.TS Claude Comiti, TS Alain Birebent nhiệt tình giải đáp thắc mắc truyền đạt cho kiến thức Didactic quý báu Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến - Ban lãnh đạo chuyên viên phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho học tập, nghiên cứu suốt khóa học - Tập thể lớp Didactic Tốn K18 tơi chia sẻ niềm vui, thử thách học tập nghiên cứu Đặc biệt bạn Dương Thị Lan Phương, Hoàng Nguyên Lý, Lê Thị Huỳnh Liên, Phan Thị Hương Loan lớp trưởng Đinh Quốc Khánh chia sẻ ngày tháng học tập vui vẻ, động viên, giúp đỡ tơi nhiều q trình hồn thành luận văn - BGH trường THPT Trường Chinh THPT Trần Quang Khải (TP Hồ Chí Minh) tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tiến hành thực nghiệm luận văn Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thân u gia đình ln động viên nâng đỡ mặt Tạ Thị Hoàng Hiệp MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN T T MỤC LỤC T T MỞ ĐẦU T T Lí chọn đề tài câu hỏi xuất phát T T 2 Mục đích nghiên cứu T T Phạm vi lý thuyết tham chiếu phương pháp nghiên cứu T T Cấu trúc luận văn T T CHƯƠNG 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN KHÁI NIỆM TỔ HỢP 10 T T 1.1 PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM TỔ HỢP 11 T T 1.1.1 Từ thời Cổ đại (Antiquité) đến nửa đầu kỉ XVII: Bài tốn đếm cấu hình khác tập hợp 11 T T 1.1.1.1 Động tơn giáo, bói tốn, trò chơi cờ tướng Trung Quốc 11 T T 1.1.1.2 Nền văn hóa Ả Rập 12 T T 1.1.1.3 Nền văn minh phương Tây 14 T T 1.1.2 Nửa sau kỉ XVII đến đầu kỉ XVIII: lý thuyết tổ hợp hình thành ngành tốn học mới, phát triển mạnh mẽ với lý thuyết xác suất 17 T T 1.1.3 Đầu kỉ XVIII đến cuối kỉ XIX : tốn tồn cấu hình mối liên hệ với lý thuyết đồ thị 19 T T 1.1.4 Thế kỉ XX : đối tượng toán học rời rạc 21 T T 1.2 MỘT SỐ KẾT LUẬN 21 T T 1.2.1 Các giai đoạn nảy sinh phát triển 21 T T 1.2.2 Phạm vi tác động khái niệm tổ hợp tốn có liên quan 21 T T 1.2.3 Các đối tượng có liên quan 22 T T 1.2.4 Các toán đặc trưng Đại số tổ hợp 22 T T Chương : KHÁI NIỆM TỔ HỢP TRONG PHẠM VI TOÁN Ở BẬC ĐẠI HỌC 24 T T 2.1 Khái niệm tổ hợp giáo trình [a] 24 T T 2.2.Khái niệm tổ hợp giáo trình [b] 26 T T 2.3 Kết luận chương 33 T T Chương : MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM TỔ HỢP 38 T T Tổ hợp CT SGK Pháp 38 T T 3.1.1 Đại số Tổ hợp chương trình Pháp 38 T T 3.1.2 Đại số Tổ hợp sách giáo khoa Pháp 42 T T 3.1.3 Kết luận 51 T T Tổ hợp CT SGK Việt Nam 51 T T 3.2.1 Chương trình SGK ban 51 T T 2.1.1 Phân tích chương trình 51 T T 3.2.1.2 Phân tích sách giáo khoa 53 T T 3.2.1.3 Kết luận 56 T T Chương : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 58 T T 4.1 Đối tượng hình thức thực nghiệm 58 T T 4.2 Phân tích thực nghiệm 58 T T 4.2.1 Giới thiệu câu hỏi thực nghiệm 58 T T 4.2.2 Phân tích A priori 59 T T 4.2.2.1 Câu hỏi 59 T T 4.2.2.2 Câu hỏi 63 T T 4.2.2.3 Câu hỏi 65 T T 4.2.3 Phân tích A posteriori 66 T T KẾT LUẬN 68 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 T T PHỤ LỤC 71 T T MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài câu hỏi xuất phát Đại số tổ hợp xuất vào kỉ 17, phát triển cách mạnh mẽ từ có xuất máy tính điện tử Hiện nay, lý thuyết tổ hợp áp dụng nhiều lĩnh vực khác nhau: lý thuyết số, hình học hữu hạn, biểu diễn nhóm, đại số khơng giao hốn, q trình ngẫu nhiên, thống kê xác suất, quy hoạch thực nghiệm,… Vì ứng dụng rộng rãi đại số tổ hợp khoa học kĩ thuật đại, với mục đích dạy học gắn liền với thực tiễn, phần đại số tổ hợp chiếm vị trí cần thiết chương trình tốn THPT sau nhiều lần thay đổi chương trình sách giáo khoa Ở Việt Nam, Đại số tổ hợp đưa vào chương trình mơn tốn trường phổ thơng trung học lớp 12 từ năm học 1992-1993 Sách giáo khoa giai đoạn giới thiệu sơ lược khái niệm như: tổ hợp, chỉnh hợp, hốn vị, nhị thức Newton Trong chương trình Tốn thí điểm dành cho phân ban KHTN giai đoạn 1995-1997, lý thuyết xác suất giới thiệu lần lớp 12 chương Đại số tổ hợp-Xác suất Sau giới thiệu đầy đủ khái niệm đại số tổ hợp, sách giáo khoa đưa vào khái niệm cơng thức tính xác suất Đến giai đoạn chỉnh lí năm 2000, Đại số tổ hợp trình bày độc lập thành chương, xác suất khơng đưa vào chương trình giảng dạy Ở giai đoạn nay, sách giáo khoa hành đưa khái niệm xác suất vào giảng dạy đại trà phần đại số tổ hợp trình bày trước làm sở cho việc tiếp cận lý thuyết xác suất Sách giáo viên Đại số giải tích 11do Trần Văn Hạo chủ biên dẫn ra: “Có nhiều định nghĩa xác suất, định nghĩa xuất sau mở rộng định nghĩa trước định nghĩa xác suất tiên đề đầy đủ Tuy vậy, giáo trình này, ta dừng lại định nghĩa cổ điển xác suất, tính hữu hạn khơng gian mẫu tính đồng khả kết yêu cầu cần thiết Tuy định nghĩa đơn giản thực hành lại khó Nó địi hỏi học sinh phải có kiến thức đại số tổ hợp vững vàng để đếm n(A) n( Ω )” Chúng nhận thấy chương trình sách giáo khoa Việt Nam, hai đối tượng tổ hợp xác suất ln chọn trình bày mối quan hệ với Từ dẫn chúng tơi đến việc tìm câu trả lời cho câu hỏi: Có mối liên hệ khái niệm tổ hợp khái niệm xác suất trình tiến triển lịch sử khái niệm này? Tại khái niệm tổ hợp ln trình bày trước khái niệm xác suất sách giáo khoa Việt Nam? Có thể dạy học xác suất mà khơng cần đến kiến thức tổ hợp? Trong đó, chương trình sách giáo khoa Pháp giới thiệu khái niệm xác suất từ lớp troisième (tương đương lớp Việt Nam), khái niệm xác suất chọn cách tiếp cận từ thí nghiệm đơn giản mà học sinh quan sát số lần xuất kết Tiếp nối lớp secondaire (tương đương lớp 10 Việt Nam), chương trình giới thiệu xác suất tập hữu hạn, xác suất biến cố, xác suất đồng khả Trong phần hướng dẫn kèm theo chương trình mơn tốn lớp secondaire Bộ giáo dục Pháp có đề cập đến việc tính xác suất cách sử dụng sơ đồ cây, biểu đồ bảng Ở lớp Première (tương đương lớp 11 Việt Nam), Đại số tổ hợp diện chương Xác suất với việc sử dụng sơ đồ qui tắc nhân việc đếm số phần tử biến cố hay không gian mẫu Các qui tắc tính xác suất tiếp tục trình bày lớp terminale (tương đương lớp 12 Việt Nam), đại số tổ hợp đưa vào giới thiệu phần với mục đích phục vụ cho việc đếm số kết với công cụ sơ đồ bảng biểu Vì có khác biệt lớn việc giới thiệu hai khái niệm tổ hợp xác suất sách giáo khoa hai chương trình tốn Việt Nam Pháp ? Chúng tơi nhận thấy, chương trình Pháp, sơ đồ xem cơng cụ hữu ích cho việc tính số phần tử khơng gian mẫu hay biến cố Trong sơ đồ vắng mặt chương trình Việt Nam Những ghi nhận dẫn tới việc đặt câu hỏi xuất phát sau: - Khái niệm tổ hợp khái niệm xác suất nảy sinh tiến triển lịch sử toán học? - Lý mà thể chế Việt Nam ln chọn trình bày khái niệm tổ hợp trước khái niệm xác suất? Nói cách khác: Những lựa chọn sư phạm tác động đến việc Đại số tổ hợp đưa vào để làm sở trình bày xác suất thể chế Việt Nam? - Có khác biệt giống việc dạy học khái niệm tổ hợp chương trình hai nước Việt Nam Pháp ? - Tại khái niệm sơ đồ không giảng dạy chương trình Việt Nam ? - Với lựa chọn thể chế Việt Nam, có khó khăn trở ngại ảnh hưởng đến giáo viên học sinh việc dạy học khái niệm tổ hợp xác suất ? Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tổng quát luận văn tìm câu trả lời cho câu hỏi trên, triển khai cụ thể sau: - Làm rõ đặc trưng khoa học luận khái niệm tổ hợp - Phân tích lựa chọn sư phạm khái niệm tổ hợp xác suất hai thể chế Việt Nam Pháp Đánh giá thuận lợi khó khăn lựa chọn - Thu thập phân tích kết thực nghiệm để làm rõ tác động, ràng buộc hệ thống dạy học ảnh hưởng đến ứng xử GV HS dạy học khái niệm tổ hợp, xác suất Phạm vi lý thuyết tham chiếu phương pháp nghiên cứu Didactic toán quan tâm đến việc xây dựng tri thức toán học, đến hoạt động điều kiện việc học tập kiến thức môn học Trong việc nghiên cứu hoạt động dạy học tri thức đó, nghiên cứu didactic ln đặc biệt tính đến : nét đặc thù tri thức toán học bàn đến, đặc trưng ràng buộc thể chế dạy học, trình tác động qua lại thầy giáo, học sinh đối tượng kiến thức đưa giảng dạy Vì thế, trường hợp chúng tơi, phải có nghiên cứu cần thực hiện: ♦ Nghiên cứu tri thức luận khái niệm tổ hợp ♦ Nghiên cứu tri thức với tư cách tri thức cần dạy ♦ Trên sở đó, tiến hành thực nghiệm phân tích kết đạt để làm rõ ràng buộc thể chế dạy học ảnh hưởng đến việc dạy học khái niệm tổ hợp, xác suất ? Thực nghiên cứu đầy đủ khoa học luận lịch sử hình thành phát triển khái niệm tổ hợp khó khăn chúng tơi, hạn chế nguồn tài liệu lịch sử Vì vậy, chúng tơi sơ lược lại phần lịch sử hình thành khái niệm tổ hợp, phân tích tổng hợp kết có từ số cơng trình, nhằm làm rõ đặc trưng khoa học luận khái niệm tiến triển chúng qua giai đoạn khác lịch sử, đặt ưu tiên mối quan hệ với khái niệm xác suất Nghiên cứu thứ hai thực việc phân tích chương trình, sách giáo khoa Việt Nam để làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học Việt Nam khái niệm tổ hợp xác suất So sánh, đối chiếu với chương trình sách giáo khoa Pháp để thấy rõ ràng buộc thể chế dạy học Việt Nam khái niệm Sau tiến hành thực nghiệm phân tích liệu thu thập Từ đó, chúng tơi đặt nghiên cứu phạm vi Didactic tốn, mà cụ thể “Lý thuyết nhân chủng học” Chevallard xây dựng Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu lựa chọn, chúng tơi trình bày lại câu hỏi đặt sau: ♦ Q1: Những đặc trưng khoa học luận khái niệm tổ hợp ? Các khái niệm đại số tổ hợp xuất phát triển kiểu tốn nào, kiểu tình lịch sử tốn học? Mối liên hệ với khái niệm xác suất thể tiến trình phát triển? ♦ Q2: Mối quan hệ thể chế khái niệm tổ hợp hình thành tiến triển Việt Nam Pháp ? Có ràng buộc thể chế khái niệm ? ♦ Q3: Những khác biệt giống việc dạy học khái niệm tổ hợp chương trình hai nước? Tại khái niệm sơ đồ khơng giảng dạy chương trình Việt Nam? ♦ Q4: Việc lựa chọn cách tiếp cận khái niệm tổ hợp thể chế Việt Nam có gây khó khăn trở ngại khơng học sinh giáo viên việc dạy học khái niệm này? Phương pháp nghiên cứu sơ đồ hoá sau NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY Thể chế dạy học Toán Việt Nam Thể chế dạy học Toán Pháp THỰC NGHIỆM Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần: Phần mở đầu: Trong phần chúng tơi trình bày ghi nhận ban đầu, lợi ích đề tài nghiên cứu, mục đích đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp tổ chức nghiên cứu, cấu trúc luận văn Chương 1: Trình bày việc phân tích khái niệm tổ hợp tiến trình phát triển lịch sử khái niệm, từ làm rõ đặc trưng khái niệm Chương 2: Trình bày việc phân tích khái niệm Đại số tổ hợp cấp độ tri thức khoa học số giáo trình đại học để làm rõ đặc trưng bản, cách trình bày khái niệm Chương 3: Mở đầu phân tích SGK Tốn Pháp Tiếp đó, chúng tơi phân tích mối quan hệ thể chế dạy học tốn trường phổ thơng Việt Nam với khái niệm Tổ hợp Chương 4: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng giả thuyết mà đặt cuối chương Phần kết luận: Tóm lược lại kết đạt chương 1, 2, 3, đề xuất số hướng nghiên cứu mở từ luận văn CHƯƠNG 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN KHÁI NIỆM TỔ HỢP MỞ ĐẦU Trong chương này, chúng tơi khơng có mục đích thực nghiên cứu gốc khoa học luận lịch sử hình thành phát triển khái niệm tổ hợp Chúng điểm lại phần lịch sử hình thành khái niệm tổ hợp tổng hợp kết có từ số cơng trình, nhằm làm rõ đặc trưng khái niệm Cụ thể, cách tham khảo cơng trình Andrea Bréard, Mahdi Abdeljaouad, Ahmed Djebbar, Bertrand Hauchecorne tạp chí Tangente l’aventure mathématique, Vũ Như Thư Hương, chúng tơi cố gắng tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi sau: - Khái niệm tổ hợp xuất tác động kiểu tốn, kiểu tình ? Nó có đặc trưng ? - Những đối tượng, khái niệm toán học có liên quan góp phần làm nảy sinh phát triển khái niệm tổ hợp ? Tuy nhiên, cần phải nói rõ dù khơng thực nghiên cứu gốc lịch sử, phân tích mà chúng tơi trình bày khơng đơn tóm tắt cơng trình mà chúng tơi tham khảo Trong [19], Andrea Bréard phân tích bối cảnh lịch sử mà kiến thức liên quan đến dãy số, Đại số tổ hợp, tam giác Pascal xuất Trung Quốc Mục đích tác giả việc nghiên cứu tài liệu nhà tốn học Trung Quốc thời kì kỉ 13 kỉ 19, từ tìm hiểu nối khớp lĩnh vực khác trên, làm mà tác giả xây dựng lĩnh vực toán học Trung Quốc Với mục đích nghiên cứu lịch sử nảy sinh phát triển Đại số tổ hợp toán học Ả Rập, báo Mahdi Abdeljaouad ([18]) Ahmed Djebbar ([22]) làm rõ tiến trình phát triển ngành tốn học lịch sử với nghiên cứu nhà toán học Ả Rập Bertrand Hauchecorne tạp chí Tangente l’aventure mathématique, chuyên đề L’art du dénombrement,[26] tóm lược phát triển Đại số tổ hợp Châu Âu Nghiên cứu tác giả Vũ Như Thư Hương [7], đề cập đến khái niệm xác suất dạy – học tốn trung học phổ thơng Trong luận văn này, tác giả tổng hợp phân tích cách đầy đủ tiến trình phát triển khái niệm xác suất lịch sử, mối liên quan với Đại số tổ hợp làm rõ Em hướng dẫn cho em học sinh lớp 10 giải toán này, giải thích cho em hiểu giống khác hai câu a b ? Câu hỏi U Một bác sỹ đến khám bệnh nhà bệnh nhân: A, B, C, D Có cách thứ tự khám bệnh mà bệnh nhân A trước bệnh nhân C ? Một học sinh giải toán cách lập sơ đồ sau Và kết luận sau: Vì A trước C, nên ta loại trừ trường hợp C vị trí Dựa vào sơ đồ trên, ta đếm có 12 trường hợp thỏa mãn Vậy có 12 thứ tự khám bệnh mà bệnh nhân A trước bệnh nhân C a Em chọn ba câu trả lời sau mà em cho - Lời giải Hãy nêu kết thứ tự khám bệnh từ sơ đồ trên: ………………………………………………………………………………… - Lời giải sai: Giải thích: - Khơng biết Giải thích: b Em đưa cách giải mà em biết cho tốn ? Câu hỏi U Một cơng ti cần tuyển chọn người vào vị trí Giám đốc, Kế toán trưởng Chủ tịch hội đồng quản trị Có người A, B, C, D ứng cử vào vị trí Có cách chọn nhân thỏa mãn: ông A chọn Giám đốc, chức Chủ tịch hội đồng quản trị phải ơng C ơng D ? 4.2.2 Phân tích A priori 4.2.2.1 Câu hỏi Như phân tích chương 3, khó khăn tồn thực học sinh việc phân biệt hai khái niệm tổ hợp chỉnh hợp, việc sử dụng chúng vào việc giải tốn Khó khăn có nguồn gốc từ khoa học luận tri thức, để né tránh khó khăn này, thể chế Việt Nam chọn mơ hình “chọn k phần tử từ tập hợp n phần tử” “sắp xếp theo thứ tự” để mô tả kiến thức Với câu hỏi này, chúng tơi muốn tìm hiểu xem mơ hình có vận hành tốt thể chế Việt Nam khơng ? Hơn nữa, chúng tơi biết kĩ thuật học sinh vận dụng việc tính tốn tổ hợp, chỉnh hợp thơng qua câu hỏi mở, giúp học sinh lớp 10 giải toán Câu hỏi tập sách giáo khoa Việt Nam, ban bản, “Hoán vị Chỉnh hợp – Tổ hợp” Các biến didactic  - V 11 : Bài toán quen thuộc R R Bài toán toán tương tự tập 5, tr 55 sách giáo khoa ban “Hoán vị - chỉnh hợp – Tổ hợp” Sự lựa chọn nhằm biết ảnh hưởng ràng buộc thể chế học sinh qua việc giải toán Điều có nghĩa là: học sinh giáo viên sửa tập lớp, cách giải giáo viên phần tác động vào cách ứng xử học sinh giải kiểu nhiệm vụ - V 12 : Mơ hình toán R R Bài toán đưa vấn đề thực tế gần gũi, học sinh dựa vào kinh nghiệm cá nhân để giải mà khơng cần sử dụng cơng thức tính tốn Đại số tổ hợp - V 13 : Cách đặt câu hỏi R R Câu hỏi phần 2, yêu cầu học sinh hướng dẫn cho học sinh lớp 10 giải tập này, câu hỏi lạ học sinh Nhưng giúp người nghiên cứu biết quan niệm, quy tắc hành động tồn học sinh - V 14 : Có từ chìa khóa “khác nhau’ “như nhau’ R R Từ khóa “khác nhau” hướng học sinh đến việc sử dụng công thức chỉnh hợp để tính số cách cắm Từ khóa “như nhau” hướng học sinh đến việc sử dụng công thức tổ hợp để tính số cách cắm Việc đưa cách tường minh hai từ chìa khóa “khác nhau” “như nhau” làm rõ quan niệm học sinh hai khái niệm tổ hợp chỉnh hợp q trình họ phải giải thích cho học sinh khác hiểu hai đối tượng (chú ý kiến thức hoàn toàn với em học sinh lớp 10) Có cách nêu đề sau a) hoa là: cúc, hồng, huệ; b) hoa hồng Trong cách phát biểu này, đặc điểm giống khác che dấu, nhiệm vụ học sinh phải phát vấn đề - V 15 : Số lượng lọ hoa R R Trong trường hợp này, số lượng hoa lọ ít, nên học sinh sử dụng kinh nghiệm cá nhân để giải quyết, mà không cần phải sử dụng công thức Nếu số lọ 5, số 3, giống tập sách giáo khoa, số lượng kết tốn nhiều nên học sinh khơng thể hình dung kết này, dẫn đến việc hạn chế chiến lược liệt kê, chiến lược sơ đồ - V 16 : Đối tượng chọn câu số học sinh lớp 10 Với lý do: học sinh chưa R R học Đại số tổ hợp, việc lựa chọn cách giải thích phù hợp thể quan niệm học sinh hai khái niệm Các chiến lược có thể:  - Chiến lược “cơng thức”: Áp dụng trực tiếp cơng thức tính số chỉnh hợp số tổ hợp để tính số cách cắm hoa vào bình - Chiến lược “liệt kê”: Đưa tốn mơ hình cụ thể sau liệt kê tất trường hợp xảy - Chiến lược “sơ đồ cây”: Xây dựng sơ đồ để đếm số kết thỏa mãn tốn Những quan sát  Chiến lược “cơng thức”:  Các câu trả lời có thể: Câu 1a) S 1a : Vì bơng hoa khác nên cách cắm vào lọ chỉnh hợp chập Số R R cách cắm là: A42 = 12 S 2a : Ta chia thành hai giai đoạn R R - Giai đoạn 1: Chọn lọ số lọ Có C42 cách chọn - Giai đoạn 2: Xếp bơng khác vào lọ Có 2! cách xếp Vậy có: C42 2! = 12 cách cắm S 3a : Kí hiệu lọ là: 1, 2, 3, R R Hai khác là: xanh, vàng - Chọn bơng xanh cắm vào lọ: có cách chọn - Sau chọn xanh, ta tiếp tục chọn bơng vàng, có cách chọn Vậy có: 3.4 = 12 cách cắm Câu 1b) S 1b : Vì bơng hoa giống nên cách cắm vào lọ tổ hợp chập Số R R cách cắm là: C42 = S 2b : Ta chia thành hai giai đoạn R R - Giai đoạn 1: Chọn lọ số lọ Có C42 cách chọn - Giai đoạn 2: Xếp khác vào lọ Vì bơng giống nhau, nên có cách xếp Vậy có: C42 = cách cắm S 3b : Kí hiệu bơng là: 1, R R - Chọn cắm vào lọ: có cách chọn - Sau chọn bơng 1, ta tiếp tục chọn bơng 2, có cách chọn Vì bơng giống nên số cách cắm 3.4 = (cách) 2!  Chiến lược “liệt kê” Câu 1a) S 4a : Kí hiệu lọ 1, 2, 3, R R Một cách cắm hai khác vào lọ cặp số (a, b) Ta có trường hợp: (1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4) (2; 1), (3; 1), (4; 1), (3; 2), (4; 2), (4; 3) Vậy có 12 cách cắm khác vào lọ Câu 1b) S 4b : Vẫn sử dụng cách kí hiệu Vì hai bơng giống nên có trường hợp sau: R R {1; 2}, {1; 3}, {1; 4}, {2; 3}, {2; 4}, {3; 4} Vâỵ có tất cách cắm vào lọ khác  Câu 1a) S 5a : R R Chiến lược “sơ đồ cây” Dựa vào sơ đồ vẽ, ta có 12 kết Vậy có 12 cách xếp khác vào lọ Câu 1b) S 5b : Dưới sơ đồ cây, biểu diễn tổ hợp chập phần tử Vậy có cách cắm R R hoa giống vào lọ 4.2.2.2 Câu hỏi Như phân tích chương 3, Sơ đồ cơng cụ trực quan hiệu thể chế Pháp sử dụng Trong đó, lại khơng “sống” thể chế Việt Nam Câu hỏi đưa nhằm tìm hiểu ứng xử học sinh tình phải lựa chọn phương án, từ làm rõ ràng buộc thể chế việc dạy học Đại số tổ hợp Hơn nữa, thiết kế thực nghiệm này, nhằm tìm hiểu mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng sơ đồ Bài tốn chúng tơi lựa chọn sách giáo khoa Pháp, Déclic Terminal S, phần tập Lời giải mong muốn thể chế Pháp lời giải Các biến didactic  - V 21 : Cách đặt câu hỏi R R Có giá trị khác biến sau: + Lời giải đưa có sử dụng sơ đồ cây, kỹ thuật không tồn thể chế Việt Nam, yêu cầu học sinh đánh giá kỹ thuật Kết đánh giá học sinh làm rõ mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng sơ đồ + Không đưa lời giải đề nghị, mà yêu cầu học sinh giải toán Học sinh có khuynh hướng vận dụng kỹ thuật thể chế hóa - V 22 : Số lượng bệnh nhân R R Các giá trị khác biến: - Số lượng bệnh nhân ít: Trong tốn này, số lượng bệnh nhân người, số không nhiều, tạo thuận lợi cho kĩ thuật liệt kê có hội xuất thể chế Việt Nam, kĩ thuật sơ đồ sử dụng hiệu thể chế Pháp Hơn nữa, sơ đồ đối tượng “lạ” học sinh Việt Nam, trường hợp này, số kết không nhiều, tạo thuận lợi cho việc đọc kết từ “cây” - Số lượng bệnh nhân nhiều: Trường hợp tạo điều kiện thuận lợi cho kỹ thuật sử dụng công thức, kỹ thuật liệt kê, sơ đồ khơng hiệu  Các chiến lược - Chiến lược “phân hoạch thứ tự” (S 21 ): Bài tốn đếm có điều kiện, ta phân chia R R trường hợp - Chiến lược “liệt kê” (S 22 ): Liệt kê tất cấu hình thỏa mãn u cầu tốn R  R Những quan sát Câu 2b) Có thể xuất lời giải sau: Lời giải U Ta có 12 kết sau: ACBD ABDC DACB ADCB BDAC BADC ACDB ADBC BACD ABCD DBAC DABC Lời giải U Đánh dấu thứ tự khám bệnh 1, 2, 3, Trường hợp 1: A đứng đầu (vị trí số 1) A có cách chọn Có 3! Cách xếp bệnh nhân lại U U ⇒ Số cách khám bệnh là: × 3! = Trường hợp 2: A vị trí thứ hai; A có cách chọn; người vị trí thứ có hai cách chọn; có ! U U cách chọn hai người cịn lại vị trí thứ 3, ⇒ Số cách khám bệnh là: × × 2=4 Trường hợp 3: A vị trí thứ 3, vị trí cuối C, hai vị trí cịn lại có ! cách xếp U U ⇒ Số cách khám bệnh là: × 2=2 Vậy, có tất + + = 12 cách thứ tự khám bệnh mà bệnh nhân A trước bệnh nhân C Lời giải U Trường hợp 1: C vị trí thứ 2, có cách xếp thứ tự cho A U U Trường hợp 2: C vị trí thứ 3, có cách săp xếp thứ tự cho A U U Trường hợp 3: C vị trí cuối cùng, có cách săp xếp thứ tự cho A U U ⇒ Số cách thứ tự mà A trước C là: + + = Hai vị trí cịn lại B D, hai người đổi chỗ cho nên ta có: × 2!= 12 cách thứ tự khám bệnh cho người A, B, C, D mà bệnh nhân A trước bệnh nhân C 4.2.2.3 Câu hỏi Trong câu hỏi này, muốn kiểm chứng giả thuyết H R Các biến didactic  - V 31 : Thứ tự đưa vị trí Giám đốc, Kế toán trưởng, Chủ tịch hội đồng quản trị R R - V 32 : Cách đặt câu hỏi R R Các chiến lược  - Chiến lược “chia giai đoạn” (S 31 ) R R - Chiến lược “phân hoạch” (S 32 ) R R Những quan sát  Lời giải U Việc chọn nhân chia thành công đoạn sau: - Công đoạn 1: Chọn giám đốc: có cách chọn chức giám đốc (chọn B, C, D) - Cơng đoạn 2: Chọn kế tốn trưởng: có cách chọn kế tốn trưởng từ người cịn lại - Cơng đoạn 3: Chọn chủ tịch HĐQT: có cách chọn (ông C D) Theo quy tắc nhân số cách chọn nhân 3.3.2=18 Lời giải khơng Vì số cách thực cơng đoạn phụ thuộc vào kết công đoạn Nếu công đoạn C D khơng chọn cơng đoạn có cách Cịn C D chọn cơng đoạn có cách Tuy nhiên, ta thiết lập việc chọn ba vị trí giám đốc, kế toán trưởng chủ tịch HĐQT tiến hành theo cơng đoạn khác áp dụng qui tắc nhân, trình bày lời giải Lời giải U - Công đoạn 1: Chọn Chủ tịch HĐQT: có hai cách chọn - Cơng đoạn 2: Chọn giám đốc: ta ln có hai cách chọn dù công đoạn chọn (C, B) (D, B) - Cơng đoạn 3: Chọn kế tốn trưởng có hai cách Vậy kết có 2.2.2=8 cách chọn Lời giải U Trường hợp 1: C chủ tịch hội đồng quản trị - Chọn Giám đốc: có cách chọn (B D) - Chọn kế tốn trưởng: có cách chọn Nên có 2.2 = cách chọn Trường hợp 2: D chủ tịch hội đồng quản trị - Chọn Giám đốc: có cách chọn (B C) - Chọn kế toán trưởng: có cách chọn Nên có: 2.2 = cách chọn Vậy có: + = cách chọn nhân thỏa mãn yêu cầu toán 4.2.3 Phân tích A posteriori Thực nghiệm thực vào tháng năm 2011, lớp 11 trường THPT Trường Chinh (TP Hồ Chí Minh) lớp 11 trường THPT Trần Quang Khải (TP Hồ Chí Minh) Tổng số học sinh thực nghiệm 135 Mỗi học sinh phát phiếu làm bài, tờ giấy nháp làm việc độc lập khoảng 30’ Học sinh sử dụng máy tính bỏ túi Sau chúng tơi vào phân tích kết thu câu hỏi thực nghiệm A Câu hỏi Bảng 4.1 Bảng thống kê số lượng chiến lược giải cho câu hỏi 1a Chiến lược Giải toán Công thức S 1a S 2a R Số lượng 47 32 Liệt kê R Sơ đồ S 4a S 3a R Tổng cộng S 5a R 44 R Bảng 4.2 Bảng thống kê số lượng chiến lược giải cho câu hỏi 1a Chiến lược Giải tốn Cơng thức S 1b R Số lượng 63 S 2b R 10 Tổng cộng Liệt kê S 4b S 3b R Sơ đồ S 5b R 74 R Từ bảng thống kê cho thấy: Đối với chiến lược công thức, tổng số lượng học sinh sử dụng chiến lược S2a , S 3a chiếm ưu R R R R thế, hai chiến lược sử dụng kỹ thuật quy tắc nhân Mặc dù câu hỏi thiết kế thuận lợi cho học sinh thiên sử dụng trực tiếp cơng thức tính số chỉnh hợp thực tế cho thấy tỉ lệ học sinh sử dụng qui tắc nhân cao hẳn Điều cho phép hợp thức quy tắc hợp đồng R R R Chiến lược sơ đồ hồn tồn vắng bóng Điều phù hợp với phân tích thể chế chương KẾT LUẬN Các nghiên cứu chương 1, 2, 3, cho phép chúng tơi tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu trước Sau kết nghiên cứu đạt : Việc phân tích khoa học luận lịch sử khái niệm tổ hợp, cho thấy theo giai đoạn phát triển lịch sử, có bốn toán đặc trưng : toán đếm, toán tồn tại, toán liệt kê, toán tối ưu - Đặc trưng toán đếm : toán cho lời, vấn đề mà toán nhắm đến vấn đề nảy sinh sống ngày Các đối tượng toán hữu hạn rời rạc - Đại số tổ hợp xác suất có mối liên hệ mật thiết với trình nảy sinh phát triển Cụ thể hơn, Đại số tổ hợp công cụ hiệu cho tính tốn xác suất với trường hợp đồng khả năng, sử dụng công thức Laplace Khó khăn tồn học sinh việc hiểu kiến thức Đại số tổ hợp phân biệt quy tắc cộng quy tắc nhân, tổ hợp chỉnh hợp có nguồn gốc từ khoa học luận kiến thức Vì vậy, thể chế dạy học tìm cho mơ hình chuyển đổi nhằm tránh chướng ngại khoa học luận Khi nghiên cứu mối quan hệ thể chế khái niệm tổ hợp - Thể chế Pháp, khơng đưa vào chương trình giảng dạy Đại số tổ hợp, mà giới thiệu vài công cụ đếm tổ hợp, hoán vị quy tắc nhân Ngược lại, mơ hình đếm trực quan sơ đồ cây, bảng biểu lại chiếm vị trí ưu SGK Pháp Các khái niệm khác Đại số tổ hợp không giới thiệu cách tường minh chương trình Nhưng tìm thấy dấu vết kỹ thuật đếm dựa vào mơ hình trực quan : sơ đồ cây, mơ hình bình chứa… - Ngược lại, thể chế Việt Nam, hồn tồn vắng bóng việc giới thiệu mơ hình đếm cơng cụ đếm trực quan Nghiên cứu thực nghiệm kiểm chứng quy tắc hợp đồng giải thuyết sau : R : Sự xuất KNV qui tắc nhân chiếm đa số gây ảnh hưởng đến việc hình thành R R kỹ thuật giải toán tổ hợp H : Tồn quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng sơ đồ R R * Hướng nghiên cứu mở từ luận văn : Nghiên cứu xây dựng tình dạy học phân biệt khái niệm tổ hợp chỉnh hợp Chúng hi vọng rằng, cơng trình khoa học đóng góp phần việc đổi phương pháp giảng dạy Toán trường phổ thông TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Túy An, Nghiên cứu thực hành dạy học giáo viên: trường hợp khái niêm xác suất trường trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, TPHCM 2007 Nguyễn Hữu Anh, Toán rời rạc, NXB Lao động xã hội 2009 Lê Thị Hồi Châu – Lê Văn Tiến, Vai trị phân tích khoa học luận lịch sử tốn học nghiên cứu thực hành dạy học mơn tốn, Đề tài NCKH cấp Bộ, ĐHSPTPHCM 2003 Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Những yếu tố didactic Tốn, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2009 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn - Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến - Vũ Viết Yên, Đại số giải tích 11, Nhà xuất giáo dục, 2007 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn - Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến - Vũ Viết Yên, Đại số giải tích 11 Sách Giáo viên, Nhà xuất giáo dục, 2007 Vũ Như Thư Hương, Khái niệm xác suất dạy học Toán trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ khoa học, TPHCM 2005 Ngơ Thúc Lanh – Đồn Quỳnh – Nguyễn Đình Trí, Từ điển Tốn học thơng dụng, NXB Giáo dục 2002 Ngơ Thúc Lanh, Tìm hiểu Đại số tổ hợp phổ thông, Nhà xuất giáo dục 1998 10 Nguyễn Đức Nghĩa – Nguyễn Tơ Thành, Tốn rời rạc, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 1997 11 X.M.Nikoxki, Từ điển bách khoa phổ thơng Tốn học tập 2, NXB Giáo dục 2001 12 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh – Đặng Hùng Thắng, Đại số giải tích 11 Nâng cao, Nhà xuất giáo dục, 2007 13 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh – Đặng Hùng Thắng, Đại số giải tích 11 Nâng cao Sách Giáo viên, Nhà xuất giáo dục, 2007 14 Lê Văn Tiến, Phương pháp dạy học mơn Tốn trường phổ thơng, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2005 15 Hồng Chí Thành, Giáo trình tổ hợp, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 1999 16 Đặng Hùng Thắng, Mở đầu lí thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất giáo dục 2009 17 Vụ giáo dục trung học, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực chương trình, sách giáo khoa lớp 11, NXB Giáo dục 2007 Tiếng Pháp 18 Mahdi Abdeljaouad, Quelques éléments d’histoire de l’analyse combinatoire, Journées Nationales de l’ATSM Décembre 2002, Tunisie 19 Andrea Bréard, Pratiques et mathématiques combinatoires en Chine, Université Lille 1, Laboratoire Paul Painlevé, UMR CNRS 8524, le 15 mai 2009 20 Annie Bessot - Alain Birebent - Claude Comiti - Bernard Genevès - Colette Laborde - Le Thai Bao Thien Trung - Nguyen Thi Nga, Rapport de recherche: Modélisation mathématique de phénomènes variables, dans l’enseignement, l’aide de la géométrie dynamique, MIRA rapport 2010 21 Laure Balman, Étude d’un objet combinatoire: le graphe, Équipe CNAM, laboratoire Leibniz, 1998 22 Ahmed Djebbar, Les pratiques combinatoires aux Maghreb l’époque de Raymond Lulle, Université des sciences et technologies de Lille 23 A Dahan – Dalmedico/Jpeiffer, Une histoire des mathématiques, Éditions du Seuil 1986 24 Accompagnement des programmes mathématiques classe Terminale S, programme applicable la compter de la rentrée 2002, Centre national de documentation pédagogique, eduscol.education.fr 25 Accompagnement des programmes mathématiques classe de Première S programme applicable la compter de la rentrée 2002, Centre national de documentation pédagogique, eduscol.education.fr 26 L’aventure mathématique, L’art du dénombrement, La gazette de tangente, Avril – Mai 2010 27 Programme pour la class de seconde S, programme applicable la compter de la rentrée 2002, eduscol.education.fr, Juine 2009 28 Programme pour la class de première S, programme applicable la compter de la rentrée 2002, eduscol.education.fr 29 Programme pour la class Terminale S, programme applicable la compter de la rentrée 2002, eduscol.education.fr 30 Jean – Paul Beltramone – Vincent Brun – Claude Felloneau – Lydia Mysset – Claude Talamoni, Déclic Terminal S, Hachette éducation 2005 31 Jean – Paul Beltramone – Vincent Brun – Claude Felloneau – Lydia Mysset – Claude Talamoni, Déclic 1re S, Hachette éducation 2005 P P 32 http://images.math.cnrs.fr U T 33 http://chronomath.com U T T U 34 http://wikipedia.org U T T U 35 http://universitysurf.fr U T T U T U PHỤ LỤC PHIẾU THỰC NGHIỆM HỌC SINH PHIẾU THỰC NGHIỆM Trường: …………………………… Học sinh: …………………………… Các em thân mến ! Phiếu gồm có tốn, em có 25 phút để trình bày lời giải phía phần làm Lời giải không nhằm đánh giá em mà để góp phần cải thiện việc dạy học Toán Xin cảm ơn tham gia em ! Câu hỏi U Có cách cắm hoa vào lọ khác (mỗi lọ cắm không bông) nếu: c) Các hoa khác ? d) Các hoa ? BÀI LÀM U ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… Em hướng dẫn cho em học sinh lớp 10 giải tốn này, giải thích cho em hiểu giống khác hai câu a b ? ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… Câu hỏi U Một bác sỹ đến khám bệnh nhà bệnh nhân: A, B, C, D Có cách thứ tự khám bệnh mà bệnh nhân A trước bệnh nhân C ? Một học sinh giải toán cách lập sơ đồ sau Và kết luận sau: Vì A trước C, nên ta loại trừ trường hợp C vị trí Dựa vào sơ đồ trên, ta đếm có 12 trường hợp thỏa mãn Vậy có 12 thứ tự khám bệnh mà bệnh nhân A trước bệnh nhân C a Em chọn câu trả lời sau mà em cho - Lời giải Hãy nêu kết thứ tự khám bệnh từ sơ đồ trên: ………………………………………………………………………………… - Lời giải sai: Giải thích: ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… - Khơng biết Giải thích: ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… b Em đưa cách giải mà em biết cho toán ? ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… Câu hỏi U Một công ty cần tuyển chọn người vào vị trí Giám đốc, Kế tốn trưởng Chủ tịch hội đồng quản trị Có người A, B, C, D ứng cử vào vị trí Có cách chọn nhân thỏa mãn: ông A chọn Giám đốc, chức Chủ tịch hội đồng quản trị phải ông C ông D ? BÀI LÀM U ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ... động đến việc Đại số tổ hợp đưa vào để làm sở trình bày xác suất thể chế Việt Nam? - Có khác biệt giống việc dạy học khái niệm tổ hợp chương trình hai nước Việt Nam Pháp ? - Tại khái niệm sơ đồ... Q4: Việc lựa chọn cách tiếp cận khái niệm tổ hợp thể chế Việt Nam có gây khó khăn trở ngại khơng học sinh giáo viên việc dạy học khái niệm này? Phương pháp nghiên cứu sơ đồ hoá sau NGHIÊN CỨU... học giáo viên: trường hợp khái niệm xác suất trường trung học phổ thông? ??, tác giả tổng hợp phân tích quan điểm thừa nhận việc dạy học xác suất trường phổ thơng Pháp, Đại số tổ hợp có vai trị