Sở GD&ĐT Hà Nam Trung Tâm GDTX Duy Tiên Chuyên đề Chuyên đề hàm số BÙI QUỸ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 1.1 Tóm tắt lí thuyết 1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Ta nói: - Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ (a; b) mà x 1 < x 2 thì f(x 1 ) < f (x 2 ). - Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ (a; b) mà x 1 < x 2 thì f(x 1 ) > f (x 2 ). Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi là đơn điệu trên khoảng đó. 2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu Định lý 1.1 (Định lí Lagrange) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(b) − f (a) = f  (c)(b − a) hay f  (c) = f(b) − f (a) b − a Định lý 1.2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). a) Nếu f  (x) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng đó. b) Nếu f  (x) < 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó. Định lý 1.3 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu f  (x) ≥ 0 hoặc f  (x) ≤ 0) ∀x ∈ (a; b), và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó. Chú ý 1 Trong các hàm số sơ cấp được học (ngoại trừ hàm hằng), ta có kết quả sau: - y = f (x) là hàm số đồng b i ến trên (a; b) ⇐⇒ f  (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b) - y = f (x) là hàm số nghịch biến trê n (a; b) ⇐⇒ f  (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b) * Các bước xét tính đơn điệu của hàm số: - Tìm các điểm tới hạn - Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn. - Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra chiều biế n thiên của hàm số. 3. Nhắc lại định lí dấu tam thức bậc hai 1 1.2 Ví dụ và bài tập  1.1 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: 1 Phải nhắc lạ i định lí thuận và định lí đảo CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 2 a) y = 4x 3 − 3x + 1 b) y = 3 4 x 4 + x 3 − 3x 2 + 1 c) y = x + 1 x − 1 d) y = x 2 + 3x + 3 x + 1 e) y = x 4 + 2x 2 − 3 x 2 f) y = x 4 − 3x 2 + 15  1.2 Cho hàm số y = − 1 3 x 3 + (m − 1)x 2 + (m + 3)x − 4. Tìm m để hàm số tăng trên (0; 3)  1.3 Cho hàm số y = 2x 2 + 2mx + m − 1. Tìm m để hàm số tăng trên (−1; +∞)  1.4 Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(2m − 1)x + 1. Tìm m để hàm số tăng trên tập xác định  1.5 Cho hàm số y = mx 2 + 6x − 2 x + 2 . Tìm m để hàm số giảm trên ( 1; +∞)  1.6 Cho hàm số y = 1 3 mx 3 −(m −1)x 2 + 3(m −2 )x + 1 3 . Tìm m để hàm số tăng trên (2; +∞)  1.7 Cho hàm số y = 2x 2 + (1 − m)x + 1 + m x − m . Tìm m để hàm số tăng trên (1; +∞)  1.8 Cho hàm số y = 1 3 x 3 + mx 2 − mx + 1 . Tìm m để hàm số: a) Tăng trên tậ p xác định b) Tăng trên (−∞; 0)  1.9 Cho hàm số y = x 2 + mx − 5 3 − x . Tìm m để hàm số: a) Giảm trên t ậ p xác định b) Giảm trên (−1; 0) c) Tăng trên (−2; 2) 2 Cực đại và cực tiểu 2.1 Tóm tắt lí thuyết 1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Định lý 2.1 (Định lí Fermat) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f  (x 0 ) = 0. 2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý 2.2 (Dấu hiệu I) Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x 0 (có thể trừ điể m x 0 ). i) Nếu f  (x) > 0 trên khoảng (x 0 − δ; x 0 ); f  (x) < 0 trên khoảng (x 0 ; x 0 + δ) thì x 0 là một điể m cực đại của hàm số y = f(x). ii) Nếu f  (x) < 0 trên khoảng (x 0 − δ; x 0 ); f  (x) > 0 trên khoảng (x 0 ; x 0 + δ) thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f (x) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 3 Nói một cách vắn tắt: Nếu khi đi qua x 0 , đạo hàm đổi dấu thì x 0 là một điểm cực trị. Và nếu đổi dấu từ + sang - thì x 0 là điểm cực đại còn nếu đổi dấu từ - sang + thì x 0 là điểm cực tiểu. Quy tắc I - Tìm f  (x) - Tìm các điểm tới hạn - Xét dấu đạo hàm - Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Định lý 2.3 (Dấu hiệu II) Giả sử y = f(x) có đạo hàm tới cấp hai liên tục tại x 0 và f  (x 0 ) = 0, f  (x 0 ) = 0 thì x 0 là một điểm cực trị hàm số, hơn nữa: - Nếu f  (x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu. - Nếu f  (x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại. Quy tắc II - Tìm f  (x). Giải phương trình f  (x) = 0. Gọi x i là các nghiệm - Tính f  (x) - Từ dấu của f  (x i ) suy ra các điểm cực trị. Chú ý 2 - Nếu f  (x 0 ) = f  (x 0 ) = 0 thì không thể khẳng định được x 0 có là điểm cực trị hay không. - Chúng ta dùng dấu hiệu I trong trường hợp tổng quát, còn dấu hiệu II chỉ dùng khi gặp các hàm số dễ tính đạo hàm (như hàm đa thức, hàm lượng giác ) . 2.2 Ví dụ và bài tập  2.1 Tìm cực trị của các hàm số: a) y = 2x 2 − x 4 b) y = x 2 − x + 1 x 2 + x + 1 c) y = x + √ 3x 2 + 6 d) y = x ln x e) y = e x sin x f) y = 5 √ x 4  2.2 Xác định m để hàm số y = x 2 + mx + 1 x + m đạt cực đại tại x = 2.  2.3 Chứng minh rằng hàm số y = x 2 + 2x + m x 2 + 2 luôn có một cực đại và một cực tiểu.  2.4 Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = 5 3 a 2 x 3 + 2ax 2 − 9x + b đều là những số dương và x 0 = − 5 9 là điểm cực đại.  2.5 Cho hàm số y = x 3 −3mx 2 + 3(m 2 −1)x −(m 2 −1). Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.  2.6 Cho hàm số y = a sin x + 1 3 sin 3x. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x = π 3 .  2.7 Tìm m để hàm số dưới đây đạt cực đại và cực tiểu CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 4 a) y = 1 3 x 3 + mx 2 + (m + 6)x − 1 b) y = x 2 − 2x + m 4 − x  2.8 Cho hàm số y = x 2 + mx + 1 x + m . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.  2.9 Cho hàm số y = x 3 −(m −3)x 2 + (4m −1)x −m. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện x 1 < −2 < x 2 .  2.10 Cho hàm số y = x 2 − x + m x + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 b) Tìm m để hàm số có hai cực trị. c) Tìm m để hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu.  2.11 Cho hàm số y = x 2 + (m + 1)x + 1 − m x − m . Tìm m để hàm số có: a) Một cực đại và một cực tiểu. b) Hai cực trị và các giá trị cực trị trái dấu. c) Cực tiểu có hoành độ nhỏ hơn 1.  2.12 Cho hàm số y = mx + 1 1 − x 2 . Tìm m để hàm số có hai cực trị. Trong trường hợp đó chứng minh rằng các điểm cực trị của đồ thị ở cùng một phía đối với trục hoành.  2.13 Cho hàm số y = mx 2 − 2x + m x 2 − x . Tìm m để hàm số: a) Tăng trên từng khoảng xác định. b) Chỉ có một cực trị. c) Đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương.  2.14 Tìm m để hàm số y = −x 3 + 3(m + 1)x 2 − (3m 2 + 7m − 1)x + m 2 − 1 đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.  2.15 Tìm m để hàm số sau có ba cực trị y = x 4 + 4mx 3 + 3(m + 1)x 2 + 1  2.16 Cho hàm số y = x 4 + 8mx 3 + 3(1 + 2m)x 2 − 4 Tìm m để hàm số có một cực tiểu mà không có cực đại. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 5 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3.1 Tóm tắt lí thuyết 1. Phương pháp bất đẳng thức 2 2. Phương pháp hàm số Phương pháp hàm số thường sử dụng khi gặp bài toán tìm GTLN, GTNN hoặ c chứng minh BĐT chỉ có một tham số. Khi đó chúng ta thường tìm điều kiện chặt của tham số. Xét hàm số y = f(x) trên tập X ⊂ D. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên X, ta làm như sau: a. Phương pháp chung: - Lập bảng biến thiên của hàm số trên X - Dựa và bảng biến thiên (chú ý đến sự thay đổi giá trị của hàm số trên X), ta tìm được các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên X. b. Trường hợp đặc biệt: Khi X = [a; b], ta có thể làm như sau: - Giải HPT  y  = 0 hoặc y  không xác định x ∈ (a; b) , giả sử các nghiệm là x 1 , x 2 , , x n - Tính f(x 1 ), f (x 2 ), , f (x n ) và f(a), f (b). - Số lớn nhất trong các số trên là giá trị lớn nhất. - Số nhỏ nhất trong các số trên là giá trị nhỏ nhất. Chú ý 3 Trong trường hợp hàm số có chu kì chúng ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn có độ dài bằng chu kì. 3. Phương pháp sự biến thiên để giải và biện luận phương trình có tham số Phương pháp chung để giải và biện luận phương trình có tham số bằng PP sự biến thiên là: Bước 1 : Đặt ẩn phụ (nếu cần) t = u (x), đặt điều kiện chặt cho t. Bước 2: Từ giả thiết bài toán biến đổi về một trong các dạng sau: f(t) = g(m); f (t) ≥ g(m); f (t) ≤ g(m); f(t) > g(m); f (t) < g(m) Tức là biến đổi để cô lập m về một vế, còn vế kia độc lập với m. Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) trên miền giá trị của t đã tìm được sau bước 1. Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra miền giá trị của f(t). Sử dụng các kết quả bảng biến thiên, để tìm ra kết luận của bài toán. Chú ý 4 Điều kiện chặt cho t có nghĩa là tìm các giá trị của t để phương trình t = u(x) có nghiệm. Giả sử f(x) là một hàm liên tục trên miền D và giả thiết rằng tồn tại các giá trị lớn nhât, nhỏ nhất của f(x), xét trên miền D (kí hiệu là: max x∈D f(x), min x∈D f(x)). Khi đó ta có các định lí sau: Định lý 3.1 Giả sử D = [a; b]. Nếu như f(a).f(b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b). 2 Làm kĩ về cách chứng minh BĐT nhờ BĐT Cauchy CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 6 Định lý 3.2 Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi: min x∈D f(x) ≤ m ≤ max x∈D f(x). Chứng minh. =⇒ Giả sử phương trình đã cho có nghiệm x 0 ∈ D =⇒ f (x 0 ) = m. Ta có: min x∈D f(x) ≤ f (x 0 ) ≤ max x∈D f(x). hay: min x∈D f(x) ≤ m ≤ max x∈D f(x). ⇐= Giả sử min x∈D f(x) ≤ m ≤ max x∈D f(x). Do f (x) liên tục nên nó nhận mọi giá trị từ min x∈D f(x) tới max x∈D f(x) do đó nó nhận giá trị m, tức là ∃x 0 ∈ D sao cho f(x 0 ) = m. Điều này có nghĩa là phương trình f(x) = m, x ∈ D có nghiệm. Định lý 3.3 a) Bất phương trình f(x) ≥ m, x ∈ D có nghiệm khi và chỉ khi: max x∈D f(x) ≥ m. b) Bất phương trình f(x) ≥ m đúng ∀x ∈ D khi và chỉ khi min x∈D f(x) ≥ m. Chứng minh. a) =⇒/ Giả sử bất phương trình f (x) ≥ m, x ∈ D có nghiệm =⇒ ∃x 0 ∈ D sao cho f(x 0 ) ≥ m. Rõ ràng: max x∈D f(x) ≥ f (x 0 ) ≥ m. ⇐=/ Giả sử max x∈D f(x) ≥ m. Phản chứng rằng bất phương trình đã cho vô nghiệm, tức là f(x) < m, ∀x ∈ D =⇒ max x∈D f(x) < m điều này mâu thuẫn với giả thiết.Từ đó suy ra điều phải chứng minh. b) Chứng minh tương tự như phần a). Định lý 3.4 a) Bất phương trình f(x) ≤ m, x ∈ D có nghiệm khi và chỉ khi: min x∈D f(x) ≤ m. b) Bất phương trình f(x) ≤ m đúng ∀x ∈ D khi và chỉ khi max x∈D f(x) ≤ m. Định lý 3.5 Cho phương trình f (x) = g(x) với x ∈ D. Giả sử trên miền D hàm f(x) luôn đồng biến, còn hàm g(x) luôn nghịch biến. Khi đó nếu phương trình trên có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Định lý 3.6 Xét bất phương trình f(x) ≤ g(x) trên miền D. Nếu max x∈D f(x) ≤ min x∈D g( x) thì bất phương trình trên thoả mãn ∀x ∈ D. Chú ý: max x∈D f(x) ≤ min x∈D g( x) chỉ là điều kiện đủ để f(x) ≤ g(x), x ∈ D chứ không phải là điều kiện cần và đủ. Giả sử D = [a; b], α, β ∈ R, α < β. max x∈[a;b] f(x) = β > α = min x∈[a;b] g( x) Nhưng f(x) < g(x), ∀x ∈ D. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 7 3.2 Ví dụ và bài tập  3.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = f(x) = x 2 + x + 1 x (x>0) b) y = f (x) = 1 + 4x − x 2 c) y = f(x) = x 4 − 2x 2 + 5 (x ∈ [−2; 3]) d) y = f (x) = √ x − 2 + √ 4 − x e) y = f(x) = 2x 2 + 4x + 5 x 2 + 1 f) y = sin 5 x + √ 3 cos x  3.2 Tìm x để hàm số sau đạt giá t rị nhỏ nhất y = f (x) = lg 2 x + 1 lg 2 x + 2  3.3 Giả sử x, y là hai số dương thoả mãn điều kiện x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 4 x + 1 4y  3.4 Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 x + 1 y + 1 z = 4 Tìm GTLN của 1 2x + y + z + 1 x + 2y + z + 1 x + y + 2z  3.5 Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz = 1 Tìm GTNN của  1 + x 3 + y 3 xy +  1 + y 3 + z 3 yz + √ 1 + z 3 + x 3 zx  3.6 Tìm GTLN, GTNN của y = ln 2 x x , x ∈ [1; e 3 ].  3.7 Tìm m để phương trình sau có nghiệm m( √ 1 + x 2 − √ 1 − x 2 + 2) = 2 √ 1 − x 4 + √ 1 + x 2 − √ 1 − x 2  3.8 Cho phương trình: log 2 3 x +  log 2 3 x + 1 − 2m −1 = 0 a) Giải phương trình khi m = 2 b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 √ 3 ]  3.9 Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN x x + 1 + y y + 1 + z z + 1  3.10 Với giá trị nào của m bất phương trình sau đúng ∀x ∈ [−5; 1] 4 √ 5−4x−x 2 + 2 1+ √ 5−4x−x 2 ≤ m CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 8  3.11 Cho phương trình 9 x − m3 x + 2m = 0 a) Giải phương trình với m = −1 b) Tìm m để phương trình trên có nghiệm.  3.12 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = √ 1 + sin x + √ 1 + cos x  3.13 Cho phương trình cos 6 x + sin 6 x cos 2 x − sin 2 x = m tan 2x a) Giải phương trình khi m = 13 8 b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.  3.14 Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc (0; 1) 4(log 2 √ x) 2 − log 1 2 x + m = 0  3.15 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x 6 + 4(1 − x 2 ) 3 x ∈ [−1; 1]  3.16 Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộ c đoạn [0; π 2 ] 2(sin 4 x + cos 4 x) + cos 4x + 2 sin 2x + m = 0  3.17 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN (a + 1 a )(b + 1 b )(c + 1 c )  3.18 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 4 x − m.2 x − m + 3 ≤ 0  3.19 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) 3 sin 2 x + 3 tan 2 x + m(cot x + tan x) − 1 = 0 b) 5x 2 − (x + 1) 2 = m + 2 2x 2 − x + 1 c) ( 1 + x √ x ) 2 + 2m( 1 + x √ x ) + 1 = 0 d) 4x 2 1 + 2x 2 + x 4 + 2mx 1 + x 2 + 1 − m 2 = 0 e) x 6 + 3x 5 + (6 − m)x 4 + (7 − 2m)x 3 + (6 − m)x 2 + 3x + 1 = 0 f) √ x 2 + x + 1 − √ x 2 − x + 1 = m g)  2x 2 − 2(m + 4)x + 5m + 10 + 3 − x = 0 h) √ 3 + x + √ 6 − x −  (3 + x)(6 − x) = m i) √ x − 1 + √ 5 − x = m j) (x − 3)(x + 1) + 4 (x − 3)  x + 1 x − 3 = 3m − m 2 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 9  3.20 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm x ∈ [− π 2 ; π 2 ] 2 + 2 sin 2 x = m(1 + cos x) 2  3.21 Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau đúng ∀x ∈ [0; π 2 ]: sin 3x + m. sin 2x + 3. sin x ≥ 0  3.22 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:  x 5 − (x − 3) 5 = m 0 ≤ x ≤ 3  3.23 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:  √ x + 1 + √ y + 2 = m x + y = 3m  3.24 Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: a)        (4 − 6m). sin 3 x + 3(2m − 1) sin x +2(m − 2) sin 2 x cos x − (4m −3) cos x = 0 0 ≤ x ≤ π 4 b)      2x 2 = y + m 2 y 2y 2 = x + m 2 x  3.25 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x < 0: x 4 + x 3 + mx 2 + 2x + 4 < 0  3.26 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: √ x + 1 − √ 4 − x ≥ m  3.27 Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x : 3 cos 4 x −5 cos 3x −36 sin 2 x −15 cos x + 36 + 24m − 12m 2 ≥ 0  3.28 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi |x| ≥ 2: x 4 − 5x 2 + x + 4 − m ≥ 0  3.29 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm trên [1; 2]: 4 2x−x 2 + 2 2x−x 2 +1 + 2m − 3 ≥ 0 [...]... Cho hàm số y = 11.35 Cho hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Tìm m để hàm số có ba cực trị 11.36 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + m a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 b) Tìm m để hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ đô 1 11.37 Cho hàm số y = x3 − 2x2 + 3x 3 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số. .. − 4 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y = x 11.25 Cho hàm số y = CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 23 11.26 Cho hàm số y = x3 + mx2 − x − m a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập thành cấp số cộng c) Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi... cực trị của hàm số (1) mx2 + x + m 11.33 Cho hàm số y = (1) x−1 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có haònh độ dương CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 24 −x2 + 3x − 3 2(x − 1) a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai... của hàm số b) Dựa vào đồ thị hàm số (1), hãy vẽ đồ thị hàm số sau y = x2 − |x| + 1 |x| − 1 x+3 (1) x+2 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số 1 b) Chứng minh rằng đường thẳng y = x − m luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt 3 A, B Xác định m sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất 11.14 Cho hàm số y = 11.15 Cho hàm số y = −x3 + 3x − 2 (1) a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm. .. m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x 11.39 Cho hàm số y = x2 − 2x + 4 11.40 Cho hàm số y = (1) x−2 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số b) Tìm m để đường thẳng y = mx + 2 − 2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt m 1 1 11.41 Cho hàm số y = x3 − x2 + 3 2 3 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ... Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 11.21 Cho hàm số y = 2 11.22 Cho hàm số y = x3 − mx2 + 1 3 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành 2x + 4 x+1 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số b) Chứng minh... đường thẳng y = 2x + m luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B Tìm m để AB ngắn nhất 11.23 Cho hàm số y = x2 + 1 x a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 11.24 Cho hàm số y = x2 + 1 m2 + 1 = x m x2 + (m + 2)x − m x+1 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1 b) Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu c) Tìm m... 11.16 Cho hàm số y = x + 1 + x2 + x − 1 (1) x−1 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số b) Tìm m để đường thẳng y = mx − 2m + 2 cắt đồ thị (1) tại hai điểm thuộc hai nhánh của (1) 11.17 Cho hàm số y = CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 22 x2 + 2x + 2 (1) x+1 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 11.18 Cho hàm số y = x2... 11.50 Cho hàm số y = CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 26 b) Xác định m sao cho hàm số có cực trị và tiệm cận xiên của Cm đi qua gốc toạ độ c) Biện luận theo tham số h, số nghiệm của phương trình cos 2t + 2(1 − h) cos t + 3 − 2h = 0 −π < t < π x2 + mx − 2m − 4 x+2 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1 b) Xác định m để hàm số có cực trị c) Gọi (C) là đồ thị hàm số trên... sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 b) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số bằng 10 11.11 Cho hàm số y = 1 11.12 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số y = x3 − 2x2 + 3x 3 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành x2 − x + 1 (1) 11.13 Cho hàm số y = x−1 a) Khảo sát sự biến thi n và . hàm số y = x 4 + 8mx 3 + 3(1 + 2m)x 2 − 4 Tìm m để hàm số có một cực tiểu mà không có cực đại. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 5 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3.1. Nam Trung Tâm GDTX Duy Tiên Chuyên đề Chuyên đề hàm số BÙI QUỸ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 1.1 Tóm tắt lí thuyết 1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f(x) xác định. m để hàm số tăng trên tập xác định  1.5 Cho hàm số y = mx 2 + 6x − 2 x + 2 . Tìm m để hàm số giảm trên ( 1; +∞)  1.6 Cho hàm số y = 1 3 mx 3 −(m −1)x 2 + 3(m −2 )x + 1 3 . Tìm m để hàm số tăng