Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 1 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC  Phương pháp 1 d2' d2 d1' d1 Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90   Phương pháp 2 .0a b u v    Với ,uv  lần lượt là hai VTCP của a và b  Phương pháp 3 (sử dụng định nghĩa) P a c b Nếu đường thẳng ()aP thì đường thẳng a vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P)     a (P) a b, a c b P , c P            Phương pháp 4 ( tính chất 5 - tr 99) b a P Nếu đường thẳng ()aP thì mọi đường thẳng ()bP đều vuông góc với a.    a / /(P), b P b a    Phương pháp 5( HĐ 2 - tr 97 ) a A C B Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh còn lại.  a AC, a BC a AB     Phương pháp 6 (suy ra từ định nghĩa -nx tr 94-sgk) c b a Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.  b / /c , a b a c    Phương pháp 7 (Định lý ba đường vuông góc - tr 100 - sgk) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp (P) và cho đường thẳng b nằm trong mp (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P). a a' b B' A B A' Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 2    a (P),b P ,a' lahinhchieucuaatren(P) a b a' b      PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Bổ sung :( Sử dụng định nghĩa) : Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường nằm trong mặt phẳng đó.  Phương pháp 1( ĐL 1 - tr 97) P c b a I Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp (P) thì đường thẳng d vuông góc với mp (P)       a b,a c aP b P ,c P ,b c I             Phương pháp 2 (Tc 3 - tr 98 - sgk) P b a Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.      a / /b ; P a P b    Phương pháp 3 (tc 4 - tr99-sgk) P a Q Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.        P / / Q ; a P a (Q)    Phương pháp 4 ( Sử dụng kết quả của HĐ3 - tr 98 - sgk) d A C B O M N Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt cách đều ba đỉnh của ABC thì d vuông góc với mp (ABC).   MA MB MC d ABC NA NB NC ; M,N d         Chú ý : Khái niệm trục  của tam giác ABC : là đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  Phương pháp 5 (ĐL 3 - tr 106 - sgk) c a Q P c a b H Q P Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).           P (Q), P Q c aQ a P ,a c           Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 3  Phương pháp 6 (Hệ quả 2 - tr 107) a Q R P Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.            P Q a ; P (R) ; (Q) R a R      PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH : HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC  Phương pháp 1(s d đn) Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90   Phương pháp 2 (ĐL 2 - tr 105) c a Q P c a b H Q P Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.          a P ,a Q P Q     Phương pháp 3 P Q R Một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.              P / / Q ; R P R Q   KHÁI NIỆM GÓC 1) Góc giữa hai đường thẳng :Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là góc giữa hai đường thẳng d1’ và d2’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với d1và d2 d2' d2 d1' d1 2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90 0 . Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) . a a' a P Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 4 3) Góc giữa hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. a b P Q d p q Q R P Chú ý : Khi hai mặt phẳng (P) và Q cắt nhau theo giao tuyến d , để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc với d , lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến p và q. Lúc đó góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng p, q B B' C' C D' E' A' A E D QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: (VD – tr 101 – SGK) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD) 1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD a/ Chứng minh rằng MN BD và   SC AMN b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc 2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi 2SA a , AB = a Giải K N M O D A B C S 1.a/ * CMR: MN BD +) Ta có: SAB SAD AM AN   (2 đường cao tương ứng) BM ND (do MAB NAD ) +) Xét SBD có SB SD MN BD BM DN        * CMR:   SC mp AMN  Cách 1: Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 5 +) Vì       ABCD BC AB gt BC SA do SA          BC SAB BC MA    +) Có   MA BC MA SB gt        MA SC (1đường thẳng  với 2 cạnh của 1 tam giác thì  với cạnh còn lại) CM tương tự ta có: NA SC Vậy   SC mp AMN  Cách 2: +) Vì   BC SAB SB là hình chiếu của SC trên (SAB) Lại có:   1MA SB MA SC   +)   CD SAD SD là hình chiếu của SC trên (SAD) Lại có   2AN SD AN SC   Vậy từ (1) và (2) ta có:   SC mp AMN  Cách 3: +) MN BD Mà BD AC với AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) MN SC +) ()AM SC SC AMN   b/ CMR: AK MN Có   BD AC BD SAC BD SA       Mặt khác: BD // MN ()MN SAC MN AK    2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi 2SA a , AB = a +) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC và AC +) Vì ASC có AS = AC = a 2 0 45goc SCA   góc cần tìm là 0 45 +) SBC vuông tại B có 3,SB a BC a   0 1 tanCSB CSB 30 33 BC a SB a      Bài 2: (BT 16 – tr 103 – SGK) Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c a/ Tính độ dài AD b/ Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D c/ Tính góc giữa đường thẳng AD và mp (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mp (ABC) Giải Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 6 O B C D A a/ Vì AB BC và AB CD nên   AB mp BCD Mặt khác BC CD nên AC CD (định lý ba đường vuông góc) Vậy 2 2 2 2 2 2 AD AC CD AB BC CD     tức là: 2 2 2 AD a b c   b/ Vì   0 90ABD ACD nên điểm cách đều bốn điểm A, B, C, D là trung điểm O của AD Bài 3: (BT 17 – tr 103 – SGK) Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC c/ Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC  Giải A B C O A' H a/ Ta có: 2 2 2 AB OA OB 2 2 2 BC OB OC 2 2 2 AC OA OC Vậy 222 BC AB AC , tức là góc BAC của tam giác ABC là góc nhọn. Tương tự như trên, ta chứng minh được tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn. b/ * Cách 1: Vì H là hình chiếu của điểm O trên mp (ABC) nên   OH ABC Mặt khác   OBCOA  nên OA BC Vậy AH BC (định lý ba đường vuông góc), tức là H thuộc một đường cao của tam giác ABC. Tương tự như trên, ta cũng có H thuộc đường cao thứ hai của tam giác ABC. Vậy H là trực tâm của tam giác ABC. * Cách 2: Nếu K là trực tâm của tam giác ABC thì AK BC , mặt khác OA BC nên   BC AOK , suy ra BC OK . Tương tự như trên ta cũng có: AB OK . Vậy   OK ABC , tức là K trùng với H. c/ Nếu AH BC tại A  thì BC OA   Vì OH là đường cao của tam giác vuông AOA  (vuông tại O) và OA  là đường cao của tam giác vuông BOC (vuông tại O) nên Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 7 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ; OH OA OA OA OB OC      Vậy 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC  Bài 4: (BT 18 – tr 103 – SGK) Cho hình chóp S.ABC có   ABCSA mp , các tam giác ABC và SBC không vuông.Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng: a/ AH, SK, BC đồng quy b/   BHKSC mp c/   SBCHK mp Giải K H A B C S A' a/ Gọi AA  là đường cao của tam giác ABC, do   SA ABC nên SA BC   (định lý ba đường vuông góc) Vì H là trực tâm của tam giác ABC, K là trực tâm của tam giác SBC nên H thuộc AA  , K thuộc SA  Vậy AH, SK, BC đồng quy tại A  b/ Do H là trực tâm của tam giác ABC nên BH AC , mà BH SA nên BH SC Mặt khác K là trực tâm của tam giác SBC nên BK SC Vậy   SC BHK c/ Từ câu b ta suy ra HK SC . Mặt khác HK BC do   BC SAA   Vậy   HK mp SBC Bài 5: (BT 19 – tr 103 – SGK) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC a/ Chứng minh rằng:   ABCSG mp . Tính SG b/ Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm 1 C nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P) Giải a/ Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 8 A B C S H Kẻ   SH mp ABC , do SA SB SC nên ta có HA HB HC Mặt khác, ABC là tam giác đều nên H trùng với trọng tâm G của tam giác đó. Vậy   SG ABC 2 2 2 2 2 3 3 a SG SA AG b         Từ đó: 2 2 3 a SG b (Với 22 3ba ) b/ G C' A B C S C1 Dễ thấy AB SC . Vì (P) đi qua A và vuông góc với SC nên AB nằm trong (P). Kẻ đường cao 1 AC của tam giác SAC thì (P) chính là mp   1 ABC Do tam giác SAC cân tại S nên điểm 1 C nằm trong đoạn thẳng SC khi và chỉ khi  0 90ASC  Điều này tương đương với 2 2 2 AC SA SC hay 22 2ab Trong trường hợp này, thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (P) là tam giác 1 ABC 1 11 11 . . . . 22 ABC S AB C C a C C   (Với C  là trung điểm của AB) Mặt khác 1 C C SC SGCC   1 .SG CC CC SC    Tức là: 2 2 22 1 3 . 3 32 2 aa b a b a CC bb     Vậy 1 2 2 2 3 4 ABC a b a S b   Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK) Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 9 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’) b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó. Giải P Q R S N M D C A C' A' B' D' B a/ Ta có AC AB AD AA         và BD AD AB    Vậy     . . 0AC BD AB AD AA AD AB              Tương tự ta có .0AC BA     Vậy   AC ABD   Do     //ABD BCD    nên   AC BCD     b/ Gọi M là trung điểm của BC thì MA MC   (vì cùng bằng 5 2 a ) nên M thuộc mặt phẳng trung trực    của AC  Tương tự, ta chứng minh được N, P, Q, R, S cũng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của CD, , , ,DD D A A B B B       ) Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mp    là MNPQRS. Dễ thấy đó là lục giác đều cạnh bằng 2 2 a Từ đó ta tính được diện tích của thiết diện là: 2 2 2 3 3 3 6. . 2 4 4 a Sa      Bài 7: (BT 24 – tr 111 – SGK) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và   ABCDSA mp , SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60 o Giải Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 10 O D A B C S O1 Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ 1 OO vuông góc với SC, dễ thấy mp   1 BOD vuông góc với SC. Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng 1 BO và 1 DO Mặt khác 11 ,OO BD OO OC mà OC = OB nên  0 1 45BOO  Tương tự  0 1 45DOO  , tức là  0 1 90BO D  Như vậy, hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 0 60 khi và chỉ khi   00 11 120 60BO D BOO   (Vì 1 BO D cân tại 1 O ) 0 1 1 .tan60 .3 BO OO BO OO   Ta lại có:   11 .sin .sin . SA OO OC OCO OC ACS OC SC    Như vậy 1 3 3. . 3 SA BO OO BO OC SC SA SC      22 23x a x x a     Vậy khi x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 0 60 Bài 8: (BT 27 – tr 112 – SGK) Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a/ Tính AB, IJ theo a và x b/ Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc? Giải I J C B D A a/ Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên AJ CD Do     mp ACD mp BCD nên   AJ mp BCD Mặt khác: AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân, suy ra 2 2 2 2,AB AJ AJ a x   hay 22 AJ a x [...]... Nguyn Quc Vit Page 23 Chuyờn Hỡnh hc khụng gian 11 Quan h vuụng gúc A' C' B' A C H M B Gọi H là trực tâm ABC Theo giả thiết A' H ( ABC ) nên AH là hình chiếu của A' A trên A ' AH mp(ABC) Ta có A ' H ( ABC ), BC AH AA ' BC BC BB ' Mặt bên BCC ' B ' là hình chữ nhật S BCC ' B ' BB '.BC a 3 2 a 3 2 3 3 AH a 3 a 3 , B ' B A' A Trong tam giác vuông A ' AH : A ' A cos 3cos 3cos 2 a... giỏc vuụng ti A, bit AB = AC = AA = a (a > 0) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AC v BC Li gii Trong ABC đều cạnh a H là trực tâm cũng là trọng tâm nên AH z A' C' B' C y A B x Chonj trục hệ toạ độ 0xyz sao cho các đỉnh của hình lăng trụ có toạ độ là: Giỏo viờn: Nguyn Quc Vit Page 24 Chuyờn Hỡnh hc khụng gian 11 Quan h vuụng gúc A(0;0;0),B(a;0:0), C(0;a;0), C '(0; a; a) có AC (0; a;0) BC ' ( a; a;... v (ABC) Vy HK vuụng gúc (ABC) Bi 18 (bt51a - tr 124 - SBT) S D' H A B K E H' K' F D C Trong mt phng (P), cho hỡnh ch nht ABCD vi AB = b, BC = a Gi E, F ln lt l trung im ca AD v BC Trong mt phng qua EF v vuụng gúc vi (P) Bi lm Vỡ (SEF) vuụng gúc (ABCD) Giỏo viờn: Nguyn Quc Vit Page 17 Chuyờn Hỡnh hc khụng gian 11 Quan h vuụng gúc v AD vuụng gúc EF nờn AD vuụng gúc (SEF) T ú (SEF) vuụng gúc (SBC) D... Cho hỡnh vuụng ABCD Gi S l im trong khụng gian sao cho SAB l tam giỏc u v mp(SAB) vuụng gúc vi mp(ABCD) a/ Chng minh rng mp SAB mp SAD v mp SAB mp SBC b/ Tớnh gúc gia hai mt phng (SAD) v (SBC) c/ Gi h v I ln lt l trung im ca AB v BC Chng minh rng mp SHC mp SDI Bi 14: (BT 43 tr 122 SBT) Cho hỡnh ch nht ABCD vi tõm O, AB = a, BC = 2a Ly im S trong khụng gian sao cho SO vuụng gúc vi mt... giỏc ABI vuụng A Tớnh cosin ca gúc gia hai mt phng (ABC) v (ABI) Li gii A' C' B' a I H A C a a B +)Sẽ tính đ-ợc : IB '2 IC '2 B ' C '2 13a 2 4 13a 2 4 ' Vậy AB I vuông tại A AI '2 AB '2 +)Chú ý rằng ABC chính là hình chiếu vuông góc của AB ' I nên ta có: S ABC S AB' I cos a 2 3 a 2 10 3 30 cos cos 4 10 10 10 Bi 18 ( s 34 tr 45- stt TTS 2002-2003 n 2008-2009) Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC... 3 3 3 3 Vy DA DB DC x 2 Do ú t din DBCA cú cỏc cnh bng nhau 2 2 2 Bi 13: (BT 42 tr 122 SBT) Cho hỡnh vuụng ABCD Gi S l im trong khụng gian sao cho SAB l tam giỏc u v mp(SAB) vuụng gúc vi mp(ABCD) Giỏo viờn: Nguyn Quc Vit Page 13 Chuyờn Hỡnh hc khụng gian 11 Quan h vuụng gúc a/ Chng minh rng mp SAB mp SAD v mp SAB mp SBC b/ Tớnh gúc gia hai mt phng (SAD) v (SBC) c/ Gi h v I ln lt... vuụng gúc vi nhau Gii Trong mp (P), cho hỡnh thoi ABCD vi AB = a, AC S A1 D A O C a/ Ta cú AC 2 BD 2 4a 2 , AC Xột tam giỏc vuụng SOB, ta cú Giỏo viờn: Nguyn Quc Vit B 2a 6 4a 2 a2 OB 2 nờn BD 2 3 3 3 2 2a a 6 SO 2 SB 2 OB 2 SO 3 3 Page 16 Chuyờn Hỡnh hc khụng gian 11 Quan h vuụng gúc Vy tam giỏc SAC cú trung tuyn SO bng na AC nờn SAC l tam giỏc vuụng cõn ti S b/ Trong mt phng (SOA) k... ng thng BD v SC Bi lm Giỏo viờn: Nguyn Quc Vit Page 29 Chuyờn Hỡnh hc khụng gian 11 Quan h vuụng gúc S I K A B O D C Ta cú SA BD BD SAC v AC BD BD SAC ti O trong mt phng (SAC), k AI SC v k OK SC ti K; OK BD OK l ng vuụng gúc chung ca SC v BD 1 Khong cỏch d(SC;BD)=OK= AI ( vỡ OK//AI, qua O l trung im AC) 2 Trong tam giỏc vuụng AIC, ta cú: 1 1 1 1 1 3 a 6 2 2 2 AI 2 2 2 AI AS... vuụng gúc vi nhau, cú giao tuyn l ng thng Trờn ly hai im A, B vi AB = a Trong mt phng (P) ly im C, trong mt phng (Q) ly im D sao cho AC, BD vuụng gúc vi v AC = BD = AB Tớnh bỏn kiớnh mt cu ngoi tip t din ABCD v tớnh khong cỏch t A n mt phng (BCD) theo a Bi lm Giỏo viờn: Nguyn Quc Vit Page 32 Chuyờn Hỡnh hc khụng gian 11 Quan h vuụng gúc C P H B A Q D Ta cú P Q v = P Q M AC AC Q AC ... ln lt l trc tõm ca tam giỏc ABC v tam giỏc DBC Chng minh rng : a)mp ADE mp ABC va mp BFK mp ABC Trong mp (P), cho hỡnh thoi ABCD vi AB = a, AC c) HK mp ABC Bi 18 (bt51a - tr 124 - SBT) Trong mt phng (P), cho hỡnh ch nht ABCD vi AB = b, BC = a Gi E, F ln lt l trung im ca AD v BC Trong mt phng qua EF v vuụng gúc vi (P) Li gii Bi 1: 1.a/ * CMR: MN BD +) Ta cú: SAB SAD AM AN (2 ng cao . (BT 42 – tr 122 – SBT) Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD) Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc . EF và vuông góc với (P) Bài làm Vì (SEF) vuông góc (ABCD) Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 18 và AD vuông góc EF nên AD vuông góc. – tr 111 – SGK) Chuyên đề Hình học không gian 11 – Quan hệ vuông góc Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 9 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc