Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức 1 PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh:          3 3 3 a b a b 2 2 2. Chứng minh:    2 2 a b a b 2 2 3. Cho a + b  0 chứng minh:    3 3 3 a b a b 2 2 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:    a b a b b a 5. Chứng minh: Với a  b  1:      2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b 6. Chứng minh:         2 2 2 a b c 3 2 a b c ; a , b , c  R 7. Chứng minh:           2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e 8. Chứng minh:      2 2 2 x y z xy yz zx 9. a. Chứng minh:       a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3 b. Chứng minh:            2 2 2 2 a b c a b c 3 3 10. Chứng minh:      2 2 2 a b c ab ac 2bc 4 11. Chứng minh:      2 2 a b 1 ab a b 12. Chứng minh:      2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz 13. Chứng minh:        4 4 2 2 x y z 1 2xy(xy x z 1) 14. Chứng minh: Nếu a + b  1 thì:   3 3 1 a b 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca  a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). b. abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 – a 4 – b 4 – c 4 > 0 Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 2 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh:     (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0 2. Chứng minh:       2 2 2 (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0 3. Chứng minh:            3 3 1 a 1 b 1 c 1 abc với a , b , c  0 4. Cho a, b > 0. Chứng minh:                  m m m 1 a b 1 1 2 b a , với m  Z + 5. Chứng minh:       bc ca ab a b c ; a,b,c 0 a b c 6. Chứng minh:     6 9 2 3 x y 3x y 16 ; x,y 0 4 7. Chứng minh:     4 2 2 1 2a 3a 1 1 a . 8. Chứng minh:     1995 a 1995 a 1 , a > 0 9. Chứng minh:             2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . 10. Cho a , b > 0. Chứng minh:               2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c 11. Cho a , b  1 , chứng minh:    ab a b 1 b a 1 . 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13. Cho a > b > c, Chứng minh:       3 a 3 a b b c c . 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c  16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc c)                 1 1 1 1 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:      1 x 3 x y y 16. Chứng minh: a)    2 2 x 2 2 x 1 ,x  R b)    x 8 6 x 1 , x > 1 c)    2 2 a 5 4 a 1 17. Chứng minh:          ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2 18. Chứng minh:     2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y , x , y  R Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức 3 19. Chứng minh:       a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 20. Cho a , b , c > 0. C/m:          3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a.     4 a b c d 4 abcd với a , b , c , d  0 (Côsi 4 số) b.    3 a b c 3 abc với a , b , c  0 , (Côsi 3 số ) 22. Chứng minh:      3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0 23. Chứng minh:    3 9 4 2 a 3 b 4 c 9 abc 24. Cho   x 18 y 2 x , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 25. Cho     x 2 y ,x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. 26. Cho      3x 1 y , x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. 27. Cho     x 5 1 y ,x 3 2x 1 2 . Định x để y đạt GTNN. 28. Cho    x 5 y 1 x x , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 29. Cho   3 2 x 1 y x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 30. Tìm GTNN của    2 x 4x 4 f(x) x , x > 0. 31. Tìm GTNN của   2 3 2 f(x) x x , x > 0. 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33. Cho y = x(6 – x) , 0  x  6 . Định x để y đạt GTLN. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x  5 2 . Định x để y đạt GTLN 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,    5 x 5 2 . Định x để y đạt GTLN 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,  1 2  x  5 2 . Định x để y đạt GTLN 37. Cho   2 x y x 2 . Định x để y đạt GTLN Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 4 38. Cho     2 3 2 x y x 2 . Định x để y đạt GTLN III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd) 2  (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) BĐT Bunhiacopxki 2. Chứng minh:   sinx cosx 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 4b 2  7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 5b 2  725 47 . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a 2 + 11b 2  2464 137 . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a 4 + b 4  2. 7. Cho a + b  1 Chứng minh:   2 2 1 a b 2 Lời giải : I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh:          3 3 3 a b a b 2 2 (*) (*)            3 3 3 a b a b 0 2 2        2 3 a b a b 0 8 . ĐPCM. 2. Chứng minh:    2 2 a b a b 2 2 ()  a + b  0 , () luôn đúng.  a + b > 0 , ()       2 2 2 2 a b 2ab a b 0 4 2      2 a b 0 4 , đúng. Vậy:    2 2 a b a b 2 2 . 3. Cho a + b  0 chứng minh:    3 3 3 a b a b 2 2       3 3 3 a b a b 8 2         2 2 3 b a a b 0          2 3 b a a b 0 , ĐPCM. 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:    a b a b b a () ()     a a b b a b b a         a b a a b b 0 Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức 5        a b a b 0         2 a b a b 0 , ĐPCM. 5. Chứng minh: Với a  b  1:      2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b ()          2 2 1 1 1 1 0 1 ab 1 ab 1 a 1 b                  2 2 2 2 ab a ab b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab                      2 2 a b a b a b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab              2 2 b a a b 0 1 ab 1 a 1 b                     2 2 2 2 b a a ab b ba 0 1 ab 1 a 1 b                 2 2 2 b a ab 1 0 1 ab 1 a 1 b , ĐPCM.  Vì : a  b  1  ab  1  ab – 1  0. 6. Chứng minh:         2 2 2 a b c 3 2 a b c ; a , b , c  R              2 2 2 a 1 b 1 c 1 0 . ĐPCM. 7. Chứng minh:           2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e              2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a ab b ac c ad d ae e 0 4 4 4 4                                  2 2 2 2 a a a a b c d e 0 2 2 2 2 . ĐPCM 8. Chứng minh:      2 2 2 x y z xy yz zx        2 2 2 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0              2 22 x y x z y z 0 9. a. Chứng minh:       a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3       2 2 2 a b c ab bc ca                   2 2 2 2 a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca 3 9 3       a b c ab bc ca 3 3 b. Chứng minh:            2 2 2 2 a b c a b c 3 3              2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c 2 a b c              2 2 2 2 a b c 2 ab bc ca a b c Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 6             2 2 2 2 a b c a b c 3 3 10. Chứng minh:      2 2 2 a b c ab ac 2bc 4          2 2 2 a a b c b c 2bc 0 4             2 a b c 0 2 . 11. Chứng minh:      2 2 a b 1 ab a b        2 2 2a 2b 2 2ab 2a 2b 0           2 2 2 2 a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0              2 2 2 a b a 1 b 1 0 . 12. Chứng minh:      2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz        2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz 0  (x – y + z) 2  0. 13. Chứng minh:        4 4 2 2 x y z 1 2x(xy x z 1)          4 4 2 2 2 2 x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0              2 2 2 2 2 x y x z x 1 0 . 14. Chứng minh: Nếu a + b  1 thì:   3 3 1 a b 4  a + b  1  b  1 – a  b 3 = (1 – a) 3 = 1 – a + a 2 – a 3  a 3 + b 3 =          2 1 1 1 3 a 2 4 4 . 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca  a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca).  ab + bc + ca  a 2 + b 2 + c 2  (a – b) 2 + (a – c) 2 + (b – c) 2       a b c , b a c , c a b     2 2 2 a b 2bc c ,    2 2 2 b a 2ac c ,    2 2 2 c a 2ab b  a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). b. abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)       2 2 2 a a b c          2 a a c b a b c       2 2 2 b b a c          2 b b c a a b c       2 2 2 c c a b          2 c b c a a c b               2 2 2 2 2 2 a b c a b c a c b b c a            abc a b c a c b b c a c. 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 – a 4 – b 4 – c 4 > 0  4a 2 b 2 + 2c 2 (b 2 + a 2 ) – a 4 – b 4 – 2a 2 b 2 – c 4 > 0 Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức 7  4a 2 b 2 + 2c 2 (b 2 + a 2 ) – (a 2 + b 2 ) 2 – c 4 > 0  (2ab) 2 – [(a 2 + b 2 ) – c 2 ] 2 > 0  [c 2 – (a – b) 2 ][(a + b) 2 – c 2 ] > 0  (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng  Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác  c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh:     (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:    a b 2 ab ,   b c 2 bc ,   a c 2 ac           2 2 2 a b b c a c 8 a b c 8abc . 2. Chứng minh:       2 2 2 (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:     3 a b c 3 abc ,    3 2 2 2 2 2 2 a b c 3 a b c            3 2 2 2 3 3 3 a b c a b c 9 a b c 9abc . 3. Chứng minh:            3 3 1 a 1 b 1 c 1 abc , với a , b , c  0.                 1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc.     3 a b c 3 abc ,    3 2 2 2 ab ac bc 3 a b c                 3 3 2 2 2 3 3 1 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc 4. Cho a, b > 0. Chứng minh:                  m m m 1 a b 1 1 2 b a , với m  Z +                                            m m m m m m m 1 a b a b b a 1 1 2 1 . 1 2 2 b a b a a b 2 4 2 5. Chứng minh:       bc ca ab a b c ; a, b, c 0 a b c  Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:    2 bc ca abc 2 2c a b ab ,    2 bc ba b ac 2 2b a c ac ,    2 ca ab a bc 2 2a b c bc       bc ca ab a b c a b c . 6. Chứng minh:     6 9 2 3 x y 3x y 16 ; x,y 0 4 () Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 8 ()     6 9 2 3 x y 64 12x y         3 3 2 3 3 2 3 x y 4 12x y Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:         3 3 2 3 3 2 3 2 3 x y 4 3x y 4 12x y . 7. Chứng minh:     4 2 2 1 2a 3a 1 1 a () ()        4 4 2 2 2 1 a a a 1 4a 1 a . Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm:   4 4 2 2 1 a , a , a 1, 1 a            4 4 2 4 4 2 2 4 2 2 1 1 a a a 1 4 a a a 1 4a 1 a 1 a 8. Chứng minh:     1995 a 1995 a 1 () , a > 0 ()       1995 1995 a 1995a 1995 a 1995 1995a            1995 1995 1995 1995 1995 1994 soá a 1995 a 1994 a 1 1 1 1995 a 1995a 9. Chứng minh:             2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 6abc .                   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:         6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 a a b b b c c c a 6 a b c 6abc 10. Cho a , b > 0. Chứng minh:               2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c     2 2 a a 1 2ab 2b a b ,    2 2 b b 1 2bc 2c b c ,    2 2 c c 1 2ac 2a a c  Vậy:               2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c 11. Cho a , b  1 , chứng minh:    ab a b 1 b a 1 .               a a 1 1 2 a 1, b b 1 1 2 b 1     ab 2b a 1, ab 2a b 1     ab a b 1 b a 1 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1)              x x 1 1 x 1 x y z 3                           2 4 x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1 Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức 9 Tương tự:           2 4 y 4 x 1 y 1 z 1 ;           2 4 z 4 x 1 y 1 z 1  xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 13. Cho a > b > c, Chứng minh:       3 a 3 a b b c c .                 3 a a b b c c 3 a b b c c 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c  16abc.          2 b c bc 2                      2 2 2 b c 1 a 16abc 16a 16a 4a 1 a 2 2                            2 2 2 4a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc  (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b)   2 bc.2 ac.2 ab 8abc c)                 1 1 1 1 1 1 64 a b c                    4 2 1 a a b c 4 a bc 1 a a a    4 2 1 4 ab c 1 b b    4 2 1 4 abc 1 c c                  1 1 1 1 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:      1 x 3 x y y                   3 x y y 1 VT x y y 3 3 x y y x y y 16. Chứng minh: a)    2 2 x 2 2 x 1     2 2 x 2 2 x 1      2 2 x 1 1 2 x 1 b)   x 8 x 1 =            x 1 9 9 9 x 1 2 x 1 6 x 1 x 1 x 1 c.           2 2 2 a 1 4 2 4 a 1 4 a 1     2 2 a 5 4 a 1 17. Chứng minh:          ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2  Vì :   a b 2 ab Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 10     ab ab ab a b 2 2 ab ,    bc bc bc b c 2 2 bc ,    ac ac ac a c 2 2 ac       a b c ab bc ca , dựa vào:      2 2 2 a b c ab bc ca .             ab bc ca ab bc ac a b c a b b c c a 2 2 18. Chứng minh:     2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y , x , y  R         2 2 2 4 2 2 x x x 1 8 1 16x 2.4x 1 4x         2 2 2 4 2 2 y y y 1 8 1 16y 2.4y 1 4y      2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y 19. Chứng minh:       a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.  a + b + c = 1 2 (X + Y + Z)           Y Z X Z X Y X Y Z a , b , c 2 2 2                                      a b c 1 Y X Z X Z Y 3 b c a c a b 2 X Y X Z Y Z        1 3 2 2 2 3 2 2 . Cách khác:                                   a b c a b c 1 1 1 3 b c a c a b b c a c a b                           1 1 1 1 a b b c c a 3 2 b c a c a b  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:                             1 1 1 1 9 3 a b b c c a 3 2 b c a c a b 2 2 20. Cho a , b , c > 0. C/m:          3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc               3 3 2 2 a b a b a ab a a b ab Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức 11              3 3 a b abc a b ab abc ab a b c , tương tự              3 3 b c abc b c bc abc bc a b c              3 3 c a abc c a ca abc ca a b c                            1 1 1 1 a b c VT ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a.     4 a b c d 4 abcd với a , b , c , d  0 (Côsi 4 số)      a b 2 ab , c d 2 cd            4 a b cd 2 ab cd 2 2 ab. cd 4 abcd b.    3 a b c 3 abc với a , b , c  0 , (Côsi 3 số )          4 a b c a b c a b c 4. abc 3 3       4 a b c a b c abc 3 3             4 a b c a b c abc 3 3           3 a b c abc 3     3 a b c 3 abc . 22. Chứng minh:      3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0    3 2 a abc 2a bc ,   3 2 b abc 2b ac ,   3 2 c abc 2c ab          3 3 3 2 2 2 a b c 3abc 2 a bc b ac c ab           3 3 3 2 2 2 2 a b c 2 a bc b ac c ab , vì :    3 3 3 a b c 3abc Vậy:      3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ac c ab 23. Chứng minh:    3 9 4 2 a 3 b 4 c 9 abc  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm:            3 3 3 9 4 4 4 4 VT a a b b b c c c c 9 abc 24. Cho   x 18 y 2 x , x > 0. Định x để y đạt GTNN.  Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:     x 18 x 18 y 2 . 6 2 x 2 x  Dấu “ = ” xảy ra        2 x 18 x 36 x 6 2 x , chọn x = 6. Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6 25. Cho     x 2 y ,x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 12       x 1 2 1 y 2 x 1 2  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm   x 1 2 , 2 x 1 :           x 1 2 1 x 1 2 1 5 y 2 . 2 x 1 2 2 x 1 2 2  Dấu “ = ” xảy ra                2 x 3 x 1 2 x 1 4 x 1(loaïi) 2 x 1 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng 5 2 26. Cho      3x 1 y , x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN.       3(x 1) 1 3 y 2 x 1 2  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm     3 x 1 1 , 2 x 1 :                3 x 1 1 3 3 x 1 1 3 3 y 2 . 6 2 x 1 2 2 x 1 2 2  Dấu “ = ” xảy ra                         2 6 x 1 3 x 1 1 2 3 x 1 2 x 1 3 6 x 1(loaïi) 3 Vậy: Khi   6 x 1 3 thì y đạt GTNN bằng  3 6 2 27. Cho     x 5 1 y ,x 3 2x 1 2 . Định x để y đạt GTNN.       2x 1 5 1 y 6 2x 1 3  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm   2x 1 5 , 6 2x 1 :            2x 1 5 1 2x 1 5 1 30 1 y 2 . 6 2x 1 3 6 2x 1 3 3 Dấu “ = ” xảy ra Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức 13                      2 30 1 x 2x 1 5 2 2x 1 30 6 2x 1 30 1 x (loaïi) 2 Vậy: Khi   30 1 x 2 thì y đạt GTNN bằng 30 1 3 28. Cho    x 5 y 1 x x , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.                    x 5 1 x 5x x x 1 x 1 x f(x) 5 5 2 5 5 2 5 5 1 x x 1 x x 1 x x Dấu “ = ‘ xảy ra                 2 x 1 x x 5 5 5 5 x 1 x x 1 x 4 (0 < x < 1)  Vậy: GTNN của y là 2 5 5 khi   5 5 x 4 29. Cho   3 2 x 1 y x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN.          3 3 2 2 2 2 3 x 1 1 x x 1 x x 1 3 x 3 2 2 2 2 4 x x x x  Dấu “ = ‘ xảy ra    2 x x 1 2 2 x   3 x 2 .  Vậy: GTNN của y là 3 3 4 khi  3 x 2 30. Tìm GTNN của    2 x 4x 4 f(x) x , x > 0.          2 x 4x 4 4 4 x 4 2 x. 4 8 x x x  Dấu “ = ‘ xảy ra   4 x x  x = 2 (x > 0).  Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 31. Tìm GTNN của   2 3 2 f(x) x x , x > 0.                      3 2 2 2 2 2 2 5 3 3 3 3 5 2 x x x 1 1 x 1 5 x 5 3 3 3 3 27 x x x x Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 14  Dấu “ = ‘ xảy ra     2 5 3 x 1 x 3 3 x  x = 2 (x > 0).  Vậy: GTNN của y là 5 5 27 khi  5 x 3 . 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)  f(x) = –10x 2 + 11x – 3 =                     2 2 11x 11 1 1 10 x 3 10 x 10 20 40 40  Dấu “ = “ xảy ra   11 x 20  Vậy: Khi  11 x 20 thì y đạt GTLN bằng 1 40 . 33. Cho y = x(6 – x) , 0  x  6 . Định x để y đạt GTLN.  Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0  x  6):          6 x 6 x 2 x 6 x  x(6 – x)  9  Dấu “ = “ xảy ra  x = 6 – x  x = 3  Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x  5 2 . Định x để y đạt GTLN.  y = (x + 3)(5 – 2x) = 1 2 (2x + 6)(5 – 2x)  Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,          5 3 x 2 :                11 2x 6 5 2x 2 2x 6 5 2x  1 2 (2x + 6)(5 – 2x)  121 8  Dấu “ = “ xảy ra  2x + 6 = 5 – 2x    1 x 4  Vậy: Khi   1 x 4 thì y đạt GTLN bằng 121 8 . 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,    5 x 5 2 . Định x để y đạt GTLN.  y = (2x + 5)(5 – x) = 1 2 (2x + 5)(10 – 2x)  Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,          5 x 5 2 :               2x 5 10 2x 2 2x 5 10 2x  1 2 (2x + 5)(10 – 2x)  625 8  Dấu “ = “ xảy ra  2x + 5 = 10 – 2x   5 x 4 Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức 15  Vậy: Khi  5 x 4 thì y đạt GTLN bằng 625 8 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,  1 2  x  5 2 . Định x để y đạt GTLN  y = 3(2x + 1)(5 – 2x)  Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,          1 5 x 2 2 :               2x 1 5 2x 2 2x 1 5 2x  (2x + 1)(5 – 2x)  9  Dấu “ = “ xảy ra  2x + 1 = 5 – 2x  x = 1  Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9. 37. Cho   2 x y x 2 . Định x để y đạt GTLN     2 2 2 x 2 2x 2x 2    2 1 x 2 2 2 x   1 y 2 2  Dấu “ = “ xảy ra    2 x 2 và x > 0 x= 2  Vậy: Khi  x 2 thì y đạt GTLN bằng 1 2 2 . 38. Cho     2 3 2 x y x 2 . Định x để y đạt GTLN       3 2 2 2 x 2 x 1 1 3 x .1.1           2 3 2 2 3 2 x 1 x 2 27x 27 x 2  Dấu “ = “ xảy ra      2 x 1 x 1  Vậy: Khi  x 1 thì y đạt GTLN bằng 1 27 . III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd) 2  (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) () BĐT Bunhiacopxki ()        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 2abcd c d a b a d c b c d     2 2 2 2 a d c b 2abcd 0      2 ad cb 0 . 2. Chứng minh:   sinx cosx 2  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :   sinx cosx          2 2 2 2 1. sinx 1. cosx 1 1 sin x cos x 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 4b 2  7.  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4b : Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 16            2 2 3a 4b 3. 3a 4. 4b 3 4 3a 4b  3a 2 + 4b 2  7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 5b 2  725 47 .     2 3 2a 3b 3 a 5b 3 5  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số  2 3 , 3 a , , 5b 3 5 :              2 2 2 3 4 9 3 a 5 b 3a 5b 3 5 3 5  3a 2 + 5b 2  735 47 . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a 2 + 11b 2  2464 137 .     3 5 3a 5b 7 a 11b 7 11  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số  3 5 , 7 a , , 11b 7 11 :              2 2 3 5 9 25 7 a 11b 7a 11b 7 11 7 11  7a 2 + 11b 2  2464 137 . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a 4 + b 4  2.  Áp dụng BĐT Bunhiacopski:           2 2 2 a b 1 1 a b  a 2 + b 2  2             2 2 4 4 2 a b 1 1 a b  a 4 + b 4  2 7. Cho a + b  1 Chứng minh:   2 2 1 a b 2              2 2 2 2 2 2 1 1 a b 1 1 a b a b 2 Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức 17 PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1. (CĐGT II 2003 dự bị) Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR:       2 2 2 2 2 2 x xy y x xz+z y yz+z 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x 3 + y 3 + z 3  x + y + z. 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z +   1 1 1 x y z 4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =  4 1 x 4y . 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:            a b c d a b c b c d c d a d a b < 2 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1) 2         2 1 2 1 x x  16. 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng:          a b c a b c a b c 9 a b c 8. (CĐKTYTế1 2006) Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y  0; x 2 + x = y + 12. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. 10. (Học viện BCVT 2001) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 thì:            a b c a b c 1 1 1 a b c 3 3 3 3 3 3 3 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Cho ba số dương a, b, c thoả a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh:       2 2 2 2 2 2 a b c 3 3 2 b c c a a b 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 18 Cho các số a, b, c thoả:            2 2 2 a b c 2 ab bc ca 1 Chứng minh:          4 4 4 4 4 4 a ; b ; c 3 3 3 3 3 3 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:               1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng:         3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 y 2 x 2 z 1 1 1 x y y z z x x y z 15. (ĐH PCCC khối A 2001) Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì:       b c c a a b log a log b log c 1 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi  > 1 ta luôn có: x  +  – 1 ≥ x. Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:      3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng:     a b 1 b a 1 ab (*) 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì: 3a 2 + 3b 2 + 3c 2 + 4abc ≥ 13 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng:   2 2 2 3 3 3 a b c 20. (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 8 a + 8 b + 8 c ≥ 2 a + 2 b + 2 c 21. (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:       2 2 2 2 2 2 b 2a c 2b a 2c 3 ab bc ca 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng:          3 3 3 a b a b 2 2 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT: Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức 19 a) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca) 2 ≥ 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =      2 2 2 2 2 2 bc ca ab a b a c b c b a c a c b 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có: (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥    3 3 1 abc 26. (ĐH Y HN 2000) Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện   2 3 6 x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y. 27. (ĐH An Giang khối D 2000) Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a c + 1 + b c + 1 ≥ ab(a c – 1 + b c – 1 ) 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >  18xyz 2 xyz 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n n + 1 > (n + 1) n 30. (CĐSP Nha Trang 2000) Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =   a 1 b 1 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác không:      2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 x y z x y z BĐT cuối cùng luôn đúng  BĐT cần chứng minh đúng. 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh:      2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a 33. (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:             2 2 2 x y z 3 1 1 1 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: 2(x 3 + y 3 + z 3 ) – (x 2 y + y 2 z + z 2 x) ≤ 3 (*) 35. (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 20      2 2 2 a b c x y z 2R (a, b, c là các cạnh của ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? 36. (Đại học 2002 dự bị 3) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =  4 1 x 4y 37. (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. Chứng minh bất đẳng thức:     2 a c b b 50 b d 50b và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =  a c b d . 38. (Đại học 2002 dự bị 6) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và h a , h b , h c tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:                  a b c 1 1 1 1 1 1 3 a b c h h h 39. (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z  1. Chứng minh rằng:       2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z 82 x y z 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin 5 x + 3 cosx 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:          4p(p a) bc (1) A B C 2 3 3 sin sin sin (2) 2 2 2 8 trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p =  a b c 2 . 42. (Đại học khối A 2005) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :    1 1 1 4 x y z . [...]...Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ LỜI GIẢI 1 1 1   1 2x+y+z x  2y  z x  y  2z 43 (Đại học khối B 2005) Chứng minh rằng với mọi x  R, ta có: Chứng minh rằng: x x 1 x  12   15   20  x x x       3 4 5  5   4   3  Khi nào đẳng thức xảy ra? 44 (Đại học khối D 2005) Cho các số dương... liên tục x: f(x) = x 1 1   (2 ≤ x ≤ 48) 50 x 50 1 1 x2  50 ;  2  50 x 50x2 Bảng biến thiên: f(x) =  x2  50  f(x) = 0   x5 2  2  x  48  34 Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 5 2 2  1 1 1 Ta có: P (x  y  z)2        x y z b2  b  50 (2 ≤ b ≤ 48, b  N) 50b Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm... "=" xảy ra  x = y = z = Vậy Amin = 5 Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 3 Vậy minA = 3 3 10 (Học viện BCVT 2001) 1 Ta có hàm số f(x) = x là hàm nghịch biến nên: 3 1  1 (a – b)  a  b  ≤ 0, a, b 3  3 a b b a  b  a  b , a, b  (1) a 3 3 3 3 b c b c Tương tự: b  c  c  b (2) 3 3 3 3 24 Tài liệu bồi dưỡng HSG c c Mặt khác: 3 a  Tuyển tập Bất đẳng thức a  a 3 b a  c 3 c c (3) a 3 a b c (4)... 8   Tuyển tập Bất đẳng thức x 1 1 1 1  1  1 1  1 1  1 1 1 1            =    (3) x  y  2z 4  2z x  y  4  2z 4  x y   8  z 2x 2y   1 1 1 1 1 1 Vậy:       1 = 1 2x+y+z x  2y  z x  y  2z 4  x yz  Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 3 x = y = z Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 4 43 (Đại học khối... dụng bất đẳng thức Cơsi cho 2 số dương ta có: 37 x x  12   15   12   15   5    4   2  5   4          Tương tự ta có: x x x x  12   15  x       2.3  5   4   x x (1) x  12   20   15   20  x x (2) (3)      2.4      2.5  5   3   4   3  Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2 ta có đpcm Đẳng thức. .. = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ ≥ 3  1 + 3 3 abc  3 a2b2c2 + abc = 1 3 abc  3 Đẳng thức xảy ra  a = b = c > 0 26 (ĐH Y HN 2000)  2 3  2  x+y≥ 2  2   2 3 3  x y      (x  y) = 6(x + y)  x  y x y   2 3  2 6 30 2 Tài liệu bồi dưỡng HSG Giá trị  2 3  6 2 Tuyển tập Bất đẳng thức  2 3  : x : y  x  x y   đạt được    2   2 3 y  x  y   6    2(... 6(ab + bc + ca) – 14 2 2 2 2 2 2  3(a + b + c ) + 4abc ≥ 3(a + b + c ) + 6(ab + bc + ca) – 14 2 = 3(a + b +c) – 14 = 13 Đẳng thức xảy ra  3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c  a = b = c = 1 19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 28 (1) Tài liệu bồi dưỡng HSG Từ giả thiết ta có: 2 3 a Tuyển tập Bất đẳng thức 2  a 3 2  b 3 a b a b a b  = 1  0 < , < 1        = 1 c c c c c c c c   2 3 b 2 3 c  Từ đó suy... y 2z 2x     Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 1 x 3  y 3  xy 1 + x + y  3 3 1.x3 y3 = 3xy  3 Tương tự: Mặt khác 3 1 y3  z3  yz 3 xy  3 yz  3 3 zx  33 xy 1 z3  x3  zx (2); yz 3 3 3 yz 3 zx (3) 3 xy (1) zx 3 3 3   3 3 (4) xy yz zx Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm Đẳng thức xảy ra  (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức  x = y = z = 1 45 (Đại học khối A 2005 dự bị...  6 24 4x  y  z = 6 46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2) Ta có: 1+x=1+ 1+ x x x x3    44 3 3 3 3 3 y y y y y3 =1+    44 3 3 3x 3x 3x x 3 x 38 Tài liệu bồi dưỡng HSG 9 1+ y Tuyển tập Bất đẳng thức 3 =1+ y  3 y  3 y  44 33 y3  9  36   1   164 3  y y   2 y  9  x3 y3 36  Vậy: 1 x   1   1   256 4 3 3 3 3 = 256 x  y  3 3 x y   47 (Đại học khối B 2005 dự bị 1)  Cách... z 1 z  x   3 3 xy yz zx Khi nào đẳng thức xảy ra? 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0 CMR: 46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2) 2  3  y  x   y  x2  xy  y2   2   2    22 Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức f(t) = 3 – 3 t 2 2 = 3(t  1 ) t 2  1 < 0, t   0;   3 Bảng biến thiên: 6 1 3 1 Từ bảng biến thiên ta suy ra: A  10 Dấu "=" . các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2 ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra  (1), (2), (3) là các đẳng thức  x = 0. 44. (Đại học khối D 2005) Áp dụng bất đẳng. a b 2 Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức 17 PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1. (CĐGT II 2003 dự bị) Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR:       2 2 2. 3(a + b +c) 2 – 14 = 13 Đẳng thức xảy ra  3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c  a = b = c = 1. 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức 29 Từ giả thiết ta