Đang tải... (xem toàn văn)
luận văn 1 số bài toán về đường tròn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Lê Bá Cường MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khoái Thái Nguyên - 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH Hà Huy Khoái. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH Hà Huy Khoái, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH, tổ Toán trường THPT Xuân Giang - Sóc Sơn - Hà Nội và các bạn trong lớp Cao học K4C, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn. 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Mở đầu 3 1 Định nghĩa số phức 5 1.1 Sự biểu diễn đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng . . . . . . . . 6 1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân . . . . . . . 6 1.1.4 Dạng đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5 Lũy thừa của số i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.6 Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.7 Mô đun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số . . . . . . . . . 13 1.2.1 Ý nghĩa hình học của một số phức . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Ý nghĩa hình học của môđun . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số . . . . . 15 2 Số phức và hình học 16 2.1 Một vài khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Đoạn thẳng, tia, đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.6 Phép quay một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.7 Điều kiện thẳng hàng, vuông góc và cùng thuộc một đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.8 Tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.9 Tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 3 Hình học giải tích trong số phức 34 3.1 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Phương trình đường thẳng xác định bởi hai điểm . . . . . . 35 3.3 Diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4 Phương trình đường thẳng được xác định bởi điểm đi qua và phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng . 40 3.6 Khoảng cách từ một điểm đến một đương thẳng . . . . . . 41 4 Các bài toán về đường tròn trong số phức 42 4.1 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . . . . . 43 4.3 Góc giữa hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo 49 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài: Là một giáo viên đã dạy môn toán trong trường THPT 12 năm, tôi thấy trong toán học phổ thông hình học là một trong môn học mà nhiều học sinh thấy khó học, nhất là hình học không gian. Để đại số hóa hình học các nhà toán học đã gắn hệ trục tọa độ vào hình học để có hình học giải tích. Khi học về hình học giải tích tôi thấy học sinh dễ học hơn và tiếp thu tốt hơn. Nay số phức lại được bộ giáo dục và đào tao đưa vào dạy ở chương trình THPT, mỗi bài toán về số phức là các bài toán thường mới và rất khó. Liên quan đến các dạng toán này là các bài toán về đường tròn. Mong muốn là có một cách khác nữa để trình bầy về hình học nhờ số phức nên tôi mới chọn đề tài này. Đề tài “ Môt số bài toán về đường tròn” nhằm đáp ứng mong muốn của tôi về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho quá trình giảng dạy của mình ở trường phổ thông. Đề tài liên quan đến nhiều chuyên đề, trong đó có các kiến thức của số phức, các kiến thức của hình học và nhiều kiến thức cơ bản khác. 2.Mục đích nghiên cứu: Hệ thống và tổng quát các bài toán về đường tròn giải bằng số phức và các ứng dụng khác nhau trong trường phổ thông. Nắm được một số kĩ thuật tính toán biến đổi hình học liên quan đến số phức. 3. Nhiệm vụ của đề tài: Đưa ra định nghĩa số phức và các phép toán về số phức một cách tổng quát có ví dụ minh họa kèm theo, ngoài ra đề tài cũng mở rộng mảng kiến thức về số phức với các bài toán về đường tròn giải bằng số phức Thông qua đề tài trang bị cho giáo viên thêm một số nguồn tư liệu 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 trong quá trình dạy học và ngiên cứu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các bài toán hình học về đường tròn trên tập số phức và xét các ứng dụng liên quan. Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của GS – TSKH Hà Huy Khoái, các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, Tạp chí toán học và tuổi trẻ, . 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông. Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy và học các chuyên đề toán trong trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo từ những bài toán cơ bản nhất. 6. Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 4 chương Chương I: Định nghĩa số phức Chương II: Số phức và hình học Chương III: Hình học giải tích trong số phức Chương IV: Các bài toán về đường tròn trong số phức Tuy đã cố gắng nghiên cứu kĩ đề tài và viết luận văn, song khó tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn của các thầy cô và sự đóng góp ý kiến của các bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn của tôi được hoàn chỉnh và có ý nghĩa hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1 Định nghĩa số phức 1.1 Sự biểu diễn đại số của số phức 1.1.1 Định nghĩa số phức Giả thiết ta đã biết định nghĩa và các tính chất cơ sở của tập hợp các số thực R. Ta xét tập hợp R 2 = R × R = {(x, y) |x, y ∈ R }. Hai phần tử (x 1 , y 1 ) và (x 2 , y 2 ) bằng nhau khi và chỉ khi x 1 = x 2 và y 1 = y 2 . Các phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R 2 như sau: z 1 + z 2 = (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ∈ R 2 . Và z 1 .z 2 = (x 1 , y 1 ) . (x 2 , y 2 ) = (x 1 x 2 − y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ) ∈ R 2 , với mọi z 1 = (x 1 , y 1 ) ∈ R 2 và z 2 = (x 2 , y 2 ) ∈ R 2 . Phần tử z 1 + z 2 gọi là tổng của z 1 , z 2 và phần tử z 1 .z 2 ∈ R 2 gọi là tích của z 1 , z 2 . Nhận xét 1.1.1. 1) Nếu z 1 = (x 1 , 0) ∈ R 2 và z 2 = (x 2 , 0) ∈ R 2 thì z 1 z 2 = (x 1 x 2 , 0). 2) Nếu z 1 z 2 = (x 1 x 2 , 0) và z 2 = (0, y 2 ) ∈ R 2 thì z 1 z 2 = (−y 1 y 2 , 0). Định nghĩa 1.1.2. Tập hợp R 2 cùng với các phép toán cộng và nhân được gọi là tập số phức, kí hiệu là C. Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C được gọi là một số phức. Kí hiệu C ∗ để chỉ tập hợp C\{(0, 0)}. 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng (a) Tính giao hoán z 1 + z 2 = z 2 + z 1 với mọi z 1 , z 2 ∈ C. (b) Tính kết hợp (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) với mọi z 1 , z 2 , z 3 ∈ C. Chứng minh. Thật vậy, nếu z 1 = (x 1 , y 1 ) ∈ C, z 2 = (x 2 , y 2 ) ∈ C, z 3 = (x 3 , y 3 ) ∈ C thì (z 1 + z 2 ) + z 3 = [(x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 )] + (x 3 , y 3 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) + (x 3 , y 3 ) = ((x 1 + x 2 ) + x 3 , (y 1 + y 2 ) + y 3 ) Và z 1 + (z 2 + z 3 ) = (x 1 , y 1 ) + [(x 2 , y 2 ) + (x 3 , y 3 )] = (x 1 , y 1 ) + (x 2 + x 3 , y 2 + y 3 ) = (x 1 + (x 2 + x 3 ), y 1 + (y 2 + y 3 )) Những khẳng định trên giống như phép cộng số thực. (c) Phần tử đơn vị: Có duy nhất một số phức 0=(0,0) để z + 0 = 0 + z = z với mọi z = (x, y) ∈ C. (d) Phần tử đối: Mỗi số phức z = (x,y) có duy nhất số phức –z = (-x,-y) sao cho z + (−z) = (−z) + z = 0. Ta dễ dàng kiểm tra các khẳng định (a),(c),(d). Số phức z 1 − z 2 = z 1 + (−z 2 ) được gọi là hiệu của hai số phức z 1 , z 2 . Phép toán z 1 , z 2 trên đối với hai số z 1 , z 2 là số z 1 − z 2 gọi là phép trừ và được định nghĩa như sau: z 1 − z 2 = (x 1 , y 1 ) −(x 2 , y 2 ) = (x 1 − x 2 , y 1 − y 2 ) ∈ C. 1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân Phép nhân các số phức thỏa mãn các tính chất sau: (a) Tính giao hoán: z 1 z 2 = z 2 z 1 với mọi z 1 z 2 = z 2 z 1 . 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 (b) Tính kết hợp: z 1 z 2 = z 2 z 1 với mọi z 1 z 2 = z 2 z 1 . (c) Phần tử đơn vị: Có duy nhất số phức 1 = (1, 0) ∈ C thỏa mãn z.1 = 1.z = z với mọi z ∈ C. Sử dụng biến đổi đại số dễ thấy z.1 = (x,y)(1,0) = (x.1 - y.0,x.0 + y.1) = (x,y) = z. Và 1.z = (1,0)(x,y) = (1.x - 0.y,1.y + 0.x) = (x,y) = z. (d) Phần tử nghịch đảo: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C có duy nhất số phức z −1 = (x , , y , ) ∈ C sao cho z.z −1 = z −1 z = 1. Ta tìm z −1 = (x , , y , ) với chú ý rằng (x, y) = (0, 0) kéo theo x = 0 hoặc y = 0 và hệ quả là x 2 + y 2 = 0. Từ hệ thức z.z −1 = 1 ta có (x, y)(x , , y , ) = (1, 0) hay hệ sau thỏa mãn xx , − yy , = 1 yx , + xy , = 0. Giải hệ phương trình trên ta có x , = x x 2 + y 2 và y , = − y x 2 + y 2 . Vì thế phần tử nghịch đảo của số phức z = (x, y) ∈ C ∗ là: z −1 = 1 z = ( x x 2 + y 2 , − y x 2 + y 2 ) ∈ C ∗ . Bằng cách làm tương tự ta cũng có z −1 z = 1. Hai số phức z 1 = (x 1 , y 1 ) và z = (x, y) ∈ C ∗ xác định duy nhất một số gọi là thương của chúng, kí hiệu là z 1 z , được định nghĩa như sau: z 1 z = z 1 .z −1 = (x 1 , y 1 ).( x x 2 + y 2 , − y x 2 + y 2 ) = ( x 1 x + y 1 y x 2 + y 2 , −x 1 y + y 1 x x 2 + y 2 ) ∈ C Lũy thừa với số mũ nguyên của số phức z ∈ C ∗ được định nghĩa như sau z 0 = 1 ; z 1 = z ; z 2 = z.z và z n = z.z z n lâ n với mọi số nguyên n > 0 và z n = (z −1 ) −n với mọi số nguyên n < 0. 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Mọi số phức z 1 , z 2 , z 3 ∈ C ∗ và mọi số nguyên m,n ta có các tính chất sau 1) z m .z n = z m+n 4) (z 1 z 2 ) n = z 1 n z 2 n 2) z m z n = z m−n 5) z 1 z 2 n = z 1 n z 2 n 3) (z m ) n = z mn Khi z = 0 ta định nghĩa 0 n = 0 với mọi số nguyên n > 0. e)Tính phân phối: z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 với mọi z 1 , z 2 , z 3 ∈ C ∗ Trên đây là những tính chất của phép cộng và phép nhân,thấy rằng tập hợp các số phức cùng với các phép toán trên lập thành một trường. 1.1.4 Dạng đại số của số phức Mỗi số phức được biểu diễn như một cặp số sắp thứ tự, nên khi thực hiện các biến đổi đại số thường không được thuận lợi. Đó là lí do để tìm dạng khác khi viết. Ta sẽ đưa vào dạng biểu diễn đại số mới. Xét tập hợp R × {0} cùng với phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R 2 . Hàm số f : R → R x {0} , f (x) = (x, 0) là một song ánh và ngoài ra (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) và (x, 0).(y, 0) = (xy, 0). Người đọc sẽ không sai lầm nếu chú ý rằng các phép toán đại số trên R × {0}. Đồng nhất với các phép toán trên R; vì thế chúng ta có thể đồng nhất cặp số (x, 0) với số x, với mọi x ∈ R. Ta sử dụng song ánh trên và kí hiệu (x, 0) = x. Xét i = (0, 1) ta có z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1) = x + yi = (x, 0) + (0, 1).(y, 0). Từ trên ta có mệnh đề Mệnh đề 1.1.3. Mỗi số phức có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng z = x + yi, với x,y là các số thực và i 2 = −1. 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... z1 + z2 = (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i = (x1 + x2 ) − (y1 + y2 )i = (x1 − y1 i) + (x2 + y2 i) = z1 + z2 5) Ta có thể viết z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )i = (x1 x2 − y1 y2 ) − (x1 y2 + x2 y1 )i = (x1 − y1 i)(x2 − y2 i) = z1 z2 1 1 6) Vì z = 1 , ta có z z z 7) Ta có z1 z2 = z1 1 z2 1 z = 1 do đó z = (z1 ) 1 z2 = 1, suy ra (z 1 ) = ( z) 1 = (z1 ) 1 (z2 ) = z1... |z1 + z2 | 1 1 1 1 = 1 ta có |z| vì thế z 1 = 1 do đó = z z z |z| = |z| 1 |z1 | z1 1 1 1 = z1 = z1 z2 = |z1 | z2 = |z1 | |z2 | 1 = z2 z2 |z2 | 9) Ta có thể viết |z1 | = |z1 − z2 + z2 | |z1 − z2 | + |z2 | vì thế |z1 | − |z2 | |z1 − z2 | nên ta có 8)Ta có |z1 − z2 | = |z1 + (−z2 )| |z1 | + |z2 | Chú ý :1) Bất đẳng thức |z1 + z2 | |z1 | + |z2 | trở thành đẳng thức khi và chỉ khi Re(z1 z2 ) = |z1... (2 .1) a3 − a1 b3 − b1 Chứng minh Ta có A1 A2 A3 ∼ B1 B2 B3 khi và chỉ khi A1 A2 B1 B2 = và , A1 A3 B1 B3 A3 A1 A2 = B3 B1 B2 a2 − a1 b2 − b1 |a2 − a1 | |b2 − b1 | = v à arg = arg |a3 − a1 | |b3 − b1 | a3 − a1 b3 − b1 b2 − b1 a2 − a1 Ta thu được = a3 − a1 b3 − b1 Điều này đương với 1 1 1 a1 a2 a3 = 0 Chú ý: 1) Điều kiện (2 .1) tương đương với b1 b2 b3 2) Tam giác A1 (0) , A2 (1) , A3 (2i) và B1 (0) ,... +z2 ) (z1 + z2 ) = (z1 +z2 )(z1 +z2 ) = |z1 |2 +z1 z2 +z1 z2 +|z2 |2 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Vì z1 z2 = z1 z2 = z1 z2 nên z1 z2 + z1 z2 = 2 Re(z1 z2 ) Suy ra |z1 + z2 | (|z1 | + |z2 |)2 Vậy |z1 + z2 | 2 |z1 | = |z1 + z2 + (−z2 )| Vì thế |z1 | − |z2 | 7) Từ hệ thức z 2 |z1 z2 | = 2 |z1 | |z2 | |z1 | + |z2 | |z1 + z2 | + |−z2 | = |z1 + z2 |... |z1 − z2 | = |z2 − z3 | = |z3 − z1 |; 2 2 2 c z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ; z2 − z1 z3 − z2 d) = ; z3 − z2 z1 − z2 1 1 z1 + z2 + z3 1 + + = 0, với z = ; e) z − z1 z − z2 z − z3 3 2π 2π f) z1 + εz2 + ε2 z3 z1 + ε2 z2 + εz3 = 0 với ε = cos + i sin 3 3 1 1 1 g) z1 z2 z3 = 0 z2 z3 z1 Chứng minh Tam giác A1 A2 A3 cùng hướng với A2 A3 A1 hoặc là 1 z1 z2 đều khi và chỉ khi A1 A2 A3 đồng dạng và 1. .. Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ) Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ) b Phép nhân z1 z2 = (x1 + y1 i).(x2 + y2 i) = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 ) i ∈ C Ta có Re(z1 z2 ) = Re(z1 ) Re(z2 ) − Im(z1 ) Im(z2 ) Im(z1 z2 ) = Im(z1 ) Re(z2 ) + Im(z2 ) Re(z1 ) Mối số thực λ ,số phức z = x + yi, λz = λ(x + yi) = λx + λyi ∈ C là tích của một số thực với một số phức.Ta có các tính chất sau 1) λ(z1 + z2 ) = λz1... quay quanh A1 góc quay tương tự ta cũng có a) ⇔ c) Ta chứng minh b) ⇔ d) 5π biến A3 thành A2 Làm 3 π π z3 = z1 + cos + i sin (z2 − z1 ) = z1 + 3 3 √ √ 1 1 3 3 = −i z1 + +i z2 2 2 2 2 √ 1 3 +i 2 2 (z2 − z1 ) Vì thế √ √ 3 3 1 1 z2 + − − i z3 z1 + εz2 + ε2 z3 = z1 + − + i 2 2 2 2 √ √ √ √ 3 3 3 3 1 1 1 1 z2 + − − i −i z1 + +i = z1 + − + i 2 2 2 2 2 2 2 2 √ √ 3 1 3 1 z2 − z1 + −i z2 = 0 = z1 + − + i 2... hai số phức là z1 − z2 = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) i → − → − − − Hiệu hai véc tơ → − → = (x1 − x2 ) i + (y1 − y2 ) j v1 v2 − − Vì thế z1 − z2 tương đương với → − → v1 v2 Chú ý: Khoảng cách giữa M1 (x1 ; y1 ) và M2 (x2 ; y2 ) bằng mô đun của số − − phức z1 − z2 hoặc độ dài của véc tơ → − → v1 v2 − − Vậy M M = |z − z | = |→ − →| = (x − x )2 + (y − y )2 v v 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 b) Tích của số thực và số. .. nguyên âm ta có: i 1. 1.6 n = i 1 −n = 1 i 0 Nếu n là số −n = (−i)−n Số phức liên hợp Mỗi số phức z = x + yi đều có số phức z = x − yi, số phức đó được gọi là số phức liên hợp hoặc số phức liên hợp của số phức z Mệnh đề 1. 1.4 1) Hệ thức z = z đúng khi và chỉ khi z ∈ R 2) Mỗi số phức z ta luôn có đẳng thức z = z 3) Mỗi số phức z ,số phức z.z là một số thực không âm 4) z1 + z2 = z1 + z2 (số phức liên hợp... , z2 − z1 , z3 − z1 Ngoài ra M2 M1 M3 = M2 OM3 Sử dụng lại kết quả trên ta có M2 OM3 = arg z3 − z1 Đó là điều phải z2 − z1 chứng minh Chú ý: Sử dụng biểu diễn cực, từ trên ta có kết quả sau z3 − z1 z3 − z1 = z2 − z1 z2 − z1 z3 − z1 = z2 − z1 2.5 cos arg z3 − z1 z2 − z1 + i sin z3 − z1 z2 − z1 cosM2 M1 M3 + i sin M2 M1 M3 Góc giữa hai đường thẳng Cho bốn điểm Mi (z1 ) , i ∈ {1, 2, 3, 4} Số đo góc . Cường MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 011 3 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khoái Thái Nguyên - 2 012 1Số hóa bởi. + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i = (x 1 x 2 − y 1 y 2 ) −(x 1 y 2 + x 2 y 1 )i = (x 1 − y 1 i)(x 2 − y 2 i) = z 1 .z 2 . 6) Vì z. 1 z = 1 , ta có z. 1 z = 1 do đó z. 1 z = 1, suy ra (z 1 ) =. mỗi bài toán về số phức là các bài toán thường mới và rất khó. Liên quan đến các dạng toán này là các bài toán về đường tròn. Mong muốn là có một cách khác nữa để trình bầy về hình học nhờ số