Đang tải... (xem toàn văn)
Vận dụng tham số hóa vào giải phương trình nghiệm nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Cao Xn Nam VẬN DỤNG THAM SỐ HĨA VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Cao Xn Nam VẬN DỤNG THAM SỐ HĨA VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Cơng trình được hồn thành tại Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Ngun Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ Phản biện 1: GS.TSKH Hà Huy Khối Phản biện 2: TS Nguyễn Văn Minh Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Ngun Vào hồi 7 giờ 30 ngày 27 tháng 9 năm 2013 Có thể tìm hiểu luận văn tại trung tâm học liệu Đại học Thái Ngun Và thư viện Trường Đại học Khoa Học Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Tham số hóa một số đồ thị phẳng 5 1.1. Đa thức tối tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Khái niệm đồ thị phẳng trong R 2 . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Tham số hóa đường cơnic . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4. Tham số hóa một vài đồ thị phẳng khác . . . . . . . . . 11 1.5. Định lí Fermat, Định lí Wilson . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Một số dạng phương trình nghiệm ngun 16 2.1. Phương trình Diophantine tuyến tính . . . . . . . . . . 16 2.1.1. Phương trình Diophantine bậc nhất hai ẩn . . . . 16 2.1.2. Phương trình Diophantine tổng qt . . . . . . . 21 2.2. Phương trình Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3. Phương trình Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4. Phương trình Mordell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5. Xây dựng phương trình nghiệm ngun qua tham số hóa 40 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 Danh mục các kí hiệu N được kí hiệu cho tập các số tự nhiên. N ∗ được kí hiệu cho tập các số tự nhiên dương. Z được kí hiệu cho vành các số ngun. Q được kí hiệu cho trường các số hữu tỉ. Q ∗ được kí hiệu cho tập các số hữu tỉ dương. R được kí hiệu cho trường các số thực. C được kí hiệu cho trường các số phức. K được kí hiệu cho một trong ba trường Q, R hoặc C. K ∗ được kí hiệu cho trường mở rộng của K. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 Mở đầu Số học là một phân nhánh tốn học lâu đời nhất và sơ cấp nhất, được hầu hết mọi người thường xun sử dụng từ những cơng việc thường nhật cho đến các tính tốn khoa học. Số học giúp chúng ta có cái nhìn tổng qt, sâu rộng hơn, suy luận chặt chẽ và tư duy sáng tạo. Có thể thấy nhiều bài tốn số học được phát biểu một cách đơn giản đến mức mà hầu hết học sinh phổ thơng đều có thể hiểu được, nhưng lời giải của nó có thể làm đau đầu cả những nhà tốn học xuất sắc. Để hiểu và giải được các bài tốn số học phổ thơng, thơng thường chúng ta chỉ cần rất ít kiến thức tốn học, nhưng lại cần nhiều đến khả năng tư duy, trí thơng minh và một chút năng khiếu tốn học. Chính vì lẽ đó mà Số học là cơng cụ rất tốt để rèn luyện trí thơng minh, tư duy tốn học đồng thời là cơ sở để phát hiện ra các tài năng tốn học. Số học đã trở thành một bộ phận quan trọng trong chương trình giảng dạy tốn ở các lớp chọn và các lớp chun tốn. Trong Số học, các bài tốn về phương trình nghiệm ngun, ngồi phương trình bậc nhất hai ẩn thì hầu hết đều khơng có quy tắc giải tổng qt. Mỗi bài tốn, với số liệu riêng của nó, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Điều đó có tác dụng rèn luyện tư duy tốn học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế mà các bài tốn về Số học nói chung và phương trình nghiệm ngun nói riêng thường xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh (thành phố), Quốc gia, Quốc tế và các đề thi tuyển sinh vào các lớp chọn, chun tốn cũng vậy. Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu về đồ thị phẳng và ứng dụng của nó trong một số bài tốn sơ cấp. Cụ thể tham số hóa một vài đồ thị phẳng, trên cơ sở đó đưa ra hệ thống các bài tập phương trình nghiệm ngun có cùng phương pháp giải, đó là phương pháp tham số hóa. Ngồi ra luận văn còn đề cập một số dạng phương trình nghiệm ngun khác. Ngồi phần Mở đầu, phần Kết luận, nội dung luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Trình bày khái niệm đồ thị phẳng, tham số hóa một vài đồ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 thị phẳng, nêu Định lí Fermat và Định lí Wilson mà việc chứng minh hai định lí này qua biểu diễn đa thức, khơng sử dụng lí thuyết nhóm. Chương 2. Trình bày một số dạng phương trình nghiệm ngun như phương trình Diophantine tuyến tính; phương trình Pell; Phương trình Pythagore; phương trình Mordell và xây dựng phương trình nghiệm ngun qua tham số hóa. Luận văn này được hồn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ - Đại học Sư phạm Hà Nội. Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy. Em xin trân trọng cảm ơn tới các Thầy Cơ trong trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Ngun, phòng Đào Tạo trường Đại học Khoa Học. Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Tốn K5C trường Đại học Khoa Học đã động viên giúp đỡ tơi trong q trình học tập và làm luận văn này. Tơi xin cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu, các đồng nghiệp trường THPT chun Hà Giang đã tạo điều kiện cho tơi học tập và hồn thành kế hoạch học tập. Thái Ngun, ngày 10 tháng 08 năm 2013 Tác giả Cao Xn Nam Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 Chương 1 Tham số hóa một số đồ thị phẳng 1.1. Đa thức tối tiểu Trong mục này K được kí hiệu là một trường con của trường mở rộng K ∗ , trong đó K ∗ có thể là C và K chứa các trường số hữu tỉ Q. Ta gọi K là một trường số. Định nghĩa 1.1. Giả sử K là một trường con của một trường K ∗ . Một phần tử c ∈ K ∗ gọi là đại số trên K nếu c là nghiệm của một đa thức khác 0 lấy hệ tử trong K; c gọi là siêu việt trên K trong trường hợp trái lại. Như vậy ta bảo c là đại số trên K có nghĩa là tồn tại những phần tử a i ∈ K (0 i n) khơng bằng khơng tất cả, sao cho a 0 + a 1 c + . . . + a n c n = 0. Ví dụ 1.1. Trong trường số thực R, √ 2 là đại số trên trường số hữu tỉ Q, π là siêu trên Q. Định lí 1.1. Mỗi phần tử đại số c trên K đều là nghiệm của một đa thức bất khả quy duy nhất f(x) thuộc vành K[x] với hệ số cao nhất bằng 1. Hơn nữa, tất cả các đa thức p(x) ∈ K[x] nhận c làm nghiệm đều phải chia hết cho f(x). Chứng minh. Vì c là phần tử đại số trên K nên tồn tại đa thức f(x) ∈ K[x] nhận c làm nghiệm. Trong số các đa thức nhận c làm nghiệm ta chọn đa thức f(x) bậc thấp nhất với hệ tử cao nhất bằng 1. Nếu f(x) là đa thức khả quy thì f(x) phân tích được thành tích của hai đa thức g(x) và h(x) với bậc lớn hơn 0 và hệ tử cao nhất cũng bằng 1. Khi đó f (x) = g(x)h(x) với 0 < degg, degh < degf. Vì f (c) = 0 nên g(c)h(c) = 0. Vì K ∗ là một trường nên g(c) = 0, chẳng hạn. Như thế có đa thức g(x) với degg < degf nhận c làm nghiệm: mâu thuẫn với việc chọn của f(x). Điều này chỉ ra f(x) là bất khả quy. Tiếp theo, giả thiết p(x) ∈ K[x] nhận c làm nghiệm. Nếu p(x) = 0 thì p(x) chia hết cho f(x). Nếu p(x) = 0 thì ta viết p(x) = q(x)f(x) + r(x) với q(x), r(x) ∈ K[x] và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 degr < degf. Vì f (c) = 0 và p(c) = 0 nên r(c) = 0. Từ việc chọn f(x) suy ra r(x) = 0 hay p(x) chia hết cho f(x). Hệ quả 1.2. Trong vành K[x], phần tử x là phần tử siêu việt trên K. Chứng minh. Ta coi K[x] là một tập con của một trường K ∗ nào đó. Dễ dàng kiểm tra x 0 , x, x 2 , . . . , x n , . . . là độc lập tuyến tính trên K. Nếu x là phần tử đại số trên K thì x là nghiệm của một đa thức f(x) ∈ K[x], f (x) = 0, degf(x) = n > 0. Từ đây suy ra x 0 , x, x 2 , . . . , x n là phụ thuộc tuyến tính trên K: mâu thuẫn. Định nghĩa 1.2. Đa thức bất khả quy f (x) ∈ K[x] với hệ số cao nhất bằng 1 nhận c làm nghiệm được gọi là đa thức tối tiểu của c trên K. các nghiệm c 1 , . . . , c n của đa thức tối tiểu của c được gọi là các liên hợp của c trên K. 1.2. Khái niệm đồ thị phẳng trong R 2 Xét một đồ thị quen biết trong mặt phẳng R 2 cho bởi phương trình sau: () : y 2 = x 2 + x 3 . Đây là một đồ thị đi qua gốc tọa độ O(0; 0). Để mơ tả các điểm khác nữa trên đồ thị, ta thực hiện phép biến đổi bằng cách đặt y = tx và thay nó vào phương trình đồ thị. Ta có t 2 x 2 = x 2 + x 3 . Khi x = 0 ta có điểm O(0; 0). Khi x = 0 ta có điểm (t 2 − 1; t(t 2 − 1)). Điểm này sẽ trở thành điểm gốc tọa độ khi t = 1 hoặc t = −1. Vậy mọi điểm trên đồ thị () có tọa độ (t 2 − 1; t(t 2 − 1)), t ∈ R. Một điều làm ta phải chú ý đó là điểm O(0; 0) sẽ tương ứng với hai giá trị khác nhau của t, còn những điểm khác chỉ tương ứng với một giá trị của t. Định nghĩa 1.3. Giả sử đa thức f = f(x, y) ∈ R[x, y], f = 0. Kí hiệu V (f ) là tập tất cả các điểm (a, b) ∈ R 2 sao cho f(a, b) = 0. Tập V (f) được gọi là một đồ thị phẳng trong R 2 . Ví dụ 1.2. Một vài đồ thị phẳng dưới đây: (i) (P ) : y = x 2 . (ii) ( 1 ) : y 2 = x 3 − x. (iii) ( 2 ) : y 2 = x 3 + x 2 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 7 (iv) ( 3 ) : (x 2 + y 2 ) 2 + 3x 2 y −y 3 = 0. Định nghĩa 1.4. Đồ thị phẳng V (f) được gọi là đồ thị phẳng hữu tỉ nếu có hai hàm hữu tỉ ϕ(t), ψ(t) ∈ R(t) của biến t và cả hai khơng đồng thời thuộc R thỏa mãn f(ϕ(t), ψ(t)) = 0. Đồ thị phẳng hữu tỉ có quan hệ tới việc tìm các nghiệm (a, b) ∈ R 2 của phương trình f (x, y) = 0 hoặc tìm các điểm thuộc đồ thị phẳng với tọa độ là những số hữu tỉ hay xác định những điểm khơng tầm thường với tọa độ ngun thuộc đa tạp Fermat V : x n + y n − z n = 0, n 3. Khi biểu diễn đồ thị phẳng V (f ) qua x = ϕ(t), y = ψ(t) ∈ R(t), ta nói rằng đã tham số hóa được V (f). Việc tham số hóa đồ thị phẳng qua các hàm hữu tỉ như sau: Chọn điểm P ∈ V và viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua P sao cho (d) cắt V tại đúng một điểm thứ hai khác P. Cho () : f(x, y) = 0 với f(x, y) là đa thức bất khả quy. Khi có hai hàm hữu tỉ ϕ(t), ψ(t) của biến t và cả hai khơng đồng thời thuộc R thỏa mãn f(ϕ(t), ψ(t)) ≡ 0 thì điểm (ϕ(t), ψ(t)) được gọi là khơng điểm tổng qt của (). Ta thêm ∞ vào R và coi nó như một phần tử. Ta định nghĩa ϕ(∞) = lim t→∞ ϕ(t) và ψ(∞) = lim t→∞ ψ(t). Khi đó tọa độ các điểm của () với tọa độ thuộc R ∪ {∞} sẽ có dạng (ϕ(t); ψ(t)), t ∈ R ∪ {∞}. Việc tìm khơng điểm tổng qt của () gắn liền với vấn đề giải phương trình f(x, y) = 0 trên Q hay phương trình z d f( x z , y z ) = 0 trên Z, ở đó d = deg f(x, y). Định nghĩa 1.5. Cho đồ thị phẳng bất khả quy (). Những điểm thuộc () với tọa độ thuộc Q được gọi là những điểm hữu tỉ của (). 1.3. Tham số hóa đường cơnic Mệnh đề 1.3. Đường thẳng d : ax + by + c = 0 được tham số hóa bởi x = x 0 + bt y = y 0 − at t ∈ R với ax 0 + by 0 + c = 0. Mệnh đề 1.4. Đường tròn (C) : x 2 + y 2 = 1 là đồ thị phẳng hữu tỉ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 33 2.3 Phương trình Pythagore Định nghĩa 2.4 Phương trình x2 + y 2 = z 2 trong Z được gọi là phương trình Pythagore Nghiệm của phương trình này được gọi là bộ ba Pythagore Ta thấy ngay tập nghiệm của phương trình này là một tập vơ hạn vì (3t, 4t, 5t) với t ngun đều là nghiệm của phương trình này Khi (x0 , y0 , z0 ) là nghiệm của phương trình. .. Vậy, số nghiệm ngun khơng âm của hệ phương nk trình đã cho là S(m, n) = s=2 2.2 s−1 Cs n+s−1 Cm+s−2 nk = s=n s−1 Cs n+s−1 Cm+s−2 Phương trình Pell Trong mục này ta xét phương trình Diophantine bậc hai có dạng x2 − dy 2 = 1 (2.11) trong đó d là một số ngun dương cho trước Một phương trình như vậy được gọi là phương trình Pell Nếu d là số chính phương d = m2 thì phương trình (2.11) trở thành Số hóa bởi... là các số ngun dương Tính số nghiệm ngun khơng âm của phương trình x1 + x2 + · · · + xn = k (2.7) Lời giải Kí hiệu số nghiệm ngun khơng âm của phương trình (2.7) là Nn (k) Ta có N1 (k) = 1 Tính N2 (k), tức là tính số nghiệm ngun khơng âm của phương trình x1 +x2 = k Phương trình này có các nghiệm (0, k), (1, k − 1), · · · , (k, 0) nên N2 (k) = k + 1 = Ck Để tính Nn (k), ta k+1 chú ý rằng phương trình. .. đề giải phương trình Pell x2 − dy 2 = 1 trở thành việc xác định nghiệm nhỏ nhất (x1 ; y1 ) Để có nghiệm nhỏ nhất, thường Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 29 xác định một nghiệm dương (x0 ; y0 ) Kiểm tra x1 ∈ {1, 2 , x0 } và số x2 − 1 1 ngun khơng âm y1 thỏa mãn y1 = Chúng ta có thể xem d những phương pháp xác định nghiệm nhỏ nhất trong giáo trình số học hay phương trình nghiệm. .. trình nghiệm ngun Ví dụ 2.5 Giải phương trình Pell x2 − 5y 2 = 1 x2 − 1 1 Lời giải Kiểm tra x1 ∈ {1, 2 , 9} và y1 = ∈ N Ta chỉ có 5 x1 = 9, y1 = 4 Do đó (9; 4) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình đã cho Mọi nghiệm (xn ; yn ) của phương trình đã cho thỏa mãn hệ thức √ √ xn + yn 5 = (9 + 4 5)n Ví dụ 2.6 Giải phương trình sau trên tập N : (x + 1)3 − x3 = y 2 Lời giải Phương trình đã cho tương đương... = 1 (2.16) Vậy n là số thỏa mãn bài ra khi và chỉ khi n = y 2 − x2 , ở đó (x; y) là nghiệm của phương trình (2.16) Đặt x = u+2v, y = u+3v Khi đó phương trình (2.16) trở thành phương trình Pell u2 − 6v 2 = 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.17) 31 Nghiệm nhỏ nhất của phương trình (2.17) là (u1 ; v1 ) = (5; 2) Từ đó suy ra các nghiệm (um ; vm ) của phương trình (2.17) được tính... (x1 , , xn ) với các hệ số là các số hữu tỉ hoặc các số ngun Phương trình f (x1 , , xn ) = 0 được gọi là phương trình Diophantine Giải phương trình Diophantine f (x1 , , xn ) = 0 tức là tìm tất cả các số hữu tỉ, các số ngun hay các số ngun khơng âm α1 , , αn để sao cho f (α1 , , αn ) = 0 Cho b, a1 , a2 , , an ∈ Z và các số ai khơng đồng thời bằng 0 Phương trình dạng a1 x1 + a2 x2 +... tính 2.1.1 Phương trình Diophantine bậc nhất hai ẩn Định nghĩa 2.1 Phương trình Diophantine tuyến tính bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c (2.1) trong đó a, b, c là các số ngun cho trước khác 0, các giá trị x, y cũng nhận các giá trị ngun Giải phương trình Diophantine (2.1) tức là tìm các cặp số ngun (x; y) thỏa mãn phương trình (2.1) Định lí 2.1 a) Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.1)... là nghiệm ngun của phương trình (2.4) Ta nhận thấy 65 và 5x đều chia hết cho 5 nên 11y do đó y Đặt y0 = 5t0 , t0 ∈ Z và thay 5 5 vào phương trình (2.4) ta được ⇔ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu 5x0 + 11.5t0 = 65 x0 + 11t0 = 13 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 19 Do đó x = 13 − 11t y = 5t trong đó t là số ngun tùy ý Đảo lại thay các biểu thức của x và y vào phương trình (2.4) ta được nghiệm đúng Vậy phương. .. nghiệm x=t c y = − qt b t ∈ Z Nếu r > 0 thì thực hiện phép gán a := b, b := r, x := qx + y, y := x Ví dụ 2.2 Giải phương trình nghiệm ngun sau: 77x + 25y = 3 Lời giải Chia 77 cho 25 ta được: 77 = 25.3 + 2 Đặt x1 = 3x + y, y1 = x, ta được phương trình: 25x1 + 2y1 = 3 Chia 25 cho 2 ta được: 25 = 12.2 + 1 Đặt x2 = 12x1 + y1 , y2 = x1 , ta được phương trình: 2x2 + y2 = 3 Phương trình cuối cùng có các nghiệm . thức, khơng sử dụng lí thuyết nhóm. Chương 2. Trình bày một số dạng phương trình nghiệm ngun như phương trình Diophantine tuyến tính; phương trình Pell; Phương trình Pythagore; phương trình Mordell. đưa ra hệ thống các bài tập phương trình nghiệm ngun có cùng phương pháp giải, đó là phương pháp tham số hóa. Ngồi ra luận văn còn đề cập một số dạng phương trình nghiệm ngun khác. Ngồi phần. THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Cao Xn Nam VẬN DỤNG THAM SỐ HĨA VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI