Đang tải... (xem toàn văn)
Vận dụng đại số tuyến tính vào giải phương trình hàm trên n
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ VĂN TUẤN VẬN DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN N LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - Năm 2013 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Ma trận 4 1.1 Ma trận và định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Ma trận và phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Định thức và tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Đại số Matn(K) các ma trận vuông cấp n . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.4 Vectơ riêng, giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Chéo hóa ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Vành ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.3 Phương trình đặc trưng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.4 Chéo hóa ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Xây dựng phương trình hàm trên N 24 2.1 Giá trị riêng của hàm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1 Giá trị riêng của hàm đa thức của A . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Giá trị riêng của hàm hữu tỷ của A . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Xét dãy số qua phép nhân ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Phương trình hàm trên N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Xây dựng phương trình hàm từ bài toán đã biết . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Tài liệu tham khảo 54 Mở đầu Phương trình hàm là một vấn đề khó, nhưng được nhiều người quan tâm. Phương trình hàm thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia và đề thi quốc tế. Trong quá trình dạy học, chúng tôi cũng đã giải hoặc xây dựng một vài phương trình hàm. Luận văn đặt vấn đề xây dựng một số phương trình hàm trên tập N qua một số kết quả đã đạt được trong Đại số tuyến tính. Bài toán xác định những hàm số f(x) thoả mãn một số tính chất T 1 , . . . , T n nào đó được gọi là phương trình hàm. Giải phương trình hàm tức là tìm tất cả những hàm f(x) thoả mãn tất cả những tính chất T 1 , . . . , T n . Khi giải phương trình hàm, với mỗi tính chất T k ta tìm cách tiến dần đến hàm số cần tìm. Với hàm số tìm được ta kiểm tra lại xem nó có thoả mãn tất cả những tính chất T k hay không? Thường giải phương trình hàm được đưa về giải hệ phương trình hay một dãy truy hồi. Từ những kết quả đã đạt được về đa thức hoặc hàm liên tục ta có thể dễ dàng giải được bài toán. Trong luận văn này chúng tôi sử dụng một số kết quả của đại số tuyến tính vào xây dựng phương trình hàm trên tập tự nhiên N. Nội dung luận văn này gồm có hai chương: Chương I, trình bày khái niệm ma trận và phép toán, định thức và các tính chất của định thức, đại số Matn(K), các ma trận vuông cấp N, vectơ riêng, giá trị riêng, vành ma trận, ma trận nghịch đảo, phương trình đặc trưng của ma trận, chéo hoá ma trận vuông. Chương II, trình bày khái niệm giá trị riêng của hàm ma trận, xét dãy truy hồi qua phép nhân ma trận, ứng dụng xây dựng và giải phương trình hàm trên tập N. Luận văn có sử dụng một số phương trình hàm của thầy giáo hướng dẫn. Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ - Đại học Sư Phạm Hà Nội. Em xin được bày tỏ 2 lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và chỉ bảo hướng dẫn của Thầy. Em xin trân trọng cảm ơn tới các Thầy, Cô trong Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học. Đồng thời tôi xin cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Quảng Ninh, Ban Giám hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Cô Tô - Huyện Cô Tô đã tạo điều kiện cho tôi học tập và hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, ngày 16 tháng 8 năm 2013 Tác giả Ngô Văn Tuấn 3 Chương 1 Ma trận 1.1 Ma trận và định thức 1.1.1 Ma trận và phép toán Định nghĩa 1.1.1. Một bảng gồm m.n số được viết thành m dòng, n cột như sau: a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2j . . . a 2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 a i2 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mj . . . a mn (1.1) được gọi là một ma trận kiểu (m, n). Mỗi số a ij được gọi là một thành phần của ma trận. Nó nằm ở dòng thứ i và cột thứ j. Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ in hoa: A, B Có thể viết ma trận (1.1) một cách đơn giản bởi A = (a ij ) (m,n) Khi đã biết rõ m và n thì còn có thể viết là A = (a ij ). Nếu ma trận chỉ có một dòng (một cột) thì ta gọi nó là ma trận dòng (ma trận cột). Nếu m = n thì ma trận được gọi ma trận vuông cấp n và viết A = (a ij ) (n) . 4 Định nghĩa 1.1.2. Ta gọi ma trận a 11 a 21 . . . a i1 . . . a m1 a 12 a 22 . . . a i2 . . . a m2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1j a 2j . . . a ij . . . a mj . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1n a 2n . . . a in . . . a mn là ma trận chuyển vị của ma trận (1.1) và kí hiệu là t A. Như vậy ma trận t A thu được từ A bằng cách đổi dòng thứ i của A thành cột thứ i của t A và nếu A là ma trận kiểu (m, n) thì ma trận chuyển vị t A là ma trận kiểu (n, m). Các phép toán trên các tập ma trận Ta đã biết trên tập hợp Hom K (V, W) có phép cộng hai ánh xạ tuyến tính và phép nhân một ánh xạ tuyến tính với một số. Hơn nữa, khi đã cố định hai cơ sở của V và W , ta có song ánh Φ : Hom K (V, W) −→ Mat (m,n) (K). Bây giờ ta muốn định nghĩa các phép toán trên các ma trận sao cho "phù hợp" với các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính. Chẳng hạn ma trận của tổng hai ánh xạ phải bằng tổng hai ma trận của những ánh xạ ấy. Phép cộng hai ma trận Mệnh đề và định nghĩa: Giả sử A = (a ij ) (m,n) và B = (b ij ) (m,n) lần lượt là các ma trận của ánh xạ tuyến tính f, g ∈ Hom K (V, W) đối với hai cơ sở (ε) và (ξ) đã chọn trong V và W . Thế thì ma trận của ánh xạ tuyến tính f + g đối với hai cơ sở ấy là C = (a ij + b ij ) (m,n) . Ma trận C được gọi là tổng của hai ma trận A và B kí hiệu là A + B Chứng minh. Theo giả thiết f(ε j ) = m i=1 a ij ξ i , g(ε) j = m i=1 b ij ε i , ∀j ∈ {1, 2, 3, . . . , n}. 5 Do đó: (f + g)(ε j ) = f(ε j )+g(ε j ) = m i=1 a ij ξ i + m i=1 b ij ξ i = m i=1 (a ij + b ij ) ξ i , với mọi j ∈ {1, 2, . . . , n}. Vậy ma trận của f + g đối với hai cơ sở đã cho là (a ij + b ij ) (m,n) . Quy tắc cộng ma trận: Muốn cộng hai ma trận ta chỉ việc cộng các thành phần tương ứng (cùng dòng, cùng cột) của chúng: (a ij ) (m,n) + (b ij ) (m,n) = (a ij + b ij ) (m,n) . Phép nhân ma trận với một số Mệnh đề và định nghĩa: Giả sử A = (a ij ) (m,n) là ma trận của ánh xạ tuyến tính f ∈ Hom K (V, W) đối với hai cơ sở (ε) và (ξ) đã chọn trong V và W , k ∈ K. Thế thì ma trận của ánh xạ tuyến tính f.g đối với hai cơ sở ấy là C = (ka ij ) (m,n) . Ma trận C được gọi là tích của hai ma trận A với số k, kí hiệu là kA. Quy tắc nhân ma trận với một số: Muốn nhân một ma trận A với một số k ta chỉ việc nhân số k với mọi thành phần của A. Phép trừ hai ma trận Định nghĩa 1.1.3. Ma trận (−1)A được gọi là đối của ma trận A. Kí hiệu là −A. Với ma trận A và B, tổng A + (-B) được gọi là hiệu của A và B. Kí hiệu là A - B. Như vậy, với A = (a (ij) ) (m,n) và B = (b ij ) (m,n) ta có: −B = (−b ij ) (m,n) , A − B = (a ij − b ij ) (m,n) Tích của hai ma trận Mệnh đề 1.1.1. Giả sử trong mỗi không gian U, V, W đã chọn một cơ sở cố định, A = (a (ij) ) (m,n) là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V −→ W, B = (b (ij) ) (n,p) là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : U −→ V. Thế thì ma trận của ánh xạ tuyến tính fg là ma trận C = (c (ik) ) (m,p) , trong đó c ik = m j=1 (a ij b jk ) 6 Ma trận C được gọi là tích của hai ma trận A và B, kí hiệu là AB. Chứng minh. Giả sử (ε) = {ε 1 ε 2 . . . ε p } là cơ sở của U, (ξ) = { ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n } là cơ sở của V, (ξ) = { ξ 2 , . . . , ξ m } là cơ sở của W . Theo định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính, ta có: f(ξ j ) = m i=1 a ij ζ i , g(ε k ) = m j=1 b ij ξ j , fg(ε k ) = m i=1 c ik ζ i . Do đó fg(ε k ) = n j=1 b jk f( ξ j ) = n i=1 b jk m i=1 a ij ζ j = m i=1 ( n j=1 a ij b jk ) ζ i . Vậy: m i=1 c ik ζ i = m i=1 ( n j=1 a ij b jk ) ζ i . Vì hệ (ζ) độc lập tuyến tính nên c ik = m j=1 a ij b jk . Quy tắc nhân hai ma trận: Muốn tìm thành phần c ik của một ma trận tích AB ta phải lấy mỗi thành phần a ij của dòng thứ i trong ma trận A nhân với thành phần b jk của cột thứ k của ma trận B rồi cộng lại. Chú ý. 1) Theo định nghĩa tích AB chỉ được xác định khi số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B. 2) Phép nhân ma trận không có tính giao hoán. Mệnh đề 1.1.2. Với các ma trận A, B, C và mọi số k ∈ K, ta có các đẳng thức sau (nếu các phép toán có nghĩa): 1) Tính kết hợp: (AB)C = A(BC); 2) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC; 3) k(AB) = (kA)B = A(kB). 7 1.1.2 Định thức và tính chất của định thức Định nghĩa 1.1.4. Với ma trận vuông a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2j . . . a 2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 a i2 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 . . . a nj . . . a nn ta gọi tổng D = s∈S (n) sgn(s)a 1s (1) a 2s (2) . . . a is (i) . . . a ns (n) là định thức của ma trận A và kí hiệu bởi a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 a i2 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 . . . a nj . . . a nn hay |A| hay det(A). Trong cách kí hiệu này ta cũng nói mỗi a ij là một thành phần, các thành phần a i1 , a i2 , . . . , a in tạo thành dòng thứ i, các thành phần a 1j , a 2j , . . . , a nj tạo thành cột thứ j của định thức. Khi ma trận A có cấp n ta cũng nói |A| là một định thức cấp n. Ta thấy, mỗi hạng tử của định thức cấp n là một tích của n thành phần cùng với một dấu xác định, trong mỗi tích không có hai thành phần nào cùng dòng hoặc cùng cột. Tính chất 1.1.1. Nếu định thức D = a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 + a i1 a i2 + a i2 . . . a ij + a ji . . . a in + a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 . . . a nj . . . a nn 8 mà mọi thành phần ở dòng thứ i đều có dạng a ij = a ij + a ” ij thì D = a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 a i2 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 . . . a nj . . . a nn + a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 a i2 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 . . . a nj . . . a nn Chứng minh. Kí hiệu hai định thức ở vế phải lần lượt là D và D . Theo định nghĩa định thức ta có: D = σ∈S (n) sgn(σ)a 1σ (1) a 2σ (2) . . . (a iσ (i) + a iσ (i) ) . . . a nσ (n) = σ∈S (n) sgn(σ)a 1σ (1) . . . a iσ (i) . . . a nσ (n) + σ∈S (n) sgn(σ)a 1σ (1) . . . a ” iσ (i) . . . a nσ (n) = D + D . Tính chất 1.1.2. Nếu mọi thành phần ở dòng thứ i của định thức có thừa số chung c thì có thể đặt c ra ngoài dấu định thức, tức là: a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca i1 ca i2 . . . ca ij . . . ca in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 . . . a nj . . . a nn = c a 11 a 12 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a i1 a i2 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 . . . a nj . . . a nn Chứng minh. Kí hiệu định thức ở vế trái bởi D , ở vế phải bởi D, ta có: D = σ∈S (n) sgn(σ)a 1σ (1) . . . ca iσ (i) . . . a nσ (n) = σ∈S (n) sgn(σ)a 1σ (1) . . . a nσ (n) = cD. 9 [...]... )] n 2 = −11a2 + 11an−2 [2an−2 + 3an−1 ] n 1 = 11an−2 an − 11a2 = (−1 )n 2 11. 2n n 1 Vậy an+1 an−1 an+2 an−2 = [a2 − 2(−1 )n 2n ][a2 + 9(−1 )n 2n ] Từ đây suy ra n n 2 2n+ 1 2 hệ thức an+1 an−1 an+2 an−2 + 9.2 = an an + (−1 )n 7. 2n và như thế khi n là số nguy n dương ch n có an+1 an−1 an+2 an−2 + 9.2 2n+ 1 chia hết cho a2 n n 2 và an + 7.2 n Ví dụ 2.2.9 Với số nguy n dương n, hãy tính tổng T = (ak bk−1 −... an+2 an−2 − an+1 an−1 = (3an−1 + 2an−2 )an−2 − an+1 an−1 = 2a2 + an−1 [3an−2 − an+1 ] n 2 = 2a2 + an−1 [2an−2 − 2an−1 ] n 2 = −2a2 + an−2 [2an−2 + 2an−1 ] n 1 = 2an−2 an − 2a2 = 2(−1 )n n 1 Vậy a4 = [an+1 an−1 + (−1 )n ][an+2 an−2 − (−1 )n ] = an+1 an−1 an+2 an−2 + 1 n (iii) Vì a2 + a2 + · · · + a2 = an an+1 n n a2 + a2 + · · · + a2 lu n lu n là hợp 0 1 n 0 1 n số khi n 2 29 (iv) N u an +1 = p là số nguy n. .. c0 cn 1 − 2n n an n2 + n 1 bn = n n2 − n + 1 hay ta nh n được 2 2 3 cn − 2n 2n2 − 2n n2 + n + 1 an = 1 − n n2 − 3n + 4 Việc kiểm tra a2 + an + 1 = cn = 2bn − 1 với bn = n 2 c = n2 − 3n + 3, n 0 n mọi số nguy n n 0 là tầm thường 2 0 0 Ví dụ 2.2.5 [Vô địch sinh vi n 1996] Cho ma tr n A = 0 3 0 0 1 2 a11 (n) a12 (n) a13 (n) a22 (n) n Giả sử A = a21 (n) a22 (n) a23 (n) Xác định... Ln+1 = Ln + Ln−1 với mọi n 1 Chứng minh rằng (i) L 2n = L2 − 2(−1 )n và L 2n 1 = Ln Ln−1 − (−1 )n n (ii) a 2n = an Ln , ở đó (an ) là dãy số Fibonacci 1 1 1 0 (iii) n+ 1 1 2 2 −1 Ln+1 Ln Ln Ln−1 = ,n 1 (iv) Ln+1 Ln−1 = L2 + 5(−1 )n 1 n n Li = Ln+2 − 3 (v) i=1 √ 1+ 5 Ln+1 = (vi) lim n ∞ Ln 2 (vii) Xác định công thức đóng cho dãy số Lucas 2 (viii) Ln Ln+1 − 5Fn Fn+1 = 2(−1 )n với L2 − 5Fn = 4(−1 )n , trong... Fn+1 = Ln + 5Fn Lấy Ví dụ 2.2.8 Xét dãy a0 = a1 = 1 và an+2 = 3an+1 + 2an với n 0 Chứng minh rằng an+1 an−1 an+2 an−2 + 9.2 2n+ 1 chia hết cho a2 và a2 + 7. 2n khi n n n là số nguy n dương ch n Bài giải (i) Biểu di n an+1 an = 3 2 1 0 n an+1 an 1 1 ,n = 3 2 1 0 1 Đặt 31 an an−1 3 2 1 0 Như vậy ta có n 1 = a b c d Ta nh n được biểu di n Vậy an+1 an = an an−1 5a + b 5c + d = và a+b an+1 , an c+d an+1... 1 Bài giải Đặt an = f (n) , bn = f (n 1), n 1 Khi đó an+1 = 7an − 6bn bn+1 = an , n 0 Do an+1 + tbn+1 = 7an − 6bn + tan = (7 + t)an − 6bn n n ta sẽ ch n t sao cho (7+t)t = −6 Từ đó t1 = −1 và t2 = −6 Xét an+1 +tbn+1 = (7+t)(an +tbn ) và có an+1 + tbn+1 = (7 + t )n (a1 + tb1 ) Thay t = −1 và t = −6 được hệ phương trình tuy n tính sau: an − bn = −2. 6n 1 an − 6bn = −7 Vậy f (n) = an = bn+1 −2. 6n + 7 với... = 0 Tính chất 1.1.5 N u định thức có hai dòng mà các thành ph n (cùng cột) tương ứng tỉ lệ thì định thức ấy bằng 0 Tính chất 1.1.6 N u nh n mỗi thành ph n ở dòng thứ i với cùng một số rồi cộng vào thành ph n cùng cột ở dòng thứ k thì được một định thức mới bằng định thức đã cho Chứng minh Cho a11 ak1 D = ah1 an1 a12 ak2 ah2 an2 a1j akj ahj anj a 1n akn ahn ann Giả sử nh n mỗi... an = an an−1 a c 5a + b 5c + d b 5 1 d a+b = c+d = n 1 a b 5 1 an+1 an 3 2 5 1 hay = 1 0 1 1 an an−1 1 1 Lấy định c d thức ở hai vế để có được đồng nhất thức an+1 an−1 − a2 = (−1 )n 1 2n+ 1 n (ii) Hi n nhi n an+2 = 39an−1 + 22an−2 và an+1 = 11an−1 + 6an−2 Vậy an+2 an−2 − an+1 an−1 = (39an−1 + 22an−2 )an−2 − an+1 an−1 = 22a2 + an−1 [39an−2 − an+1 ] n 2 = 22a2 + an−1 [39an−2 − (11an−1 + 6an−2 )] n 2... (n2 − 3n + 2) 3n n (n − 1) 3n 2 2 n 2 n 1 hay A = E + ( 2n − n )3 A + A Từ 2 2 3 21 12 (n2 − 3n + 2) 3n n 2 n 1 0 2 1 đây suy ra A = E + ( 2n − n )3 + 2 0 −1 4 n n n 1 27 n( n − 1) 3n 2 9 93 105 0 3 6 và được a (n) = 3n , b (n) = (3 − n) 3n 1 , 2 0 −6 15 c” (n) = (3 + n) 3n 1 Do đó a (n) + b (n) + c” (n) = 3n+ 1 Ví dụ 2.2.4 Xét ba dãy (an ), (bn ), (cn ) và a0 = 1, b0 = 2, c0 = 3 với an+1 = an − 2bn + cn bn+1... − , f (n + 1) = với mọi n 0 và xác định 14077 7 4 + 7f (n) lim f (n) n +∞ un+1 un Bài giải Đồng bậc hoá qua việc đặt f (n) = ,n 1 Khi đó = vn vn+1 vn , n 1 Có thể ch n dãy (un ), (vn ) thoả m n u1 = 2011, v1 = 1 4vn + 7un un+1 = vn và Xét vn+1 + tun+1 = 4vn + 7un + tvn = vn+1 = 4vn + 7un , n 1 √ (4 + t)vn + 7un Ch n t sao cho t(t + 4) = 7 hay t nh n −2 ± 11 và vn+1 + tun+1 = (t + 4)(vn + tun ) = · . ĐẠI HỌC THÁI NGUY N TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ V N TU N V N DỤNG ĐẠI SỐ TUY N TÍNH VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TR N N LU N V N THẠC SĨ TO N HỌC Chuy n ngành: PHƯƠNG PHÁP TO N SƠ CẤP MÃ SỐ:. v n này chúng tôi sử dụng một số kết quả của đại số tuy n tính vào xây dựng phương trình hàm tr n tập tự nhi n N. N i dung lu n v n này gồm có hai chương: Chương I, trình bày khái niệm ma tr n. cũng đã giải hoặc xây dựng một vài phương trình hàm. Lu n v n đặt v n đề xây dựng một số phương trình hàm tr n tập N qua một số kết quả đã đạt được trong Đại số tuy n tính. Bài to n xác định những