Đang tải... (xem toàn văn)
Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN QUYỀN HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ LOẠI ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Thái Nguyên, năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục 1 Bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu 7 1.1. Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Một số tính chất hình học của không gian . . . . . 7 1.1.2 Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Phiếm hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Bất đẳng thức biến phân đơn điệu . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm . . . 19 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu 26 2.1. Bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc chính xác . . 26 2.1.1. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 26 2.1.2. Tham số hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc xấp xỉ . . . 34 2.2.1. Bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh . . . . . . . . 34 2.2.2. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 35 2.3. Bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 2.3.1. Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.2. Sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . 40 Kết luận chung 42 Tài liệu tham khảo 44 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 MỞ ĐẦU Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là ., A : X → X ∗ là toán tử đơn điệu đơn trị và K là một tập con lồi đóng của X. Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu được phát biểu như sau: với f ∈ X ∗ cho trước, hãy tìm phần tử x 0 ∈ K sao cho Ax 0 − f, x − x 0 ≥ 0, ∀x ∈ K, (0.1) ở đây x ∗ , x là kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x ∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Nếu K ≡ X thì bài toán (0.1) có dạng phương trình toán tử Ax = f. (0.2) Bất đẳng thức biến phân đơn điệu (0.1) là lớp bài toán nảy sinh từ nhiều vấn đề của toán học ứng dụng như phương trình vi phân, các bài toán vật lý toán, tối ưu hóa. Ngoài ra nhiều vấn đề thực tế như bài toán cân bằng mạng giao thông đô thị, mô hình cân bằng kinh tế vv đều có thể mô tả được dưới dạng của một bất đẳng thức biến phân đơn điệu. Rất tiếc rằng bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, nói chung, lại là một bài toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện đầu vào. Do đó việc giải số của bài toán này gặp khó khăn, lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến sai số bất kì trong lời giải. Vì thế, người ta phải sử dụng những phương pháp giải ổn định sao cho khi sai số của dữ kiện càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu. Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi và rất có hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Tikhonov. Bằng phương pháp này, I. P. Ryazantseva [4] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu (0.1) trên cơ sở tìm phần tử x h,δ α ∈ K sao cho A h x h,δ α + αJ(x h,δ α ) − f δ , x − x h,δ α ≥ 0, ∀x ∈ K, (0.3) trong đó (A h , f δ ) là xấp xỉ của (A, f), A h là toán tử đơn điệu từ X vào X ∗ , J : X → X ∗ là ánh xạ đối ngẫu của X, α > 0 là một tham số dương (gọi là tham số hiệu chỉnh) phụ thuộc vào h và δ. Nếu toán tử nhiễu A h không đơn điệu thì bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (0.3) có thể không có nghiệm. Trong trường hợp này Liskovets [3] đã đưa ra bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh dạng A h x τ α + αJ(x τ α ) − f δ , x − x τ α ≥ −νg(x τ α )x − x τ α , ∀x ∈ K, x τ α ∈ K, (0.4) ở đây ν ≥ h, τ = (h, δ). Trong rất nhiều bài toán thực tế tập ràng buộc K của bất đẳng thức biến phân (0.1) lại được cho xấp xỉ. Do đó việc hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân (0.1) trong trường hợp này cũng đặc biệt được quan tâm nghiên cứu. Mục đích của luận văn nhằm trình bày kết quả trong [1], [3], [4] về hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân (0.1) đơn điệu với tập ràng buộc chính xác và tập ràng buộc được cho xấp xỉ đồng thời trình bày phương pháp hiệu chỉnh trong trường hợp toán tử nhiễu không đơn điệu trên cơ sở sử dụng ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của X làm thành phần hiệu chỉnh. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu khái niệm và kết quả của toán tử đơn điệu cực đại trong Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 không gian Banach phản xạ thực X, giới thiệu về bất đẳng thức biến phân đơn điệu, trình bày sự tồn tại và tính chất của tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân đơn điệu. Mối liên hệ của bất đẳng thức biến phân đơn điệu và bài toán cực tiểu hàm lồi được trình bày trong phần cuối của chương. Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh, sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh, cách chọn tham số hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc chính xác. Trong phần thứ hai của chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc xấp xỉ và phần cuối của chương là kết quả về bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn điệu của Liskovets. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thày, cô công tác tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua. Tôi cũng xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Tác giả Nguyễn Văn Quyền Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT H không gian Hilbert thực X không gian Banach thực X ∗ không gian liên hợp của X R n không gian Euclide n chiều ∅ tập rỗng x := y x được định nghĩa bằng y ∀x với mọi x ∃x tồn tại x inf x∈X F (x) infimum của tập {F (x) : x ∈ X} I ánh xạ đơn vị A T ma trận chuyển vị của ma trận A a ∼ b a tương đương với b A ∗ toán tử liên hợp của toán tử A D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền giá trị của toán tử A x k → x dãy {x k } hội tụ mạnh tới x x k x dãy {x k } hội tụ yếu tới x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Chương 1 Bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu 1.1. Toán tử đơn điệu cực đại Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là ., kí hiệu x ∗ , x là giá trị của phiếm hàm tuyến tính liên tục x ∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Các khái niệm và kết quả trong phần này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2] và [5]. 1.1.1 Một số tính chất hình học của không gian Định nghĩa 1.1. Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu mặt cầu đơn vị S = {x ∈ X : x = 1} của X là lồi chặt, tức là từ x, y ∈ S kéo theo x + y < 2. Ví dụ 1.1. Không gian L p [a, b], 1 < p < ∞ là một không gian lồi chặt. Định nghĩa 1.2. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại một số δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X thỏa mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 x ≤ 1, y ≤ 1, x − y = ε thì bất đẳng thức x + y ≤ 2(1 − δ) đúng. Ví dụ 1.2. Không gian Hilbert là không gian lồi đều. Định nghĩa 1.3. Không gian Banach thực X được gọi là không gian có tính chất Ephimov-Stechkin (hay không gian có tính chất E-S) nếu X phản xạ và trong X sự hội tụ yếu các phần tử x n x và sự hội tụ chuẩn x n → x luôn kéo theo sự hội tụ mạnh x n − x → 0 . Ví dụ 1.3. Không gian Hilbert là không gian có tính chất E-S. 1.1.2 Toán tử đơn điệu cực đại Cho toán tử đơn trị A : X → 2 X ∗ , như thường lệ ta ký hiệu miền hữu hiệu của A là D(A), miền giá trị của A là R(A) và đồ thị của A là GrA. Theo định nghĩa ta có: D(A) = domA := {x ∈ X : Ax = ∅}, R(A) := {y ∈ Y ∗ : y = Ax, x ∈ D(A)}, GrA := {(x, y) : y ∈ Ax, x ∈ X}. Định nghĩa 1.4. Một tập G ⊆ X × X ∗ được gọi là đơn điệu nếu bất đẳng thức f − g, x − y ≥ 0 thỏa mãn với mọi cặp (x, f) và (y, g) của G. Định nghĩa 1.5. Toán tử A : X → 2 X ∗ được gọi là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 (i) đơn điệu nếu đồ thị của nó là một tập đơn điệu, nghĩa là với mọi x, y ∈ D(A) ta có f − g, x − y ≥ 0, ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay. (ii) đơn điệu chặt nếu đẳng thức trong bất đẳng thức trên chỉ thỏa mãn khi x = y. (iii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm liên tục, tăng γ(t), (t ≥ 0), γ(0) = 0 sao cho bất đẳng thức f − g, x − y ≥ γ(x − y), ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay thỏa mãn với mọi x, y ∈ D(A). Nếu γ(t) = ct 2 , ở đây c là một hằng số dương thì A là toán tử đơn điệu mạnh. Trong trường hợp toán tử A : X → X ∗ đơn trị thì ta có định nghĩa sau. Định nghĩa 1.6. Toán tử A : X → X ∗ được gọi là (i) đơn điệu nếu Ax − Ay, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); (ii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và Ax − Ay, x − y ≥ δ(x − y), ∀x, y ∈ D(A). Nếu δ(t) = c A t 2 với c A là một hằng số dương thì toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh. (iii) ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số m A > 0 thỏa mãn Ax − Ay, x − y ≥ m A Ax − Ay 2 , ∀x, y ∈ D(A). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... 2X là toán tử đơn điệu cực đại với D(A) = K thì bất đẳng thức biến phân đơn điệu (1.1) trong Định nghĩa 1.19 tương đương với phương trình toán tử Ax = f (1.7) Chứng minh: Một nghiệm x0 của phương trình (1.7) với toán tử đơn điệu cực đại được định nghĩa bởi f ∈ Ax0 , thỏa mãn Định nghĩa 1.19 Do đó, nó là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) Bây giờ giả sử x0 là nghiệm của bất đẳng thức biến phân. .. Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Chương 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu Trong phần đầu của chương chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử đa trị và tập ràng buộc chính xác trong không gian Banach Phần thứ hai giới thiệu bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc xấp xỉ, phương pháp hiệu chỉnh trong trường hợp này được nghiên cứu trong... là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) Từ bổ đề này ta có kết quả sau Định lý 1.7 Với điều kiện của Bổ đề 1.4, tập nghiệm S0 của bất đẳng thức biến phân (1.1) là một tập lồi đóng, nếu nó khác rỗng Định lý 1.8 Nếu toán tử đơn điệu cực đại A là đơn điệu chặt thì nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) tồn tại duy nhất Chứng minh: Giả sử x1 là một nghiệm khác của bất đẳng thức biến phân (1.1) Khi... 1.1) Vì A là toán tử đơn điệu cực đại và D(A) = K, từ (1.3) và Mệnh đề 1.1 suy ra f ∈ Ax0 Tức là x0 là nghiệm của phương trình toán tử Ax = f 2 Nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) với toán tử đơn điệu cực đại A cũng là nghiệm của phương trình toán tử Ax + ∂IK (x) = f với toán tử đơn điệu cực đại A + ∂IK Đó là nội dung của bổ đề sau đây ∗ Bổ đề 1.4 Cho A : X → 2X là toán tử đơn điệu cực đại,... 28 đẳng thức biến phân hiệu chỉnh Ah x + αJx − fδ , z − x ≥ 0, ∀z ∈ K, x ∈ K, α > 0 (2.8) Theo Định lý 1.9, bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.8) có duy nhất nghiệm Ký hiệu nghiệm này là xτ , ở đây τ = (h, δ) ∈ R0 và α R0 = (0, δ ∗ ] × (0, h∗ ] với δ ∗ và h∗ là các hằng số dương, xτ là nghiệm α hiệu chỉnh của bất đẳng thức biến phân (2.2) Vì Ah là toán tử đơn τ điệu cực đại, nên tồn tại phần tử. .. của phương pháp hiệu chỉnh toán tử cho bất đẳng thức biến phân với điều kiện xấp xỉ khác nhau giữa Kσ và K Giả sử Kσ là xấp xỉ đều của K với khoảng cách Hausdorff, nghĩa là HH (K, Kσ ) ≤ σ (2.29) Ta xét xấp xỉ nghiệm của (2.2) sinh ra bởi bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh Ah x + αx − fδ , z − x ≥ 0, ∀z ∈ Kσ , x ∈ Kσ (2.30) Bất đẳng thức biến phân này có duy nhất nghiệm hiệu chỉnh, kí hiệu γ là xγ Do... cũng là toán tử đơn điệu cực đại Định nghĩa 1.10 Toán tử A : X → X ∗ được gọi là toán tử bức nếu lim x →+∞ Ax, x = ∞, ∀x ∈ X x Định lý 1.4 Cho X là không gian Banach phản xạ, B : X → X ∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục với D(B) = X Khi đó B là toán tử đơn điệu cực đại Ngoài ra nếu B là toán tử bức thì R(B) = X ∗ Ví dụ 1.5 Toán tử đồng nhất I : X → X, với X là không gian Hilbert là toán tử bức... nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) nếu Ax0 − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K Định nghĩa 1.20 Một phần tử x0 ∈ K được gọi là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) nếu z − f, y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K, ∀z ∈ Ay (1.3) Mối liên hệ giữa nghiệm của bất đẳng thức biến phân đơn điệu (1.1) định nghĩa bởi (1.2) và (1.3) được trình bày trong các bổ đề sau Bổ đề 1.1 Nếu x0 ∈ K là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1)... phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc được cho xấp xỉ 2.2.1 Bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh Giả sử {Ah } là dãy toán tử đơn điệu cực đại, {Kσ } là dãy tập con lồi đóng của D(Ah ) và intKσ = ∅ hoặc intD(Ah ) ∩ Kσ = ∅ (2.27) Với δ ∗ , h∗ và σ ∗ là các hằng số dương, ta định nghĩa R = (0, δ ∗ ] × (0, h∗ ] × (0, σ ∗ ] Giả sử (2.5) thỏa mãn với mọi x ∈ K ∩ Kσ và với mọi Ah... Hilbert Phần cuối cùng của chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn trị và nhiễu không đơn điệu trong không gian Banach Các kết quả nghiên cứu trong chương này được tham khảo, tập hợp trong các tài liệu [1], [3] và [4] 2.1 Bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc chính xác 2.1.1 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh Cho X là một không gian Banach thực phản xạ có tính . Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu 26 2.1. Bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc chính xác . . 26 2.1.1. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 26 2.1.2. Tham số hiệu. lục 1 Bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu 7 1.1. Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Một số tính chất hình học của không gian . . . . . 7 1.1.2 Toán tử đơn điệu. bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc xấp xỉ và phần cuối của chương là kết quả về bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn điệu của Liskovets. Tôi xin