Đang tải... (xem toàn văn)
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số ôn thi đại học 2014
Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Chuyên đề Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn HÀM SỐ & CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN § CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ I – Các dạng toán thường gặp phương pháp giải Dạng tốn Tìm tham số m để hàm số y = f (x; m ) đơn điệu D ? Trong D (−∞; α ), (α; +∞ ), (α; β), (α; β , α; β ), …… Bước Ghi điều kiện để y = f (x; m ) đơn điệu D Chẳng hạn: Đề yêu cầu y = f (x; m ) đồng biến D ⇔ y ' = f ' ( x; m ) ≥ Đề yêu cầu y = f (x; m ) nghịch biến D ⇔ y ' = f ' ( x; m ) ≤ m ≥ g (x ) Bước Độc lập m khỏi biến số đặt vế lại g (x ) được: m ≤ g (x ) Bước Khảo sát tính đơn điệu hàm số g (x ) D Khi m ≥ g (x ) ⇒ m ≥ max g ( x ) D Bước Dựa vào bảng biến thiên kết luận: Khi m ≤ g (x ) ⇒ m ≤ g (x ) D Dạng tốn Tìm m để hàm số: y = f (x; m ) = a ' x + b ' x + c ' x + d đơn điệu chiều khoảng có độ dài l ? Bước Tính y ' = f ' (x; m ) = ax + bx + c ∆ > Bước Hàm số y = f (x; m ) đơn điệu (x ; x ) ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ a ≠ (i ) Bước Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài = l ⇔ x − x = l ⇔ ( x1 + x ) − 4x1 x = l ⇔ S2 − 4P = l (ii) Bước Giải (ii ) giao với (i) để suy giá trị m cần tìm II – Thí dụ minh họa tập rèn luyện 1/ Các thí dụ tìm m để hàm số đơn điệu D mà dễ độc lập m Thí dụ Tìm m để y = −x + 3x2 + 3mx − nghịch biến (0; +∞ ) ? Đại học khối A – A1 năm 2013 ĐS: m ≤ −1 Thí dụ Tìm m để y = x + 3x2 − mx − đồng biến (−∞; 0) ? Đề thi thử Đại học lần I năm 2014 – THTP Hậu Lộc – Thanh Hóa ĐS: m ≤ −3 Thí dụ Tìm m để y = x − 2mx − (m + 1) x + nghịch biến 0; 2 ? ĐS: m ≥ 11 Thí dụ Tìm m để hàm số y = x + 5x + m + đồng biến (1; +∞ ) ? x+3 Dự bị Đại học năm 2003 ĐS: −4 ≤ m ≤ Thí dụ Tìm m để: y = x + 4mx + (m + 1) x + 2014 giảm ∀x ≤− Tương lai ngày mai ngày hôm … ? Trang - - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn 25 1+ ≤m≤ 12 Thí dụ Tìm m để y = x − (m − 1) x + m − đồng biến (1; 2) ? ĐS: − ĐS: < m ≤ 2/ Các thí dụ tìm m để hàm số đơn điệu D mà không độc lập m Thí dụ Tìm m để hàm số: y = 2x − (2m + 1) x + 6m (m + 1) x + đồng biến khoảng (2; +∞ ) ? Đề thi thử Đại học năm 2014 – THPT Lục Ngạn số – Bắc Giang ĐS: m ≤ Thí dụ Tìm m để: y = ĐS: m − x + mx2 − 2x + m giảm (−∞;1) ? ( ) −1 < m ≤ Thí dụ Tìm tham số m để hàm số: y = x − (m + 1) x + 4m2 − 4m − x −m +1 đồng biến khoảng (1; +∞ ) ? − 13 + 14 ≤m≤ x2 − 2mx + 3m2 Thí dụ 10 Tìm tham số m để y = nghịch biến (−∞;1) ? −x + 2m ĐS: m ∈ 2 + 3; +∞ 3/ Các thí dụ hàm bậc ba đơn điệu khoảng có độ dài l Thí dụ 11 Tìm tham số m để hàm số: y = x + 2x2 − mx − 10 nghịch biến đoạn có độ dài ? 15 ĐS: m = − Thí dụ 12 Tìm tham số m để hàm số y = x + 3x + mx + m đồng biến đoạn có độ dài ? ĐS: m = Bài tập rèn luyện BT Tìm m để y = (m + 1) x − (2m − 1) x2 + (2m − 1) x + đồng biến khoảng (−∞; −1) ? ĐS: m ≥ 11 BT Tìm m để y = 2x3 − (m + 2) x2 + (m + 1) x − 3m + đơn điệu tăng khoảng (5; +∞) ? ĐS: ) ĐS: m ∈ (−∞; 4 BT Tìm m để y = 2x + 9mx2 + 12m2 x + nghịch biến khoảng (2; 3) ? Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2 BT Tìm m để y = x − 2mx2 + m2 − 2m + x đồng biến (1; +∞) ? ĐS: m ∈ −∞; − BT Tìm m để y = x − (m + 1) x − (2m − 3m + 2) x + 2m (2m − 1) đồng biến khoảng (2; +∞) ? ĐS: −2 ≤ m ≤ ( ) ( 3 ĐS: m ∈ −2; BT Tìm m để y = mx4 + (m − 1) x2 + − 2m nghịch biến (−∞; −2) ? Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn ĐS: m ≤ − BT Tìm m để y = x − 2m2 x2 + đồng biến (1; +∞) ? ĐS: m ∈ −1;1 BT Tìm m để y = −2x2 − 3x + m nghịch biến khoảng 2x + − ; +∞ ? ĐS: m ≥ −1 2x2 + (1 − m) x + + m nghịch biến (2; +∞) ? −x + m 2 −2t − (4 − 2m ) t − m − 10m + ≤ , ∀t ∈ (0; +∞) HD: t = x − ⇒ YCBT ⇔ m ≤ 2x2 + mx + − m BT 10 Tìm m để y = đồng biến khoảng (1; +∞) ? x + m −1 BT Tìm m để y = ( ) ĐS: m ≥ 2 − BT 11 Tìm m để y = −x3 + x2 − (2 − m) x + tăng đoạn có độ dài = ? ĐS: khơng tồn m thỏa u cầu tốn BT 12 Tìm m để (Cm ) : y = x + 3mx2 + (m + 1) x + nghịch biến đoạn có độ dài lớn ? Đề thi thử Đại học 2014 lần II – TT BDVH Hoa Sen ĐS: m < − 21 + 21 ∨ m> 2 § BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO I – Tương giao đồ thị hàm số biến đường thẳng Bài tốn tổng qt ax + b có đồ thị (C ) Tìm tham số m để đường thẳng d : y = αx + β cắt (C ) hai điểm cx + d phân biệt A, B thỏa mãn điều kiện K ? Cho hàm số y = Phương pháp giải Bước (Bước giống toán tương giao hàm biến) ax + b = αx + β + Lập phương trình hồnh độ giao điểm d (C) : cx + d ⇔ g ( x ) = αcx2 + (βc + αd − a ) x + βd − b = 0, ∀x ≠ − d c cα ≠ 0; ∆ > d + Để d cắt (C ) hai điểm phân biệt ⇔ g (x ) = có nghiệm nghiệm phân biệt ≠ − ⇔ d g − ≠ c c Giải hệ này, ta tìm m ∈ D1 ( i) + Gọi A ( x1; αx1 + β), B ( x2 ; αy2 + β) với x1, x2 nghiệm g (x ) = Theo Viét: S = x1 + x = − βc + αd − a βd − b ; P = x1 x = cα αc (ii) Bước Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn (iii) (∗) + Biến đổi điều kiện K cho trước dạng có chứa tổng tích x1, x2 + Thế (ii) vào (iii) thu phương trình BPTvới biến số m Giải tìm m ∈ D2 + Từ (i) , (∗) ⇒ m ∈ (D1 ∩ D2 ) kết luận giá trị m cần tìm Thí dụ 13 Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt đồ thị (C) : y = 2x − hai điểm phân biệt A, B x +1 cho AB = ? Đề thi thử Đại học lần I khối B năm 2014 – THPT Ngô Gia Tự ĐS: m = 10 ∨ m = −2 Thí dụ 14 Chứng minh đường thẳng d : x − y + m = cắt đồ thị hàm số (C) : y = x −1 hai − 2x điểm phân biệt A, B với m ? Tìm m cho AB = OA + OB với O gốc tọa độ ? Đề thi thử Đại học lần I khối B năm 2014 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc ĐS: m = −1 Thí dụ 15 Tìm m để đường thẳng d : y = −3x + m cắt (C) : y = ∆OAB thuộc d ' : x − 2y − = ? 2x + A B cho trọng tâm x −1 Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Ba Đình – Thanh Hóa ĐS: m = − 11 Thí dụ 16 Tìm tham số m để đường thẳng d : y = 2x − 2m cắt đồ thị hàm số (C) : y = 2x − m hai điểm mx + phân biệt A, B cắt trục Ox, Oy theo thứ tự M, N cho S∆OAB = 3S∆OMN ? Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ ĐS: m = ± 2x − Thí dụ 17 Chứng minh ∀ m ∈ » đường thẳng d : x + y − m = cắt (C) : y = hai x+3 điểm phân biệt A, B ∆AIB cân I (I giao điểm hai đường tiệm cận) ? Tìm m để AB2 = 3.IA2 ? Đề thi thử Đại học năm 2012 – TT.BDVH Thăng Long Tp HCM ĐS: m = −1 ± 14 Thí dụ 18 Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m cắt (C) : y = (với I giao điểm hai tiệm cận) ? 2x − hai điểm phân biệt A, B ∆AIB x −1 Học sinh giỏi tỉnh Thái Nguyên năm 2014 ĐS: m = ± Thí dụ 19 Lập phương trình đường thẳng d, biết đồ thị (C) : y = 2x + cắt d hai điểm phân biệt B, C x −1 cho ∆ABC với A (−2;5) ? Học sinh giỏi tỉnh Tiền Giang năm 2013 ĐS: d1 : y = x + d2 : y = x − hai đường thẳng cần tìm Thí dụ 20 Cho hàm số y = x +2 có đồ thị (C) Đường thẳng d1 : y = x cắt (C) hai điểm phân biệt 2x + A, B Tìm m để đường d2 : y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt C, D cho bốn điểm A, B, C, D bốn đỉnh hình bình hành ? Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn Đề thi thử Đại học năm 2014 khối B – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc ĐS: m = x +2 có đồ thị (C) Lập hai phương trình đường thẳng d1, d2 qua giao điểm I x −1 hai tiệm cận cắt đồ thị (C) bốn điểm phân biệt đỉnh hình chữ nhật, biết Thí dụ 21 Cho hàm số y = đường chéo hình chữ nhật có độ dài 30 ? Đề thi thử Đại học lần III năm 2013 – THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh d : 2x − y − = d : x − 2y + = ĐS: đường cần tìm d2 : x − 2y + = d2 : 2x − y − = Thí dụ 22 Cho đường thẳng d : y = −x + m hai điểm: M (3; 4), N (4;5) Tìm m để đường thẳng d cắt đồ 2x − hai điểm phân biệt A, B cho bốn điểm A, B, M, N lập thành tứ x −2 giác lồi AMBN có diện tích ? thị hàm số (C) : y = Đề thi thử Đại học khối A năm 2014 – THPT Đức Thọ – Hà Tĩnh ĐS: m = Thí dụ 23 Tìm m để đường thẳng d : y = mx + 2m + cắt đồ thị hàm số (C) : y = 2x + hai điểm phân x +1 biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành ? Đại học khối D năm 2011 ĐS: m = −3 x hai điểm phân biệt A, B x −1 cho góc hai đường thẳng OA OB 60o với O gốc tọa độ ? ĐS: m = −2 ∨ m = Thí dụ 24 Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ thị (C) : y = Thí dụ 25 Tìm m để đường thẳng d : y = m (x − ) cắt đồ thị (C) : y = x −2 , có giao x −1 điểm có hồnh độ lớn ? Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Nguyễn Văn Trỗi – Hà Tĩnh ĐS: ∀m ∈ » Thí dụ 26 Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m cắt (C) : y = x −2 hai điểm phân biệt A, B cho độ x −1 dài đoạn thẳng AB nhỏ ? Đề thi thử Đại học khối D năm 2014 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc ĐS: m = x hai điểm 1− x phân biệt M, N cho biểu thức T = AM2 + AN2 đạt giá trị nhỏ với A (−1;1) ? Thí dụ 27 Tìm tham số m để đường thẳng d : y = mx − m − cắt đồ thị hàm số (C) : y = Đề thi thử Đại học năm 2013 khối A – THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ ĐS: m = −1 1− x hai 2x − điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với C (C) A B Tìm m để tổng Thí dụ 28 Chứng minh với m đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị (C) : y = k1 + k2 đạt giá trị lớn ? Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn ĐS: m = −1 Bài tập rèn luyện tương giao hàm số biến đường thẳng x −2 hai điểm phân biệt A, B có độ dài 30 ? x +1 Đề thi thử Đại học 2014 lần I khối D – THPT Chu Văn An – Hà Nội BT 13 Tìm m để d : y = −2x + m cắt (C) : y = ĐS: m = 13 BT 14 Cho hàm số y = 3x + có đồ thị (C) Đường thẳng d1 : y = x cắt (C) hai điểm phân biệt A, B x+2 Tìm m để đường d2 : y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt C, D cho bốn điểm A, B, C, D bốn đỉnh hình bình hành ? ĐS: m = 10 BT 15 Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị (C) : y = 2x + hai điểm phân biệt A, B cho x +1 ∆OAB vuông O với O gốc tọa độ ? Đề thi thử Đại học lần I năm 2014 – THPT Chuyên Quốc Học – Huế ĐS: m = x −1 BT 16 Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị (C) : y = hai điểm phân biệt A, B cho x +1 OA + OB2 = với O gốc tọa độ ? Đề thi thử Đại học lần I năm 2013 – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An ĐS: m = −1 BT 17 Cho điểm A (0; 5) đường thẳng ∆ qua điểm I (1;2) có hệ số góc k Tìm giá trị k để đường thẳng ∆ cắt (C) : y = ĐS: k = ∨ k = 2x + hai điểm M, N cho ∆AMN vuông A ? x −1 Đề thi thử Đại học lần III năm 2013 – THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội BT 18 Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m cắt (C) : y = 2x − hai điểm phân biệt M, N cho x +1 ∆PMN với P (2; 5) ? ĐS: m = −5 ∨ m = BT 19 Tìm m để đường thẳng d : y = x + m − cắt (C) : y = 2x + hai điểm phân biệt A, B cho x +1 4 ∆OAB có trọng tâm điểm G − ; ? 3 Đề thi thử Đại học lần II năm 2013 – Chuyên Quốc Học – Huế ĐS: m = 2x + BT 20 Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) : y = hai điểm phân biệt A, B cho x +1 S∆OAB = với O gốc tọa độ ? Đại học khối B năm 2010 ĐS: m = ±2 BT 21 Tìm m để d : y = 2x + m cắt (C) : y = 2x − hai điểm phân biệt A, B cho 4S∆IAB = 15 với I x −1 giao điểm hai đường tiệm cận ? Đề thi thử Đại học năm 2014 lần I khối A – THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn ĐS: m = ±5 3x − 2m cắt đường thẳng d : y = 3x − 3m hai điểm mx + phân biệt A, B Xác định m để đường thẳng d cắt trục Ox, Oy C D cho BT 22 Chứng minh ∀ m đồ thị (C) : y = S∆OAB = 2.S∆OCD ? Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Thuận Thành số – Bắc Ninh ĐS: m = ± BT 23 Tìm m để đường thẳng d : y = m − x cắt đồ thị hàm số (C) : y = x+3 hai điểm phân biệt A, B x −2 nằm hai phía trục tung cho góc AOB nhọn (với O gốc tọa độ) ? Đề thi thử Đại học khối A năm 2013 – THPT Số Tuy Phước ĐS: −2 < m − 2x − BT 24 Tìm m để đường thẳng d : 2x − y + m = cắt đồ thị (C) : y = hai điểm phân biệt có tung độ x +1 dương ? Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Phan Bội Châu – Nghệ An ĐS: m > + 40 x BT 25 Cho hàm số y = , (C) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d : y = −x + m − cắt đồ x −1 thị hàm số hai điểm A, B cho tam giác OAB nội tiếp đường trịn có bán kính 2 ĐS: m = −1 ∨ m = x+3 BT 26 Gọi d đường thẳng qua A(−2; 0) có hệ số góc k Tìm k để d cắt đồ thị (C) : y = hai điểm x +2 phan biệt M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho AM = 2AN ? Đề thi thử Đại học 2014 khối A, B lần III – THPT Chuyên Vĩnh Phúc ĐS: M (−1;2), N − ; −1 ⇒ d ≡ AM : y = 2x + ⇒ k = II – Tương giao đồ thị hàm số bậc ba đường thẳng Bài tốn tổng qt Tìm m để đường thẳng d : y = αx + β cắt (C) : y = ax + bx + cx + d ba điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước ? Phương pháp giải Bước + Lập phương trình hồnh độ giao điểm d (C) : ax + bx2 + cx + d = αx + β ⇔ ax + bx2 + (c − α ) x + d − β = (∗) h( x ) Giả sử nhẩm trước (∗) có nghiệm x = x o Khi chia Hoocner để phân tích: x = x o + b ' x + c ' = ⇔ g (x ) = ax2 + b ' x + c ' = + Để d cắt (C) ba điểm phân biệt ⇔ (∗) có ba nghiệm phân biệt ⇔ g (x) = có hai nghiệm phân biệt (∗) ⇔ (x − x )(ax o ) ∆ > ⇒ m ∈ D1 ≠ xo ⇔ g g (x o ) ≠ Tương lai ngày mai ngày hôm … ( i) Trang - - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn + Gọi A ( xo ; αx o + β), B (x1; αx1 + β) , C (x2 ; αx2 + β) với x1, x2 hai nghiệm g ( x) = Theo Viét, ta có: x1 + x = − b' c' x1x = a a Bước + Biến đổi điều kiện K dạng có chứa tổng tích x1, x2 (ii) + Thế biểu thức tổng – tích vào (ii) thu phương trình bất phương trình với biến số m Giải (iii) tìm m ∈ D2 + Từ (i) , (iii) ⇒ m ∈ (D1 ∩ D2 ) kết luận giá trị m cần tìm Lưu ý Có thể dùng phương pháp cực trị khơng đốn trước nghiệm x = x o Cụ thể ta có trường hợp sau: (với n số giao điểm phân biệt) y = h (x ) : có cực trị d ∩ (C) = n = ⇔ (∗) có nghiệm phân biệt ⇔ yCD yCT < y = h (x ) : có cực trị d ∩ (C) = n = ⇔ (∗) có nghiệm phân biệt ⇔ yCD yCT = y = h ( x ) : đồng biến d ∩ (C) = n = ⇔ (∗) có nghiệm ⇔ y = h ( x ) : có cực trị y y > CD CT Cịn nhiều cơng thức nữa, chẳng hạn ba nghiệm dương, âm,… Nhưng bạn tập suy luận cách vẽ nháp dạng đồ thị hàm bậc ba biện luận số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm với trục Ox Thí dụ 29 Gọi d đường thẳng qua A (1; ) có hệ số góc k Tìm giá trị k để đường thẳng d cắt đồ thị (C) : y = x − 3x + ba điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x thỏa mãn x1 + x2 + x2 = 11 ? Đề thi thử Đại học lần I khối D năm 2014 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc ĐS: k = Thí dụ 30 Tìm tham số m để đường thẳng d : y = mx − 2m − cắt đồ thị hàm số (C ) : y = −x + 3x − ba điểm phân biệt, có điểm có hồnh độ âm ? Đề thi thử Đại học 2013 – THPT Số I Tuy Phước ĐS: m ∈ (−∞; − 1 \ {−9} Thí dụ 31 Tìm tham số m để d : y = 2mx − m − cắt đồ thị hàm số (C m ) : y = −x + (2m + 1) x − m − ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng ? Đề thi thử Đại học năm 2014 khối D – THPT Chuyên – Vĩnh Phúc 1 ∨ m= ∨ m = giá trị cần tìm Trong thí dụ trên, tơi tìm ba nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm nguyên tắc nhẩm nghiệm Còn khơng tìm nghiệm khơng đủ ba nghiệm, làm ? Ta xét hai tập nhỏ sau: ĐS: m = − Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đồn Bài tốn khơng tìm nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm: Tìm m để (C m ) : y = x − 3x − 9x + m cắt trục hoành ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng ? Phương trình hồnh độ giao điểm: x − 3x2 − 9x + m = (∗) Giả sử (C m ) cắt trụ Ox ba điểm phân biệt có x 1, x , x (x < x < x ) x1, x2 , x ba nghiệm phương trình (∗) Khi đó, ta phân tích được: x − 3x − 9x + m = (x − x )(x − x )(x − x ) = x − ( x + x + x ) x + (x x + x x + x x ) x − x x x x + x + x = 3, (i) Do (ii) vào (i), ta được: đồng hệ số x2 , ta được: x1, x2 , x lập thành cấp số cộng theo thứ tự nên x1 + x = 2x2 (ii) Thế x2 = Thế x2 = vào (∗) m = 11 Do điều kiện cần, ta xét thêm điều kiện đủ, nghĩa m = 11 (∗) ⇔ x − 3x − 9x + 11 = ( ) ⇔ (x − 1) x2 − 2x − 11 = ⇔ x = − ∨ x = ∨ x = + ln có x1 + x = 2x2 nên m = 11 giá trị cần tìm tốn Cần nhớ: đa thức bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d, (a ≠ ) có nghiệm x1, x2 , x f (x ) = ta ln phân tích thành tích số dạng: ax + bx + cx + d = a (x − x1 )(x − x )(x − x ) Bài tốn khơng tìm đủ ba nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm: Tìm m để (C m ) : y = x − (2m + 1) x − 9x cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng ? Phương trình hồnh độ giao điểm: x x − (2m + 1) x − 9 = x = ⇔ x − (2m + 1) x − = (i) (ii) c = −9 < nên ln có hai nghiệm trái dấu ⇒ (i) ln có a ba nghiệm phân biệt ∀m là: x1; 0; x Để ba nghiệm theo thứ tự lập thành cấp số cộng Nhận thấy phương trình (ii) có P = x1x = x1 + x2 = 2.0 ⇔ 2m + = ⇔ m = − giá trị cần tìm Thí dụ 32 Tìm m để đồ thị (C m ) : y = x + (5 − m ) x + (6 − 5m ) x − 6m cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số nhân ? ĐS: m = − ∨ m = − ∨ m = ± Thí dụ 33 Chứng minh đường thẳng qua điểm I (1; 2) với hệ số góc k > − cắt đồ thị (C) : y = x − 3x + ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB ? Đại học khối D năm 2008 Thí dụ 34 Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + cắt (C m ) : y = 2x − 3mx + (m − 1) x + ba điểm A, B, C phân biệt, cho điểm C (0;1) nằm A B đồng thời AB có độ dài Tương lai ngày mai ngày hôm … 30 ? Trang - - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đồn Thí dụ 35 Gọi d đường thẳng qua A (2; ) có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) : y = x − 3x + ba ĐS: m = ∨ m = điểm phân biệt A, B, C cho ∆OBC cân O (với O gốc tọa độ) ? Đề thi thử Đại học năm 2014 khối B – Chuyên Quốc Học – Huế ĐS: k = ∨ k = Thí dụ 36 Cho d : y = x + điểm K (1; 3) Tìm m để d (C m ) : y = x + 2mx + (m + 3) x + ba điểm phân biệt A (0; ), B, C cho S∆KBC = ? Đề thi thử Đại học 2010 – THPT Minh Khai – Hà Tĩnh ĐS: m = ± 137 1 cắt đồ thị tham số (C) : y = x − 2x + 3x − 3 ba điểm phân biệt A, B, C cho A cố định S∆OBC = 2S∆OAB ? Thí dụ 37 Tìm tham số m để đường thẳng ∆ : y = mx − Thí dụ 38 Hãy viết phương trình đường thẳng d qua điểm I tâm đối xứng đồ thị (C ) : y = x − 3x + ĐS: m = cắt (C ) ba điểm phân biệt I, A, B cho S∆OAB = ? ( ) ĐS: d1 : y = − x d2 : y = − + x + + d3 : y = ( ) −1 x +1− Thí dụ 39 Viết phương trình đường thẳng d qua A (− 1; 0) cắt đồ thị hàm số (C ) : y = x − 5x + 3x + ba điểm phân biệt A, B, C cho G (2; 2) trọng tâm ∆OBC với O gốc tọa độ ? 3 x+ 4 Thí dụ 40 Cho đồ thị hàm số (C m ) : y = x − (m + 1) x + x + 2m + Tìm m để d : y = x + m + cắt đồ ĐS: d : y = thị (Cm ) ba điểm phân biệt A, B, C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với (Cm ) A, B, C 12 ? Học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc năm 2013 ĐS: m = Thí dụ 41 Tìm tham số m để đường thẳng d : y = m (2 − x ) + cắt đồ thị hàm số (C) : y = −x + 3x − ba điểm phân biệt A (2; 2), B, C cho tích hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C ) B C đạt giá trị nhỏ ? Đề thi thử Đại học 2014 – Đề số – Tạp chí Tốn Học & Tuổi Trẻ ĐS: m = −1 Thí dụ 42 Chứng minh m thay đổi d : y = m ( x + 1) + cắt đồ thị (C ) : y = x − 3x điểm A cố định Xác định giá trị m để d cắt (C ) ba điểm phân biệt A, B, C cho tiếp tuyến (C ) A B vng góc với ? −3 ± 2 Thí dụ 43 Tìm m để d : y = m ( x − 1) + cắt đồ thị hàm số (C ) : y = x − 3x ba điểm phân biệt ? ĐS: m = Học sinh giỏi tỉnh An Giang năm 2014 ĐS: m > Bài tập rèn luyện tương giao hàm số bậc ba đường thẳng Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - 10 - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn Do A (x A ; y A ) ∈ ∆ ⇒ yA = k (x A − x o ) + yo (i) Giải phương trình (i) → x o → y o k → phương trình ∆ Viết PTTT ∆ (C) : y = f (x), biết ∆ cắt hai trục tọa độ A B cho tam giác OAB vng cân có diện tích S cho trước Gọi M(x o ; y o ) tiếp điểm tính hệ số góc k = y '(x o ) theo x o ∆OAB i vuông cân tạo với Ox góc ( ) Đề cho (ii) S∆OAB = S ⇔ OA.OB = 2S Giải (i) (ii) → x o → y o ; k → phương trình tiếp tuyến ∆ Tìm điểm đường thẳng d : ax + by + c = mà từ vẽ 1, 2, 3, , n tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) : y = f (x) Gọi M (x M ; yM ) ∈ d : ax + by + c = (sao cho có biến x M M) PTTT ∆ qua M có hệ số góc k có dạng ∆ : y = k (x − x M ) + y M f (x ) = k (x − x M ) + y M Áp dụng điều kiện tiếp xúc: f ' (x ) = k Thế k từ (ii) vào (i) , được: f ( x ) = f ' (x ) ( x − x M ) + y M (i) (ii) (iii) Số tiếp tuyến (C ) vẽ từ M = số nghiệm x (iii ) Tìm điểm M (x M ; y M ) mà từ vẽ hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) : y = f (x) hai tiếp tuyến vng góc PTTT ∆ qua M có hệ số góc k có dạng ∆ : y = k (x − x M ) + y M f (x ) = k (x − x M ) + y M Áp dụng điều kiện tiếp xúc: f ' (x ) = k Thế k từ (ii) vào (i) , được: f ( x ) = f ' (x ) ( x − x M ) + y M (i) (ii) (iii) Qua M vẽ hai tiếp tuyến với (C) ⇔ (iii) có hai nghiệm phân biệt x1, x Hai tiếp tuyến vng góc ⇔ k1 k = − ⇔ y ' (x1 ) y ' (x ) = − Lưu ý Qua M vẽ hai tiếp tuyến với (C) cho hai tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh (iii) : có hai nghiệm phân biệt f (x1 ).f (x2 ) < Đối với tốn tìm điểm M ∈ (C) : y = f (x ) cho tiếp tuyến song song vng góc với đường thẳng d cho trước, ta cần gọi M (x o ; y o ) ∆ tiếp tuyến với k = f ' (x o ) Rồi áp dụng k = f ' ( x o ) = k d cho song song f ' ( x o ) k d = −1 cho vng góc ⇒ x o ⇒ y o ⇒ M (x o ; y o ) Thí dụ 82 Lập phương trình tiếp tuyến (C) : y = x − 3x + 1, biết song song với đường thẳng d : 9x − y + = ? Đề thi thử Đại học 2013 lần I – THPT Hậu Lộc II ĐS: ∆ : y = 9x − 26 Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - 22 - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đồn Thí dụ 83 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y = −x − x + 6, biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : y = x −1 ? Đại học khối D năm 2010 ĐS: ∆ : y = −6x + 10 2x + có tung độ Tiếp tuyến (C ) M cắt trục tọa độ Ox, Oy x −1 A B Tính S∆OAB ? Thí dụ 84 Gọi M ∈ (C) : y = Cao đẳng khối A, A1, B, D năm 2013 ĐS: S∆OAB = 121 x+2 , biết tiếp tuyến cắt trục 2x + hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O ? Thí dụ 85 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) : y = Đại học khối A năm 2009 ĐS: ∆ : y = −x − 2x , biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận (C ) x +2 ∆AIB vuông cân đỉnh I với I giao điểm hai đường tiệm cận ? ĐS: ∆ : y = x ∆ : y = x + Thí dụ 86 Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = Thí dụ 87 Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = 2x − , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng x −2 đường tiệm cận ngang A B cho AB = IB với I (2; 2) ? Học sinh giỏi tỉnh Bình Phước năm 2014 ĐS: ∆ : y = −x + ∆ : y = −x + Thí dụ 88 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y = 4x − 6x + 1, biết tiếp tuyến qua điểm M (−1; −9 ) ? Đại học khối B năm 2008 15 21 x− 4 Thí dụ 89 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = x − 3x + điểm M Biết điểm M với hai ĐS: ∆1 : y = 24x + 15 ∆2 : y = điểm cực trị đồ thị hàm số (C ) tạo thành tam giác có diện tích ? Đề thi thử Đại học 2013 khối A – THPT Sầm Sơn – Thanh Hóa ĐS: ∆1 : y = 9x + ∆2 : y = 9x − 25 2x − có đồ thị (C ) x −2 1/ Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị hàm số (C ) cho ∆ cắt trục hồnh A mà Thí dụ 90 Cho hàm số y = OA = ? Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - 23 - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đồn 2/ Viết phương trình tiếp tuyến ∆ M ∈ (C ) cho ∆ cắt đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang A, B cho cos ABI = với I giao điểm hai đường tiệm cận ? 17 Đề thi thử Đại học 2014 – THPT Nguyễn Khuyến – TP HCM ∆ : y = − x + 2/ ∆ : y = − x + Thí dụ 91 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = x − 6x + 9x, biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng ∆ : y = − x + ĐS: 1/ ∆ : y = −x + ∆ : x + y + = góc α, cho cos α = tiếp điểm có hồnh độ ngun ? 41 Đề thi thử Đại học 2013 lần V khối A – THPT Chuyên Vĩnh Phúc ĐS: ∆ : y = 9x ∆ : y = 9x − 32 Thí dụ 92 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) : y = 2x − , biết tiếp tuyến cách hai điểm A (− 2; ) x −1 B (4; − 2) ? Đề thi thử Đại học 2014 – Đề số 04 – Tạp Chí Tốn Học & Tuổi Trẻ ĐS: Vậy ∆ : y = − x + ∆ : y = −x + ∆ : y = −x + 4 Thí dụ 93 Xác định m để đồ thị (C) : y = 2x + m có tiếp tuyến song song cách đường thẳng x −1 d : 3x + y − = khoảng cách 10 ? Đề thi thử Đại học 2014 đề số – Tạp Chí Tốn Học & Tuổi Trẻ ĐS: m = 67 giá trị cần tìm ∨ m= 12 Thí dụ 94 Viết phương trình tiếp tuyến d (C) : y = 2x − , biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy x −1 A, B cho AB = 82.OB ? Đề thi thử Đại học 2013 lần II – THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp 25 13 ĐS: ∆ : y = − x + ∆ : y = − x + tiếp tuyến cần tìm 9 9 Thí dụ 95 Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) : y = x −1 Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C ) x −2 điểm M thỏa mãn IM ⊥ ∆ ? Đề thi thử Đại học 2013 lần IV – THPT Chuyên ĐH Vinh ĐS: ∆ : y = −x + ∆ : y = −x + tiếp tuyến cần tìm Thí dụ 96 Tìm tất giá trị tham số m ≠ cho tiếp tuyến đồ thị (Cm ) : y = mx − (2m + 1) x + m + giao điểm với trục tung tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích ? Đề thi thử Đại học 2014 khối A lần I – THPT Chuyên Vĩnh Phúc ĐS: m = ± 14 ∨ m = −9 ± Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - 24 - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đồn Thí dụ 97 Tìm tham số m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị (Cm ) : y = x − 3x + (m − 2) x + 3m vng góc với đường thẳng d : x − y + = ? hàm số Đề thi thử Đại học 2014 lần I – THPT Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên ĐS: m = Thí dụ 98 Tìm đường thẳng d : y = 9x − điểm mà qua kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C) : y = x + 3x − ? Đề thi thử Đại học 2014 lần I – THPT Chuyên Amterdam Hà Nội 1 ĐS: M (m; 9m − ) với m ∈ (−∞; −5) ∪ ; +∞ \ {1} điểm cần tìm 3 Thí dụ 99 Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) : y = x − 3x + ba điểm phân biệt M (2; 0), N, P cho tiếp tuyến (C ) N P vng góc ? Đề thi thử Đại học 2013 khối A lần I – THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa ĐS: d : y = −3 ± 2 ( x − 2) Thí dụ 100 Gọi k1 hệ số góc tiếp tuyến giao điểm đồ thị hàm số (Cm ) : y = x+m với trục hoành x +1 Gọi k2 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (Cm ) điểm có hồnh độ x = Tìm tất giá trị tham số m cho k1 + k đạt giá trị nhỏ ? Đề thi thử Đại học 2013 lần III – Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp ĐS: k1 + k m = −1 = m = Thí dụ 101 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = x , biết khoảng cách từ tâm đối xứng x −1 (C ) đến tiếp tuyến lớn ? Đề thi thử Đại học 2011 khối B, D – THPT Lê Văn Hưu – Thanh Hóa ĐS: x o = ⇒ ∆ : y = −x với x o = ⇒ ∆ : y = −x + x−2 mà tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận x +1 điểm A, B cho bán kính vịng trịn nội tiếp ∆IAB lớn nhất, với I giao hai đường tiệm cận ? Thí dụ 102 Lập phương trình tiếp tuyến (C) : y = ĐS: ∆ : y = x + ± Bài tập rèn luyện tiếp tuyến toán liên quan đến tiếp tuyến BT 80 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) : y = 1− x , cho tiếp tuyến qua giao điểm 2x + đường tiệm cận trục Ox ? Đề thi thử Đại học 2014 khối D lần II – THPT Chuyên Vĩnh Phúc 1 x− 12 24 BT 81 Tìm m để tiếp tuyến (C m ) : y = x + 3mx + (m + 1) x + điểm có hồnh độ x = −1 qua ĐS: d : y = − điểm A (1; ) ? Đề thi thử Đại học 2013 khối A – Tuổi Trẻ online (đề số 1) Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - 25 - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số ĐS: m = Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đồn BT 82 Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = 2x − , biết tiếp điểm tiếp tuyến với (C ) cách x +1 điểm A (0;1) khoảng = ? Đề thi thử Đại học 2013 khối A lần II – THPT Chuyên ĐH Vinh ĐS: d1 : y = 3x − d2 : y = x + 3 BT 83 Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = B cho M trung điểm AB ? x M, biết tiếp tuyến cắt trục tọa độ A 1− x Đề thi thử Đại học 2014 – Đề số 01 – Tạp Chí Tốn Học & Tuổi Trẻ ĐS: ∆ : x − y − = BT 84 Tìm m để đồ thị hàm số (C m ) : y = x − 3mx + có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + y + = góc α, biết cos α = ? 26 Đề thi thử Đại học 2013 khối A lần I – THPT Chuyên Vĩnh Phúc ĐS: m ≥ − BT 85 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) : y = 2x + , biết tiếp tuyến cách hai điểm A (2; ) x +1 B (−4; −2) ? Đề thi thử Đại học 2013 khối A, B – THPT Thuận Thành Số I – Bắc Ninh ĐS: d : y = x + d : y = x + BT 86 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) : y = 2x − , biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy x −1 A, B thỏa: OA = 4OB ? Đề thi thử Đại học 2010 lần II – THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 13 ĐS: d : y = − x + d : y = − x + 4 4 BT 87 Gọi d tiếp tuyến (Cm ) : y = x − 3mx + m2 − x − m + điểm cực đại A, đường thẳng d ( ) cắt trụ Oy điểm B Tìm m để diện tích tam giác OAB 6, với O gốc tọa độ ? Đề thi thử Đại học 2013 khối A – THPT Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên ĐS: m = −1 ∨ m = x +2 có đồ thị (C ) Tìm m để từ A kẻ hai tiếp tuyến đến (C ) hai x −1 tiếp điểm hai tiếp tuyến nằm hai phía trục hồnh ? BT 88 Cho A (0; m ) hàm số y = Đề thi thử Đại học 2013 khối A lần II – THPT Chuyên Hạ Long ĐS: m > − m ≠ BT 89 Tìm d : y = 2x + điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) : y = Tương lai ngày mai ngày hôm … x+3 ? x −1 Trang - 26 - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn ĐS: M1 (0;1) , M2 (−1; −1) , M3 (2; 5), M4 (1; 3) BT 90 Tìm m để (C m ) : y = −x + (2m + 1) x − m − tiếp xúc với đường thẳng d : y = 2mx − m − ? Đề thi thử Đại học 2013 lần I khối D – THPT Lê Xoay ĐS: m = ∨ m = 2x − M điểm (C), tiếp x −1 tuyến (C ) M cắt tiệm cận A B Chứng minh S∆IAB không đổi M thay đổi BT 91 Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị hàm số (C) : y = (C ) ? Đề thi thử Đại học 2011 khối A – THPT Chuyên Lê Q Đơn 12 ; IB = (a + 1) ⇒ SIAB = IA.AB = 12 a +1 2x BT 92 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) : y = , biết khoảng cách từ tâm đối xứng (C ) đến tiếp x+2 tuyến lớn ? Đề thi thử Đại học 2010 – THPT Bố Hạ – Bắc Giang ĐS: IA = ĐS: d : y = x d : y = x + BT 93 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = x+2 cho khoảng cách từ giao điểm hai đường x +1 tiệm cận đến tiếp tuyến lớn ? y = −x + ĐS: ∆ : y = −x −2 2x + Tìm M ∈ (C ) cho tiếp tuyến (C ) M cắt x −1 hai tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ ? BT 94 Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) : y = ( ) ( ) ĐS: M1 + 3; + , M2 − 3; − ⇒ P∆ = + BT 95 Chứng minh m thay đổi (C m ) : y = x + mx − m − luôn qua hai điểm cố định A, B Tìm m để tiếp tuyến A B vng góc với ? ĐS: m = − ∨ m=− 2 x +1 mà tiếp tuyến (C ) 2x − M tạo với hai trục toạ độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng d : y = 2m − ? BT 96 Tìm giá trị nhỏ m cho tồn điểm M ∈ (C ) : y = BT 97 Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (C m ) : y = x − mx + m − điểm M có hồnh độ x = −1 cắt ĐS: m = đường trịn (C) có phương trình (C ) : x + y − 4x − 6y + = theo dây cung có độ dài nhỏ ? ĐS: m = BT 98 Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = x , biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận (C ) x −1 tam giác có chu vi = + 2 ? ĐS: y = −x ∨ y = −x + BT 99 Hãy viết phương trình tiếp tuyến chung (C) : y = x − 4x với parabol (P) : y = x − 8x + ? Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - 27 - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn Đề thi thử Đại học 2010 lần I – THPT Chuyên Lê Q Đơn BT 100 Hai điểm M, N thay đổi (C) : y = x + 3x + 3x + cho tiếp tuyến (C ) M song song với tiếp tuyến (C ) N Viết phương trình đường thẳng MN biết MN tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích ĐS: MN : y = ? x + MN : y = 3x + 3 § BÀI TỐN TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ I – Bài toán tổng quát phương pháp giải Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f (x ) có đồ thị (C ) Tìm điểm M ∈ (C ) thỏa mãn điều kiện K cho trước Phương pháp giải: ( ) + Gọi M x o ; f ( x o ) ∈ (C) + Từ điều kiện K cho trước, biến đổi dẫn đến phương trình (hoặc bất phương trình) theo xo , giải tìm ( ) x o → y o = f ( x o ) → M x o ; f (x o ) Một số kiến thức cần nhớ: Khoảng cách hai điểm A, B là: AB = (x B − x A ) + (yB − yA ) Khoảng cách M ( x o ; y o ) đến ∆ : ax + by + c = d (M; ∆) = axo + byo + c a2 + b2 + Nếu ∆ : x = a ⇒ d (M; ∆ ) = x o − a + Nếu ∆ : y = b ⇒ d (M; ∆ ) = y o − b + Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là: x o + y o 1 AB.AC sin A = AB2 AC2 − AB.AC 2 x + x = 2x B I A, B đối xứng qua điểm I ⇔ I trung điểm AB ⇒ A y A + y B = 2y I AB ⊥ ∆ A, B đối xứng qua đường thẳng ∆ ⇔ (với I trung điểm AB) I ∈ ∆ x = x B + A, B đối xứng qua trục hoành Ox ⇔ A y A = −y B x = −x B + A, B đối xứng qua trục tung Oy ⇔ A yA = y B ( Diện tích S∆ABC = ) Khoảng cách đường thẳng ∆ với đường cong (C ) khoảng cách nhỏ điểm M ∈ ∆ điểm N ∈ (C ) Điểm M (x; y ) gọi có toạ độ nguyên x y số nguyên Thí dụ 103 Tìm đồ thị (C) : y = 1− x tất điểm có tọa độ nguyên ? 2x + ĐS: có bốn điểm M1 (0;1) , M (−1; −2) , M (1; 0), M (−2; − 1) cần tìm Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - 28 - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn Thí dụ 104 Lập phương trình Parabol (P) : y = ax + bx + c, (a, b, c ∈ » ) biết parabol (P) qua điểm M (x i ; y i ) ∈ (C) : y = 2x − có tọa độ số nguyên với hoành độ x i > −4 ? x +1 Đề thi thử Đại học 2014 lần I khối A – THPT Chuyên Lào Cai ĐS: (P) : y = x − 3x − Thí dụ 105 Tìm (C) : y = 2x + điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ ? x +1 Đề thi thử Đại học 2011 khối A, B – THPT Nguyễn Huệ ĐS: có hai điểm M (0;1) M (−2; 3) cần tìm Thí dụ 106 Tìm điểm M đường thẳng d : y = −2x + 19, biết tiếp tuyến đồ thị (C) : y = (x + 2)(x − 1) qua điểm M vng góc với đường thẳng d ' : x + 9y − = ? Đề thi thử Đại học 2013 lần I – THPT Trần Phú – Hà Tĩnh 207 thỏa yêu cầu toán ĐS: M1 (3;13) M2 ; 11 11 Thí dụ 107 Tìm A, B ∈ (C) : y = 2x cho tiếp tuyến (C ) A, B song song với ∆OAB x −1 vuông O ? ĐS: A (−1;1), B (3; 3) A (− 3; 3), B (− 1;1) điểm cần tìm Thí dụ 108 Tìm đồ thị (C) : y = 2x hai điểm B, C thuộc hai nhánh, cho tam giác ABC vuông cân x −1 đỉnh A với A (2; 0) ? ĐS: B (−1;1), C (3; 3) 7 9 Thí dụ 109 Tìm điểm M ∈ (C ) : y = x − 3x + cho ∆ABM cân M với A (0; 4), B ; ? 2 4 Đề thi thử Đại học 2012 lần VII – THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 1 −1 + 77 −7 + 77 , M −1 − 77 ; −7 − 77 ; ĐS: M1 ; , M2 3 2 4 4 Thí dụ 110 Tìm −4 (C) : y = 2x + x hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng MN với M (−3; 0), N (−1; − 1) ? Đề thi thử Đại học 2013 – THPT Thoại Ngọc Hầu – An Giang ĐS: A (2; 0) , B (0; −4 ) A (0; − ), B (2; 0) điểm cần tìm x −1 cho tiếp tuyến với (C ) M tạo với hai trục tọa độ 2x + tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng d : 4x + y = ? Thí dụ 111 Tìm điểm M ∈ (C) : y = Đề thi thử Đại học 2014 – THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa 5 3 ĐS: M1 − ; − M2 − ; 2 2 Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - 29 - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đồn Thí dụ 112 Tìm A ∈ (C ) : y = x − 3x + biết tiếp tuyến đồ thị (C ) điểm A, cắt đồ thị (C ) B (khác điểm A) thỏa: x A + xB = ? Đề thi thử Đại học 2013 lần II – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An ĐS: A (−1; 3) x +2 cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang lần khoảng x−3 cách từ M đến đường tiệm cận đứng ? Thí dụ 113 Tìm M ∈ (C) : y = Đề thi thử Đại học 2013 khối A – THPT Đào Duy Từ – Thanh Hóa ĐS: M (4; 6) M (2; −4 ) 2x − Tìm đồ thị (C ) điểm M có hồnh độ x +1 cắt hai đường tiệm cận A B thỏa mãn: Thí dụ 114 Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) : y = dương, cho tiếp tuyến M với (C ) IA + IB2 = 40 ? Đề thi thử Đại học 2013 khối A, B – THPT Hà Huy Tập – Hà Tĩnh ĐS: M (2;1) Thí dụ 115 Tìm M ∈ (C) : y = 2x − cho tiếp tuyến M (C ) tạo với hai tiệm cận tam giác có bán x −1 kính đường trịn ngoại tiếp = ? Đề thi thử Đại học 2013 lần I – THPT Hoàng Lệ Kha – Thanh Hóa ĐS: M (0;1) M (2; 3) Thí dụ 116 Gọi I tâm đối xứng đồ thị hàm số (C) : y = x Tìm hai điểm A, B ∈ (C ) để tứ giác OABI 1− x hình thang có đáy AB = 3OI ? Đề thi thử Đại học 2014 – Đề số – Tạp Chí Tốn Học & Tuổi Trẻ −1 + + + 5 − ; B A −1 − ; − ; B − ; − + ĐS: A ; ; 2 2 2 2 2x − điểm M cho tiếp tuyến M (C ) cắt hai tiệm cận (C ) x −2 A, B cho AB ngắn ? Thí dụ 117 Tìm (C) : y = ĐS: M1 (1;1) M2 (3; 3) 2x − , I giao điểm đường tiệm cận Tiếp tuyến d x−2 (C ) M cắt đường tiệm cận A B Tìm toạ độ điểm M cho đường trịn ngoại tiếp tam Thí dụ 118 Gọi M điểm (C) : y = giác IAB có diện tích có diện tích nhỏ ? Đề thi thử Đại học 2011 – THPT Lương Tài II – Bắc Ninh ĐS: M1 (1;1) ∨ M2 (3; 3) 2x − Tìm tọa độ điểm A, B thuộc x −1 hai nhánh (C ) cho IA + IB đạt giá trị nhỏ ? Thí dụ 119 Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) : y = Đề thi thử Đại học 2012 khối D – THPT Nguyễn Hữu Cầu Tp HCM Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - 30 - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn ĐS: A (0;1) , B (2; 3) A (2; 3) , B (0;1) điểm cần tìm Bài tập rèn luyện tìm điểm đặc biệt đồ thị hàm số BT 101 Tìm M ∈ (Oxy ) để có họ (Cm ) : y = 2mx + m + 2m qua 2x + 2m Đại học Sư phạm Qui Nhơn khối A năm 2000 2 ĐS: tập hợp điểm đường tròn (C) : (x + 1) + ( y − 1) = có tâm I (−1;1) bán kính R = trừ điểm (0;1), (−2;1) BT 102 Tìm M ∈ (C) : y = 2x , biết tiếp tuyến (C ) M cắt trục Ox, Oy A, B cho S∆OAB = ? x +1 Đại học khối D năm 2007 ĐS: M − ; −2 M (1;1) BT 103 Tìm điểm A, B ∈ (C) : y = −x + 3x cho tiếp tuyến (C ) A, B song song với AB = ? Đề thi thử Đại học 2013 khối A – THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ ĐS: A (2; −2) , B (−2; 2) A (−2;2) , B (2; −2) thỏa yêu cầu toán BT 104 Gọi A, B hai điểm cực trị (C) : y = x − 3x + Tìm tọa độ điểm M ∈ (C ) cho ∆MAB cân M ? Đề thi thử Đại học 2013 khối A lần I – THPT Chuyên Bắc Ninh 14 14 , M 14 ;2 + 14 ;2 − ĐS: M2 − 3 − 2x cho tiếp tuyến với (C ) điểm song song với nhau, đồng thời x −1 ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông O với O gốc tọa độ ? BT 105 Tìm A, B ∈ (C) : y = Đề thi thử Đại học 2014 lần I khối A, B – THPT Đoàn Thượng – Hải Dương ĐS: A (−1;1) , B (3; 3) A (3; 3) , B (−1;1) 2x + , cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận ngang (C) F x −1 ∆EFM vuông F với E (1; 0) ? BT 106 Tìm điểm M ∈ (C) : y = Đề thi thử Đại học 2014 lần II – THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội ( ) ĐS: M + 3; + BT 107 Tìm điểm đồ thị hàm số (C) : y = x+2 cách hai điểm A (2; 0), B (0; 2) ? 2x − Đề thi thử Đại học 2011 khối D – THPT Nguyễn Huệ 1 ± ± ; ĐS: M BT 108 Tìm M ∈ (C) : y = x − 3x + để tiếp tuyến (C ) điểm M cắt đồ thị (C ) điểm thức hai N thỏa mãn x M − x N = ? Đề thi thử Đại học 2013 lần I – THPT Thái Hòa – Nghệ An Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - 31 - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn ĐS: M (2; 4) ∨ M (−2; 0) 2x + , điểm M, N cho tiếp tuyến M N cắt hai x −1 đường tiệm cận bốn điểm lập thành hình thang ? ĐS: điểm M, N thuộc hai nhánh (C) thỏa mãn yêu cầu toán BT 109 Tìm hai nhánh đồ thị (C) : y = BT 110 Tìm điểm (C) : y = diện tích 18 2x − , cho tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác có x +1 (đvdt) ? Đề thi thử Đại học 2011 lần II – TTBDVH Thăng Long – Tp HCM BT 111 Tìm điểm M đồ thị (C) : y = 2x + x +1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d : x − 4y + = ngắn ? 3 ĐS: M 1; 2 BT 112 Tìm điểm M ∈ d : y = 3x − tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cực trị (C) : y = x − 3x + nhỏ ? 4 2 ĐS: M ; 5 BT 113 Tìm tọa độ điểm M ∈ (C) : y = 2x − , cho khoảng cách từ điểm I (− 1; ) tới tiếp tuyến (C ) x +1 M lớn ? Đề thi thử Đại học 2011 lần I – THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội ( ĐS: M1 −1 + 3;2 − ( ) ) ∨ M2 −1 − 3;2 + BT 114 Tìm đồ thị (C) : y = x + 3x − cặp điểm đối xứng qua điểm I (2;18 ) ? ĐS: A (1; 2) , B (3; 34) A (3; 34), B (1;2) BT 115 Tìm điểm cố định (Cm ) : y = x + mx − (m + 1) Đại học Sư phạm Vinh khối G năm 1999 ĐS: A (−1; 0), B (1; 0) § BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ Loại Đề cho (C) : y = f (x) Hãy vẽ (C1 ) : y = f (x) ? f (x ) f (x ) ≥ Bước Ta có (C1 ) : y = f ( x ) = −f (x ) f (x ) < Bước Đồ thị hàm số (C1 ) suy từ (C ) sau: ( ) + Phần I: Giữ lại phần (C ) phía Ox f ( x ) ≥ + Phần II: Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C ) nằm Ox + Hợp hai phần đồ thị, ta đồ thị (C1 ) : y = f (x ) Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - 32 - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn ( ) Loại Đề cho (C) : y = f (x) Hãy vẽ (C2 ) : y = f x ? f ( x ) x ≥ Bước Ta có (C2 ) : y = f x = f −x = f (x ) x < Bước Đồ thị hàm số (C2 ) suy từ (C ) sau: ( ) ( ) + Phần I: Giữ lại phần (C ) bên phải Oy (khi x ≥ ) + Phần II: Lấy đối xứng qua Oy phần vừa giữ lại (C ) ( ) + Hợp hai phần đồ thị, ta đồ thị (C2 ) : y = f x Loại Đề cho (C) : y = f (x) Hãy vẽ (C ) : y = f (x ) ? Bước Ta có: y = f (x ) ⇔ f ( x ) ≥ ⇔ x ∈ K y = ±f ( x ), ∀ x ∈ K Bước Đồ thị (C ) suy từ (C ) sau: + Phần I: Phần đồ thị (C) : y = f (x ) ứng với y ≥ (trên Ox ) + Phần II: Là phần đối xứng với phần (I ) qua trục Ox + Hợp hai phần đồ thị, ta đồ thị (C ) : y = f (x ) ( ) Loại Đề cho (C) : y = f (x) Hãy vẽ (C4 ) : y = f x ? Đây loại hợp hai phần đồ thị (C1 ) (C ) Giữ lại phần (C ) bên phải Oy (bỏ phần bên trái) Lấy đối xứng qua Oy phần vừa giữ lại (C ) Giữ lại phần (C2 ) phía Ox Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C ) nằm Ox (C) : y = u (x) v (x) u (x ) Loại Đề cho Hãy vẽ (C5 ) : (C) : y = v (x) y = u x v x () () u (x) ? y = v (x) y = u ( x ) v ( x) u (x) Bước Giữ nguyên phần đồ thị (C) : v ( x ) > y = v (x ) Bước Lấy đối xứng phần cịn lại qua trục hồnh Ox (I) (II ) ⇒ (I ) ∪ (II ) = (C ) Thí dụ 120 Từ (C) : y = x − 3x + 4, tìm m để phương trình ( 4−x + 4+x ) − 16 − x + 2m + = có nghiệm ? Đề thi thử Đại học 2014 khối A lần I – THPT Ngô Gia Tự – Vĩnh Phúc 41 + 16 ≤m≤− 2 3x − Thí dụ 121 Dựa vào đồ thị (C) : y = , m để phương trình sin x + cos6 x = m sin x + cos x , (i) x −2 2π có hai nghiệm phân biệt đoạn 0; ? 3 ĐS: − ( Tương lai ngày mai ngày hôm … ) Trang - 33 - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn Đề thi thử Đại học 2010 lần II – THPT Hậu Lộc II 1 ĐS: m ∈ ; 10 Thí dụ 122 Dựa vào đồ thị (C) : y = 2x + tìm giá trị m để hệ x −1 (y − 2) x − y − = (1) có x − 2x + y2 − 4y + = m2 (2) bốn nghiệm nguyên ? Đề thi thử Đại học 2013 khối A, B – THPT Hà Trung – Thanh Hóa ĐS: m = ± 10 ( Thí dụ 123 Dựa vào (C) : y = −x + 4x − 1, tìm m để: + 2 x x ) − (17 + 12 ) = m2 − 3m − 2, (i) có nghiệm x ∈ 0; log1+ 2 ? m = ∨ m = ĐS: − 29 − 17 + 17 + 29 ; ∪ ; m ∈ 2 2 Thí dụ 124 Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = 2x − 4x , tìm m để phương trình x2 x2 − = m (i) có nghiệm thực phân biệt ? Đại học khối B năm 2009 ĐS: m ∈ (0;1) Thí dụ 125 Từ (C) : y = −x 4 2 + 4x − 3, tìm m để phương trình −x + 4x − = 7m − m, (∗) có nghiệm thuộc −2; ? Đề thi thử Đại học 2013 lần I khối A – THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh ĐS: −1 ≤ m ≤ ∨ ≤m≤ 7 Thí dụ 126 Từ đồ thị (C) : y = 2x − 9x + 12x − 4, tìm m để phương trình x − 9x2 + 12 x = m, (∗) có nghiệm phân biệt ? Đại học khối A năm 2006 ĐS: < m < Thí dụ 127 Dựa vào đồ thị hàm số (C) : y = ( x − 1) log x +1 , biện luận theo m số nghiệm phương trình: x −1 m = x + 1, (i) ? m < ⇒ (ii) : có hai nghiệm phân biệt m > Nếu log2 m = −1 ⇔ m = ⇒ (ii) : có nghiệm Nếu −1 < log2 m < ⇔ < m < ⇒ (ii) : vô nghiệm x +1 Thí dụ 128 Dựa vào (C) : y = , biện luận số nghiệm phương trình x + = m (2x + 3) , (i) theo 2x + tham số m ? Đề thi thử Đại học 2013 khối A – THPT Cổ Loa – Hà Nội 1 ĐS: Nếu x ∈ − ; 0 : (ii) vơ nghiệm Nếu x ∈ 0; : (ii) có hai nghiệm 2 log m < −1 ĐS: Nếu ⇔ log2 m > Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - 34 - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn 1 1 Nếu x ∈ −∞; − ∪ {0} ∪ ; +∞ : phương trình có nghiệm 2 2 Thí dụ 129 Dựa vào đồ thị hàm số (C) : y = x − 3x , biện luận theo m số nghiệm phương trình: x= m x − 2x , (i ) ? Đề thi thử Đại học 2013 lần I – THPT Đông Sơn I – Thanh Hóa ĐS: nếu: m < ∨ m > : (ii) có nghiệm Nếu m = : (ii) vô nghiệm Nếu m ∈ (0; 4) : (ii) có ba nghiệm phân biệt Nếu m = : (ii) có hai nghiệm phân biệt Thí dụ 130 Dựa vào (C) : y = f (x ) = hai nghiệm phân biệt ? 2x − , tìm tham số m để x − x −1 m2 −4m − 2x + = 0, (i) có ĐS: m < − ∨ m > + Bài tập rèn luyện biện luận số nghiệm dựa vào đồ thị BT 116 Dựa vào (C) : y = −x + 3x + 1, tìm tham số m để phương trình: 27 x − x +1 + m = có hai nghiệm phân biệt ? Đề thi thử Đại học 2014 lần I – THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu ĐS: m ∈ (0; 2) BT 117 Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y = 8x − 9x + 1, biện luận theo m số nghiệm phương trình: cos x − cos2 x + m = 0, ∀ x ∈ 0; π ? Đề thi thử Đại học 2013 khối A – THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng 81 81 ĐS: Nếu m > : phương trình vơ nghiệm Nếu m = : phương trình có nghiệm 32 32 81 Nếu ≤ m < : phương trình có nghiệm Nếu < m < : phương trình có nghiệm 32 Nếu m = : phương trình có nghiệm Nếu m < : phương trình vơ nghiệm x + y − 4x + = BT 118 Dựa vào đồ thị (C) : y = −x + 4x − 1, tìm m để hệ phương trình: có x + y2 − = m2 − 2m ba nghiệm thực phân biệt ? ĐS: m = ∨ m = BT 119 Từ (C) : y = x − 3x2 + 1, tìm tham số m để 2x ( ) 2x − − − 2x − + = e2m − e m có nghiệm phân biệt ? ĐS: Khơng có giá trị m thỏa yêu cầu toán BT 120 Từ đồ thị hàm số (C) : y = x − 4x + 3, tìm m để phương trình x − 4x + = log2 m có bốn nghiệm phân biệt ? Đề thi thử Đại học 2010 – THPT Tống Văn Trân – Nam Định ĐS: m = ∨ < m < BT 121 Từ đồ thị hàm số (C) : y = 2x − x , tìm tham số m để phương trình m − x − 2x2 = m có ba nghiệm phân biệt ? Đề thi thử Đại học 2010 – THPT Bố Hạ – Bắc Giang ĐS: m ≥ 3 BT 122 Dựa vào (C) : y = 2x − 4x + , tìm tham số m để phương trình 2x − 4x2 + = m2 − m + 2 có nghiệm phân biệt ? Tương lai ngày mai ngày hôm … Trang - 35 - Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths Lê Văn Đoàn ĐS: m ∈ (0;1) BT 123 Dựa vào (C) : y = x −1 , biện luận số nghiệm phương trình: mx + m = x − + x + ? x +1 m < : phương trình có hai nghiệm Nếu ≤ m ≤ : phương trình có nghiệm ĐS: Nếu m > 2 log2 m BT 124 Dựa vào đồ thị hàm số (C) : y = x + 3x − 4, tìm m để phương trình (x + 2) = có x −1 bốn nghiệm ? Đề thi thử Đại học 2012 khối A, D1 – THPT Chuyên Ngoại Ngữ – Hà Nội ĐS: m ∈ (1;16) BT 125 Dựa vào (C) : y = x − 3x + 1, tìm tham số m để phương trình x − x = m − 3m có bốn nghiệm thực phân biệt ? 0 < m < ĐS: −2 < m < − ∨ m ≠ BT 126 Dựa vào đồ thị hàm số (C) : y = x − 3x + 2, biện luận số nghiệm phương trình: x − 2x − = m ? x −1 Đề thi thử Đại học 2011 khối A – THPT Minh Châu – Hưng Yên Nếu m = −2 : có nghiệm kép Nếu m ≥ : có nghiệm phân biệt ĐS: Nếu m < −2 : vô nghiệm Nếu −2 < m < : có nghiệm ( ) BT 127 Dựa vào (C) : y = x − 4x + 3, tìm tham số m để phương trình x2 − x2 − = log2 m có hai nghiệm phân biệt ? ĐS: m > ∨ < m