Đang tải... (xem toàn văn)
phuong trinh laplace va phuong trinh truyen nhiet
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Khoa Vật lý Bài tập PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT & PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE Biên soạn: Lee Ein Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013 Methods of Mathematical Physics SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 1 Phương trình truyền nhiệt Bài 1: Tìm nhiệt độ ( ) ux,t trên một thanh dẫn nhiệt dài L mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng hai đầu thanh được giữ ở 0 và nhiệt độ ban đầu tại các điểm ( ) Mx trên thanh được cho bởi hàm số ( ) fx với 0xL ££ . Áp dụng kết quả này hãy tìm ( ) ux,t khi biết thanh dài 2 mét với ( ) fxx = khi 0x1 ££ và ( ) fx2x =- khi 1x2 ££ Phương trình truyền nhiệt: 2 2 2 uu a tx ¶¶ = ¶¶ với 0xL t0 ££ ì í ³ î Điều kiện ban đầu: ( ) t0 ufx = = với [ ] x0;L "Î Điều kiện biên: x0xL uu0 == == với t0 "³ Tách biến: ( ) ( ) ( ) ux,tXx.Tt = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 XxTtaXxTt ¢¢¢ Þ= ( ) () ( ) () 2 XxTt const XxaTt ¢¢¢ Þ==-l= ( ) ( ) ()() 2 XxXx0 (1) TtaTt0 (2) ¢¢ ì +l= ï Þ í ¢ +l= ï î Điều kiện biên: ( ) ( ) X0XL0 == (3) Giải phương trình (1) - Trường hợp 1: 0 l= ( ) XxAxB Þ=+ Thay điều kiện (3) ( ) () X0A.0B0 AB0 XLA.LB0 ì =+= ï ÞÞ== í =+= ï î ( ) ( ) Xx0ux,t0 Þ=Þ= (loại) - Trường hợp 2: 0 l< ( ) xx XxAeBe a-a Þ=+ với a=-l Thay điều kiện (3) ( ) () LL X0AB0 AB0 XLAeBe0 a-a ì =+= ï ÞÞ== í =+= ï î ( ) ( ) Xx0ux,t0 Þ=Þ= (loại) - Trường hợp 3: 0 l> ( ) XxAcosxBsinx Þ=a+a với a=l Thay điều kiện (3) ( ) () X0A00 sinL0 XLABsinL0 ì =+= ï ÞÞa= í =+a= ï î Lk Þa=p với k = 1, 2, 3,… k L p Þa= Phương trình (1) có vô số nghiệm: () k kx XxBsin L p = Methods of Mathematical Physics SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 2 Giải phương trình (2), ta có nghiệm: () 2 2 ka t at L k TtC.eC.e p æö - ç÷ -l èø == với 2 2 k L p æö l=a= ç÷ èø Suy ra: () 2 ka t L k k1 kx ux,tCesin L p æö +¥ - ç÷ èø = p = å Dựa vào điều kiện đầu: ( ) t0 ufx = = () k k1 kx fxCsin L +¥ = p Þ= å () L k 0 2kx Cfxsindx LL p Þ= ò Áp dụng: Ta có: () () () 212 k 001 kxkxkx Cfxsindxfxsindxfxsindx 222 ppp ==+ òòò () () () () () 12 k 01 2 1 12 0 01 1 12 01 222 kxkx Cxsindx2xsindx 22 2x2 2xkx2kxkx2kx coscosdxcoscosdx k2k2k2k2 2k22kx2k22kx cossincossin k2kk2k2kk2 4k4k8k sinsinsin 222 kkk pp Þ=+- - -pppp =++- pppp -pppp =++- pppppp ppp =+= ppp òò òò Đáp số: () () 2 ka t 2 2 k1 8kkx ux,tsinesin 22 k p æö +¥ - ç÷ èø = pp = p å Methods of Mathematical Physics SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 3 Bài 2: Tìm nhiệt độ ( ) ux,t trên một thanh dẫn nhiệt dài 1 mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng đầu x0 = của thanh được giữ ở 0 u , còn đầu kia được giữ ở 1 u , nhiệt độ ban đầu tại các điểm ( ) Mx trên thanh là 2 u Phương trình truyền nhiệt: 2 2 2 uu a tx ¶¶ = ¶¶ với 0x1 t0 ££ ì í ³ î Điều kiện ban đầu: 2 t0 uu = = với [ ] x0;1 "Î Điều kiện biên: 01 x0x1 uu, uu == == với t0 "³ Đặt ( ) ( ) ( ) 001 vx,tux,tuuux =-+- ( ) () 001 x0x0 001 x1x1 vuuuu.00 vuuuu.10 == == ì =-+-= ï Þ í =-+-= ï î Với ( ) ( ) ( ) 010 ux,tvx,tuuux =++- . Phương trình truyền nhiệt trở thành: 2 2 2 vv a tx ¶¶ = ¶¶ Với điều kiện đầu: ( ) 2001 t0 vuuuux = =-+- Và điều kiện biên: x0x1 vv0 == == Tách biến: ( ) ( ) ( ) vx,tXx.Tt = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 XxTtaXxTt ¢¢¢ Þ= ( ) () ( ) () 2 XxTt const XxaTt ¢¢¢ Þ==-l= ( ) ( ) ()() 2 XxXx0 (1) TtaTt0 (2) ¢¢ ì +l= ï Þ í ¢ +l= ï î Điều kiện biên: ( ) ( ) X0X10 == (3) Giải phương trình (1) - Trường hợp 1: 0 l= ( ) XxAxB Þ=+ Thay điều kiện (3) ( ) () X0A.0B0 AB0 X1A.1B0 ì =+= ï ÞÞ== í =+= ï î ( ) ( ) Xx0vx,t0 Þ=Þ= (loại) - Trường hợp 2: 0 l< ( ) xx XxAeBe a-a Þ=+ với a=-l Thay điều kiện (3) ( ) () X0AB0 AB0 X1AeBe0 a-a ì =+= ï ÞÞ== í =+= ï î ( ) ( ) Xx0vx,t0 Þ=Þ= (loại) - Trường hợp 3: 0 l> ( ) XxAcosxBsinx Þ=a+a với a=l Methods of Mathematical Physics SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 4 Thay iu kin (3) ( ) () X0A00 sin0 X1ABsin0 ỡ =+= ù ịịa= ớ =+a= ù ợ k ịa=p vi k = 1, 2, 3, k ịa=p Phng trỡnh (1) cú vụ s nghim: ( ) k XxBsinkx =p Gii phng trỡnh (2), ta cú nghim: () () 2 2 kat at k TtC.eC.e -p -l == vi ( ) 2 2 k l=a=p Suy ra: () () 2 kat k k1 vx,tCesinkx +Ơ -p = =p ồ () 1 k2001 0 C2uuuuxsinkxdx ộự ị=-+-p ởỷũ ỏp s: ()() () 2 kat 010k k1 ux,tuuuxCesinkx +Ơ -p = =+-+p ồ Bi 3: Tỡm nhit ( ) ux,t trờn mt thanh dn nhit di L một khụng cha ngun nhit, bit rng hai u thanh cỏch nhit v nhit ban u ti cỏc im ( ) Mx trờn thanh c cho bi hm s ( ) fx vi 0xL ÊÊ . p dng kt qu ny hóy tỡm ( ) ux,t khi bit thanh di 2 một vi ( ) 0 fxu = khi 0x1 ÊÊ v ( ) fx0 = khi 1x2 ÊÊ Phng trỡnh truyn nhit: 2 2 2 uu a tx ảả = ảả vi 0xL t0 ÊÊ ỡ ớ ợ iu kin ban u: ( ) t0 ufx = = vi [ ] x0;L "ẻ iu kin biờn: x0xL uu 0 xx == ảả == ảả vi t0 " Tỏch bin: ( ) ( ) ( ) ux,tXx.Tt = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 XxTtaXxTt  ị= ( ) () ( ) () 2 XxTt const XxaTt  ị==-l= ( ) ( ) ()() 2 XxXx0 (1) TtaTt0 (2)  ỡ +l= ù ị ớ  +l= ù ợ iu kin biờn: ( ) ( ) X0XL0  == (3) - Trng hp 1: 0 l= ( ) XxAxB ị=+ Thay iu kin (3): ( ) X0A0  ị== ( ) 0 XxB0 ị=ạ T phng trỡnh (2), ta cú: ( ) ( ) 0 Tt0TtC0  =ị=ạ Vy () 0 0 a ux,tBC 2 == - Trng hp 2: 0 l< ( ) xx XxAeBe a-a ị=+ vi a=-l ( ) xx XxAeBe a-a  ị=a-a Methods of Mathematical Physics SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 5 Thay iu kin (3) ( ) () LL X0AB0 AB0 XLAeBe0 a-a  ỡ =-= ù ịị== ớ  =-= ù ợ ( ) ( ) Xx0ux,t0 ị=ị= (loi) - Trng hp 3: 0 l> ( ) XxAcosxBsinx ị=a+a vi a=l ( ) XxAsinxBcosx  ị=-aa+aa Thay iu kin (3) ( ) () X00B0 sinL0 XLAsinL00  ỡ =+= ù ịịa= ớ  =-aa+= ù ợ Lk ịa=p vi k = 1, 2, 3, k L p ịa= Phng trỡnh (1) cú vụ s nghim: () k kx XxAcos L p = Gii phng trỡnh (2), ta cú nghim: () 2 2 ka t at L k TtC.eC.e p ổử - ỗữ -l ốứ == vi 2 2 k L p ổử l=a= ỗữ ốứ Suy ra: () 2 ka t L 0 k k1 a kx ux,tCecos 2L p ổử +Ơ - ỗữ ốứ = p =+ ồ Vi () L 0 0 2 afxdx L = ũ v () L k 0 2kx Cfxcosdx LL p = ũ p dng: Ta cú: ()()() 212 0 001 afxdxfxdxfxdx ==+ ũũũ 1 1 0000 0 0 audxuxu ị=== ũ V: 1 1 00 k0 0 0 2u2u kxkxk Cucosdxsinsin 2k2k2 ppp === pp ũ ỏp s: () 2 ka t 2 00 k1 u2u kkx ux,tsinecos 2k22 p ổử +Ơ - ỗữ ốứ = pp =+ p ồ Methods of Mathematical Physics SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 6 Bài 4: Tìm nhiệt độ ( ) ux,t trên một thanh dẫn nhiệt dài 1 mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng đầu x0 = của thanh cách nhiệt, còn đầu kia được giữ ở nhiệt độ 1 u , nhiệt độ ban đầu tại các điểm ( ) Mx trên thanh là ( ) 1 ux,0ux = với 0x1 ££ Phương trình truyền nhiệt: 2 2 2 uu a tx ¶¶ = ¶¶ với 0x1 t0 ££ ì í ³ î Điều kiện ban đầu: 1 t0 uux = = với [ ] x0;1 "Î Điều kiện biên: x0 u 0 x = ¶ = ¶ và 1 x1 uu = = với t0 "³ Đặt ( ) ( ) 1 vx,tux,tu =- 1 x1x1 x0x0 111 t0t0 vuu0 vu 0 tt vuuuxu == == == ì =-= ï ¶¶ ï Þ== í ¶¶ ï ï =-=- î Với ( ) ( ) 1 ux,tvx,tu =+ . Phương trình truyền nhiệt trở thành: 2 2 2 vv a tx ¶¶ = ¶¶ Tách biến: ( ) ( ) ( ) vx,tXx.Tt = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 XxTtaXxTt ¢¢¢ Þ= ( ) () ( ) () 2 XxTt const XxaTt ¢¢¢ Þ==-l= ( ) ( ) ()() 2 XxXx0 (1) TtaTt0 (2) ¢¢ ì +l= ï Þ í ¢ +l= ï î Điều kiện biên: ( ) () X00 X10 ¢ ì = ï í = ï î (3) - Trường hợp 1: 0 l= ( ) XxAxB Þ=+ ( ) XxA ¢ Þ= Thay điều kiện (3): ( ) () X0A0 AB0 XLAB0 ¢ ì == ï Þ== í =+= ï î ( ) ( ) Xx0vx,t0 Þ=Þ= (loại) - Trường hợp 2: 0 l< ( ) xx XxAeBe a-a Þ=+ với a=-l ( ) xx XxAeBe a-a ¢ Þ=a-a Thay điều kiện (3) ( ) () X0AB0 AB0 X1AeBe0 a-a ¢ ì =-= ï ÞÞ== í =+= ï î ( ) ( ) Xx0vx,t0 Þ=Þ= (loại) - Trường hợp 3: 0 l> ( ) XxAcosxBsinx Þ=a+a với a=l ( ) XxAsinxBcosx ¢ Þ=-aa+aa Methods of Mathematical Physics SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 7 Thay iu kin (3): ( ) () X00B0 cos0 X1Acos0  ỡ =+= ù ịịa= ớ =a= ù ợ ( ) 2k1 2 +p ịa= vi k = 0, 2, 3, Phng trỡnh (1) cú vụ s nghim: () ( ) k 2k1x XxAcos 2 +p = Gii phng trỡnh (2), ta cú nghim: () () 2 2 2k1a t 2 at k TtC.eC.e ộự +p - ờỳ -l ởỷ == vi () 2 2 2k1 2 ộự +p l=a= ờỳ ởỷ Suy ra: () () () 2 2k1a t 2 k k1 2k1x vx,tCecos 2 ộự+p +Ơ - ờỳ ởỷ = +p = ồ Da vo iu kin u: 11 t0 vuxu = =- ( ) 11k k1 2k1x uxuCcos 2 +Ơ = +p ị-= ồ () ( ) 1 k11 0 2k1x C2uxucosdx 2 +p ị=- ũ Bi 5: Tỡm nhit ( ) ux,t trờn mt thanh dn nhit di L một cú cha ngun nhit (cho bi hm s ( ) gx,t ), bit rng hai u thanh c gi 0 v nhit ban u ti cỏc im ( ) Mx trờn thanh c cho bi hm s ( ) fx vi 0xL ÊÊ . p dng kt qu ny hóy tỡm ( ) ux,t khi bit thanh di 2 một vi ( ) 2 gx,tx2x =- vi 0x2 ÊÊ , nhit ban u ti cỏc im ( ) Mx trờn thanh l 0 Phng trỡnh truyn nhit: () 2 2 2 uu agx,t tx ảả =+ ảả vi 0xL t0 ÊÊ ỡ ớ ợ iu kin biờn: x0xL uu0 == == vi t0 " Ta xột nghim: ()() k k1 kx ux,tTtsin L +Ơ = p = ồ iu kin ban u: ()() k t0 k1 kx ufxT0sin L +Ơ = = p == ồ vi [ ] x0;L "ẻ () () L k 0 2kx T0fxsindx LL p ị= ũ (*) Ta vit: ()() k k1 kx gx,tGtsin L +Ơ = p = ồ () () L k 0 2kx Gtgx,tsindx LL p ị= ũ Methods of Mathematical Physics SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 8 Phng trỡnh truyn nhit: () () () 2 2 kkk k1k1k1 kxkkxkx TtsinaTtsinGtsin LLLL +Ơ+Ơ+Ơ === pppp ổử  =-+ ỗữ ốứ ồồồ () ()()() ()() 22 kkkkkk kaka TtTtGtTtTtGt LL pp ổửổử  ị=-++= ỗữỗữ ốứốứ Nghim ca phng trỡnh vi phõn: () () 2 ka t L kR TtC.eTt p ổử - ỗữ ốứ =+ vi ( ) R Tt l nghim riờng. T iu kin (*): ( ) ( ) ( ) ( ) kRkR T0CT0CT0T0 ị=+ị=- Suy ra: () () 2 ka t L R k1 kx ux,tC.eTtsin L p ổử +Ơ - ỗữ ốứ = ộự p ờỳ =+ ờỳ ởỷ ồ p dng: () 2 k 0 kx T00.sindx0 1 p == ũ () () () () () () () () () 2 2 21 2 k 00 0 2 2 2 3 0 0 0 k 3 22xx kxkx4kx Gtx2xsindxcosx1cosdx 2k2k2 2x1 4kx2kx422kx16 0sinsindx0coscosk1 kk2k2kkk2 k 1611 k - ppp =-=+- pp ộự ổử - ppp ờỳ =+-=+=p- ỗữ ỗữ pppppp ờỳ p ốứ ởỷ ộự ởỷ = p ũũ ũ Ta cú: () () () () k 2 kk 3 1611 ka TtTt 2 k ộự p ổử ởỷ  += ỗữ ốứ p Nghim phng trỡnh vi phõn: () () 2 ka t 2 kR TtC.eTt p ổử - ỗữ ốứ =+ ( ) R TtDconst ị== () () () () kk 2 35 2 16116411 ka 0DD 2 kka ộựộự p ổử ởỷởỷ ị+=ị= ỗữ ốứ pp Ngoi ra, ta cú: () () () k k 5 2 6411 T0C0 ka ộự ởỷ =+= p Nu k chn C0 ị= (loi). Suy ra k phi l () () () 55 22 k kaka C 128 6411 pp ị== ộự ởỷ Methods of Mathematical Physics SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 9 Vy: () () () 2 ka t 5 2 2 k 5 2 kae 128 Tt 128 ka p ổử - ỗữ ốứ p =- p ỏp s: () () () 2 ka t 5 2 2 5 2 k1 kae 128kx ux,tsin 128L ka p ổử - ỗữ ốứ +Ơ = ộự ờỳ p p =- ờỳ p ờỳ ờỳ ởỷ ồ Bi 6: Tỡm nhit ( ) ux,t trờn mt thanh dn nhit di 1 một khụng cha ngun nhit, bit rng u x0 = ca thanh c gi nhit 0, cũn u kia ca thanh cú nhit cho bi () t 1 u1,t e = ( t0 " ), nhit ban u ti cỏc im ( ) Mx trờn thanh l ( ) ux,0x = vi 0x1 ÊÊ Phng trỡnh truyn nhit: 2 2 2 uu a tx ảả = ảả vi 0x1 t0 ÊÊ ỡ ớ ợ iu kin ban u: t0 ux = = vi [ ] x0;1 "ẻ iu kin biờn: t x0x1 u0, ue - == == vi t0 " t ( ) ( ) t vx,tux,tex - =- t x0x0 t x1x1 t0t0 vue00 vue10 vux0 - == - == == ỡ =-ì= ù ị=-ì= ớ ù =-= ợ Vi ( ) ( ) t ux,tvx,tex - =+. Phng trỡnh truyn nhit tr thnh: () 222 t22t2 222 vvvvvv exaaexagx,t txtxtx ảảảảảả -==+ị=+ ảảảảảả vi ( ) t gx,tex - = Vi iu kin u: t0 v0 = = v iu kin biờn: x0x1 vv0 == == Ta xột nghim: ()() k k1 vx,tTtsinkx +Ơ = =p ồ iu kin ban u: () k t0 k1 v0T0sinkx +Ơ = = ==p ồ vi [ ] x0;1 "ẻ () 1 k 0 T020sinkxdx0 ị=p= ũ (*) Ta vit: ()() k k1 gx,tGtsinkx +Ơ = =p ồ [...]... Methods of Mathematical Physics Phng trỡnh Laplace Bi 1: Tỡm nhit dng u ( x,y ) trờn mt hỡnh ch nht (chiu di L v chiu rng m) vi nhit trờn 2 biờn x = 0 v x = L gi 0, cũn nhit trờn 2 biờn y = 0 v y = m ln lt l f ( x ) v F ( x ) vi 0 Ê x Ê L p dng kt qu ny hóy tỡm u ( x,y ) trờn mt hỡnh vuụng cú cnh 1 một vi f ( x ) = sin 5px v F ( x ) = 0 vi 0 Ê x Ê 1 Phng trỡnh Laplace: Du ( x,y ) = 0 ị ả2u ả2u ả2u... ỗ Bi 2: Tỡm nhit dng u ( x,y ) trờn mt hỡnh ch nht vụ hn vi nhit trờn 2 biờn x = 0 v x = 1 gi 0, cũn nhit trờn 2 biờn y = 0 v y đ +Ơ ln lt l f ( x ) = 1 - x v F ( x ) = 0 vi 0 Ê x Ê 1 Phng trỡnh Laplace: Du ( x,y ) = 0 ị ả2u ả2u ả2u ả2u + 2 =0 ị 2 =- 2 ảx 2 ảy ảx ảy iu kin biờn: u x =0 = u x =1 = 0 u y=0 = 1 - x , lim u = 0 yđƠ Tỏch bin: u ( x,y ) = X ( x ) Y ( y ) ị X ( x ) Y ( y ) = - X (... trờn mt hỡnh trũn tõm O bỏn kớnh R = 2 bit rng nhit trờn biờn cho bi: a) u ( 2, j ) = 3 + sin j vi 0 Ê j Ê 2 p b) u ( 2, j ) = 3 vi 0 Ê j Ê p v u ( 2, j ) = 0 vi p < j Ê 2 p ỡ"j ẻ [0;2 p] Phng trỡnh Laplace: Du ( r, j ) = 0 vi ớ ợ 0ÊrÊ2 Trong ta cc: Du ( r, j ) = 0 ị v u r =2 = 3 + sin j 1 ả ổ ảu ử 1 ả 2 u r + =0 r ảr ỗ ảr ữ r 2 ảj2 ố ứ Xột u ( r, j ) = V ( r ) F ( j ) Ta cú: ị ảu ảu = V ( r ) F... ị r = rV ( r ) F ( j ) ảr ảr ả ổ ảu ử r = V ( r ) F ( j ) + rV ( r ) F ( j ) = ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) ở ỷ ảr ỗ ảr ữ ố ứ ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) V ( r ) F ( j ) ỷ Phng trỡnh Laplace tr thnh: ở + =0 2 r ị F ( j ) F ( j) = r ộV ( r ) + rV ( r ) ự ở ỷ -V ( r ) ị ỡ F ( j ) + lF ( j ) = 0 ù ịớ 2 ù r V ( r ) + rV ( r ) - lV ( r ) = 0 ợ F ( j ) F ( j) = r r 2 V ( r... Bi 4: Tỡm nhit dng u ( r,j ) trờn mt hỡnh bỏn nguyt tõm O bỏn kớnh R = 1 bit rng nhit trờn ng kớnh c gi nhit 0, cũn nhit trờn cung trũn cho bi u (1, j ) = 3j vi 0 Ê j Ê p ỡ"j ẻ [0; p] Phng trỡnh Laplace: Du ( r, j ) = 0 vi ớ ợ 0 Ê r Ê1 Vi u r =1 = 3j v u j=0 = u j=p = 0 1 ả ổ ảu ử 1 ả 2 u Trong ta cc: Du ( r, j ) = 0 ị r + =0 r ảr ỗ ảr ữ r 2 ảj2 ố ứ Xột u ( r, j ) = V ( r ) F ( j ) Ta cú: ị ảu... ị r = rV ( r ) F ( j ) ảr ảr ả ổ ảu ử r = V ( r ) F ( j ) + rV ( r ) F ( j ) = ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) ở ỷ ảr ỗ ảr ữ ố ứ ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) V ( r ) F ( j ) ỷ Phng trỡnh Laplace tr thnh: ở + =0 2 r ị F ( j ) F ( j) = r ộV ( r ) + rV ( r ) ự ở ỷ -V ( r ) ị ỡ F ( j ) + lF ( j ) = 0 ù ịớ 2 ù r V ( r ) + rV ( r ) - lV ( r ) = 0 ợ F ( j ) F ( j) = r r 2 V ( r... trũn tõm O bỏn kớnh R = 1 bit rng nhit trờn 4 2 bỏn kớnh c gi nhit 0, cũn nhit trờn cung trũn cho bi u (1, j ) = 2j2 - pj vi Bi 5: Tỡm nhit dng u ( r,j ) trờn 0ÊjÊ p 2 ỡ ộ pự ù"j ẻ ờ0; ỳ Phng trỡnh Laplace: Du ( r, j ) = 0 vi ớ ở 2ỷ ù 0 Ê r Ê1 ợ Vi u r =1 = 2j2 - pj v u j=0 = u j= p = 0 2 Trong ta cc: Du ( r, j ) = 0 ị 1 ả ổ ảu ử 1 ả 2 u r + =0 r ảr ỗ ảr ữ r 2 ảj2 ố ứ Xột u ( r, j ) = V ( r ) F... ị r = rV ( r ) F ( j ) ảr ảr ả ổ ảu ử = V ( r ) F ( j ) + rV ( r ) F ( j ) = ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) r ở ỷ ảr ỗ ảr ữ ố ứ ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) V ( r ) F ( j ) ỷ Phng trỡnh Laplace tr thnh: ở + =0 2 r ị F ( j ) F ( j) = r ộV ( r ) + rV ( r ) ự ở ỷ -V ( r ) ị ỡ F ( j ) + lF ( j ) = 0 ù ịớ 2 ù r V ( r ) + rV ( r ) - lV ( r ) = 0 ợ F ( j ) F ( j) = r r 2 V ( r... 6: Tỡm nhit dng u ( r,j ) trờn mt hỡnh vnh khn tõm O bỏn kớnh trong v ngoi l R1 = 1 v R 2 = 2 bit rng nhit trờn biờn cho bi u (1, j ) = u1 v u ( 2, j ) = u 2 vi 0 Ê j Ê 2p ỡ"j ẻ [0;2 p] Phng trỡnh Laplace: Du ( r, j ) = 0 vi ớ ợ 1Ê r Ê 2 Vi u r =1 = u1 v u r =2 = u 2 1 ả ổ ảu ử 1 ả 2 u Trong ta cc: Du ( r, j ) = 0 ị r + =0 r ảr ỗ ảr ữ r 2 ảj2 ố ứ Xột u ( r, j ) = V ( r ) F ( j ) Ta cú: ị ảu ảu... ị r = rV ( r ) F ( j ) ảr ảr ả ổ ảu ử = V ( r ) F ( j ) + rV ( r ) F ( j ) = ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) r ở ỷ ảr ỗ ảr ữ ố ứ ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) V ( r ) F ( j ) ỷ Phng trỡnh Laplace tr thnh: ở + =0 2 r ị F ( j ) F ( j) = r ộV ( r ) + rV ( r ) ự ở ỷ -V ( r ) ị ỡ F ( j ) + lF ( j ) = 0 ù ịớ 2 ù r V ( r ) + rV ( r ) - lV ( r ) = 0 ợ F ( j ) F ( j) = r r 2 V ( r