Đang tải... (xem toàn văn)
áp dụng một số bất đẳng thức đơn giản để chứng minh bất đẳng thức trong chương trình đại số lớp 10
Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý thực đề tài: Cơ sở lý luận: Bất đẳng thức phần quan trọng chương trình tốn phổ thơng Nó có mặt tất mơn Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác Giải tích Các tốn bất đẳng thức tỏ có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo phương pháp giải chúng Chính bất đẳng thức chuyên đề người quan tâm đến nhiều Tuy nhiên, việc giải toán chứng minh bất đẳng thức không đơn giản, yêu cầu không nắm vững kiến thức bản, mà phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo phương pháp học kết hợp với kỹ biến đổi, suy luận, dự đoán, Cơ sở thực tiễn: Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” nhắc đến bất đẳng thức, cho bất đẳng thức phần khó khơng thể giải Ngun nhân học sinh khơng biết cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải tốn đơn giản trở nên “vơ khó” em Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy học bất đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn bất đẳng thức, tơi nghiên cứu đề tài: “Kinh nghiệm áp dụng số bất đẳng thức đơn giản để chứng minh bất đẳng thức chương trình đại số lớp10” II Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lý luận; Phương pháp điều tra thực tiễn; Phương pháp thực nghiệm sư phạm; Phương pháp thông kê Trang Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương III Đối tượng nghiên cứu: Các toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức (*) (**) (***) B PHẦN NỘI DUNG Ứng dụng toán bất đẳng thức đơn giản : Chúng ta biết chứng minh bất đẳng thức chuyên đề hấp dẫn địi hỏi cao kỹ tư sáng tạo học sinh Ở đề tài muốn giới thiệu số bất đẳng thức khai thác phát triển từ bất đẳng thức đơn giản sách giáo khoa Đại số 10 a.Ví dụ 1(Bài trang 79, SGK Đại số 10- Ban bản) Chứng minh : Nếu (*) Đẳng thức xảy ? Chứng minh : Cách : (*) Bất đẳng thức cuối Đẳng thức xảy a=b Cách : Ta có (vì ) Dấu xảy a=b Nhận xét : Vì a,b hai số dương nên từ (*) ta suy bất đẳng thức Ở toán nhiều giáo viên cho dễ nên khơng cần phải hướng dẫn hướng dẫn qua loa Như vấn đề chưa giải bỏ sót yếu tố quan trọng phát triển tư cho học sinh Theo tôi, cần cho học sinh suy nghĩ hướng dẫn khai thác tốn qua vận dụng từ toán đơn giản để hướng dẫn giải tốn có liên quan Trang Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương Bài 1: Cho a,b ≥0, chứng minh (1) Hướng dẫn : Bất đẳng thức (1) chứng minh nhờ việc áp dụng nhận xét lần Bài : Cho a,b,c ba số thực không âm Chứng minh : Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức (*) ta Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có : (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực không âm ta : (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c Nhận xét : Thực chất dạng khai thác toán dạng cách nhìn khác mà thơi Tuy nhiên học sinh khơng biết vận dụng ví dụ liệu tốn học sinh giải khơng phải đơn giản chút Và toán sau đây, đặt thêm vấn đề nhằm khai thác toán với việc ab=1 Ta lại có tốn sau Bài 3: Cho a ab=1 Chứng minh Chứng minh : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Áp dụng bất đẳng thức (*) bất đẳng thức Côsi cho hai số khơng âm ta có (đpcm) Đẳng thức xảy a=b=1 Trang Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương Bài : Chứng minh Trong a,b,c ba số thực dương Chứng minh : Áp dung bất đẳng thức (*) ta (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số thực dương ta Từ (1) (2) suy điều phải chưng minh Đẳng thức xảy a=b=c Nhận xét 3: Ta chuyển tải tốn tốn mũ, việc quy lạ qn tạo cho dễ dàng việc khai thác toán tương tự nhằm phát huy tư học sinh Bài 5: Cho ba số a,b,c Chứng minh Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có (1) Mặt khác Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c=0 Bài : Cho ba số dương a,b,c Chứng minh : (2) Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có Trang Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương Tương tự , Cộng bất đẳng thức vế với vế ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c Bài : Chứng minh với ba số dương a,b,c ta có Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (*) ta Tương tự , Cộng vế với vế bất đẳng ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c Bài : Cho x,y,z ba số thực dương xyz=1 Chứng minh Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức (*) ta Trang Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương Tương tự , Cộng vế với vế bất đẳng thức ta Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có Từ (1) (2) suy điều cần phải chứng minh Đẳng thức xảy x=y=z=1 Bài : Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh : (2) Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức (*) ta Tương tự , Cộng vế với vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c Nhận xét : Nếu toán cộng điều kiện abc=1, ta có tốn sau Bài 10 : Cho a,b,c ba số thực dương abc=1 Chứng minh : Nhận xét : Nếu ta lại đặt ta lại có tốn sau Bài 11 : Cho x,y,z ba số thực dương xyz=1 Chứng minh : Trang Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương Nhận xét : Ta lại bỏ điều kiện xyz=1 Ta lại có tốn khó Bài 12 : Cho x,y,z ba số thực dương Chứng minh : Bài 13 : Cho a,b,c thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức S=a+b+c Nhận xét : Việc chứng minh toán 10,11,12,13 khơng khó, biết sử dụng linh hoạt tốn tương tụ Nếu học sinh khơng biết vận dụng (Tức vận dụng ví dụ 1) e khó làm em học sinh, kể đội tuyển học sinh giỏi Bài 14 : Chứng minh : Trong a,b,c số thực dương Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức (*) ta : Tương tự Cộng vế với vế bất đẳng thức ta : Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có Trang Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c Nhận xét : Nếu lại đặt Ta lại có tốn sau Bài 15 : Chứng minh Trong x,y,z ba số thực dương xyz=1 Nhận xét : Từ tốn vừa nêu, đặt ta giải tốn đơn giản Bài 16 : Cho ba số a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=0 Chứng minh Hướng dẫn : Bài toán trở việc chứng minh bất đẳng thức Áp dụng tốn 15 ta có kết Nhận xét 10 : Ta lại có tốn tổng qt toán 15 sau : Bài 17 : Cho m số không âm; x,y,z ba số thỏa mãn x+y+z=0 Chứng minh : Nhận xét 11 : Từ tốn tổng qt qua q trình phân tích, nhận định phát huy tư sáng tạo cho học sinh, ta xây dựng tốn tổng qt ví dụ Bài 18 : (Bài tốn tổng qt ví dụ 1) Cho số thực không âm , Chứng minh : Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+1 số thực không âm ta có : Cộng vế với vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy Áp dụng bất đẳng thức (*) bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh bất đẳng thức sau : Bài 19 : Cho số thực dương , Chứng minh : Trang Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức tổng quát bất đẳng thức (*) ta có Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho mẫu thức biểu thức vế trái ta : Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy Nhận xét 12 : Từ ví dụ minh họa thêm khai thác tốn nhiều cách, nhiều hướng khác Hướng cho học sinh hiểu rõ vấn đề nó, học sinh giải toán dễ dàng hơn, qua nâng cao hứng thú tìm tịi, rèn luyện tư khai thác sáng tạo học sinh b/Ví dụ : Chứng minh (**) Đẳng thức xảy ? Chứng minh : (**) Bất đẳng thức cuối Đẳng thức xảy a=b Bài : (Bài toán tổng quát) Cho số thực không âm , Chứng minh : Trang Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+2 số thực khơng âm ta có : Cộng vế với vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy Áp dụng bất đẳng thức (**) bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh bất đẳng thức sau Bài : Cho hai số dương a,b Chứng minh : Chứng minh : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Đây bất đẳng thức (**) cho hai số dương chứng minh Đẳng thức xảy a=b nên ta điều phải Bài : Chứng minh : Trong a,b,c ba số thực khơng âm Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có Cộng vế với vế bất đẳng thức ta : (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số khơng âm ta có (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c Bài : Cho ba số dương a,b,c Chứng minh : Trang 10 Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có Cộng vế với vế bất đẳng thức ta : Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có (2) Và áp dụng kết Bài ta (3) Từ (1), (2) (3) suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c Bài : Chứng minh : Trong x,y,z ba số thực dương Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có Trang 11 Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương Tương tự Cộng vế với vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy Bài : Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh : Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức tổng quát bất đẳng thức (**) cho n=3 ta có (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c Nhận xét 13 : Từ toán 6, khai thác bậc 5, số bất đẳng thức (***) rõ ràng việc chứng minh bất đẳng thức thật khơng khó Tuy nhiên, người thầy biết hướng dẫn nhìn nhận khai thác tốn việc nhận chứng minh toán việc làm đơn giản, qua ta lại có tốn Bài : Các số dương x,y,z có tích Chứng minh : Chứng minh : Áp dụng (***) ta có Tương tự Trang 12 Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương Cộng vế với vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy =1 Các tập tương tự Áp dụng bất đẳng thức (*), (**) bất đẳng thức tổng quát chúng giải tập sau : Bài : Cho ba số dương a,b,c chứng minh Bài : Cho a,b,c ba số dương Chứng minh : Bài 10 : Cho a,b,c,d số thực dương Chứng minh : Bài 11 : Cho số thực dương , Chứng minh : Kết Quả : Khi áp dụng chuyên đề thấy em đỡ lúng túng gặp dạng tập Cụ thể : Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung Bình Yếu 10A 25 12% 20% 15 60% 8% 10B 27 3,7% 22,2% 19 70,4% 3,7% Quan trọng học sinh cảm thấy hứng thú với bất đẳng thức, không bị áp lực phải ngồi học toán, tạo niềm tin hứng thú học tập 3.Bài học kinh nghiệm : Một số kinh nghiệm đúc kết qua việc giảng dạy học sinh phát huy tư tốn : Theo tơi việc phát triển tư cho học sinh việc làm quan trọng người thầy giáo Nó địi hỏi người thầy giáo cần phải biết nhìn nhận để định hướng em học sinh biết cách khai thác, vận dụng linh hoạt cách giải, phương pháp chứng minh, nhận định tốn nhiều phương diện Bản thân tơi trình dạy học thường xuyên áp dụng thấy tương có hiệu Để đạt hiệu đó, tơi thực số biện pháp sau: Trang 13 Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương - Luôn tăng cường tham khảo tài liệu, đặc biệt nghiên cứu kĩ sách giáo khoa (đây tài liệu quan trọng hết), qua cố gắng ghi lại tốn khai thác ứng dụng nó, gải tốn nhiều cách nhằm phát huy khả sáng tạo tư học sinh - Trong trình giảng dạy người giáo viên cần phải biết cách hướng dẫn nhằm cung cấp cho em học sinh phương pháp tiếp cận loại tốn thường xun đặt câu hỏi : Bài tốn khai thác từ tốn ?Ứng dụng ? - Giáo viên cần phải chuẩn bị kiến thức hướng dẫn để học sinh tự khám phá , tự đặt tốn tổng qt độc lập giải - Đứng trước toán giáo viên cần hướng dẫn phân tích cho em học sinh , phải xem xét cách nhìn nhận vấn đề khác nhau, qua tìm định hướng cách giải toán cho học sinh cách khai thác ứng dụng - Từ việc khai thác ứng dụng giáo viên hướng em học sinh biết lật ngược vấn đề, hướng dẫn chuyển đổi dạng toán toán hay hiệu C.PHẦN KẾT LUẬN Khai thác tiềm sách giáo khoa, ứng dụng toán đơn giản sách giáo khoa vào giải toán khác nhằm phát triển tư cho học sinh việc làm cần thiết giáo viên, qua phát triển cho học sinh tư toán học, khả vận dung linh hoạt giải vấn đề Đi từ vấn đề đơn giản giải vấn đề phức tạp phù hợp với trình nhận thức học sinh, từ làm cho học sinh u thích hăng say học tập mơn tốn Trên số kinh nghiệm thân đúc rút trình nghiên cứu Rất mong cấp chun mơn đóng góp ý kiến, bổ sung để thân ngày hồn thiện có nhiều kết tốt Xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 16 tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Đã ký) Trang 14 Giáo viên : Trần Lê Thuấn Nguyễn Xuân Dương Trung tâm GDTX Quảng Xương Trần Lê Thuấn (Đã ký) Trang 15 ... Xương Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho n+2 số thực khơng âm ta có : Cộng vế với vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy Áp dụng bất đẳng thức (**) bất đẳng thức. .. vào chứng minh bất đẳng thức sau Bài : Cho hai số dương a,b Chứng minh : Chứng minh : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Đây bất đẳng thức (**) cho hai số dương chứng minh Đẳng thức. .. thiệu số bất đẳng thức khai thác phát triển từ bất đẳng thức đơn giản sách giáo khoa Đại số 10 a.Ví dụ 1(Bài trang 79, SGK Đại số 10- Ban bản) Chứng minh : Nếu (*) Đẳng thức xảy ? Chứng minh :