Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh trong không gian Banach
ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TèNG V¡N HUY PH¦¥NG PH¸P LỈP T×M §IĨM BÊT §éng cđa ¸nh x¹ gi¶ co m¹nh trong kh«ng gian banach Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN, 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tèng v¨n huy PH¦¥NG PH¸P LỈP T×M §IĨM BÊT §éng cđa ¸nh x¹ gi¶ co m¹nh trong kh«ng gian banach Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Ngưới hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Thu Thủy Thái Ngun – 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu 3 1 Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động 6 1.1 Một số định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Khơng gian Banach lồi đều, trơn đều . . . . . . 6 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Ánh xạ giả co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Bài tốn điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Bài tốn điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động . . . 11 2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh 14 2.1 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp chính xác . . . . . . 14 2.2 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp có nhiễu . . . . . . . 24 2.3 Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ khơng xác định trên tồn khơng gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bảng ký hiệu X Khơng gian Banach thực X ∗ Khơng gian liên hợp của X ∅ Tập rỗng x := y x được định nghĩa bằng y ∀x Với mọi x ∃x Tồn tại x I Ánh xạ đơn vị J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J A ∗ Tốn tử liên hợp của tốn tử A x ∗ , x Giá trị của phiếm hàm x ∗ tại điểm x D(A) Miền xác định của tốn tử A R(A) Miền ảnh của tốn tử A N(A) Tập các khơng điểm của tốn tử A F ix(A) Tập các điểm bất động của tốn tử A x n → x ∗ Dãy {x n } hội tụ mạnh tới x ∗ 2 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Một số định lý điểm bất động nổi tiếng xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đến ngun lý điểm bất động Browder năm 1912 và ngun lý ánh xạ co Banach năm 1922. Các kết quả này được mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ khác nhau, chẳng hạn ánh xạ khơng giãn, ánh xạ giả co Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu, bài tốn cân bằng, bất đẳng thức biến phân Do đó, việc nghiên cứu phương pháp giải bài tốn điểm bất động là vấn đề thời sự thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà tốn học trong nước và trên thế giới. Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh trong khơng gian Banach trên cơ sở phương pháp lặp Mann và phương pháp lặp Ishikawa. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu một số khái niệm về khơng gian Banach trơn đều, khơng gian Banach lồi đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động. Một số phương pháp cổ điển xấp xỉ điểm bất động trong khơng gian Hilbert được đề cập trong phần cuối của chương. Chương 2 trình bày một số định lý hội tụ mạnh của dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa về điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh trong khơng gian Banach. Phần đầu của chương nghiên cứu sự hội tụ của dãy lặp được cho chính xác. Phần thứ hai nghiên cứu sự hội tụ 3 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu của dãy lặp được cho có nhiễu. Phần cuối của chương dành để trình bày các nghiên cứu về điều kiện để dãy lặp Mann và Ishikawa xác định khi miền xác định của ánh xạ là một tập con chính thường của tồn khơng gian. Đóng góp chính của tác giả là tìm đọc, dịch và tổng hợp các kiến thức trong [1]-[4]. 4 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Luận văn này được hồn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình của Cơ trong suốt q trình tác giả thực hiện luận văn. Trong q trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác tại Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin thuộc Viện Hàn lâm và Khoa học Việt Nam, các Thầy Cơ trong Đại học Thái Ngun, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và cơng tác của bản thân. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cơ. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tơi khi học tập và nghiên cứu. Tác giả Tống Văn Huy 5 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động Trong chương này chúng tơi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về ánh xạ giả co và một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động trong khơng gian Banach. Các kiến thức của chương này được tổng hợp từ các tài liệu [1]-[5]. 1.1 Một số định nghĩa và ký hiệu 1.1.1 Khơng gian Banach lồi đều, trơn đều Cho X là một khơng gian Banach thực, X ∗ là khơng gian liên hợp của X và x ∗ , x là ký hiệu giá trị của x ∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Ký hiệu 2 X là một họ các tập con khác rỗng của X. Cho T là một ánh xạ với miền xác định là D(T ) và miền giá trị là R(T ) và N(T ) là tập các khơng điểm và F ix(T ) là tập điểm bất động của ánh xạ T tương ứng, nghĩa là N(T ) = {x ∈ D(T ) : T x = 0}, F ix(T ) = {x ∈ D(T ) : Tx = x}. Ký hiệu mặt cầu đơn vị của X là S X , trong đó S X = {x ∈ X : x = 1}. 6 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1. Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động Định nghĩa 1.1.1. Khơng gian Banach X được gọi là khơng gian (i) lồi chặt nếu với x, y ∈ S X , x = y thì (1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1), (ii) lồi đều nếu với mọi ε thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, mọi x, y thỏa mãn x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y ≥ ε suy ra tồn tại δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho x + y 2 ≤ 1 − δ. Chú ý rằng mọi khơng gian Banach lồi đều đều là khơng gian phản xạ và lồi chặt. Định nghĩa 1.1.2. Khơng gian Banach X được gọi là (i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc khơng gian trơn) nếu giới hạn lim t→0 x + ty − x t tồn tại với mỗi x, y ∈ S X ; (ii) có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu giới hạn trên đạt được đều với x ∈ S X . Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là một khơng gian tuyến tính định chuẩn thực với số chiều lớn hơn hoặc bằng 2, và x, y ∈ X. Mơ đun trơn của X được xác định bởi ρ X (τ) := sup x + y + x − y 2 − 1 : x = 1, y = τ . (1.1) Ta có định nghĩa khác về khơng gian trơn đều như sau: Định nghĩa 1.1.4. Một khơng gian Banach X được gọi là trơn đều nếu lim τ →0 h X (τ) := lim τ →0 ρ X (τ) τ = 0. (1.2) Các khơng gian L p , l p là các ví dụ về khơng gian trơn đều. 7 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1. Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa 1.1.5. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của khơng gian Banach X là ánh xạ J : X → 2 X ∗ xác định bởi J(x) = {x ∗ ∈ X ∗ : x ∗ , x = xx ∗ , x ∗ = x} (1.3) với mọi x ∈ X. Ký hiệu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị là j. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có tính chất sau đây. Mệnh đề 1.1.1. Giả sử X là một khơng gian Banach. Khi đó, (i) J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x), với mọi λ > 0; (ii) J là ánh xạ đơn trị khi X ∗ là khơng gian lồi chặt. Trong trường hợp X là khơng gian Hilbert thì J ≡ I-ánh xạ đơn vị trong X. Nếu X là khơng gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J là đơn trị. Nếu X là khơng gian Banach trơn đều thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục đều trên các tập con bị chặn của X. Một bất đẳng thức đơn giản và thơng dụng thường được dùng để thiết lập mối quan hệ giữa ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J và chuẩn . trong khơng gian Banach là bất đẳng thức Petryshyn [5]. Định lý 1.1.1. Cho X là một khơng gian Banach thực, J : X → 2 X ∗ là ánh xạ đối ngẫu của X. Khi đó x + y 2 ≤ x 2 + 2y, j(x + y) (1.4) với mọi x, y ∈ X và j(x + y) ∈ J(x + y). Bất đẳng thức (1.4) được gọi là bất đẳng thức Petryshyn. 1.1.3 Ánh xạ giả co Định nghĩa 1.1.6. Cho T : D(T ) ⊂ X → X là một ánh xạ. Ánh xạ T được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L nếu với mọi 8 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... cứu sự hội tụ mạnh của dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa với ánh xạ giả co mạnh được trình bày chi tiết trong Chương 2 13 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh Trong chương này, chúng tơi trình bày một số phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh trong khơng gian Banach, trên cơ sở các dãy lặp kiểu Mann... một ánh xạ Khi đó, (i) T là ánh xạ accretive khi và chỉ khi I − T là ánh xạ giả co; (ii) T là ánh xạ accretive mạnh khi và chỉ khi I − T là ánh xạ giả co mạnh, ở đây I là ánh xạ đơn vị trong X 1.2 1.2.1 Bài tốn điểm bất động Bài tốn điểm bất động Định nghĩa 1.2.1 Phần tử x ∈ D(T ) trong khơng gian Banach X được gọi là một điểm bất động của ánh xạ T nếu x = T x Ký hiệu tập các điểm bất động của ánh xạ. .. nghiệm của bài tốn điểm bất động (1.14) tương đương với việc giải phương trình ánh xạ T x − x = 0 (1.15) Năm 1974, Deimling [2] đã chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ liên tục giả co chặt (giả co mạnh) trong khơng gian Banach Định lý 1.2.1 Giả sử X là một khơng gian Banach, K là một tập con lồi đóng khác rỗng của X và T : K → K là một ánh xạ giả co chặt (mạnh) Khi đó T có duy nhất điểm bất động trong. .. minh Trong Định lý 2.2.2 thay βn = γn = vn ≡ 0, với mọi ˆ n ≥ 0 27 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh 2.3 Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ khơng xác định trên tồn khơng gian Chú ý rằng, trong nhiều ứng dụng, các ánh xạ khơng cần xác định trên tồn khơng gian Nói chung miền xác định D(T ) của ánh xạ T là một tập con... tập điểm bất động của ánh xạ khơng giãn T trong khơng gian Banach lồi chặt X nếu khác rỗng là một tập lồi và đóng Bài tốn điểm bất động được phát biểu như sau: Cho K là một tập con lồi của khơng 10 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động gian Banach X, T : K → K là một ánh xạ Hãy tìm phần tử x∗ ∈ K sao cho T x∗ = x∗ (1.14) Việc tìm nghiệm... điểm bất động trong K 1.2.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động Trong mục này chúng ta nhắc lại một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động cổ điển, đó là phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa Định lý 1.2.2 Cho (X, d) là khơng gian mêtric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ co Khi đó T có duy nhất điểm bất động q trong X và với mỗi x0 ∈ X, dãy lặp {T n x0 } (dãy lặp {xn } được định nghĩa bởi xn+1... Trong mục này ta nghiên cứu sự hội tụ mạnh của dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh trong trường hợp có nhiễu Định lý 2.2.1 Cho X là khơng gian Banach thực, K là tập con lồi, đóng, khác rỗng và bị chặn của X Cho T : K → K là ánh xạ giả co ˆ mạnh và liên tục đều Giả sử {αn }, {βn }, {γn }, {ˆ n }, {βn } và {ˆn } α γ là sáu dãy lặp trong [0, 1] thỏa mãn các điều kiện... như trong Định lý 2.1.4 và Định nghĩa dãy lặp Mann như sau x0 ∈ K x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ 0 Khi đó dãy {xn } hội tụ mạnh đến điểm bất động duy nhất của T Chứng minh Sử dụng Định lý 2.1.4 với βn = 0 với mọi n ≥ 0 23 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh 2.2 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp có nhiễu Trong. .. minh trong chương này được tập hợp từ tài liệu [1] 2.1 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp chính xác Cho L ≥ 1 và t > 1 tương ứng là hằng số Lipschitz và hằng số giả co mạnh của ánh xạ T : K → K, ở đây K là một tập con lồi đóng 1 khác rỗng của khơng gian Banach X Đặt k = 1 − Cho r là hằng t số tùy ý nhưng cố định trong khoảng (0, k 2 ) Sự hội tụ mạnh của dãy lặp Ishikawa đến điểm bất động của ánh xạ T... k n exp − k αj ||x0 − T x0 ||, j=0 với ∀n ≥ 0 Sự hội tụ mạnh của dãy lặp Ishikawa tới điểm bất động duy nhất của ánh xạ liên tục đều và giả co mạnh được nghiên cứu trong định lý sau đây Định lý 2.1.3 Giả sử X là khơng gian Banach thực bất kì và K là tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của X Cho T : K → K là ánh xạ liên tục đều và giả co mạnh Giả sử {αn } và {βn } là dãy số thực thỏa mãn điều kiện . phương pháp xấp xỉ điểm bất động . . . 11 2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh 14 2.1 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp chính xác . . . . . . 14 2.2 Xấp xỉ điểm bất động với. một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh trong khơng gian Banach trên cơ sở phương pháp lặp Mann và phương pháp lặp Ishikawa. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai. điểm bất động trong K. 1.2.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động Trong mục này chúng ta nhắc lại một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động cổ điển, đó là phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp