Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP TOÁN 11 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh tế, kin...
Trang 68 Bài tập Toán 11 Bài tập Toán 11 học kỳ ĐỀ (NK, HKI 2009 – 2010) Câu Giải phương trình lượng giác sau : a/ sin x cos x ; 3 b/ cos x cos x ; c/ sin x 3 sin x cos x cos x ; d/ 8cos x sin x cos x n Câu Trong khai triển x (với n , n ), hệ số x n 264 Tính n Câu a/ Có số tự nhiên gồm bốn chữ số khác khác ? b/ Có số tự nhiên gồm bốn chữ số khác khác 0, phải có chữ số ? Câu Từ hộp đựng bi xanh, bi đỏ bi vàng, người ta lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất để a/ bi lấy màu ; b/ bi lấy gồm dủ ba màu Câu Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành ABCD tâm O a/ Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (SAC) (SBD) ; (SAD) (SBC) b/ Một mặt phẳng (P) di động chứa CD cắt SA SB E F Tứ giác CDEF hình gì? Chứng tỏ giao điểm I CE DF nằm đường thẳng cố định (P) di động BÀI TẬP TOÁN 11 c/ Gọi M N trung điểm AD SC Tìm giao điểm H MN mp(SBD) Chứng tỏ H trung điểm MN Giáo viên: Trần Văn Chung Nha Trang 07/2013 GV: Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thu Nha Trang - ĐT: 0972.311.481 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang Bài tập Tốn 11 học kỳ CƠNG THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I.HỆ THỨC CƠ BẢN sin2a+cos2a =1 tan a sin a , cos a cot a tan a , cos a cos a , sin a Bài ( điểm ) Tính hệ số x5 biểu thức thu gọn đa thức P( x ) (1 x )12 (2 x 3)15 Bài ( điểm ) Cho tứ diện ABCD Gọi P Q điểm hai đoạn thẳng BC BD ; M điểm tan a cot a đoạn AC Giả sử không tồn đường thẳng song song hình vẽ tốn cot a sin a a/ Tìm giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng (MPQ) Suy giao điểm N đường thẳng AD mặt phẳng (MPQ) II CÔNG THỨC CỘNG cos(a+b)= cosa.cosb-sina.sinb sin(a+b)= sina.cosb+ cosa.sinb cos(a-b) = cosa.cosb+ sina.sinb sin(a-b)= sina.cosb- cosa.sinb tan a tan b tan a tan b cot a cot b cot(a b) cot a cot b b/ PQ cắt CD I Tìm giao tuyến mp(MPQ) với mp(ACD) Nhận xét vị trí M, N, I ? c/ DP CQ cắt E; MQ NP cắt F Chúng tỏ A, E, F thẳng hàng tan a tan b tan a tan b cot a cot b cot(a b) cot a cot b tan(a b) tan(a b) III CƠNG THỨC GĨC NHÂN ĐƠI sin2a=2sina.cosa tan 2a Trang 67 Bài tập Toán 11 2 ĐỀ (NK, HKI 2008 – 2009) Câu Giải phương trình 2 cos2a= cos a-sin a=2cos a-1=1-2sin a tan a tan a cot 2a III CÔNG THỨC GÓC NHÂN BA sin3a=3sina-4sin3a cos3a= 4.cos a-3cosa cot a cot a cot 3a cot a tan a tan a tan 3a tan a cos 2a cos 2a tan a cos 2a cos a cos 3a cos a d/ sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x Câu a/ Từ chữ số lập số tự nhiên có chữ số ? b/ Trong số tự nhiên câu a/, có số có hai chữ số ? IV CƠNG THỨC HẠ BẬC c/ Tính xác xuất để gia đình năm có hai trai cos 2a sin a sin 3a sin a sin a b/ cos x 3cos x sin c/ 3cos x sin x sin x ; 4 cot a cot a 3 x ; a/ sin x sin x 3cos x ; 2 cos a Câu Từ nhóm người gồm nam nữ, người ta chọn ngẫu nhiên người a/ Tính xác suất để người chọn gồm nam nữ b/ Tính xác suất để có nam người chọn n V BIỂU DIỄN THEO t tan Câu Trong khai triển x 3 (với n * ), hệ số x n 405 Tính n a Câu Cho hình bình hành ABCD điểm S khơng nằm mặt phẳng chứa ABCD 1 t 1 t2 1 t cot a 2t 2t 1 t2 2t tan a 1 t2 sin a a/ Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau : (SAC) (SBD) ; (SAB) (SCD) cos a b/ Một mặt phẳng qua BC, cắt SA N cắt SD M Chứng minh MN // BC c/ Chứng tỏ giao điểm BN CM luôn đường thẳng cố định M di động VI CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH SA ab ab ab ab cos cos a cos b 2 sin sin 2 2 ab ab ab ab sin a sin b sin cos sin a sin b cos sin 2 2 cos a sin a sin( a ) cos(a ) 4 cos a cos b cos d/ Gọi G trọng tâm tam giác SAB ; K điểm cạnh AC cho AK Chứng minh GK // AC (SCD) CÔNG THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC cos a sin a cos(a ) sin( a ) 4 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ GV: Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thu Nha Trang - ĐT: 0972.311.481 Trang Trang 66 Bài tập Toán 11 Bài tập Toán 11 học kỳ sin a cos a cos(a ) sin( a ) ĐỀ THI HỌC KỲ – MƠN TỐN LỚP 11 sin( a b) cos a cos b sin( a b) 10 cot a cot b sin a sin b cos(a b) 12 tan a cot b cos a sin b A PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 15 phút – điểm ) Câu Chia quà khác cho người, số cách chia quà : B 25 C 32 D 20 B 20 C 90 B 45 D 45 C 90 D 100 Câu Số số tự nhiên chẳn có chữ số khác lấy từ chữ số E 1, 2,3, 4,5, 6, 7 : A 840 B 630 C 360 D Một kết khác Câu Trong mp(Oxy), phép tịnh tiến biến điểm A(-3,4) thành điểm B(1,-2) phép tịnh tiến theo : A v (4, 6) B v (4, 6) C v (4, 6) D v (2, 5) Câu Trong mp(Oxy), cho I(1, 2) M(3, -1) Anh M phép đối xứng tâm I có tọa độ : A (5, 4) B (2,1) C (1,3) D (1,5) Câu Trong mp(Oxy), ảnh điểm M(2,-1) qua phép vị tự tâm I(1, 2), tỉ số k = -3 : A (2,11) B (2, 0) C (1,11) D (3,11) Câu Trong mp(Oxy), ảnh đường trịn tâm I(3, 1), bán kính 2, phép đối xứng qua trục Ox có phương trình : A x y x y B x y x y C x y x y C x y x y B PHẦN TỰ LUẬN ( 75 phút – điểm ) Bài ( điểm ) Giải phương trình a/ cos x cos x sin x ; 2 sin a cos b (sin( a b) sin( a b)) 2 cos a cos b (cos(a b) cos(a b)) Câu Cho 10 điểm phân biệt Số vectơ có gốc trùng với số 10 điểm : A 20 tan a tan b VII CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG Câu Cho tập hợp E gồm 10 phần tử Số tập hợp chứa phần tử E : A sin( a b) cos a cos b sin( a b) 11 cot a cot b sin a sin b 13 tan a cot a sin 2a tan a tan b Thời gian làm : 90 phút A 120 b/ 2sin x sin x cos x cos x Bài ( điểm) a/ Một hộp đựng cầu trắng, cầu xanh cầu vàng Người ta chọn ngẫu nhiên cầu hộp Tính xác suất để có cầu màu cầu chọn b/ Có cách chọn người từ nhóm người gồm nam nữ, biết người chọn phải có nam lẫn nữ GV: Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thu Nha Trang - ĐT: 0972.311.481 VIII HAI GÓC ĐỐI NHAU sin(-a)=-sina 3.tan(-a)=-tana IX HAI GÓC PHỤ NHAU sin( a) cos a sin a sin b (cos(a b) cos(a b)) cos a sin b (sin( a b) sin( a b)) cos(-a)=cosa cot(-a)=-cota cos( a ) sin a tan( a) cot a 2 cot( a ) tan a X HAI GÓC BÙ NHAU sin( a ) sin a cos( a) cos a tan( a ) tan a cot( a) cot a XI HAI GÓC HƠN KÉM NHAU sin( a ) sin a cos(a ) cos a tan(a ) tan a cot(a ) cot a X: NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sinx = a (1) +, a : PT(1) vô nghiệm x k 2 +, a : dặt a = sin ( k ) x k 2 + Các trường hợp đặc biệt: k 2 , k ,sinx=-1 x=- k 2 , k ,sinx=0 x=k , k ,sinx=1 x= Phương trình cosx = a (2) +, a : PT(2) vô nghiệm x k 2 ( k ) x k 2 +, a : dặt a = cos + Các trường hợp đặc biệt: Trần Văn Chung Trường THPT Hồng Văn Thụ Trang Bài tập Tốn 11 học kỳ , cosx=1 x=k 2 , k a/ Chứng minh AD //(MNP) , cosx=-1 x= k 2 , k , cosx=0 x= Trang 65 Bài tập Toán 11 b/ NP // (SBC) k , k c Tìm thiết diện (MNP) với hình chóp Thiết diện hình gì? 101 Cho hình chop SA BCD đáy ABCD hình bình hành M điểm di động SC MP AM Phương trình tanx = a (3) Đặt a = tan : tan x tan x k , k Phương trình cotx = a (4) cot x cot x k , k Đặt a = cot : v song song với BD a/ Tìm giao điểm E & F mp với SB SD, b Gọi I = ME CB, J = MF CD Chứng minh A, I,J thẳng hàng BÀI TẬP CHƯƠNG I BÀI 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 sin x ; sin x b/ f x c/ f x cot x ; sin x d/ y tan x 3 103 Cho hình chop SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, SD a/ Chứng minh (OMN) // (SBC) b/ Gọi P Q trung điểm AB ON Chứng minh PQ //(SBC) b/ y sin x ; cos x d/ y sin x 104 Cho hình vng ABCD ABEF không đồng phẳng Trên AC BF lấy điểm M, N cho AM = BN Một mp qua M, N song song với AB cắt AD, AF M’, N’ a/ Chứng minh : (CBE) // (ADF) Tìm GTLN GTNN hàm số a/ y 3cos x ; b/ y 5sin 3x ; c/ y cos x ; 5 d/ f x sin x cos x ; e/ f x cos x sin x ; f/ y sin x cos x ; sin x ; cos x b/ (DEF) // 105 Cho hình bình hành ABCD Dựng nửa đường thẳng song somg nằm phía hình bình hành qua điểm A, B, C,D Một mp cắt bốn nửa đường thẳng nói A’, B’, C’ , D’ a/ Chứng minh (AA’, B B’) // (CC’, DD’) Xét tính chẵn – lẻ hàm số a/ f x b/ Gọi J = OD (HIK) Chứng minh JK // CD JH // AD Tìm tập xác định mội hàm số sau : cos x c/ y ; sin x a/ Chứng minh (HIK) // (ABCD) tan x ; cos x a/ y cos x ; 102 Cho hình chop SABCD, H, I, K trung điểm SA, SB, SC Tìm tập xác định mội hàm số sau : a/ f x HAI MẶT PHẲNG SONG SONG b/ Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành c/ Chứng minh AA’+ CC’= BB’ + DD’ b/ f x sin x cos x ; c/ y 3cos x 5sin x d/ y x cos x Tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số a/ f ( x) sin11 x cos11 x ; b/ f ( x ) sin x cos x ; c/ f ( x ) sin x cos x ; d/ f ( x ) sin n x cos n x , với n * BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Giải phương trình : GV: Trần Văn Chung Trường THPT Hồng Văn Thu Nha Trang - ĐT: 0972.311.481 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang Trang 64 Bài tập Toán 11 93 Cho tứ diện ABCD cạnh a, gọi I, J trung điểm AC, BC Gọi k điểm BD cho KB Bài tập Toán 11 học kỳ a/ sin x sin = 2KD a/ Xác định thiết diện (IJK) với tứ diện ABCD ; sin x 20o sin 60o ; g/ cos x 15o 94 Cho hình bình hành ABCD ABEF khơng đồng phẳng lấy M AC N BF cho AM BN Chứng minh MN//DE AC BF ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG 95 Cho tứ diện ABCD, gọi M N trung điểm BC BD j/ tan x 10o tan 60o ; ; f/ cos x ; h/ t an3x ; i/ tan x ; c/ CF DE = k Chứng minh A, B, k thẳng hàng c/ tan d/ Chứng minh giao điểm CE DF đường thẳng cố định thay đổi DE CF luôn đường thẳng cố đinh c/ Gọi M, N trung điểm SD BC K điểm đoạn SA cho KS = 2KA Hãy tìm thiết diện hình chop SABCD mp (MNK) 97 Cho hình bình hành ABCD ABEF khơng đồng phẳng a/ Gọi O O’ tâm ABCD ABEF Chứng minh OO’//(ADF) (BCE) b/ Gọi M, N trọng tâm ABD ABE Chứng minh MN // (CEF)\ 98 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC, CD a/ Chứng minh MN // (ABD) b/ Gọi G G’ trọng tâm ABC ACD Chứng minh GG’ // (BCD) 99 Cho hình chóm sABCD, đáy hình thang ABCD với AB // CD,và AB = 2CD b/ cos x 1 cos x 1 ; 2x 1 tan ; d/ sin 3x cos x Giải phương trình sau : ; b/ 4cos2 x ; c/ cos x sin x ; 4 a/ Tìm (SAC) (SBD); (SA B) (SCD), (S BC) (SAD) b/ Một mp qua CD, cắt SA SB E F Tứ giác CDEF hình gì? Chứng tỏ giao điểm Giải phương trình : a/ cos 2 x 96 Cho hình chop SA BCD có đáy ABCD hình bình hành l/ cot x k/ cot x ; a/ sin x sin x ; 5 5 a/ (AMD) (ACD) b/ Một mặt phẳng qua CD cắt AM AN F E Tứ giác CDEF hình gì? ; 2 ;d/ e/ cos x cos b/ C.Minh thiết diện hình thang cân c/ Tính diện tích thiết diện c/ sin x b/ 2sin x ; d/ cos2 3x sin 2 x Tìm nghiệm phương trình sau khoảng cho : b/ cot x với x a/ 2sin x với x ; 10 Giải phương trình sau : a/ sin x cos x ; b/ sin x cos4 x ; c/ sin x cos4 x ; d/ sin x cos x cos x sin x / 11 Giải phương trình sau : a/ cos x sin x cos x ; b/ c/ 8sin x.cos x.cos x cos8 x ; 16 d/ sin x sin x sin x 2 cos x sin x ; 12 Giải phương trình : a/ Tìm (SAD) (SCD) a/ cos x.cos x cos x.cos x ; b/ cos x sin 3x.cos x sin x.cos x ; b M trung điểm SA, tìm (MBC) (SAD) (SCD) c/ cos x cos x cos x ; d/ sin x sin 2 x sin x sin x c/ Một mặt phẳng di động qua AB, cắt SC SD H K Tứ giác A BHK hình gì? d/ Chứng minh giao điểm BK AH nằm đường thẳng cố định 100 Cho hình chop SABCD Gọi M, N, P trung điểm SA, SD, BD GV: Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thu Nha Trang - ĐT: 0972.311.481 13 Giải phương trình sau : a/ sin x sin x sin x sin x ; b/ sin x sin x sin 3x sin x ; c/ sin x sin 3x 2sin 2 x ; d/ sin x sin 3x sin x cos x cos 3x cos x 14 Tìm tập xác định hàm số sau : Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang Bài tập Toán 11 học kỳ a/ y tan x ; d/ y b/ y cot x ; sin x ; cos x cos x e/ y c/ y tan x ; tan x 86 Cho hình chóp tam giác SABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC ta lấy điểm A’, B’, C’ cos x ; cos x không trùng với dầu mút đoạn thẳng Gọi M điểm thuộc miền tam giác cot x f/ y ABC a/ Tìm giao điểm đường thẳng B’C’ với mặt phẳng (SAM) 15 Giải phương trình : a/ b/ Tìm giao điểm đường thẳng SM với mặt phẳng (A’B’C’) cos x 0 ; sin x b/ c/ sin 3x cot x ; 87 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Lần lượt lấy điểm M, N, P tan x 0 ; cos x cạnh SA, SB, SC cho không điểm trùng với điểm S Hãy xác định giao điểm đường d/ tan x tan x thẳng SD mặt phẳng (MNP) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; ) phương trình cos 3x cos x cos x §4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 88 Cho hình chóp tứ giác SABCD Lần lượt lấy điểm M N cạnh SC AB Hãy xác định giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) 16 Giải phương trình : 89 Cho hình chóp SABCD Điểm M N thuộc cạnh BC SD 2 a/ 2cos x 3cos x ; b/ cos x sin x ; a/ Tìm I= BN (SAC) c/ 2sin x 5sin x ; d/ cot 3x cot 3x ; b/ Tìm J= MN (SAC) 17 Giải phương trình : c/ Chứng minh I, J, C thẳng hàng a/ 2cos x cos x ; b/ cos x cos x ; c/ cos x 5sin x ; d/ tan x cot x d/ Xác định thiết diện hình chóp với (BCN) 90 Cho tứ diện ABCD Gọi E F lần kượt trung điểm AD CD G đoạn AB cho GA= 2GB 18 Giải phương trình lượng giác sau : a/ sin x x cos ; 2 b/ cos x 5sin c/ cos x sin x 1 ; a/ Tìm M = GE mp(BCD), x 3 ; b/ Tìm H = BC (EFG) Suy thiết diện (EFG) với tứ diện ABCD Thiết diện hình ? d/ cos x 3cos x c/ Tìm (DGH) (ABC) 19 Giải phương trình : a/ tan x 91 Cho hình chop SABCD Gọi O = AC BD Một mp(α) cắt SA, SB, SC, SD A’, B’, C’, D’ Giả tan x ; c/ cos x Trang 63 Bài tập Toán 11 cos x ; tan x tan x ; b/ sử AB C’D = E, A’B’ C’D’ = E’ a/ Chứng minh: S, E, E’ thẳng hàng d/ tan x cos x b/ Chứng minh A’C’, B’D’, SO đông qui HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 20 Giải phương trình sau : 92 Cho hình bình hành ABCD điểm S ngồi mp(ABCD) a/ cos x cos x cos x.cos x 3cos x ; a/ Tìm (SAD) (SBC) b/ 2cos6 x sin x cos x ; b/ M SC Tìm (MAB) (SCD) 4sin 2 x 6sin x 3cos x c/ 0 ; cos x c/ (SAC) (SBD) = ? d/ Điểm N thuộc SC cho SC = 3SN Xác định hình tính thiết diện tạo mp(NAD) với hình x 5 d/ 2cos x cos 10 cos x cos x 2 chóp e/ Tìm I = AN (SBD) Chứng minh I trung điềm SO 21 Giải phương trình : a/ tan x 1 ; cos x b/ cos x 1 cos x ; cos x cos x Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ GV: Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thu Nha Trang - ĐT: 0972.311.481 Trang Bài tập Toán 11 Trang 62 Bài tập Toán 11 học kỳ b/ Gọi I J giao điểm AC với hai mặt phẳng nói Chứng minh AC IJ 79 Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC c/ 5sin x sin x cos x ; d/ tan x cot x tan x cot x 22 Giải phương trình tan x sin x cot x cos x BF lấy điểm M N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N cắt AD AF M’ N’ Chứng minh (ADF) // (BCE) ; M’N’ // DF MN // §5 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x A (DEF) LÝ THUYẾT Dạng a sin x b cos x c ( a b ) 80 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi G trọng tâm tam giác SAB I trung điểm đoạn AB Lấy điểm M đoạn AD cho AD = 3AM Cách giải a/ Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI N Chứng minh NG // (SCD) - Chia hai vế phương trình cho b/ Chứng minh MG // (SCD) a a b 2 81 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Hai điểm M N nằm hai cạnh AD CC’ cho AM CN MD NC ' sin x b a b 2 cos x a/ Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ACB’) c a b2 ; a b nên có góc cho Vì 2 a b a b - a b , phương trình trở thành a a b ta có phương trình tương đương : sin x cos cos x sin b/ Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng qua MN song song với mặt phẳng (ACB’) 82 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M M’ trung điểm cạnh BC - Áp dụng cơng thức cộng, ta phương trình sin x B’C’ a/ Chứng minh AM song song với A’M’ cos c a b2 c a b2 b a b2 sin , ; Dể dàng giải phương trình b/ Tìm giao điểm hai mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M Nhận xét c/ Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (AB’C’) (BA’C’) - Phương trình a sin x b cos x c có nghiệm a b c d/ Tìm giao điểm G đường thẳng d với mặt phẳng (AMM’) Chứng minh G trọng tâm tam - Các phương trình a sin x b cos x c , a cos x b sin x c giải tương tự B giác AB’C’ BÀI TẬP LÀM THÊM BÀI TẬP 23 Giải phương trình : ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG a/ 83 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AC, CB K điểm cạnh BD cho c/ 3cos x sin x 5 ; d/ sin x cos x ; e/ 2sin x 2cos x ; f/ sin x cos x BK = 2DK Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (IJK) & (ACD) ; (IJK) & (ABD) 84 Cho tứ diện ABCD, I J trung điểm AC BC Lấy K điểm cạnh BD cho KB = 2KD Tìm a/ (IJK) (ACD) ; sin x cos x ; b/ cos x sin x ; 24 Giải phương trình : a/ 2sin x sin x ; b/ cos x sin x ; c/ 2sin x cos x cos x ; d/ 4sin x 3 sin x cos x b/ (IJK) (ABD) 85 Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AD BC a/ Tìm (IBC) (JAD) b/ gọi M điểm thuộc AB N thuộc AC Tìm (IBC) (DMN) 25 Giải phương trình sau : a/ sin 3x cos 3x cos x ; c/ sin x cos x cos x sin x ; b/ cos x sin x 2cos x ; 3 d/ sin x cos x sin x cos x GV: Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thu Nha Trang - ĐT: 0972.311.481 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang Bài tập Toán 11 học kỳ Bài tập Toán 11 26 Giải phương trình sau : Trang 61 Hình hộp có tám đỉnh Hai đỉnh gọi hai đỉnh đối diện chúng không nằm a/ 3sin x 4sin x 5sin x ; 3 6 6 mặt b/ 2sin x sin x 4 4 đường chéo đồng quy trung điểm đường Điểm đồng quy gọi tâm hình hộp Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo hình hộp Hình hộp có bốn đường chéo, Hình hộp có 12 cạnh, chia ba nhóm, nhóm có bốn đường thẳng song song Hai cạnh gọi hai cạnh đối diện chúng song song không nằm mặt 27 Giải phương trình sau : a/ 3sin x cos x sin x ; x x c/ sin cos cos x ; 2 b/ hình hộp cos x sin x cos x sin x ; d/ 8cos x sin x cos x Hình chóp cụt Cho hình chóp S.A1A2…An mặt phẳng (P) khơng qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy, cắt cạnh SA1, SA2, …, SAn A’1, A’2, …, A’n Hình hợp thiết diện A’1 A’2…A’n đáy 2 6 28 Tìm x , thỏa phương trình cos x sin x 2 A1 A2…An hình chóp với tứ giác A’1A’2 A2 A1, A’2 A’3A3 A2, …, A’nA’1 A1An gọi hình chóp cụt, kí hiệu A’1 A’2…A’n.A1 A2…An 29 Cho phương trình 2sin x sin x cos x cos x m Đáy hình chóp gọi đáy lớn hình chóp cụt, cịn thiết diện A’1A’2…A’n gọi đáy nhỏ a/ Tìm m để phương trình có nghiệm hình chóp cụt Các tứ giác A’1 A’2 A2 A1, A’2 A’3 A3 A2, …, A’nA’1 A1 An gọi mặt bên hình chóp cụt b/ Giải phương trình với m 1 30 Cho phương trình sin x 2m cos x sin x m Tìm m để phương trình có hai nghiệm thuộc 3 đoạn 0; Các đoạn thẳng A1A’1, A2 A’2, …, AnA’n gọi cạnh bên hình chóp cụt Tùy theo đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác, …, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác, … Tính chất Hình chóp cụt có 31 Giải phương trình - a/ 8sin x ; cos x sin x B A Các đường thẳng chứa cạnh bên đồng quy điểm BÀI TẬP 75 Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N trung điểm LÝ THUYẾT Dạng a sin x b sin x cos x c cos x Các mặt bên hình thang ; - §6 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO sin x VÀ cos x Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song tỉ số cạnh tương ứng ; - tan x b/ sin x sin x SA BC Chứng minh MN song song với (SCD) ( a2 b2 c ) 76 Cho hình chóp SABCD Lấy điểm M nằm A B Hãy xác định thiết diện hình chóp Cách giải - Với x SABCD với mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (SAD) Xét xem x k có thỏa phương trình khơng ; 2 77 Cho hình chóp S.ABC, điểm I, J, K trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCA k ( cos x ), chia hai vế phương trình cho cos2 x để đưa phương trình theo a/ Chứng minh hai mặt phẳng (IJK) (ABC) song song b/ Tìm tập hợp tất điểm M hình chóp S.ABC cho KM // (ABC) 78 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi M, N trung điểm SA tan x SC Chú ý Đồi với phương trình a sin x b sin x cos x , b sin x cos x c cos x ta giải a/ Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua M, N song song với cách đưa phương trình tích - mặt phẳng (SBD) GV: Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thu Nha Trang - ĐT: 0972.311.481 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang Trang 60 Bài tập Toán 11 Bài tập Toán 11 học kỳ - thành phương trình bậc theo sin 2x cos 2x A'5 A'4 A'1 A'2 Q Áp dụng công thức hạ bậc công thức nhân đơi, phương trình bậc hai chuyển - Với đẳng thức d d sin x d cos2 x , phương trình a sin x b sin x cos x c cos x d xem phương trình A'3 B BÀI TẬP 32 Giải phương trình : ; a/ 3sin x sin x cos x cos x ; b/ sin x sin x cos x c/ 2sin x 3 sin x cos x cos x ; d/ cos2 x sin x 3sin 2 x A5 A4 A1 33 Giải pương trình : A3 A2 P a/ 2sin x sin x cos x cos x ; b/ sin x Cho hai mặt phẳng (P) (P’) song song Trên (P) cho đa giác A1 A2…An Qua đỉnh A1, A2, …,An, ta vẽ đường thẳng song song với cắt mặt phẳng (P’) tai điểm A’1, A’2, …,A’n Dể thấy tứ giác A1 A2A’2 A’1, A2 A3A’3 A’2, …, AnA1 A’1 A’n hình bình hành hai đa giác c/ 34 Giải pương trình : a/ sin x sin x cos x cos x A1 A2…An, A’1 A’2…A’n gọi hình lăng trụ lăng trụ, kí hiệu A1 A2…An.A’1 A’2…A’n Mỗi hình bình hành nói mặt bên hình lăng trụ Hai đa giác A1 A2…An, A’1A’2…A’n gọi hai mặt đáy lăng trụ ; cạnh hai đa giác gọi cạnh đáy ; đoạn thẳng A1 A’1, c/ 4sin ; cos x c/ sin x cos3 x sin x cos x ; giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác sin x sin x cos x ; d/ 3cos x 5sin x sin x 35 Giải phương trình sau : a/ 4sin x cos x Nếu đáy lăng trụ tam giác, tứ giác, ngũ giác lăng trụ tương úng gọi lăng trụ tam 3 ; b/ x x 3 sin x cos ; 2 A2 A’2, …, AnA’n gọi cạnh bên hình lăng trụ Các đỉnh hai mặt đáy gọi đỉnh hình lăng trụ sin x cos x cos x ; d/ cos2 x 3sin x sin x sin x cos x ; A1 A2…An, A’1 A’2…A’n có cạnh tương ứng song song Định nghĩa Hình hợp hình bình hành A1A2 A’2 A’1, A2 A3 A’3 A’2, …, AnA1 A’1 A’n hai đa giác b/ sin x sin x cos x ; 4 d/ sin x sin x sin x 6cos x BAI TẬP LÀM THÊM Hình hộp Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp B C PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 36 Giải phương trình lượng giác sau : A B’ ; b/ cos x ; c/ tan x ; d/ cos x a/ sin x D C’ A’ D’ Hình hộp có sáu mặt, mặt hình bình hành Mỗi mặt có mặt song song với Hai mặt thề gọi hai mặt đối diện GV: Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thu Nha Trang - ĐT: 0972.311.481 37 Giải phương trình a/ sin x cos x ; b/ sin 3x cos x ; 2 0 ; x d/ cot 20o 4 c/ tan x cot 38 Giải phương trình Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang Bài tập Toán 11 học kỳ a/ cos 3x 600 Bài tập Toán 11 ; b/ cot x 400 Điều kiện Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) (Q) Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt lần ; lượt song song với hai đường thẳng chứa mặt phẳng (Q) hai măt phẳng (P) (Q) song song d/ sin x 240 cos x 1440 cos 200 c/ cos(2 x 45o ) cos x ; Trang 59 Tính chất Tính chất Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng có mặt phẳng song song với mặt phẳng 39 Giải phương trình b/ 8cos3 x cos x 3 a/ 2sin x cos x ; 4 4 Hệ Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) có mặt phẳng chứa a song song với (Q) 40 a/ Chứng minh 4sin x cos x 4cos x sin 3x 3sin 4x Hệ Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song b/ Giải phương trình sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x Tính chất Nếu hai mặt phẳng song song (P) (Q) cắt mặt phẳng (R) theo hai giao tuyến a b 41 Tìm nghiệm phương trình sau khoảng cho : a b song song 2 a/ sin x với x ; 12 b/ cos x 1 c/ tan x với x ; ; 2 d/ tan x với x ; với x ; ; Ví dụ Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N trung điểm SA BC Chứng minh MN song song với (SCD) Ví dụ Cho hình chóp SABCD Lấy điểm M nằm A B Hãy xác định thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (SAD) 42 Giải phương trình a/ 2sin x cos x cos x sin x ; b/ sin x sin x cos x cos x ; Định lý Ta-lét không gian Định lý (Định lý Talét) Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng c/ sin 3x sin x sin x ; d/ 3sin x cos x 3sin x 16 cos x tương ứng tỉ lệ 43 Giải phương trình : Định lý (Định lý talét đảo) Giả sử hai đường thẳng chéo a a’ lấy điểm A, B, C a/ tan x tan x ; b/ sin 3x cot x ; c/ tan x tan x ; d/ A’, B’, C’ cho cos x tan x AB BC CA A ' B ' B 'C ' C ' A ' 44 Giải phương trình : Khi ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ nằm ba mặt phẳng đôi song song, tức chúng a/ 2sin x cos x cos x sin x ; b/ sin x cos3 x cos x ; song song với mặt phẳng c/ 1 tan x 1 sin x tan x ; d/ tan x cot x ; e/ sin x cos x cos x ; sin x g/ cos x cos 3x cos x ; f/ Hình lăng trụ hình hộp cos x sin x ; cos x cos x h/ tan x sin x sin x tan x 3 45 Tìm x [0;14] nghiệm phương trình cos 3x cos x 3cos x 46 a/ Hãy biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình sin x m , x [0;3 ] b/ Hãy xác định tất giá trị tham số m để phương trình 2m cos x sin x có nghiệm đoạn 0;3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV: Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thu Nha Trang - ĐT: 0972.311.481 Trần Văn Chung Trường THPT Hồng Văn Thụ Trang 10 Bài tập Tốn 11 học kỳ Bài tập Tốn 11 a/ Tìm IK (SBD) Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với k n Khi lấy k phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắc b/ Tìm SD (IJK) c/ Tìm SC (IJK) Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC K trung điểm cạnh AD Tìm giao điểm đường thẳng GK mặt phẳng (BCD) chỉnh hợp chập k A) Định lý Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) Ank = n.(n – 1)(n – 2)…(n – k + 1) k Chú ý Với quy ước 0! An An Trang 49 Cho tứ diện ABCD Trên đoạn AB AC lấy hai điểm M N cho AM BM AN 2CN Hãy xác định giao điểm cặp đường thẳng mặt phẳng sau : AC & (DMN) ; MN & (BCD) ; BC & (DMN n! với k n n k ! Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AC CB Trên cạnh BD, lấy điểm P cho BP = PD Tổ hợp Cho tập hợp A có n phần tử số nguyên k với k n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A (gọi tắc chỉnh hợp chập k A) a/ Hãy xác định giao điểm đường thẳng CD mặt phẳng (MNP) ; AD (MNP) k Định lý Gọi Cn số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) b/ Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MNP) (ABD) Ak n n 1 n n k 1 C n k! k! k n k Chú ý Với quy ước Cn0 = 1, ta có Cn Cho hình chop SABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm SC a/ Tìm I = AM (SBD) Chứng minh IA = 2IM b/ Tìm F = SD (ABM) n! với k 0,1, , n k ! n k ! 10 Cho hình chóp tứ giác SABCD Lấy điểm M nằm S C Hai tính chất số Cnk a/ Hãy xác định giao điểm đường thẳng AM mặt phẳng (SBD) Tính chất Cnk = Cnn-k b/ Hãy xác định giao điểm đường thẳng SD mặt phẳng (ABM) 11 Cho tứ diện ABCD Trên đoạn thẳng AB, AC, AD lấy điểm B’, C’, D’ khơng trùng Tính chất Cnk-1 + Cnk = Cn+1k B với đầu mút đoạn thẳng Lấy điểm M thuộc miền tam giác BCD BÀI TẬP a/ Hãy xác định giao điểm C’D’ mp(ABM) ; 16 a/ Hãy liệt kê hoán vị tập hợp A = {a ; b ; c ; d} b/ Hãy xác định giao điểm AM với (B’C’D’) b/ Hãy liệt kê chỉnh hợp chập phần tử {a ; b ; c ; d} 12 Cho hình chóp tam giác SABC Gọi I, H trung điểm SA AB Lấy K cạnh SC c/ Hãy viết tất tổ hợp chập tập hợp A = {a ; b ; c, d} 17 Cho X = {a, b, c, d, e} Có hốn vị phần tử X mà phần tử cuối a cho CK = 3KS 18 Cho X = {a, b, c, d} a/ Xác định giao điểm đường thẳng BC mặt phẳng (IHK) b/ Gọi M trung điểm IH Xác định giao điểm đường thẳng KM mặt phẳng (ABC) a/ Hãy lập tất tập X có chứa phần tử a 13 Cho hình chóp tứ giác SABCD Lấy điểm M cạnh SC Hãy xác định giao điểm đường thẳng b/ Hãy lập tất tập X không chứa phần tử a AM mặt phẳng (SBD) c/ Có tập thu trường hợp 14 Cho hình chóp tứ giác SABCD Lấy điểm M cạnh SB, điểm N cạnh SD Hãy xác định giao 19 Có tối đa số máy điện thoại có chữ số bắt đầu số cho: điểm đường thẳng MN mặt phẳng (SAC) a/ Các chữ số đơi khác 15 Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm đoạn b/ Các chữ số tùy ý 20 a/ Có ba lọ hoa giống ba loại hoa khác Hỏi có cách cắm hoa vào lọ (mỗi thẳng SC lọ cắm loại hoa) ? a/ Hãy xác định giao điểm I đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD) Chứng minh IA = 2IM b/ Có ba lọ hoa khác ba loại hoa khác Hỏi có cách cắm hoa vào lọ (mỗi lọ b/ Hãy xác định giao điểm F đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM) Chứng minh tứ giác cắm loại hoa) ? ABMF hình thang GV: Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thu Nha Trang - ĐT: 0972.311.481 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 20 Trang 48 Bài tập Toán 11 Bài tập Tốn 11 học kỳ 21 a/ Có ba lọ hoa giống bảy loại hoa khác Hỏi có cách chọn ba loại hoa M d M d P M P cắm hoa vào lọ (mỗi lọ cắm loại hoa) ? b/ Có ba lọ hoa khác bảy loại hoa khác Hỏi có cách chọn ba loại hoa cắm Phương pháp xác định giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P) hoa vào lọ (mỗi lọ cắm loại hoa) ? Bước : Chọn mặt phẳng (Q) chứa d Tìm giao tuyến a P Q 22 a/ Có cách chọn người từ 10 người để thực công việc ? Bước : Trong mặt phẳng (Q), xác định giao điểm M a d Khi đó, M d P Q b/ Có cách chọn người từ 10 người để thực ba công việc khác ? 23 Trong mặt phẳng cho tập hợp gồm điểm phân biệt a/ Có véctơ khác véctơ có điểm đầu điểm cuối thuộc tập hợp điểm cho ? Q d d b/ Có đoạn thẳng có hai đầu mút thuộc tập hợp điểm cho ? 24 a/ Một huấn luyện viên tổ chức thi bơi lội cho 15 vận động viên tranh tài để chọn người a P a M P thi đấu giải vô địch quốc gia, người thi đấu thức người dự bị Hỏi huấn luyện viên có lựa chọn ? b/ Một huấn luyện viên tổ chức thi bơi lội cho 15 vận động viên tranh tài để chọn người c/ Tìm thiết diện Thiết diện hình chóp với mặt phẳng phần chung hình chóp với mặt phẳng Để tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng, ta tìm đoạn giao tuyến mặt phẳng với mặt hình chóp d/ Chứng minh ba điểm thẳng hàng Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh chúng thuộc hai mặt phẳng phân biệt (do chúng nằm giao tuyến hai mặt phẳng đó) ; dùng tính chất hình học phẳng B BÀI TẬP Vấn đề : XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Cho tứ giác ABCD nằm mặt phẳng có hai cạnh AB CD khơng song song Gọi S thi đấu giải vô địch quốc gia Hỏi huấn luyện viên có lựa chọn (cả hai thi đấu thức) ? 25 Một lớp học có 41 học sinh a/ Có cách chọn bạn để trực nhật ? b/ Có cách chọn bạn làm lớp trưởng, bạn làm lớp phó bạn làm thư kí ? 26 Ban chấp hành đoàn trường gồm người, cần chọn người vào ban thường vụ a/ Nếu khơng có phân biệt chức vụ ban thường vụ có lựa chọn ? b/ Nếu cần chọn người vào ban thường vụ với chức vụ Bí thư, Phó Bí thư Ủy viên thường vụ có cách chọn ? 27 Trong thi có 16 đội tham dự, giả sử khơng có hai đội điểm điểm nằm mặt phẳng Hãy tìm giao tuyến SAC & SBD ; SAB & SCD 2 a/ Nếu kết thi chọn ba đội có điểm cao có cách chọn ? Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M N trung điểm đoạn thẳng b/ Nếu kết thi chọn giải nhất, nhì, ba có lựa chọn ? AD BC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) (NAD) 28 Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua đá luân lưu 11 mét Huấn luyện viên Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M trung điểm đoạn thẳng AD Lần lượt lấy cấn trình trọng tài danh sách thứ tự cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Hỏi HLV có bao I, J cạnh AB, AC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) (DIJ) nhiêu lựa chọn ? Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm cạnh AB Lấy điểm N cạnh AC cho AN = 2CN Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (DMN) (BCD) Vấn đề : GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Cho hình chop SABCD, đáy hình thang có cạnh đáy lớn AB Gọi I, J, K điểm thuộc SA, AB, BC GV: Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thu Nha Trang - ĐT: 0972.311.481 29 a/ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lập số tự nhiên có chữ số khác đôi ? b/ Từ số 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên có bảy chữ số khác ? 30 a/ Có cách xếp người ngồi vào ghế khác (mỗi người ghế) ? b/ Có cách xếp nam nữ thành cặp để khiêu vũ ? 31 Cho 10 điểm nằm đường trịn Trần Văn Chung Trường THPT Hồng Văn Thụ Trang 21 Bài tập Toán 11 học kỳ Trang 47 Bài tập Tốn 11 a/ Có đoạn thẳng mà hai đầu hai số 10 điểm cho ? Hình chóp tam giác cịn gọi hình tứ diện b/ Có véctơ có gốc trùng với hai số 10 điểm cho ? Bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D xác định tứ diện Tứ diện ABCD có c/ Có tam giác mà đỉnh ba số 10 điểm cho ? - song với 12 đường ban đầu Có hình bình hành tạo nên ? bốn mặt : (ABC), (ACD), (ADB), (BCD) ; - 32 Một họ 12 đường thẳng song song cắt họ khác gồm đường thẳng song song (không song bốn đỉnh : A, B, C, D ; sáu cạnh : AB, AC, AD, BC, CD, DB 33 Hình 18 cạnh có đường chéo ? A 34 Cho hai đường thẳng d1 d2 song song Trên d1 lấy điểm, d2 lấy điểm Hỏi có tam giác mà đỉnh lấy từ điểm chọn ? 35 Trong lớp có 20 học sinh nam 15 học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn học sinh D nam học sinh nữ để tham gia chiến dịch “Mùa hè xanh” Hỏi có lựa chọn ? C 36 Trên giá sách có sách tốn, sách lí sách hóa, sác khác B Hỏi có cách lấy sách, loại ? 37 Có bì thư khác tem khác Lấy bì thư tem sau dán tem lên bì, bì tem Hỏi có cách làm ? 38 Một tổ có nam nữ Người ta cần chọn em để tham gia đồng diễn thể dục, yêu cầu Một số dạng toán a/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Nhận xét khơng có q em nữ Hỏi có cách chọn ? 39 Có sách tốn khác nhau, sách văn khác sách lịch sử khác i) Hỏi có cách xắp xếp chúng lên giá sách cho thể loại theo thể loại ? M d M P d P 40 Từ số lập bao số tự nhiên có chữ số mà số có mặt lần ? 41 Từ số 1, 2, 4, 6, 8, lập số tự nhiên có năm chữ số cho số xuất d hai lần, chữ số cịn lại suất khơng q lần ? M P 42 a/ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số khác ? 43 Chuẩn bị cho ngày khai giảng cần chọn bạn 50 bạn vào đội vệ sinh Trong có bạn nhổ cỏ bạn sơn ghế ii) M P M điểm chung hai mặt phẳng (P) (Q) M Q iii) b/ Có số tự nhiên gồm năm chữ số khác chia hết cho ? Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng cắt a/ Hỏi có cách phân cơng Phương pháp tìm giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) 7 50 50 46 b/ Sử dụng câu a để chứng minh C C C C 2 n 2 n C C 44 Chứng minh Cn PP Tìm hai điểm chung (P) (Q) Đường thẳng xác định hai điểm chung giao Cnn C2nn , với số nguyên dương n 45 a/ Có chia nam nữ thành cặp để khiêu vũ ? tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) b/ Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Cho mặt phẳng (P) đường thẳng d không nằm mặt phẳng (P) Điểm M vừa thuộc d, vừa b/ Có cách chia 10 người thành cặp để chơi trò chơi ? thuộc (P) gọi giao điểm d (P), kí hiệu M d P c/ Có cách chia người thành cặp để chơi trị chơi ? §3 NHỊ THỨC NEWTON A LÝ THUYẾT Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ GV: Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thu Nha Trang - ĐT: 0972.311.481 Trang 22 Bài tập Toán 11 học kỳ Bài tập Toán 11 học kỳ Nếu đáy hình chóp tam giác, tứ giác, ngũ giác … hình chóp tương ứng gọi hình Cơng thức nhị thức Newton chóp tam giác, hình chóp tứ giác , hình chóp ngũ giác ,… a b n k n Cn a n Cn a n 1b Cn a n k bk Cn b n (*) n Cnk a n k b k S k 0 Quy ước a Nhận xét - P A2 Trong khai triển (*) có n + số hạng ; - A3 Trong số hạng, số mũ a b có tổng n ; - A4 A1 k Số hạng tổng quát khai triển Cn a n k b k ; - A5 Trường hợp đặc biệt, 1 x Hình tứ diện n Cn Cn x Cnk x k Cnn x n n Cnk x k k 0 B BÀI TẬP 46 Viết khai triển a/ 3x ; b/ 1 2x ; 3 c/ x ; x d/ 4x x 13 47 Tìm hệ số x y khai triển 2x y 10 48 a/ Tìm hệ số x8 khai triển x b/ Tìm hệ số x khai triển x c/ Khai triển x 1 x thành đa thức 10 d/ Trong khai triển 1 x 1 x , tính hệ số x e/ Hãy xác định số hạng chứa x khai triển x 1 x x 3 x 15 2 49 Xét khai triển x x a/ Tìm số hạng thứ khai triển (viết theo chiều số mũ x giảm dần) b/ Tìm số hạng không chứa x khai triển 15 15 50 Giả sử khai triển 1 2x có 1 x a0 a1 x a2 x a15 x15 a/ Tính a9 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 46 Trần Văn Chung Trường THPT Hồng Văn Thụ Trang 23 Bài tập Tốn 11 học kỳ Bài tập Toán 11 học kỳ b/ Tính a0 a1 a2 a15 Các tính chất thừa nhận c/ Tính a0 a1 a2 a3 a14 a15 Tính chất Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Tính chất Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng n 51 a/ Biết hệ số x khai triển 1 x 90 Tìm n Tính chất Tồn bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng n b/ Trong khai triển x 1 , hệ số x n 45 Tính n Nếu có nhiều điểm thuộc mặt phẳng ta nói điểm đồng phẳng, cịn khơng có mặt n 52 Trong khai triển 1 ax ta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai 24x , số hạng thứ ba phẳng chứa tất điểm ta nói chúng khơng đồng phẳng Tính chất Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung 252x Hãy tìm a n chứa tất điểm chung hai mặt phẳng 53 Cho n số nguyên dương, chứng minh đẳng thức sau : n n n n n n n n n Đường thẳng chung gọi giao tuyến hai mặt phẳng cho n a/ C C C C ; n b/ C C C C C Nếu đường thẳng d qiao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) ta kí hiệu d P Q n 1 (với n ) ; Tính chất Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng đường thẳng chứa n n c/ C2 n C22n C2 n C22n C2 n C2 n C22n 1 ; mặt phẳng Tính chất Trong mặt phẳng, kết biết hình học phẳng n d/ C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 4n §4 BIẾN CỐ VÀ XÁC XUẤT CỦA BIẾN CỐ A LÝ THUYẾT Điều kiện xác định mặt phẳng Phép thử không gian mẫu A P Định nghĩa Phép thử ngẩu ngẫu nhiên (gọi tắc phép thử) thí nghiệm hay hành động mà : - Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử C P d' Phép thử thường kí hiệu chữ T P Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử kí hiệu d - Mỗi phần tử biến cố A gọi kết thuận lợi cho A - Trong phép thử, kết phép thử kết thuận lợi cho A ta nói Biến cố A d - Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định mặt phẳng, mặt phẳng kí hiệu (ABC) - Hai đường thẳng song song d d’ xác định mặt phẳng, mặt phẳng kí hiệu (d, d’) xảy Hình chóp Định nghĩa Cho đa giác A1 A2…An điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa đa giác HÌnh gồm n tam giác SA1 A2, SA2A3, …, SAnA1 đa giác A1 A2…An gọi hình chóp, kí hiệu S A1A2…An Biến cố A \ A gọi biến cố đối biến cố A - P - Hai đường thẳng cắt d1 d2 xác định mặt phẳng, mặt phẳng kí hiệu (d, d’) Biến cố tập không gian mẫu - d d' - Đường thẳng d điểm M không nằm d xác định mặt phẳng, kí hiệu (M, d) Biến cố - B Kết khơng đốn trước ; - M Biến cố biến cố chắn, biến cố biến cố xảy - Điểm S gọi đỉnh hình chóp ; - Đa giác A1 A2…An gọi mặt đáy hình chóp ; tam giác SA1 A2, SA2A3, …, SAnA1 gọi Định nghĩa cổ điển xác xuất biến cố mặt bên hình chóp ; Định nghĩa Trong phép thử T có khơng gian mẫu tập hợp hữu hạn kết T đồng khả Gọi n số phần tử không gian mẫu, n A số phần tử biến cố A Xác - Các cạnh mặt đáy gọi cạnh đáy hình chóp ; cạnh SA1, SA2, …, SAn gọi cạnh bên hình chóp suất biến cố A số , kí hiệu P(A), cho công thức sau : Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 24 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 45 Bài tập Toán 11 học kỳ Bài tập Toán 11 học kỳ Chương ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG P A §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A LÝ THUYẾT Mở đầu hình học khơng gian n A n Nhận xét : ≤ P(A) ≤ ; Mặt phẳng P P ; Mặt phẳng thường biểu diễn hình bình hành P A P A Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ đặt ngoặc đơn : (P), (Q), …, , , … B BÀI TẬP 54 Hãy mô tả không gian mẫu phép thử “gieo súc sắc” 55 Hãy mô tả không gian mẫu phép thử “gieo hai đồng xu phân biệt” P 56 Hãy mô tả không gian mẫu phép thử “gieo ba đồng xu phân biệt” Điểm thuộc mặt phẳng 57 Hãy mô tả không gian mẫu phép thử “gieo hai súc sắc phân biệt” Nếu điểm A nằm mặt phẳng (P) ta viết A P , đọc A thuộc (P) 58 Gieo hai súc sắc khác Hãy viết liệt kê biến cố sau : Biến cố A : “Tổng số chấm hai súc sắc 5” ; Nếu điểm A không nằm mặt phẳng (P) ta viết A P Biến cố B : “Mặt chấm xuất hiện” Đường thẳng nằm mặt phẳng Nếu điểm đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P) ta viết d P , đọc d chứa (P) P d , đọc (P) chứa d 59 Gieo đồng tiền có mặt sấp, ngữa lần a/ Hãy mơ tả không gian mẫu b/ Hãy xác định biến cố sau : A : “lần thứ xuất mặt ngửa.” ; B : “Kết lần khác nhau” d 60 Tính xác suất để : P a/ Số thảy hạt xí ngầu lần Hình biểu diễn hình khơng gian b/ Tổng số thảy lần hạt xí ngầu lần c/ Được số chẵn thảy hạt xí ngầu lần d/ Khơng số thảy hạt xí ngầu lần e/ Được số lớn nhỏ thảy hạt xí ngầu lần 61 Một hộp có chứa cầu kích cỡ, có mang số ; ghi số Để vẽ hình biểu diễn hình khơng gian, ta thường áp dụng quy tắc sau : ghi số Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để: - Đường thẳng biểu diễn đường thẳng, đoạn thẳng biểu diễn đoạn thẳng ; a/ Lấy cầu mang số - Hai đường thẳng song song biểu diễn hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt b/ Lấy cầu mang số biểu diễn hai đường thẳng cắt ; c/ Lấy cầu mang số - Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc điểm đường thẳng - Dùng nét vẽ liền ( ) để biểu diễn đường trông thấy ; dùng nét đức đoạn ( ) để vẽ a/ Mô ta không gian mẫu đường bị khuất … b/ Xác định biến cố sau : Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ 62 Một hộp chứa viên bi xanh, bi đỏ bi vàng lấy ngẫu nhiên bi Trang 44 Trần Văn Chung Trường THPT Hồng Văn Thụ Trang 25 Bài tập Tốn 11 học kỳ Bài tập Toán 11 học kỳ A : “2 bi lấy có màu” ; PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM – PHÉP QUAY – PHÉP VỊ TỰ B : “2 bi lấy khác màu” 42 Phép đối xứng tâm I(1 ; 2) biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) ; phép đối xứng tâm O biến đường tròn (C’) thành đường tròn (C”) Biết phương trình (C”) : x2 + y2 + 4x + 5y – = 0, c/ Tính P(A), P(B) 63 Gieo hai súc sắc khác Tính xác suất biến cố sau : viết phương trình (C) A : “Số chấm hai súc sắc nhau” ; 43 Chứng tỏ tồn phép đối xứng tâm biến đường tròn đơn vị thành đường tròn B : “Tổng số chấm hai súc sắc 8” x y x y ; tọa độ tâm phép đối xứng C : “Số chấm hai súc sắc khác nhau” 44 Hãy xác định tọa độ điểm A đường thẳng d : x y 10 điểm B đường tròn 64 Một hộp kín đựng 12 viên bi (chỉ khác màu) gồm viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính xác xuất để bi đỏ bi xanh 65 Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên hai em Tính xác suất để hai em 66 Cho cân có trọng lượng 1kg, 2kg, 3kg, 4kg, 5kg, 6kg, 7kg, 8kg Chọn ngẫu nhiên cân số Tính xác suất để cân chọn có trọng lượng khơng vượt 9kg 67 Chiếc kim bánh xe trị chơi “Chiếc nón kỳ diệu” dừng lại vị trí với khả Tính xác suất để ba lần quay kim dừng lại vị trí khác 68 Một lơ hàng có 10 sản phẩm, dó có phế phẩm Lấy sản phẩm từ lơ hàng Tính xác suất để sản phẩm lấy có khơng q phế phẩm 45 Cho điểm A(2 ; 2) đường thẳng d1 : x y , d : x y Tìm tọa độ điểm B, 46 Một đường thẳng d qua gốc tọa độ O cắt đường tròn C : x y x y 10 hai điểm A B thỏa điều kiện B trung điểm OA Hãy viết phương trình đường thẳng d 47 Cho A(2 ; -3), B(-2 , 1), d : 3x – 2y – = (C) : x2 + y2 + 2x - 4y -4 = Tìm ảnh a/ B qua ĐA b Đường thẳng d qua ĐOx c/ Đường trịn (C) qua TAB §5 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC XUẤT d/ Đường trịn (T) dường kính AB qua V(0;-2) LÝ THUYẾT cho A B đối xứng qua gốc tọa độ O C thuộc d1, d2 cho tam giác ABC vuông cân A khác phái A C : x y x y 15 Quy tắc cộng xác xuất 48 Cho (C) : x2 + y2 – 4x + 2y + = Biến cố hợp Cho hai biến cố A B Biến cố A B gọi hợp hai biến cố A B Biến a/ Viết phương trình (C’) = V( O;3) C b/ Tìm tọa độ tâm vị tự (C) (C’) cố A B có nghĩa “A B xảy ra” ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH CHỨNG MINH MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Biến cố xung khắc Hai biến cố A B gọi xung khắc A B 1) Cho hai điểm B, C cố định đường tròn (O; R) điểm A di động đường tròn Đối với hai biến cố xung khắc, biến cố xảy biến cố khơng xảy Hãy chứng minh trực tâm H ∆ABC thuộc đường tròn cố định ba phương pháp (áp Định lý Nếu A B hai biến cố xung khắc P A B P A P B dụng phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm) Quy tắc nhân xác xuất Biến cố giao Cho hai biến cố A B Biến cố “cả A B xảy ra”, kí hiệu AB, gọi 2) Cho (0; R) (O’; R) cắt A B Gọi B ' TO 'O B Chứng minh A, O, B’ thẳng hàng 3) Cho hai điểm B, C cố định hình bình hành ABCD có D di động mội đường tròn (O ; R) giao hai biến cố A B Biến cố độc lập Hai biến cố A B gọi độc lập việc xảy hay không xảy biến Gọi M điểm AB cho A trung điểm BH Gọi I giao điểm AD MC Chứng minh I di động đường cố định cố không ảnh hưởng tới xác xuất xảy biến cố 4) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Điểm M di động nửa đường trịn (M ≠ A) Định lý Nếu A B hai biến cố độc lập P AB P A P B Dựng phía ngồi tam giác MAB hình vng MACD Tìm tập hợp điểm C B BÀI TẬP 69 Một bình đựng cầu xanh cầu vàng Lấy cầu từ bình Tính xác suất để Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 26 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 43 Bài tập Toán 11 học kỳ Bài tập Toán 11 học kỳ BÀI TẬP LÀM THÊM a/ cầu xanh ; PHÉP TỊNH TIẾN b/ đủ hai màu ; 31 Phép tịnh tiến theo véctơ v 0; biến đường thẳng thành đường thẳng ' Biết c/ cầu xanh ' : x y Hãy viết phương trình đường thẳng 32 Cho hai véctơ u (1; 1) , v 2;3 đường thẳng : x y Gọi ' ảnh qua phép tịnh tiến Tu " ảnh ' qua phép tịnh tiến Tv Hãy viết phương trình " 70 Có hai hộp đựng viên bi Hộp thứ đựng bi đen, bi trắng Hộp thứ hai đựng bi đen, bi trắng a/ Lấy hộp viên bi Tính xác suất để bi trắng b/ Dồn bi hai hộp vào hộp lấy bi Tính xác suất để bi trắng 33 Hãy xác định tọa độ điểm M trục tung cho phép tịnh tiến theo véctơ u 4; biến 71 Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất điểm M thành điểm trục hoành 34 Phép tịnh tiến theo véctơ v biến điểm M 2;1 thành điểm đường thẳng để d : x y Hãy xác định tọa độ véctơ v , biết v 35 Cho d : 2x – 5y +4 = Hãy xác định véctơ v có giá song song với Ox biết phép tịnh tiến T v , đường thẳng d có ảnh đường thẳng qua gốc tọa độ O b/ bóng tốt ; a/ bóng tốt ; 36 Cho đường tròn C1 : x y x y C đường trịn qua điểm A(-3 ; -1), có tâm I 4; 4 Hãy xác định tọa độ điểm M (C) điểm N (C1) cho MN IA c/ bóng tốt 72 Gieo hai súc sắc phân biệt Tính xác suất để a/ Tích số chấm hai mặt số lẻ ; b/ Tích số chấm hai mặt số chẵn 73 Một hộp có thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên hai thẻ nhân hai số ghi hai thẻ với PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC a/ Tính xác suất để số nhận số lẻ 37 Thực liên tiếp phép biến hình sau đường thẳng d ta đường thẳng d’ : lấy đối xứng qua trục Ox, tịnh tiến theo véctơ v 5; 2 b/ Tính xác suất để số nhận số chẵn 74 Một lớp có 30 học sinh, gồm học sinh giỏi, 15 học sinh học sinh trung bình Chọn ngẫu a/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’ biết d : 2x – y – = nhiên em để dự đại hội Tính xác suất để b/ Hãy cho biết phương trình đường thẳng d biết d’ : y = a/ học sinh chọn học sinh giỏi ; b/ có học sinh giỏi ; 38 Cho (d) : 5x – 12y + = A(3; 0) B(2 ; 6) c/ học sinh trung bình a/ Viết phương trình d1 = ĐA(d) 75 Hai xạ thủ bắn người phát đạn vào bia Xác suất để người thứ bắn trúng bia b/ Viết phương trình d2 = T (d) AB 39 Viết phương trình (C’) ảnh (C) : x2 + y2 – 2x + 4y -4 =0 qua Đd với d : 3x – 4y – = 0.9, người thứ hai 0.7 Tính xác suất để 40 Cho A(-3 ; 2), B(0 ; -2), d : 5x + 12y – = (C) : x2 + y2+ 8x – 6y – 11 = a/ hai bắn trúng ; b/ người bắn trúng ; a/ Tìm tọa độ A’ = Đ Ox(A) c/ người bắn trúng b/ Tìm (C’) = T C AB 76 Hai máy bay ném bom mục tiêu, máy bay ném Xác suất trúng mục tiêu c/ Biết (C2) ảnh (C’) qua T Tìm vectơ tịnh tiến u biến (C2) thành (C) BO máy bay 0.7 0.8 Tính xác suất để mục tiêu bị trúng bom 41 Cho đường tròn C : x 3 y đường thẳng d : x y 16 Hãy xác định tọa độ điểm A C B d cho điểm A B đối xứng qua trục Oy Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 42 77 Một máy có hai động I II chạy độc lập với Xác xuất để động I II chạy tốt 0,7 0,8 Hãy tính xác xuất để : a/ Cả hai động chạy tốt ; Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 27 Bài tập Toán 11 học kỳ Bài tập Toán 11 học kỳ b/ Cả hai động không chạy tốt ; 24 Phép đối xứng tâm I biến đường thẳng d : x y thành đường thẳng d ': 3x y Biết c/ Có động chạy tốt tâm I nằm đường phân giác góc phần tư thứ thứ ba, xác định tọa độ tâm I 25 Cho điểm A(7 ; 7), đường thẳng d : x + y – 18 = đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x – 6y + = BÀI TẬP LÀM THÊM HAI QUY TẮC ĐẾM Tìm tọa độ M (C) N (d) cho A trung điểm MN 78 Trên giá sách có sách tiếng Việt, sách tiếng Hoa 16 sách tiếng Anh Hỏi có cách chọn hai sách với hai thứ tiếng khác ? §5 PHÉP VỊ TỰ A 79 Có bạn nữ bạn nam Hỏi có cách xắp xếp bạn nữ bạn nam lên dãy ghế có ghế ? 80 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có ba chữ số khác cho chữ số 1, phải có mặt ? 81 a/ Có số tự nhiên có bốn chữ số khác lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ? LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho điểm O cố định số k không đổi, k Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho OM ' kOM gọi phép vị tự tâm O tỉ số k Kí hiệu V V(O,k) Tính chất Định lý Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M N thành hai điểm M’ N’ MN k M ' N ' M ' N ' k MN b/ Có số chẵn số câu a/ ? Định lý Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng khơng làm thay đổi thứ tự c/ Có số có mặt chữ số số câu a/ ? ba điểm thẳng hàng HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 82 Một tổ có nam nữ Người ta cần chọn em xếp thành hàng ngang để nhận giải Hệ Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng ; biến tia thành tia ; biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên với k ; biến tam giác thưởng, yêu cầu phải có em nữ hàng Hỏi có cách xếp ? 83 Thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dể Từ 30 câu hỏi lập nên đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng k ; biến góc thành góc ; biến đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính k R đề phải có đủ ba loại câu hỏi (khó, dể, trung bình) số câu dễ khơng ? 84 Có nhà Toán học nam, nhà Toán học nữ, nhà Vật lý học nam nhà Vật lý học nữ Có bao B BÀI TẬP 26 Phép vị tự tỉ số k biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ Hãy tính tỉ số diện tích hai tam nhiêu cách lật đoàn dự hội nghị gồm nam nữ, có Tốn lẫn Lý ? 85 Có cách xếp bạn nam bạn nữ ngồi vào dãy ghế có ghế cho : giác 27 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, thiết lập biểu thức tọa độ phép vị tự tâm O tỉ số k a/ Nam ngồi bên, nữ ngồi bên ? 28 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x y x y Phép vị tự tâm O tỉ số -2 biến b/ Nam nữ ngồi xen kẻ ? c/ Các bạn nữ phải ngồi gần ? 86 Có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Có cách xếp học sinh nam học sinh nữ ngồi lên hai dãy ghế cho đường trịn C thành đường trịn C ' Hãy viết phương trình C ' 29 Cho (d) : 2x + 3y – = , u (-3 ; 7) a/ Viết phương trình d’ = Tu (d) a/ Nam ngồi dãy nữ ngồi dãy ? b/ Cho A( 2; 9) Tìm tọa độ A’ = Đd(A) b/ Nam, nữ ngồi xen kẻ hai người đối diện phải khác phái ? c/ Cho (C) : x2 + y2 – 4x + 6y +12 =0 Viết phương trình (C’) = V(A; -2) (C) c/ Hai người đối diện phải khác phái ? 30 Cho A(-2; 1), B(5 ; 4) Tìm phép vị tự biến đường trịn (A ; R= 3) thành đường tròn (B ; R = 9) 87 Có cách chia 10 bánh cho em nhỏ cho em có phần ? 88 Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân đội niên tình nguyện giúp đỡ ba tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ ? Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 28 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 41 Bài tập Toán 11 học kỳ Bài tập Toán 11 học kỳ Kí hiệu QO ; 89 Từ chữ số 1, 2, 3, lập số tự nhiên có bốn chữ số khác ? Hãy tính tổng tất số tự nhiên Định lý Phép quay phép dời hình 2 90 Có số tự nhiên có ba chữ số abc thỏa a > b > c ? Phép đối xứng tâm Định nghĩa Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghĩa OM OM ' Phép đối xứng qua điểm O kí hiệu ĐO, điểm O gọi tâm đối xứng Phép đối xứng qua điểm gọi phép đối xứng tâm 2 A y 5Cxy 90 b/ Xác định số nguyên dương x y cho xy y 5 Ax 2C x 80 92 Chứng minh rằng: Nhận xét Phép đối xứng tâm phép quay n a/ Cm Biểu thức tọa độ Trong mặt phẳng Oxy, hai điểm M x; y M ' x '; y ' đối xứng qua tâm I a; b m n 1 Cm1 ; n k m m k b/ Cn k Cn Cn kk Cm k ; 2n n c/ C2 n C22n C2 n C2 n C2 n C2 n C22n 1 93 Giải phương trình x x ' 2a y y ' 2b Tâm đối xứng hình Điểm I gọi tâm đối xứng hình H phép đối xứng tâm I biến hình H thành B 91 a/ Tìm số ngun dương n thỏa mãn đẳng thức Pn An2 Pn An2 12 n b/ 120 An 13 2 a/ An 42 A2 n ; 94 Giải bất phương trình BÀI TẬP n 2! 2! ; c/ An Cn2 n 14n An 15 n ! n 1! 95 Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ) Biết số tập gồm phần tử A gấp 20 lần số tập 18 Cho M(3; 3), N(2 ; -5) O gốc tọa độ a/ Hãy xác định tọa độ ảnh điểm M N qua phép đối xứng tâm ĐO gồm phần tử A b/ Hãy xác định tọa độ ảnh điểm N qua phép đối xứng tâm ĐN a/ Hãy xác định n 19 Hãy viết phương trình ảnh đường thẳng d : x y qua phép đối xứng tâm I 4; 1 b/ Hãy tìm k 1, 2, , n cho số tập gồm k phần tử A lớn 20 Qua phép đối xứng tâm I(-3 ; 1), đường tròn C : x y x y biến thành đường trịn NHỊ THỨC NEWTON (C’) Hãy viết phương trình đường tròn (C’) 21 Cho v (-6 ; 1), A(3 ; -4), B(5 ; 0) d : x + 2y = 96 Trong khai triển biểu thức P ( x ) x2 x 20 a/ Tìm số hạng khơng chứa x a/ Xác định tọa độ A’ = Tv (A) b/ Tìm số hạng chứa x10 b/ Chứng minh B = Đd(A) n c/ Gọi (C) đường trịn có tâm B bán kính = Tìm phương trình (C’) = Đ’A(C) 22 Phép tịnh tiến theo véctơ u 2; 3 biến đường thẳng d : 3x – y – = thành đường thẳng d’ ; phép đối xứng tâm I(3 ; 0) biến đường thẳng d’ thành đường thẳng d” Hãy viết phương trình 1 97 Biết hệ số xn-2 khai triển x 31 tìm n 4 98 Tìm hệ số x3 khai triển (x+1)2 + (x+1)3 + (x+1)4 + (1+x)5 99 Cho đa thức P(x) = (x+1)2 + (x+1)3 +…+ (x+1)14 có dạng khai triển : đường thẳng d” P(x) = ao +a 1x + a2x2 + …+ a14x14 x t x 3t 23 Cho điểm I 3; 4 đường thẳng d1 : , d2 : Hãy xác định tọa độ y 4t y 2t điểm A B nằm đường thẳng d1 d2 cho phép đối xứng tâm ĐI biến Hãy tính a9 12 x 3 100 Tìm số hạng chứa x khai triển 3 x điểm A thành điểm B Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 40 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 29 Bài tập Toán 11 học kỳ Bài tập Toán 11 học kỳ 101 Chứng minh : - Hai điểm M x; y M ' x '; y ' đối xứng qua trục Oy n a/ Cn Cn Cn2 Cn 2n ; k b/ Cn Cn Cn2 (1)k Cn (1)n Cnn x ' x y ' y 14 102 Tính tổng tất hệ số khai triển x thành đa thức n 103 Trong khai triển x , hệ số x n 3 -1760 Hãy tìm n Định nghĩa Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình (H) phép đối xứng trục Đd biến hình (H) n 1 3 104 Biết Cn Cn 3 n 3 , tìm hệ số số hạng chứa x khai triển x x Trục đối xứng hình 105 a/ Cho khai triển x 1 x 1 Hãy tìm hệ số x16 thành B BÀI TẬP 10 Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng l : x y qua trục hoành 11 Viết phương trình ảnh đối xứng đường trịn C : x y 3x qua trục tung b/ Tìm hệ số x khai triển 1 x x 12 a/ Cho đường thẳng : x Hãy thiết lập biểu thức tọa độ cho phép đối xứng trục XÁC SUẤT 2 b/ Cho đường tròn C : x y 1 đường thẳng : x Hãy viết phương trình 106 Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối Tính xác suất để a/ bốn đồng xu ngữa ; ảnh đối xứng (C) qua b/ có ba đồng xu lật ngữa ; 13 Hãy viết phương trình ảnh đối xứng đường thẳng d : y x qua đường thẳng x c/ có hai đồng xu lật ngữa 14 Cho hai đường thẳng d : y đường thẳng : x y 107 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên gồm chữ số khác Tính xác suất để số chẵn a/ Xác định tọa độ giao điểm d 108 Xếp ngẫu nhiên chữ B,G,N,O,O Tính xác suất để chữ BOONG b/ Xác định tọa độ ảnh điểm M(0 ; -2) qua phép đối xứng trục 109 Một hộp đựng bi đỏ, bi đen bi trắng Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp c/ Hãy viết phương trình ảnh đối xứng đường thẳng d qua trục a/ Tính xác suất để bi màu 15 Hãy viết phương trình ảnh C : x y qua phép đối xứng trục d : 4x – y – = b/ Tính xác xuất để bi khác màu 16 Cho hai điểm A(-2 ; 3) B(5 ; 2) Hãy xác định tọa độ điểm M trục hoành cho MA MB c/ Tính xác suất để bi đỏ nhỏ 110 Một bình đựng bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi lấy tiếp viên bi Tính 17 a/ Phép đối xứng trục Đa biến đường thẳng d : x y thành đường thẳng d ' : x y xác xuất để lần thứ hai lấy viên bi đỏ Hãy viết phương trình đường thẳng a 111 Trong buổi rút thăm trúng thưởng, có 10 thăm (chỉ có thăm trúng thưởng) 10 người b/ Phép đối xứng trục Đa biến đường thẳng d : x y thành đường thẳng lên bốc người thăm Tính xác suất để người rút thứ hai trúng thưởng d ': x y Hãy viết phương trình đường thẳng a 112 Một tổ có học sinh nam học sinh nữ a/ Cần chọn nhóm người để trực nhật Hỏi có cách chọn khác ? b/ Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên nhóm người ta nhóm có nữ §4 PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM c/ Cần chia tổ thành nhóm để thực ba cơng việc khác nhau, nhóm người Hỏi có A LÝ THUYẾT cách chia khác ? Tính xác suất để nhóm có nữ Phép quay 113 Tỉ lệ sinh gái ca sinh 0.486 Khảo sát ngẫu nhiên gia đình có Tính xác suất để gia dình có gái Định nghĩa Trong mặt phẳng cho điểm O cố định góc lượng giác khơng đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành M’ cho OM = OM’ góc lượng 114 Có xạ thủ loại I xạ thủ loại II, xác suất để xạ thủ bắn trúng đích thứ tự 0.9 0.8 Lấy giác OM , OM ' gọi phép quay tâm O góc quay ngẫu nhiên xạ thủ bắn viên đạn Tính xác suất để viên đạn trúng đích Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 30 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 39 Bài tập Toán 11 học kỳ 1 Bài tập Toán 11 học kỳ Cho B(5 ; 3), C(-3 ; 4) d : 2x + y – = a/ Viết phương trình d’ = T (d) BC b/ Tìm m để Tv ,với v (2, m), biến d thành 2 Phép tịnh tiến theo véctơ v 3;1 biến đường tròn C : x y thành đường tròn (C’) Hãy viết phương trình đường trịn (C’) Phép tịnh tiến theo véctơ u 2; 1 biến đường tròn C : x y x thành đường tròn C ' Hãy viết phương trình C ' Hãy xác định tọa độ điểm M trục hoành cho phép tịnh tiến theo véctơ v 2;3 biến điểm M thành điểm trục tung Phép tịnh tiến theo véctơ v biến điểm M 3; 1 thành điểm đường thẳng : x y Hãy xác định tọa độ véctơ v , biết v Cho hai đường thẳng song song d : x y d : x y Hãy xác định phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ biết a/ Véctơ tịnh tiến có giá trục Ox ; b/ Véctơ tịnh tiến véctơ pháp tuyến d Cho hai điểm A(-1 ; 1), B(1 ; 3) đường tròn C : x y 10 Phép tịnh tiến theo véctơ v biến A, B thành A’, B’ Biết A’ B’ nằm C Viết phương trình đường thẳng A’B’ §3 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A LÝ THUYẾT Định nghĩa phép đối xứng trục Định nghĩa Phép đối xứng qua đường thẳng a phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua a Phép đối xứng qua đường thẳng a thường kí hiệu Đa Phép đối xứng qua đường thẳng gọi đơn giản phép đối xứng trục Đường thẳng a gọi trục đối xứng Định lý Phép đối xứng trục phép dời hình U k 1 U k 1 , k hay U k 1 U k 1 2U k n 2U1 n 1 d n U1 U n Tổng n số hạng đầu: S n , n N * S n 2 Tính chất: U k Lưu ý: Khi giải toán cấp số cộng, ta thường gặp đại lượng u1, un, n, d, Sn Cần phải biết đại lượng tính đại lượng cịn lại CẤP SỐ NHÂN Những kiến thức cần nhớ Định nghĩa Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vơ hạn),trong kể từ số hạng thứ hai,mỗi số hạng tích số hạng đứng trước nhân với số khơng đổi q Số q gọi cơng bội Ta có: un1 un q (n N * ) ta suy q Nhận xét Trong mặt phẳng Oxy un 1 un Số hạng tổng quát Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức: - Hai điểm M x; y M ' x '; y ' đối xứng qua trục Ox x ' x ; y ' y Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ CHƯƠNG II: DÃY SỐ I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa: - Mỗi hàm số u xác định tập số tự nhiên N gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Đặt u(n) = un gọi số hạng tổng quát dãy số (un) - Mỗi hàm số u xác định tập M = 1,2,3,…,m với m N gọi dãy số hữu hạn + Cách cho dãy số: - Dãy số cho công thức số hạng tổng quát - Dãy số cho phương pháp mô tả - Dãy số cho cơng thức truy hồi II XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA DÃY SỐ Kiến thức cần nhớ - Dãy số (un) gọi tăng un+1> un với n N - Dãy số (un) gọi giảm un+1< un với n N III XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA MỘT DÃY SỐ Kiến thức cần nhớ - Dãy số (un) gọi bị chặn tồn M cho: Un M với n N - Dãy số (un) gọi bị chặn díi tồn số m cho: Un m với n N - Dãy số gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn hai số m, M cho m un M với n N IV CẤP SỐ CỘNG Kiến thức cần nhớ Định nghĩa: U n cấp số cộng U n1 U n d , với n N * , d số Hệ quả: Công sai d U n1 U n Số hạng tổng quát: U n U1 n 1 d , n Trang 38 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 31 Bài tập Toán 11 học kỳ Bài tập Toán 11 học kỳ Un = u1qn-1 với n suy qn-1 = un u1 §2 PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH (Định lý 1) A u uk 1 uk 1 , k 2 k hay uk uk 1.uk 1 LÝ THUYẾT Tính chất số hạng cấp số nhân Định nghĩa phép tịnh tiến Phép tịnh tiến theo véctơ u phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho MM ' u Phép tịnh tiến theo véctơ u thường kí hiệu T Tu Véctơ u gọi véctơ tịnh (Định lý 2) Tổng n số hạng đầu cấp số nhân Cho cấp số nhân (un ) Đặt S n u1 u2 u3 tiến M ' Tu M MM ' u n Sn u1 (1 q ) 1 q Khi đó: (Định lý 3) Lưu ý: Khi giải toán cấp số nhân, ta thường gặp đại lượng u1, un, n, d, Sn Cần phải biết đại lượng tính đại lượng cịn lại Các dạng tập Dạng 1:Xác định cấp số nhân, tìm yếu tố cấp số nhân VD1:Cho cấp số nhân (un) với công bội q a/ Biết u1 = 2, u6 = 486.Tìm q b/Biết q = , u4 = Tìm u1 21 Các tính chất phép tịnh tiến Định lý Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M N thành hai điểm M’ N’ M’N’ = MN Định lý Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm Hệ Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng ; biến tia thành tia ; biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng ; biến tam giác thành tam giác nó; biến đường trịn thành đường trịn có bán kính ; biến góc thành góc c/ Biết u1 = 3,q = -2.Hỏi số 192 số hạng thứ mấy? HD: Áp dụng công thức: Un = u1qn-1 u (với n ) suy qn-1 = n u1 Biểu thức tọa đổ phép tịnh tiến Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo véctơ u Biết tọa độ u (a ; b) Giả sử qua phép tịnh tiến Tu , M(x ; y) biến thành M’(x’ ; y’) Ta có x ' x a MM u y ' y b Phép dời hình Định nghĩa Phép dời hình phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điểm Định lý Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm ; biến đường thẳng thành đường thẳng ; biến tia thành tia ; biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng ; biến tam giác thành tam giác ; biến đường trịn thành đường trịn có bán kính ; biến góc thành góc B BÀI TẬP 1 Cho hai điểm M(3 ; 1), N(-3 ; 2) véctơ v 2; 3 a/ Hãy xác định tọa độ ảnh điểm M N qua phép tịnh tiến Tv b/ Tịnh tiến đường thẳng MN theo véctơ v , ta đường thẳng d Hãy viết phương trình đường thẳng d Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 32 Hãy viết phương trình đường thẳng d’ ảnh đường thẳng d : 2x – 3y + = qua phép tịnh tiến theo véctơ v 2;1 Trần Văn Chung Trường THPT Hồng Văn Thụ Trang 37 Bài tập Tốn 11 học kỳ Bài tập Toán 11 học kỳ b/ (C) qua điểm M(-2 ; -3) có tâm I(1 ; -2) ; §1 ƠN TẬP c/ (C) có đường kính AB, với A(2 ; 2) B(1 ; 4) ; A LÝ THUYẾT d/ (C) có tâm I(3 ; 2) tiếp xúc với đường thẳng : 3x y ; I Hệ thức lượng tam giác Định lý côsin x t 2 12 Cho đường tròn C : x 3 y 3 đưòng thẳng d : y 3t a b c 2bc cos A 13 Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn C : x y 10 , biết tiếp tuyến song 2 đáy cao S Định lý sin S bc sin A a b c 2R sin A sin B sin C 14 Cho đường tròn C : x y x y đường thẳng d : x y Hãy viết phương trình đường thẳng vng góc với d tiếp xúc với (C) Diện tích tam giác b2 c2 a cos A 2bc Tìm tọa độ giao điểm (C) d song với đưòng thẳng d : x y 10 S Công thức độ dài đường trung tuyến S pr b2 c a ma 15 Hãy viết phương trình đường trịn qua hai điểm M(-1 ; 1), N(2 ; 0) có tâm nằm trục abc 4R hồnh S p p a p b p c 16 Tam giác ABC có A(4;3), đường cao BH: 3x – y + 11 = 0, đường trung tuyến CM : x + y – = a/ Hãy xác định tọa độ điểm B M II Tọa độ điểm véctơ b/ Hãy viết phương trình cạnh tam giác ABC Điểm M trung điểm đoạn AB Chương PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG x A xB xM y y A yB M §1 MỞ ĐẦU VỀ PHÉP BIẾN HÌNH Phép biến hình Định nghĩa Phép biến hình (trong mặt phẳng) quy tắc để với điểm M thuộc mặt phẳng, xác định điểm M’ thuộc mặt phẳng Điểm M’ gọi ảnh điểm M qua phép biến M Oy xM M 0; yM Với điểm M, ta xác định điểm M’ trùng với M ta cững phép biến hình Phép biến hình gọi phép đồng Kí hiệu thuật ngữ Nếu ta kí hiệu phép biến hình F M’ ảnh điểm M qua phép biến hình F ta viết M’ = F(M), F(M) = M’ Khi ta cịn nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M’ Với hình H, ta gọi hình H’ gồm điểm M’ = F(M), M H, ảnh H qua phép biến hình F, viết H’ = F(H) Véctơ xác định hai điểm AB xB x A ; y B y A Hai véctơ x x ' u x; y v x '; y ' y y' Độ dài véctơ u x; y u x2 y Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Độ dài đoạn thẳng 2 AB AB xB x A yB y A Tích vơ hướng hai véctơ u x; y v x '; y ' u v xx ' yy ' M Ox yM M xM ; hình Điểm trục tọa độ Trang 36 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Góc hai véctơ u v xx ' yy ' cos u , v u v x y x '2 y '2 Hai véctơ vng góc u v xx ' yy ' 10 Diện tích tam giác ABC, biết AB x; y AC x '; y ' S x x' y y' xy ' yx ' Trang 33 Bài tập Toán 11 học kỳ Bài tập Toán 11 học kỳ III Phương trình đường thẳng Véctơ n có giá vng góc với đường thẳng gọi véctơ pháp tuyến đường thẳng Véctơ khác vng góc với véctơ pháp tuyến đường thẳng gọi véctơ phương đường thẳng I a; b , bán kính R a b c B Phương trình tổng quát đường thẳng a/ Chứng minh ba điểm A, B, C ba đỉnh tam giác b/ Viết phương trình đường thẳng BC c/ Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh B tam giác ABC Đường thẳng qua điểm M xo ; yo có véctơ pháp tuyến n a; b có phương trình tổng quát d/ Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AC e/ Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A tam giác ABC a x xo b y yo Khoảng cách từ điểm M xo ; yo đến đường thẳng : ax by c cho công thức d M ; axo byo c a b b/ Viết phương trình đường thẳng qua M song song với d2 x 5t Xác định tọa độ hình chiếu điểm P(1 ; 2) lên đường thẳng d : y 2t Cho ba điểm A(2 ; 1), B(2 ; 3), C(-1 ; -2) Xác định tọa độ hình chiếu điểm C lên đường thẳng AB Hãy tính khoãng cách từ điểm M(2 ; 4) đến đường thẳng :16 x 30 y Cho hai đường thẳng d1 : 3x y d : x y a/ Hãy xác định vị trí tương đối hai đường thẳng cho b/ Hãy tính khoảng hai đường thẳng d1 d2 Phương trình tắt đường thẳng Một đường thẳng qua điểm M xo ; yo có véctơ phương u a; b , a b Đường thẳng qua hai điểm A B AB : x xA y yA xB x A y B y A Cho đường thẳng d : x y Hãy viết phương trình đường thẳng song song với d cách d 10 a/ Tìm tập hợp điểm cách hai đường thẳng 1 : x y : 3 x y b/ Tìm tập hợp điểm cách hai đường thẳng l1 : x y l2 : x y 10 Xác định tâm bán kính đườmg trịn sau : (trong điều kiện biểu thức có nghĩa) a/ C : x 3 y ; Phương trình đường trịn khoãng x xo y yo đường thẳng có phương trình tắt a b x xo at số y yo bt IV Cho đường thẳng d : x y điểm M (2;3) Hãy xác định tọa độ hình chiếu M lên d Phương trình tham số đường thẳng Một đường thẳng qua điểm M xo ; yo có véctơ phương u a; b có phương trình tham Cho hai đường thẳng d1 : 3x y , d : x y điểm M(2 ; 4) a/ Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với d1 x xo at Phương trình với a; b 0; phương trình tham số đường thẳng có y yo bt véctơ phương u a; b Cho ba điểm A(3 ; 1), B(2 ; -2) C(4 ; -1) Phương trình ax by c với a b phương trình tổng quát đường thẳng có véctơ pháp tuyến n a; b BÀI TẬP Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Véctơ phương đường thẳng có giá song song trùng với đường thẳng Phương trình x y 2ax 2by c với a b c phương trình đường trịn tâm 2 Phương trình x xo y yo R (R>0) phương trình đường trịn tâm I(a;b), bk R b/ C : x y x y ; c/ C : x y y ; d/ C : x y x y 11 Hãy viết phương trình đường trịn (C), biết : a/ (C) có tâm I(1 ; 2) bán kính R = ; Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 34 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 35 ... Văn Thu Nha Trang - ĐT: 0972. 311. 481 Trang Trang 66 Bài tập Toán 11 Bài tập Toán 11 học kỳ sin a cos a cos(a ) sin( a ) ĐỀ THI HỌC KỲ – MƠN TỐN LỚP 11 sin( a b) cos a cos b sin(... THPT Hoàng Văn Thu Nha Trang - ĐT: 0972. 311. 481 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 11 Bài tập Toán 11 học kỳ e/ 3cos x sin x Bài tập Toán 11 Trang 57 b/ Gọi I điểm nằm A B, IC cắt... Hoàng Văn Thụ Trang 26 Trần Văn Chung Trường THPT Hoàng Văn Thụ Trang 43 Bài tập Toán 11 học kỳ Bài tập Toán 11 học kỳ BÀI TẬP LÀM THÊM a/ cầu xanh ; PHÉP TỊNH TIẾN b/ đủ hai màu ; 31 Phép tịnh