Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 1 1. 2 4 2x x x 2    2. x 4 1 x 1 2x     3. 2 x 4x 5 3x 17    4. 2 3x 19x 20 4x 4    5. x 12 2x 1 x 3     PHN I PHNG TRÌNH ậ BT PHNG TRÌNH  2 B0 AB AB        B0 AB AB        B0 AB AB        2 B0 A B A 0 AB            2 A0 B0 AB B0 AB                  TNG QUÁT : i vi nhng nhng phng trình, bt phng trình không có dng chun nh trên, ta thc hin: - t điu kin cho cn thc có ngha, - Chuyn v sao cho 2 v đu không âm, - Bình phng c hai v đ kh cn. VÍ D - BÀI TP Ví d 1: Gii các phng trình, bt phng trình sau: 1. 2 4 2x x x 2      2 2 2 x 2 0 4 2x x x 2 x2 x2 x3 x 0 x 3 x 3x 0                           Vy: x3 2. x 4 1 x 1 2x     x 4 1 x 1 2x      iu kin : x 4 0 1 1 x 0 4 x 2 1 2x 0              2 x 4 2 3x 2 2x 3x 1       2 2x 1 2x 3x 1     22 2x 1 0 (2x 1) 2x 3x 1          22 2x 1 0 4x 4x 1 2x 3x 1           2 1 x 2 2x 7x 0         1 x 2 x0 7 x 0 x 2                So điu kin nhn x0 Vy: x0 3. 2 x 4x 5 3x 17    2 22 2 x 4x 5 0 3x 17 0 x 4x 5 (3x 17) x 1 x 5 x 1 x 5 17 17 xx 33 21 8x 98x 294 0 x x 7 4 x7                                               Vy: x7 4. 2 3x 19x 20 4x 4    2 2 2 4x 4 0 4x 4 0 3x 19x 20 0 3x 19x 20 (4x 4)                2 x1 x1 4 x 5 x 13x 51x 4 0 3                   x1 4 x 5 x 1 1 3 x4 13                  4 x 5 x 1 1 x 4 3           Vy: 4 x 5 x 1 1 x 4 3          5. x 12 2x 1 x 3     x 12 x 3 2x 1      (*) CÁC DNG C BN www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 2 iu kin: x 12 0 x 3 0 x 3 2x 1 0            (*) x 12 x 3 2x 1      2 2 x 12 x 3 2x 1 2 (x 3)(2x 1) 14 2x 2 (x 3)(2x 1) (x 3)(2x 1) 7 x (x 3)(2x 1) 0 7 x 0 (x 3)(2x 1) 49 14x x 1 x x 3 2 x7 x 9x 52 0 1 x x 3 2 1 x 7 x 3 x 4 2 x 4 x 13                                                                         So điu kin 3 x 4 . Vy: 3 x 4 Ví d 2: Gii các phng trình, bt phng trình sau: 1. 6 3 x 9 5x 3x      (1) iu kin: 3 x 0 9 x 9 5x 0 5       (1) 2 9 x 5x 24x 27     22 9 x 0 81 18x x 5x 24x 27           2 x9 4x 6x 54 0 x9 9 x x 3 9 2 x x 3 2                         So điu kin nhn x3 Vy: x3 2. 2 x 16 5 x3 x 3 x 3      (2) iu kin : 2 x 4 x 4 x 16 0 x4 x3 x 3 0                Do x 3 0 nên quy đng b mu ta đc: (2) 2 x 16 8 x    2 22 x 16 0 8 x 0 8 x 0 x 16 (8 x)                     x 4 x 4 x8 x8 16x 80                      x8 x5 5x8         So điu kin nhn x5 Vy: x5 3. 2 (x 1) 16x 17 8x 15x 23     (3) iu kin : 17 16x 17 0 x 16      (3)   (x 1) 16x 17 (x 1) 8x 23        (x 1) 16x 17 8x 23 0      x1 16x 17 8x 23         2 x1 8x 23 0 16x 17 64x 368x 529                x1 x1 23 x x4 8 x 2 x 4                       So điu kin nhn x1 hoc x4 Vy: x1  hoc x4 1. 6 3 x 9 5x 3x      2. 2 x 16 5 x3 x 3 x 3      3. 2 (x 1) 16x 17 8x 15x 23     4. 22 (x 3) x 4 x 9    5. 22 2x 8x 6 x 1 2x 2      6. 2 51 2x x 1 1x    www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 3 4. 22 (x 3) x 4 x 9    (4) iu kin : 2 x 4 0 x 2 x 2       (4)   2 (x 3) x 4 x 3 0      (*) Do ta cha bit du ca (x 3) nên ta chia làm 3 trng hp:  Trng hp 1: x3 (*) 2 x 4 x 3    2 22 x 3 0 x 4 0 x 3 0 x 4 x 6x 9 x3 x 2 x 2 x3 6x 13 x3 13 x 13 6 3x 6                                                         Trng hp 2: x3 tha (*)  Trng hp 3: x3 (*) 2 x 4 x 3    2 x 4 x 3    2 22 x 4 0 x 3 0 x 4 x 6x 9              x 2 x 2 x3 6x 13              x2 x 2 x 3 13 x 6             Vy: 13 x 6   hoc x3 5. 22 2x 8x 6 x 1 2x 2      (5) iu kin : 2 2 2x 8x 6 0 x 1 0 x 1 x 1 2x 2 0                  Trng hp 1: x1 tha (5).  Trng hp 2: x1 (5)   2 (x 1)(2x 6) (x 1)(x 1) 2 x 1          2 2 2x 6 x 1 2 x 1 2x 6 x 1 2 (2x 6)(x 1) 4(x 1) 2 (2x 6)(x 1) x 1 x 1 4(2x 6)(x 1) (x 1) 7x 18x 25 0 x1 x1 25 x 7                                         Vy: x1 hoc x1  6. 2 51 2x x 1 1x    (6) iu kin : 2 51 2x x 0 1 2 13 x 1 2 3 1 x 0 x1                    Do ta cha bit du ca (1 x) nên ta chia làm 2 trng hp.  Trng hp 1: 1 x 0 x 1    (6) 2 51 2x x 1 x     2 22 1 x 0 51 2x x 0 51 2x x (1 x)               x1 1 2 13 x 1 2 13 x 5 x 5                  1 2 13 x 5       Trng hp 2: 1 x 0 x 1    (6) 2 51 2x x 1 x     2 1 x 0 51 2x x 0         x1 1 2 13 x 1 2 13              1 x 1 2 13     Vy: 1 2 13 x 5     hoc 1 x 1 2 13    www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 4 Ví d 3: Gii các phng trình, bt phng trình sau: 1. x 3 2 x 4 x 2 x 1 1           22 x 4 2 x 4 1 x 1 2 x 1 1 1 x 4 1 x 1 1 1 x 4 1 x 1 1 1 (1)                          iu kin: x 4 0 x4 x 1 0       (1) x 4 1 x 1 1 1       x 4 1 2 x 1 2 x 1 0 x 4 1 2 x 1 x 4 1 2 x 1 x5 VN do x 5 x 4 1 x 1 1 x 4 x5 x 1 1 x 4 2 x 4 x5 x5 x5 x5 x 4 1                                                                                Vy: x5 2. x 14x 49 x 14x 49 14      14x 14 14x 49 14x 14 14x 49 14       22 ( 14x 49 7) ( 14x 49 7) 14       14x 49 7 14x 49 7 14       (2) iu kin : 49 14x 49 0 x 14     (2) t t 14x 49 7 14x 49 t 7       Phng trình tr thành: t 7 7 t 14    t t t 0     14x 49 7 0 14x 49 7 7 14x 49 0 x 7 x7 2 14x 98 2 x7                        Vy: 7 x7 2  3. 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2       3 x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 2                22 3 x 1 1 x 1 1 2        3 x 1 1 x 1 1 2        3 x 1 1 x 1 1 2        (3) iu kin : x 1 0 x 1    (3) 1 x 1 1 x 1 2       1 x 1 1 x 1 2 1 x 1 1 x 1 (*) 2                   (*) luôn đúng nên h đúng vi mi x tha điu kin. Vy: x1 Chú ý : CÁC DNG PHNG TRỊNH – BT PHNG TRỊNH CHA DU TR TUYT I  AB AB AB        B0 AB AB AB              A B (A B)(A B) 0      AB AB AB        AB AB AB       1. x 3 2 x 4 x 2 x 1 1       2. x 14x 49 x 14x 49 14      3. 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2       www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 5  33 3 A B C   33 3 A B 3 A.B A B C     Thay 33 3 A B C ta đc: 3 A B 3 A.B.C C     f(x) g(x) h(x) k(x)   Mà có: f(x) h(x) g(x) k(x) f(x).h(x) g(x).k(x)         Bin đi phng trình v dng: f(x) h(x) k(x) g(x)  Bình phng, gii phng trình h qu VÍ D VÀ BÀI TP Ví d 1: Gii phng trình sau: w 1. 33 3 x 1 x 2 x 3 0            33 3 3 33 3 3 3 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 2x 3 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3                          Ta thay 33 3 x 1 x 2 x 3      3 3 2 3 (x 1)(x 2)(x 3) 3(x 2) (x 1)(x 2)(x 3) (x 2) (x 2) (x 1)(x 3) (x 2) 0 (x 2)( 1) 0 x2                             Th li nhn x2 Vy: x2 Nhn xét :  Khi thay 33 3 x 1 x 2 x 3      ta ch nhn đc phng trình h qu do phng trình đu cha bit có nghim hay không?  BƠi toán cng có th gii:   33 3 3 3 3 3 x 1 x 2 x 3 2x 3 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3                       2. x 3 3x 1 2 x 2x 2      (2) iu kin : x 3 0 3x 1 0 x0 x0 2x 2 0             (2) 3x 1 2x 2 4x x 3 (*)       22 2 5x 3 2 (3x 1)(2x 2) 5x 3 2 4x(x 3) (3x 1)(2x 2) 4x(x 3) 6x 8x 2 4x 12x 2x 4x 2 0 x1                         Th li nhn x1 Vy: x1 Nhn xét :  Do ta cha xác đnh đc 2 v phng trình (*) đu dng nên khi bình phng ta ch thu đc phng trình h qu.  Bài toán vn có th gii theo cách bin đi tng đng nhng so vi cách này thì phc tp. 3. 3 2 x1 x 1 x x 1 x 3 x3          (3) iu kin : x1  (3) 3 2 x1 x 3 x x 1 x 1 x3             2 3 2 2 3 2 x1 x 3 x x 1 x 1 x3 x1 x x 1 x3                     2 x 1 3 x 2x 2 0 x 1 3            Th li nhn x 1 3 ; x 1 3 Vy: x 1 3 ; x 1 3 Nhn xét chung:  Thy trng hp phng trình cn bc ba và phng trình cha bn cn bc hai nh trên thì ta có th ngh đn phng trình h qu.  Nu khi gii cách phng trình  phn trc cm thy khó khn trong vic gii các điu kin và s “sót điu kin” thì ta cng có th gii bng phng trinh h qu sau đó th li. GII PHNG TRÌNH H QU 1. 33 3 x 1 x 2 x 3 0      2. x 3 3x 1 2 x 2x 2      3. 3 2 x1 x 1 x x 1 x 3 x3          www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 6  a.f(x) b f(x) c 0; a 0.    Phng pháp : t t f(x), t 0  a( A B) b(A B 2 AB) c 0      Phng pháp : t t A B          nn 22 n 22 a. A b. AB c. B 0 a.A x bB x c A x .B x A B mA nB                Phng pháp : Bng cách đt n ph u, v ta đa đc v dng phng trình: 22 u uv v 0    B1: Th trng hp v = 0  B2: Xét v0 phng trình tr thành : 2 uu 0 vv                 t t = u v phng trình tr thành 2 t t 0   Tham s bin thiên VÍ D VÀ BÀI TP Ví d 1: Gii các phng trình, bt phng trình sau: 1. 2 (x 4)(x 1) 3 x 5x 2 6      22 22 x 5x 4 3 x 5x 2 6 x 5x 2 3 x 5x 2 0               iu kin : 2 x 5x 2 0   5 17 5 17 xx 22         t 2 t x 5x 2 (t 0)    22 22 t x 5x 2 x 5x t 2         Phng trình tr thành: 2 t1 t 3t 4 0 t 4 t4            Vi t4 22 x 5x 4 2    2 x 5x 14 0 x 2;x 7        Vy: x2 hoc x7 2. 22 2x 15 x 5x 6 10x     22 2x 10x 15 x 5x 6 0       iu kin: 2 x 5x 6 0 x 1 x 6       t 2 t x 5x 6 (t 0)    22 22 t x 5x 6 x 5x t 6         Bt phng trình tr thành: 2 2(t 6) 15 t 0    2 3 t 2t t 3 0 t 1 2 t1              Vi 2 t 1 x 5x 6 1     2 x 5x 6 1    2 x 5x 7 0 5 53 5 53 xx 22          Vy: 5 53 5 53 xx 22     3. 22 2x 5x 2 2 2x 5x 6 1      iu kin: 2 2x 5x 6 0   5 73 5 73 xx 44         t 2 t 2x 5x 6 (t 0)    2 2x 5x 2 t 8     Phng trình tr thành: t 8 2 t 1   t 8 1 2 t      2 t 8 1 2 t    4 t 7 3t   2 7 3t 0 t1 16t (7 3t)         Vi 2 7 t 1 2x 5x 6 1 x 1;x 2          Vy: x1 hoc 7 x 2  CÁC DNG T MT N PH 1. 2 (x 4)(x 1) 3 x 5x 2 6      2. 22 2x 15 x 5x 6 10x     3. 22 2x 5x 2 2 2x 5x 6 1      4. x x 1 3 x 1 x 2    www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 7 4. x x 1 3 x 1 x 2    iu kin: x 0 x 0 x 1 x1       t x t (t 0) x1   Bt phng trình tr thành: 13 t t 2  2 2t 3t 2 0    1 t t 2 2     Vi 1 t 2  x1 x1 2   x1 0 x 1 2     x 0 x 1 1x1           1 x 0    Vi t2 x 2 x1   x 2 x1   x 2x 2 0 x1    x2 0 1 x 2 x1        Vy: 1 x 0   hoc 1 x 2  Cách khác: x x 1 3 x 1 x 2    (*) iu kin : x 0 x 0 x 1 x1       (*)  2 x x 1 9 x 1 x 2        22 x x 1 5 x 1 x 2 2x 2(x 1) 5x(x 1) 0 2(x 1)x            2 x x 2 0 2(x 1)x      1 x 0    hoc 1 x 2 Ví d 2: Gii các phng trình sau: 1. 2 x 1 4 x x 3x 4 5        x 1 4 x (x 1)(4 x) 5        iu kin: x 1 0 1 x 4 4 x 0          t t x 1 4 x (t 0)     2 2 t x 1 4 x 2 (x 1)(4 x) t5 (x 1)(4 x) 2              Phng trình tr thành: 2 t5 t5 2   2 t3 t 2t 15 0 t 3 t5             2 2 25 x 3x 4 2       22 x0 x 3x 4 2 x 3x 0 x3                Vy: x0 hoc x3 2. 2 2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16        iu kin : 2 2x 3 0 x 1 0 x 1 2x 5x 3 0               t t 2x 3 x 1 (t 0)     22 22 t 3x 4 2 2x 5x 3 3x 2 2x 5x 3 t 4             Phng trình tr thành: 2 t t 4 16   2 t5 t t 20 0 t 4 ( )           loaïi Vi t5 2x 3 x 1 5     22 2 2 3x 2 2x 5x 3 5 4 2 2x 5x 3 21 3x 1 x 7 x 146x 429 0 1 x 7 x3 x 3 x 143                                  Vy: x3 1. 2 x 1 4 x x 3x 4 5        2. 2 2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16        www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 8 Ví d 3: Gii các phng trình sau: 1. 2 2 2 3 3 3 4 (x 2) 7 (4 x ) 3 (2 x) 0      (1) Ta có: 2 x 0 x 2    không là nghim phng trình. Chia 2 v cho: 2 3 (2 x) ta đc: (1) 2 3 3 x 2 x 2 4 7 3 0 2 x 2 x          t 3 x2 t 2x    phng trình tr thành: 2 t1 4t 7t 3 0 3 t 4           Vi 3 x 2 x 2 t 1 1 1 x 0 2 x 2 x          Vi 3 3 x 2 3 x 2 27 74 tx 4 2 x 4 2 x 64 91            Vy: x0 hoc 74 x 91    Cách khác: 2 2 2 3 3 3 4 (x 2) 7 (4 x ) 3 (2 x) 0      t 3 u x 2 và 3 v 2 x Phng trình tr thành: 22 4u 7uv 3v 0   Do v0 không là nghim phng trình. Chia 2 v cho v0 ta đc: 2 2 uu 4 7 3 0 vv    u u 3 1 v v 4     Vi u 1 v  3 x 2 x 2 1 1 x 0 2 x 2 x         Vi 3 u x 2 3 x 2 27 74 1x v 2 x 4 2 x 64 91            Vy: x0 hoc 74 x 91   2.   23 2 x 2 5 x 1   (2) iu kin: 3 x 1 0 x 1     (2) 22 2(x x 1) 2(x 1) 5 (x 1)(x x 1)         Do   2 x x 1 0   chia hai v cho   2 x x 1 : 22 x 1 x 1 2 2 5 x x 1 x x 1         t 2 x1 t (t 0) x x 1    Phng trình tr thành: 2 t2 2t 5t 2 0 1 t 2           Vi 22 x 1 x 1 t 2 2 4 (VN) x x 1 x x 1           Vi 22 1 x 1 1 x 1 1 t 2 x x 1 2 x x 1 4           5 37 x 2   Vy: 5 37 x 2   Nhn xét :  Khó khn ca ta là trong vic phân tích:   22 2 x 2 2(x x 1) 2(x 1)      .  Vic này có th thc hin d dàng do: 32 x 1 (x 1)(x x 1)      Bng cách đng nht h s:   2 2 2 (x x 1) (x 1)2 x 2 2(x 2)        ta d dàng chn  và  .  Mt s khai trin đa thc thành nhân t:      32 x 1 x 1 x x 1        4 2 4 2 2 x x 1 x 2x 1 x         22 x x 1 x x 1         4 2 2 x 1 x 2x 1 x 2x 1          4 2 2 4x 1 2x 2x 1 2x 2x 1      3. 2 2 4 2 x 3 x 1 x x 1     iu kin : 2 x 1 0 x 1 x 1       Ta đt: 2 ux , 2 v x 1 (u,v 0)   . Phng trình tr thành : 22 u 3v u v   2 2 2 2 u 6uv 9v u v     2 v0 10v 6uv 0 v 0 3 vu 5             Vi 22 v 0 x 1 0 x 1 x 1         Vy: x1  1. 2 2 2 3 3 3 4 (x 2) 7 (4 x ) 3 (2 x) 0      2.   23 2 x 2 5 x 1   3. 2 2 4 2 x 3 x 1 x x 1     www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 9 Ví d 4: Gii các phng trình sau: 1. 22 x 2(x 1) x x 1 x 2 0       (1) iu kin : 2 x x 1 0 x       22 (1) x x 1 2(x 1) x x 1 2(x 1) 1 0           t 2 t x x 1; t 0.    phng trình tr thành: 2 t 2(x 1)t 2x 1 0, t 0      , 2 'x t1 t 1 2x       Vi 2 t 1 x x 1 1 x 0; x 1.          Vi 2 t 1 2x x x 1 1 2x        22 2 1 2x 0 x x 1 (1 2x) 1 x x0 2 3x 5x                    Vy: x0 hoc x1 2.   22 x 1 x 2x 3 x 1       22 x 1 x 2x 3 x 2x 3 2x 2         iu kin : 2 x 2x 3 0 x     t 2 t x 2x 3   . Phng trình tr thành:   2 x 1 t t 2x 2        2 t2 t x 1 t 2 x 1 0 t x 1             Vi 2 x 1 2 t 2 x 2x 3 2 x 1 2             Vi 2 t x 1 x 2x 3 x 1       22 x 1 0 (VN) x 2x 3 x 2x 1           Vy: x 1 2 Phng pháp chung :  t các n ph. Tìm mi liên h gia các n ph. Kt hp vi phng trình ban đu ca bài toán ta đc h phng trình.  Lu ý các phng pháp gii h phng trình. Ví d 1: Gii các phng trình sau: 1.   33 33 x 25 x x 25 x 30    t 3 3 3 3 y 35 x x y 35     Khi đó phng trình chuyn v h sau: 33 xy(x y) 30 x y 35      ơy lƠ h đi xng loi 1. Gii h ta tìm đc cp nghim là (2;3) hoc (3;2) Vy: x2 hoc x3 2. 33 1 x 1 x 2    t 3 3 u 1 x v 1 x        . Khi đó phng trình chuyn v h sau: 22 u v 2 u v 2      u v 2 uv 1       u v 1 x 0     Vy: x = 0. 3. 3 2 x 1 x 1    iu kin : x 1 0 x 1    t 3 u 2 x v x 1 (v 0)          Khi đó phng trình chuyn v h sau: 32 u + v =1 u + v =1    2 u(u u 2) 0 v 1 u         1. 22 x 2(x 1) x x 1 x 2 0       2.   22 x 1 x 2x 3 x 1     T N PH A V H 1.   33 33 x 25 x x 25 x 30    2. 33 1 x 1 x 2    3. 3 2 x 1 x 1    4. 3 3 x 1 2 2x 1   5.     22 3 2 33 3x 1 3x 1 9x 1 1       www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 10 u0 x2 u1 x1 u2 x 10 v 1 u                          Vy: x2 hoc x1 hoc x 10 4. 3 3 x 1 2 2x 1   t 3 3 y 2x 1 y 1 2x     . Khi đó phng trình chuyn v h sau: 3 3 x 1 2y y 1 2x        3 33 x 1 2y x y 2(y x)           3 22 x 1 2y (x y)(x xy y 2) 0             (Do 2 2 2 2 y3 x xy y 2 x y 2 0 24            ) 3 x 1 2y x y 0       3 x1 x 1 2x 15 x y 0 x 2               Vy: x1 hoc 15 x 2   5.     22 3 2 33 3x 1 3x 1 9x 1 1      t: 3 u 3x 1 và 3 v 3x 1 Khi đó phng trình chuyn v h sau: 22 33 u v u.v 1 u v 2          u v 2 u v 2      Do đó:     2 2 v 2 v v v 2 1       2 2 3v 6v 3 0 3 v 1 0 v 1 u 1             3 3 u 3x 1 1 x0 v 3x 1 1                Vy: x0 Ví d 2: Gii các phng trình sau: 1. 2 x3 2x 4x 2   Cách 1: 2 x3 2x 4x 2   (1) iu kin : x3 . (1) 2 (x 1) 2 2(x 1) 2 2      2 1 x 1 (x 1) 1 1 22       . t 2 t y1 x 1 t t x 1;y 1 1 2 22 y0                . Khi đó phng trình chuyn v h sau: 2 2 1 t 1 y 2 1 y 1 t 2          ty 1 (t y)(t y ) 0 1 2 yt 2               Vi 2 2 t t1 2t t 2 0 ty 2 t0 t y 0                 1 17 3 17 tx 44        (tha). Vi 2 2 1t (t ) 1 4t 2t 3 0 1 22 yt 1 1 2 t t 2 2                       1 13 5 13 tx 44         (tha) Vy: 3 17 5 13 x ;x 44      . 1. 2 x3 2x 4x 2   2. 2 x x 1000 1 8000x 1000    3. 2 4x 7x 1 2 x 2    4. 32 3 4 81x 8 x 2x x 2 3      5. 2 2 2 3 7x 13x 8 2x . x(1 3x 3x )     6. 22 4x 11x 10 (x 1) 2x 6x 2      www.MATHVN.com www.mathvn.com [...]... BPT - HPT VÔ T x 2 6x 11 2 Ch y u b ng cách s d ng công c o hàm ho c s d ng b ng th tìm nghi m CAO HOÀNG NAM x 2 6x 13 4 c (x 3)2 2 ng gi i quy t: H ng 1: Chuy n ph ng trình v d ng: f (x) k Xét hàm s y f (x) Nh n xét: V i x x0 f (x) f (x 0 ) k x 0 là nghi m V i x x0 f (x) f (x 0 ) k ph ng trình vô nghi m V i x x0 f (x) f (x 0 ) k ph ng trình vô nghi m V y x 0 là nghi m duy nh t c a ph ng trình H ng... cho 3x 2 ta c ph ng trình: Trang 13 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T x 3 ( 4x 1 5 x 3 (x 3)( 4x 1 x 3x 2) 3 3x 2 5) 0 4x 1 3x 2 2 12x 2 5x 2 5 (3 (*) 26 7x 9 2x 2 26 x 3 7 2 x 344x 684 0 So V y: x 2 V y: x 2 Ta b 4x 1 5 x 3 3x 2 5 gi i bài toán b ng cách thêm 3x 2 7 2 x u ki 9 2 9 2 c 7 và x 2 x 9(x 1)2 (1 3 3x 2 1 5 x 2 3x 4 0 4 3 x Ví d 2: Gi i ph 1 5 x 0 2 nên 4x 1 3 2 (*) vô nghi m V y: x 2 Tuy... x x0 f (x) f (x 0 ) k ph ng trình vô nghi m V y x 0 là nghi m duy nh t c a ph ng trình H ng 2: Chuy n ph ng trình v d ng: f (x) g(x) Dùng l p lu n kh nh r ng f (x) và g(x) có nh ng tính ch t trái ng nh x 0 sao cho f (x 0 ) g(x 0 ) V y x 0 là nghi m duy nh t c a ph ng trình H ng 3: Chuy n ph ng trình v d ng f (u) f (v) Xét hàm s y f (x) , dùng l p lu n kh ng nh hàm s u f (u) f (v) u v Ví d 1: Gi 1 3x... BPT - HPT VÔ T B CAO HOÀNG NAM Xét hàm s f x TRÌNH H CH A THAM S 1 ; 2 \ 0 I Ki n th c c n nh f' x Cho hàm s y f x liên t c trên t p D Yêu c u f x f x Khai thác min f x m có nghi m x D min f x m có nghi m x D lim 3x 4 x x 0 lim f x f x m có nghi m max f x m \ 0 x 1 x ; 1 x B ng bi n thiên: x D min f x x D x 1 0 2 m + - I gi i bài toán tìm giá tr c a tham s m sao f(x) 9 2 có nghi c 1: Bi trình v d ng:... 2)(x 2 4x 5) (x 2 2x 2) (x 2 4x 5) 4 2x x 2 (x 2)2 1 4 4 2 2 4 1 3 2 (x 3) 0 (vô lý) x 2 0 m x 2 6x 13 4 (x 2)2 1 3 (x 3)2 2 V y: 3 x 2 3x 2 (x 3) 2 4 4 Mà: x 2 4x 5 3 2 2 D u b ng x y ra khi và ch khi: 3(x 2 3x 6) 2(x 2 2x 7) 1 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com Trang 16 2 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T 3x 2 9x 18 2x 2 4x 14 2 x 5x 4 0 V y: x 1; x 4 x 1; x 3 3 x 1 3x 2 u ki n:... ng v (1) và (2) ta có: u ki n: x, y www.mathvn.com Trang 20 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T 2x 3 4 y 2x 3 4 y 2x 3 4 H 2y 3 4 y x y 4 x 4 y 1 2y 3 2x 3 x y 0 4 x 4 y 0 4 4 x 4 y 0 NG C P a1 x 2 b1xy c1 y 2 a2x2 D ng: 2 2x 3 4 x 4 2(x y) 2x 3 2y 3 Do CAO HOÀNG NAM b 2 xy c2 y 2 Cách gi i: Xét y = 0 Xét y 0 trình b c hai n t 4 ty và gi Ví d : Gi i các h : 3x 2 2xy y 2 11 x2 1 2xy 3y 2 17 2 x 7 2 2x... x y y 0 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com Trang 22 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T t u 1 ;v y x H x y 3 3 1 y 2 v 3 3u 2 1 1 y x y 7 x x y 3 2 y 3 10 x 4 10 2 8 3 3 2 v) y 1 x2 2 7x 9 ta 7x 9 x 3 2 y2 1 4 2 x 4 2 x y x y2 Gi i (2): 2xy x x y 4 1 2 3 3 x 0 1 0 2(l) 1 y2 1 2 2 ng trình 2 2 x y (1) 3 x y2 2 c: y V y: Nghi m h ph 4 0 8 2 2 y 3 x x 3 45 24 2 5 x 2 x y2 u v 2 xy 2 1... 7 2 x u ki 9 2 9 2 c 7 và x 2 x 9(x 1)2 (1 3 3x 2 1 5 x 2 3x 4 0 4 3 x Ví d 2: Gi i ph 1 5 x 0 2 nên 4x 1 3 2 (*) vô nghi m V y: x 2 Tuy nhiên, cách làm này thì vi c ch ng minh (*) vô nghi c) 3 0 (*) x 1 4 c 3 x 1 1 ng trình sau: 3 4 x 2x 2 5x 1 2x x 2 1 x2 x 2 3 4 x 2 5 (3x 7).9(x 1) 2 x 2 1 x x 1 (*) 2 ; 3 2 u ki V y: i bi u th c 1 th a 4 3 ta có: 1 x (*) 3 0 3x 4)2 3x 4)2 3x 7 ng h p 1: x ng h p... có nghi c 1: Bi trình v d ng: f x f x S nghi m c trình, b g m ho c g m ho c f x c f x c 3: L p b ng bi n thiên c a hàm s y f x trên D c 4: Tìm min f x ; max f x x D Ví d 1: th c phân bi t: x 2 x x mx mx 2 2x 1 mx 2 mx 2 0 m 1 3x 4 x f x 1 ; 2 m trên mi n ng th ng \ 0 D a vào b ng bi c giá tr c a m th a mãn yêu c u bài toán là m 9 2 9 2 Ví d 2: thu c 0;1 trình sau có nghi m 3 x 2 2x 2 1 m x 2 x 0 2x 1... x x D m có nghi m m có nghi m 1 x2 3 Gi i h n: m max f x f x f x 1 trên t p x 3x 4 1 (vô nghi m) 1 3x 4 m x m t t x 2 2x 2 1 x 2 x 0 x 2 2x 2 x 2 x t2 2 x 1 t' 2 x 2x 2 B ng bi n thiên : x 0 0.x t ,t' 0 x 1 1 0 1 3 + 2 2 1 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 25 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T x 0;1 3 t 1; 2 lim f x x 2 2x 4 lim x B CAO HOÀNG NAM x thành: m t 1 t 2 f' t 2 t .  do đó phng trình vô nghim  Vi 00 x x f(x) f(x ) k    do đó phng trình vô nghim  Vy 0 x là nghim duy nht ca phng trình  Hng 2:  Chuyn phng trình v dng: f(x). trình vô nghim. Ví d 1: Gii phng trình, bt phng trình sau: 1. 22 x 12 5 3x x 5     iu kin : x Nhn xét ta d dàng nhm đc x2 là nghim phng trình. các n ph. Kt hp vi phng trình ban đu ca bài toán ta đc h phng trình.  Lu ý các phng pháp gii h phng trình. Ví d 1: Gii các phng trình sau: 1.