Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 2 Các phương pháp tính tấm mỏng

25 639 2
Tài liệu Môn tấm và vỏ  - Chương 2 Các phương pháp tính tấm mỏng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 2 Các phương pháp tính tấm mỏng

Chương CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM MỎNG Trong chương giới thiệu: Phương pháp chuỗi lượng giác; Phương pháp biến phân; Phương pháp sai phân hữu hạn; Tính trịn hệ tọa độ cực Tính phương pháp phần tử hữu hạn giới thiệu chương A PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LƯỢNG GIÁC Phương pháp chuỗi lượng giác phương pháp mà chuyển vị pháp tuyến w ( x, y ) biểu diễn dạng chuỗi lượng giác (kép đơn) 2.1 PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LƯỢNG GIÁC KÉP Phương pháp chuỗi lượng giác kép sử dụng cho toán chữ nhật chu vi tựa khớp chịu tải trọng phân bố q ( x, y ) tải trọng tập trung vng góc với mặt phẳng tấm, hình 2-1 2.1.1 Các cơng thức Phương trình chuyển vị biểu diễn dạng chuỗi lượng giác kép: w ( x, y ) = ∞ ∞ ∑∑ A nm sin( α n x ) sin( β m y ) (2.1) n =1 m =1 đó: Anm - hệ số cần xác định αn = nπ a βm = mπ b (2.2) Phương trình chuyển vị w ( x, y ) dạng (2.1) thỏa mãn điều kiện biên tựa khớp chu vi Tải trọng phân bố q ( x, y ) khai triển dạng chuỗi lượng giác kép: ∞ Hình 2-1 Tấm chữ nhật chu vi tựa khớp ∞ q ( x, y ) = ∑∑ qnm sin(α n x) sin(βm y ) n =1 m =1 (2.3) Để xác định hệ số qnm nhân hai vế (2.3) với sin(α,n x)sin(β,m y) , lấy tích phân theo bề mặt sử dụng tính chất trực giao hàm lượng giác: 23 0  , ∫ sin(α n x)sin(α n x)dx =  a  2 n ≠ n' a n = n' 0  , ∫ sin(βm y)sin(βm y)dy =  b  2 b m ≠ m ' m = m ' a b qnm Sau biến đổi: = q ( x, y ) sin(α n x) sin(βm y )dxdy ab ∫ ∫ 0 Khi tải phân bố q ( x, y ) = qo : qnm = 16qo với n, m = 1,3,5, nmπ2 (2.4a) (2.4b) Để xác định Anm thay (2.1), (2.3) vào phương trình vi phân cân (1.26):  n2 m2  ∞ ∞ ∑∑1 Anm  a + b2 ÷ π sin(α n x)sin(βm y) = D ∑∑1 qnm sin(α n x)sin(βm y ) n =1 m =   p n =1 m = ∞ ∞ Hai chuỗi lượng giác hai vế phương trình số hạng  n2 m2  q tương ứng chúng nên: Anm  + ÷ π4 = Anm (α + β2 ) = nm , rút n m b  Dp a ra: Anm = qnm (α + β ) D p m n (2.5) Như vậy, phương trình chuyển vị w ( x, y ) có dạng (2.1) với hệ số qnm , Anm xác định theo (2.4) (2.5) Phương trình chuyển vị w ( x, y ) nội lực chữ nhật chu vi tựa khớp xác định từ cơng thức (1.12) ÷ (1.14) (1.23) ÷ (1.24) có dạng: ∞ ∞ qnm sin(α n x) sin(βm y ) 2 n =1 m =1 (α + β m ) D p w ( x, y ) = ∑∑ n (2 6) qnm (α + µβ2 ) n m M x ( x, y ) = ∑∑ sin(α n x ) sin(βm y ) (α + β ) n =1 m =1 n m (2.7) qnm (µα + βm ) n sin(α n x ) sin(βm y ) (α + β2 ) n =1 m =1 n m (2.8) ∞ ∞ ∞ ∞ M y ( x, y ) = ∑∑ qnm (1 − µ)α nβm cos (α n x)cos (βm y ) (α + β ) n =1 m =1 n m ∞ ∞ M xy ( x, y ) = ∑∑ (2.9) qnm α n cos(α n x) sin(βm y ) 2 n =1 m =1 (α n + β m ) (2.10) qnmβm sin(α n x)cos(βm y ) 2 n =1 m =1 (α n + β m ) (2.11) ∞ ∞ Qx ( x, y ) = ∑∑ ∞ ∞ Qy ( x, y ) = ∑∑ 24 Để xác định phương trình chuyển vị w ( x, y ) nội lực chữ nhật chu vi tựa khớp cần xác định qnm 2.1.2 Các thí dụ Thí dụ 1: Tính chữ nhật chu vi tựa khớp chịu tải trọng phân bố diện tích u , v hình 2-2 Áp dụng (2.4): qnm 4q = o ab i+ u v j+ 2 ∫ ∫ i− sin(α n x) sin(βm y )dxdy = u v j− 2 16qo  nπ   mπ sin  i ÷sin  π nm  a   b   nπ   mπ  j ÷sin  u ÷sin  v÷   2a   2b  (2.12) Thí dụ 2: Tính chữ nhật chu vi tựa khớp chịu tải trọng tập trung P tọa độ ( i, j ) Để áp dụng (2.12) cần chuyển tải trọng tập trung thành tải trọng phân bố P với diện tích ( u , v ) nhỏ, hình u.v 2-2, sau tìm giới hạn cho u , v → qo = qnm = hay: 16 P  nπ   mπ sin  i ÷sin  π n.m.u.v  a   b Hình 2-2   nπ   mπ  j ÷sin  u ÷sin  v÷   2a   2b   nπ   mπ  sin  u ÷ sin  v÷ 4P  nπ   mπ   2a   2b  qnm = sin  i ÷sin  j÷ mπv ab  a   b  nπu 2a 2b 4P lim qnm = sin( α n i )sin( βm j ) ab u ,v →0 (2.13) 2.2 PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LƯỢNG GIÁC ĐƠN Phương pháp chuỗi lượng giác đơn sử dụng cho toán chữ nhật có hai cạnh đối diện tựa khớp, cịn hai cạnh có điều kiện biên Phương trình chuyển vị w ( x, y ) chữ nhật có hai cạnh đối diện tựa khớp, thí dụ x = x = a , biểu diễn dạng chuỗi lượng giác đơn: ∞ w ( x, y ) = ∑ yn ( y ) sin(α n x ) (2.14) n =1 đó, yn ( y ) hàm cần tìm biểu diễn chuyển vị theo phương trục y 25 Phương trình chuyển vị w ( x, y ) (2.14) thỏa mãn điều kiện biên tựa khớp x = x = a Tương tự phương pháp chuỗi lượng giác kép, tải trọng phân bố q ( x, y ) khai triển dạng chuỗi lượng giác đơn: ∞ q ( x, y ) = ∑ qn ( y ) sin(α n x) (2.15) n =1 đó, qn ( y ) hàm cần tìm Để xác định qn ( y ) nhân hai vế (2.15) với sin(α n x) lấy tích phân từ đến a , ý đến tính chất trực giao hàm lượng giác nhận được: ' qn ( a y ) = ∫ q ( x, y ) sin(α n x)dx a0 (2.16) Thay (2.14), (2.15) vào phương trình vi phân cân (1.26): ∞ ∞ ∑ (α y ( y ) − 2α y ( y ) + y ( y ) )sin(α x) = D ∑ q ( y ) sin(α x) n =1 n n n " n IV n n p n =1 n n (2.17) Phương trình (2.17) thỏa mãn nếu: IV " y n ( y ) − α n y n ( y ) + α n yn ( y ) = qn ( y ) Dp (2.18) Giải phương trình vi phân (2.18), xác định hàm yn ( y ) tương ứng với thành phần thứ n chuỗi Nghiệm (2.18) có dạng: o yn ( y ) = An ch(α n y ) + Bn sh(α n y ) + Cn y.ch(α n y ) + Dn y.sh(α n y ) + yn (2.19) đó: An , Bn , Cn , Dn - số tích phân xác định từ điều kiện biên y = y = b o yn - nghiệm riêng phụ thuộc tải trọng q ( x, y ) Nếu q ( x, y ) = q0 = const , nghiệm riêng có dạng: o yn = q0 α Dp n (2.20) Phương trình nội lực xác định từ cơng thức (1.12 ÷ 1.14) (1.23) có dạng: ∞ " M x ( x, y ) = ∑ D p (α yn ( y ) − µyn ( y ) ) sin(α x x) n n =1 26 (2.21) ∞ " M y ( x, y ) = ∑ D p (− yn ( y ) + µ.α n yn ( y ) ) sin(α n x) n =1 (2.22) ∞ ' M xy ( x, y ) = −∑ D p (1 − µ).α n yn ( y )cos(α n x ) (2.23) n =1 ∞ " Qx ( x, y ) = ∑ D p (α3 yn ( y ) − α n yn ( y ) )cos(α n x ) n n =1 (2.24) ∞ ' ''' Qy ( x, y ) = ∑ D p (α n yn ( y ) − yn ( y ) ) sin(α n x) (2.25) n =1 2.3 TÍNH TẤM TRÊN NỀN BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI Dạng phương trình vi phân cân đàn hồi phụ thuộc vào dạng mơ hình Khi tính kết cấu tiếp xúc với đàn hồi thường sử dụng mơ hình biến dạng đàn hồi cục bộ: mơ hình hệ số (mơ hình Winkler) mơ hình hai hệ số (mơ hình lớp đàn hồi) 2.3.1 Phương trình vi phân cân với mơ hình biến dạng đàn hồi cục hệ số (mơ hình Winkler) Mơ hình Winkler xây dựng từ giả thiết: “phản lực p ( x, y ) tỷ lệ bậc với chuyển vị w ( x, y ) qua hệ số k1 ” p ( x, y ) = k1.w ( x, y ) (2.26) đó, hệ số k1 có giá trị số loại đất, có thứ nguyên [lực/ (chiều dài)3] Đặc trưng mơ hình hệ số, hình 2-3, biến dạng phạm vi bề mặt tiếp xúc kết cấu với Hình 2-3 Mơ hình biến dạng đàn hồi cục hệ số Ưu, nhược điểm mơ hình Winkler: - Ưu điểm: mơ hình diễn tốn đơn giản, thuận lợi lập trình - Nhược điểm: 27 + Coi hệ số số với loại đất chưa phù hợp với thực tế cịn phụ thuộc vào kích thước kết cấu tiếp xúc với Hệ số mang tính chất quy ước mà khơng có ý nghĩa vật lý rõ ràng + Coi biến dạng cục phạm vi tiếp xúc kết cấu với bỏ qua tính ma sát tính dính đất Phạm vi áp dụng: nhiều kết nghiên cứu thực nghiệm chứng tỏ, mơ hình tương đối thích hợp sát thực tế đất yếu, đất ẩm bão hoà nước; đặc biệt mơi trường chất lỏng mơ hình xác Phương trình vi phân cân tấm, phương trình Sophi-Giecman, có dạng: ∂4w ∂4w ∂ w q ( x, y ) +2 2 + = ∂x ∂x ∂y ∂y Dp (1.26.a) dạng toán tử Laplat: D p ∇ 2∇ w ( x, y ) = q ( x, y ) (1.26.b) có kể đến phản lực nền, phương trình vi phân cân đàn hồi Winkler có dạng: ∂4w ∂4w ∂ w q ( x, y ) p ( x, y ) +2 2 + = − ∂x ∂x ∂y ∂y Dp Dp (2.27.a) dạng toán tử Laplat (1.25): D p ∇ 2∇ w ( x, y ) = q ( x, y ) − p ( x, y ) (2.27.b) thay (2.26) vào (2.27) ∂4w ∂4w ∂ w q ( x, y ) k1.w ( x, y ) +2 2 + = − ∂x ∂x ∂y ∂y Dp Dp (2.28.a) dạng toán tử Laplat: D p ∇ 2∇ w ( x, y ) + k1w ( x, y ) = q ( x, y ) (2.28.b) 2.3.2 Phương trình vi phân cân với mơ hình biến dạng đàn hồi cục hai hệ số (mơ hình lớp đàn hồi) Mơ hình 02 hệ số mơ hình hệ số k1 đặc trưng cho làm việc chịu nén hệ số k2 đặc trưng cho làm việc chịu cắt đất Như vậy, lực tương tác kết cấu với đất ngồi phản lực pháp tuyến cịn có phản lực tiếp tuyến Mơ hình hai hệ số khác mơ hình Winkler hệ số kể đến 28 ứng suất tiếp cột đất Chính ứng suất gây biến dạng phạm vi tiếp xúc kết cấu với đất Mơ hình hai hệ số phản ánh làm việc đất sát với thực tế Đây mơ hình trung gian hai mơ hình biến dạng đàn hồi cục bán không gian đàn hồi Khi không kể đến ứng suất tiếp mơ hình trở mơ hình Winkler Mơ hình hai hệ số có nhược điểm giá trị hệ số k1 k2 xác định tuỳ thuộc vào quan niệm cách xác định khác Vì vậy, sử dụng mơ hình này, kết tính tốn cần kiểm tra lại thực nghiệm Mơ hình hai hệ số xây dựng từ giả thiết: phản lực r ( x, y ) bao gồm phản lực pháp tuyến p ( x, y ) tương ứng với làm việc chịu nén phản lực tiếp tuyến t ( x, y ) ứng với làm việc chịu cắt r ( x, y ) = p ( x, y ) + t ( x , y ) (2.29) đó:  ∂ w ( x, y ) ∂ w ( x, y )  t ( x, y ) = − k  + ÷ ∂y  ∂x  (2.30) kết hợp với (2.26), phản lực với mơ hình hai hệ số có dạng:  ∂ w ( x, y ) ∂ w ( x, y )  r ( x, y ) = p ( x, y ) + t ( x, y ) = k1.w ( x, y ) − k  + ÷ ∂y  ∂x  (2.31) thay vào (1.26), phương trình vi phân cân với mơ hình hai hệ số có dạng:  ∂ w ( x, y )  ∂ w ( x, y ) ∂ w ( x, y )  ∂ w ( x, y ) ∂ w ( x , y )  Dp  +2 + + ÷+ k1w ( x, y ) − k2  ÷ = q ( x, y ) ∂x ∂y ∂y ∂y  ∂x   ∂x  (2.32.a) dạng toán tử Laplat (1.24):  ∂ w ( x , y ) ∂ w ( x, y ) D p ∇ 2∇ w ( x, y ) + k1w ( x, y ) − k  + ∂x ∂y   ÷ = q ( x, y )  (2.32.b) Dấu âm số hạng thứ ba biểu thị phản lực tiếp tuyến t ( x, y ) ngược chiều với phản lực pháp tuyến p ( x, y ) Thí dụ 3: Tính chữ nhật chu vi tựa khớp đàn hồi hệ số chịu tải trọng phân bố Phương trình chuyển vị dạng chuỗi lượng giác kép có dạng: 29 ∞ ∞ w ( x, y ) = ∑∑ Anm sin(α n x ) sin(βm y ) (2.1) n =1 m =1 Tương tự chữ nhật tựa khớp không nằm đàn hồi, tải trọng khai triển dạng chuỗi lượng giác kép có dạng (2.3) với hệ số qnm xác định theo (2.4) Thay (2.1) (2.3) vào phương trình vi phân cân đàn hồi hệ số (2.28.a), cân hai vế rút ra: a b  nπ   mπ  ∫ ∫ q ( x, y ) sin  x ÷sin  y ÷dxdy qnm  a   b  0 Anm = = 2 2   nπ   nπ k1  k      mπ        mπ    D p   ÷ +  + D p ab   ÷ +  + 1  ÷ ÷   a   b   D p    a   b   D p        (2.33) Phương trình chuyển vị chữ nhật chu vi tựa khớp đàn hồi hệ số chịu tải trọng phân bố có dạng theo (2.1): a b  nπ   mπ  ∫ ∫ q ( x, y ) sin  x ÷sin  y ÷dxdy  a   b   nπ   mπ  0 w ( x, y ) = ∑∑ sin  x ÷sin  y÷ 2   nπ   a   b  n =1 m =1  k1      mπ  D p ab   ÷ +   ÷ +   a   b   D p      ∞ ∞ (2.34) Trường hợp chịu tải phân bố q0 , hệ số qnm = w ( x, y ) = 16q0 π2 ∞ ∞ ∑∑ n =1 m =1  nπ   mπ  sin  x ÷sin  y÷  a   b  16qo nên: nmπ2 2      m  n n.m  D p π  ÷ +  ÷  + k1   a   b         (2.35) Thí dụ 4: Tính chữ nhật chu vi tựa khớp đàn hồi hệ số chịu tải trọng tập trung P toạ độ ( i, j ) Hệ số khai triển tải trọng xác định theo cơng thức (2.13), đó:  nπ   mπ  Psin  i ÷sin  j÷  a   b  Anm = 2   nπ k1      mπ    D p ab  π  ÷ +   ÷ +   a   b   D p      30 (2.36) Thí dụ 5: Tấm chữ nhật chu vi tựa khớp đàn hồi hai hệ số chịu tải trọng phân bố Tiến hành tương tự thí dụ 2, nhận được: a b Anm =  nπ   mπ  ∫ ∫ q ( x, y ) sin  x ÷sin  y ÷dxdy  a   b  0 2   n  n2 m2  k  k    m   D p ab  π  ÷ +  ÷  + π2  + ÷+  b  Dp    a   b   D p  a     (2.37) Khi chịu tải trọng phân bố đều: Anm = 16q0 2    n m2  m2    4n π nm  D p π  + ÷ + k2 π2  + ÷+ k1  b  b  a a     (2.38) n, m lấy số lẻ n, m = 1,3,5, B PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN Phương pháp biến phân phương pháp sử dụng nguyên lý lượng như: nguyên lý công nguyên lý giá trị dừng toàn phần để tìm phương trình chuyển vị w ( x, y ) Nguyên lý công khả dĩ: “ Điều kiện cần đủ để hệ trạng thái cân tổng công ngoại lực nội lực không” Nguyên lý giá trị dừng toàn phần: “Trong tất trường chuyển vị (trạng thái chuyển vị) động (các chuyển vị thỏa mãn điều kiện tương thích điều kiện biên động học) trường chuyển vị thực tương ứng với cân làm cho toàn phần Π đạt giá trị dừng” δΠ = Biểu thức toán học: (2.39) 2.4 PHƯƠNG PHÁP RITX Phương pháp Ritx sử dụng nguyên lý giá trị dừng tồn phần [17] 2.4.1 Các cơng thức Phương trình chuyển vị w ( x, y ) biểu diễn dạng chuỗi: n w ( x, y ) = ∑ ϕi = a1ϕ1 ( x, y ) +a2 ϕ2 ( x, y ) + + anϕ n ( x, y ) i =1 (2.40) đó: - hệ số cần tìm, i = ÷ n ϕi ( x, y ) - hàm chọn trước, độc lập tuyến tính, thỏa mãn điều kiện biên động học không thiết thỏa mãn điều kiện biên tĩnh học 31 Hệ số xác định từ điều kiện toàn phần Π đạt cực tiểu: ∂Π =0 ∂ai (i = ÷ n ) (2.41) Biểu thức toàn phần Π mỏng có dạng, [17]:  D  ∂ w ∂ w 2   ∂ w ∂ w  ∂ w 2   p  Π = ∫∫ + ÷ − ( 1− µ)  −  − q ( x, y ) w ( x, y ) dxdy  ÷ 2  ∂x ∂y   ∂x ∂y  ∂x∂y   0      a b (2.42) Thay (2.40) vào (2.42), tồn phần Π có dạng: 1 2 δ11a12 + δ 22 a2 + δ33 a3 + + δ12 a1a2 + δ13 a1a3 + + δ 23a2 a3 + 2 −∆1 p a1 − ∆ p a2 − ∆ np an Π= (2.43) đó:  ∂ 2ϕi ∂ ϕk ∂ ϕi ∂ ϕk ∂ 2ϕi ∂ 2ϕk ∂ 2ϕi ∂ 2ϕk δik = δki = ∫ ∫ D p  + + + − ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y  ∂x ∂x 0 a b  ∂ ϕ ∂ ϕk ∂ 2ϕi ∂ ϕk ∂ ϕi ∂ ϕ k   − ( − µ )  2i + −2 ÷ dxdy ∂y ∂x ∂x∂y ∂x∂y    ∂x ∂y (2.44) a b ∆ ip = ∫ ∫ qϕi dxdy (2.45) 0 Hệ số xác định từ điều kiện giá trị dừng toàn phần Áp dụng (2.41) cho (2.43) nhận hệ phương trình đại số xác định hệ số : δ11a1 + δ12 a2 + δ13 a3 + δ1n an + ∆1 p = δ 21a1 + δ22 a2 + δ23 a3 + δ n an + ∆ p = δ n1a1 + δ n a2 + δ n3 a3 + δ nn an + ∆ np = (2.46) Giải (2.46) xác định hệ số , thay vào (2.40) xác định phương trình chuyển vị w ( x, y ) 2.4.2 Thí dụ Thí dụ 6: Tính chữ nhật chu vi tựa khớp chịu tải trọng phân bố q Nghiệm gần lấy thành phần chuỗi: w ( x, y ) = a1ϕ1 ( x, y ) Biểu diễn ϕ1 ( x, y ) dạng tích hai hàm số: ϕ1 ( x, y ) = ψ1 ( x ) χ1 ( y ) 32 (1) đó: - hàm ψ1 ( x ) thỏa mãn điều kiện biên x=0, x=a: w ( x, y ) = ∂ w ( x, y ) =0 ∂x - hàm χ1 ( y ) thỏa mãn điều kiện biên y=0, y=b: w ( x, y ) = ∂ w ( x, y ) =0 ∂y Sử dụng (2.44) (2.45) cho (1), nhận được:  a b "2  " " "2 " " '2 '2 δ11 = D p ∫ ∫  ∫ ∫  ψ1 χ1 + 2ψ1χ1χ1 + ψ1 χ1 − (1 − µ)(ψ1χ1ψ1χ1 − 2ψ1 χ1 ) dxdy  0 0  a b a b ∆1 p = ∫ ∫ qχ1ψ1dxdy 0 Chọn hàm: ψ1 ( x ) = x − 2ax + a x χ1 ( y ) = y − 2by + b3 y Lấy đạo hàm hàm ψ1 ( x ) , χ1 ( y ) thay vào biểu thức xác định δ11 , ∆1 p ý điều kiện biên, nhận được: a b δ11 = 0, 0236a 7b  + ÷ D p b a qa 5b ∆1 p = 25 a1 = ∆1 p δ11 = 0,1695 a b Dab  + ÷ b a p 2 q Với vuông b = a , nên a1 = 0, 0424 a D p Phương trình chuyển vị tấm: w ( x, y ) = ( x − 2ax + a x ) ( y − 2ay + a y ) 0, 0424q a Dp thay x = y = 0,5a , độ võng tâm tấm: w ( x = y = 0,5a ) = 0, 00411 qa So Dp với nghiệm xác giải phương pháp chuỗi lượng giác qa w ( x = y = 0,5a ) = 0, 00406 , sai số 1,5% Dp Mô men uốn tâm tấm, với µ = 0.3 : " " M x = − D p a1 ( ψ1χ1 + µψ1χ1 ) = 0, 0517qa , so với nghiệm xác M x = 0, 0479qa , sai số 8% 33 ''' ' " Lực cắt: Qx = − D p a1 ψ1 χ1 + ( − µ ) ψ1χ1  = 0,357qa , so với nghiệm xác   Qx = 0, 42qa , sai số 10,7% Để tăng độ xác kết cần tăng số lượng thành phần chuỗi 2.5 PHƯƠNG PHÁP BUTNOP-GALOOCKIN Phương pháp Butnop-Galoockin sử dụng nguyên lý công khả dĩ, [17] 2.5.1 Các công thức Phương trình chuyển vị w ( x, y ) biểu diễn dạng chuỗi: n w ( x, y ) = ∑ ϕi = a1ϕ1 ( x, y ) +a2 ϕ2 ( x, y ) + + anϕ n ( x, y ) (2.47) i =1 đó: - hệ số cần tìm ϕi ( x, y ) - hàm chọn trước, độc lập tuyến tính, thỏa mãn điều kiện biên động học điều kiện biên tĩnh học Thay (2.47) vào phương trình vi phân cân (1.26), sau nhân hai vế với ϕk ( x, y ) tích phân tồn diện tích tấm: ∫∫  D ∑ a ∇ ∇ ϕ ( x, y ) ϕ ( x, y ) dxdy = ∫∫ q ( x, y ) ϕ ( x, y ) dxdy   p i i k k S S Ký hiệu: (2.48) δik = δki = ∫∫ ∇ 2∇ ϕi ( x, y ) ϕk ( x, y ) dxdy S (2.49) ∆ kq = ∫∫ S q ( x, y ) ϕk ( x, y ) dxdy Dp (2.50) Khai triển (2.48) nhận hệ phương trình đại số xác định hệ số δ11a1 + δ12 a2 + δ13 a3 + δ1n an = ∆1q δ 21a1 + δ22 a2 + δ23 a3 + δ n an = ∆ q δ n1a1 + δ n a2 + δ n3 a3 + δ nn an = ∆ nq (2.51) thay vào (2.47) nhận phương trình chuyển vị w ( x, y ) 2.5.2 Thí dụ Thí dụ 7: Tính chữ nhật ngàm theo chu vi chịu tải trọng phân bố Điều kiện biên: w= 34 ∂w = x = ± a ∂x w= ∂w = y = ±b ∂y Chọn hàm w ( x, y ) có dạng: w ( x, y ) = a1 ( x − a ) + a3 ( x − a ) (y 2 − b2 ( y −b ) ) +a ( x 2 2 + a2 ( x − a ) − a2 ) (y 2 − b2 ( y −b ) ) + 2 + Các hàm ϕi ( x, y ) thỏa mãn điều kiện biên Nghiệm gần tìm với thành phần chuỗi: w ( x, y ) = a1 ( x − a ) (y − b2 ) (1) Từ (2.49), (2.50): a b δ11 = ∫ ∫ ∇ ϕ ( x, y ) ϕ ( x, y ) dxdy 1 − a −b  ∂ ϕ1 ( x, y ) ∂ 4ϕ1 ( x, y ) ∂ ϕ1 ( x, y ) +2 + ∫ ∫  ∂x ∂x ∂y ∂y − a −b  a b δ11 =  ÷ϕ1 ( x, y ) dxdy =    = 52, 0126  b + a 2b + a ÷a 5b5   a b q ( x, y ) q qa 5b5 2 ∆1q = ∫ ∫ ϕi ( x, y ) dxdy = ∫ ∫ ( x − a ) ( y − b ) dxdy = 1,1377 D Dp Dp p − a −b − a −b a b rút ra, a1 = ∆1q δ11 = 0, 0546 q ( a + / a 2b + b ) D p w ( x, y ) = a1ϕ1 ( x, y ) = 0, 0546 2 q ( x2 − a2 ) ( y − b2 ) 2 ( a + / 7a b + b ) D p Độ võng lớn tâm ( x = y = ) vuông a = b : w ( x = y = ) = 0, 0213 qa qa w ( x = y = ) = 0, 0202 (Nghiệm xác : ) Dp Dp Mô men uốn lớn cạnh biên x = ± a, y =  ∂2w ∂2w  M x = − D p + ữ = 0,171qa (Nghiệm xác M x = −0, 205qa ) ∂y   ∂x C PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN Nhiều toán học giải phương pháp giải tích khó khăn khơng giải được, người ta thường sử dụng phương pháp số phương pháp 35 sai phân hữu hạn (PP SPHH) phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) Phương pháp số phương pháp rời rạc hóa kết cấu liên tục, đưa việc xét nghiệm hệ liên tục xác định nghiệm điểm nút lưới sai phân PP SPHH hay điểm nút PP PTHH 2.6 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN Phương pháp sai phân hữu hạn mang chất tốn học, đạo hàm riêng phương trình vi phân cân (1.26) thay biểu thức sai phân Điều kiện biên biểu diễn qua phép sai phân Khi xét điểm nút lưới sai phân, từ phương trình vi phân cân dạng sai phân, nhận hệ phương trình đại số xác định chuyển vị điểm nút Biểu thức xác định nội lực biểu diễn qua phép sai phân nên nội lực điểm nút lưới sai phân xác định qua chuyển vị nút lưới sai phân 2.6.1 Biểu thức sai phân Trong trường hợp bước sai phân ∆x = ∆y = ∆h , hình 2-4, đạo hàm cấp điểm nút i lưới sai phân xác định theo cơng thức, [17]: Hình 2-4 Các điểm nút lưới sai phân quanh nút i ∂w wl − wk = ∂x 2.∆h ∂ w wl − 2wi + wk = ∂x ∆h (2.53) ∂ w wt − we + 2wk − wS = ∂x 2.∆h3 (2.54) ∂ w wt − 4we + wt − 4wk + wS = ∂x ∆h 36 (2.52) (2.55) ∂ w wr + wq − w0 − wp = ∂x∂y 4.∆h (2.56) w − wp − wm + wn + w0 − wq ∂3 w = r ∂x ∂y 2.∆h3 (2.57) w − we − wm − wk − wn + wr + w0 + wq + w p ∂4w = i 2 ∂x ∂y ∆h (2.58) ∂w wm − wn = ∂y 2.∆h (2.59) ∂ w wm − wi + wn = ∂y ∆h (2.60) ∂ w wu − wm + 2wn − wv = ∂y 2.∆h3 (2.61) ∂ w wu − wm + wi − wn + wv = ∂y ∆h (2.62) w − wo − 2we + wk + w p − wq ∂3w = r ∂x∂y 2.∆h3 (2.63) 2.6.2 Phương trình vi phân cân dạng sai phân Phương trình vi phân cân mỏng chịu tải trọng phân bố q ( x, y ) có dạng: ∂4w ∂4w ∂ w q ( x, y ) +2 2 + = ∂x ∂x ∂y ∂y Dp (1.26) Phương trình sai phân (1.26) nút i nhận cách thay đạo hàm riêng biểu thức sai phân tương ứng: 20 wi − ( wl + wm + wk + wn ) + ( wr + w0 + wq + wp ) + wt + wS + wu + wv = qi ∆h Dp (2.64) Khai triển (2.64) cho n nút biên ( i = ÷ n ) nhận n phương trình đại số xác định chuyển vị nút Chuyển vị nút biên biên xác định từ điều kiện biên 2.6.3 Điều kiện biên Xét điều kiện biên dạng sai phân Biên ngàm Giả sử x = a biên ngàm tương ứng với điểm nút m , i , n hình 2-4 Khi đó, điều kiện biên ngàm nút i : 37 wi =  ∂w   ÷ =0  ∂x i (2.65) Khi viết phương trình sai phân (2.64) cho nút sát biên xuất chuyển vị nút biên, cách biên 01 bước sai phân, ví dụ viết cho nút k xuất chuyển vị nút l Do đó, cần xác định chuyển vị nút l qua chuyển vị nút biên từ điều kiện biên ∆h  ∂w  ∆h  ∂ w  ∆h3  ∂ w  wl = wi +  ÷+  ÷ +  ÷+ 1!  ∂x i 2!  ∂x i 3!  ∂x i ,trai Khai triển Taylo: Thay đạo hàm biểu thức sai phân:  ∆h  wl − 3.0 + 3wk − wS  + ÷  ÷ ∆h  1.2.3   1 1 wl = wl + wk + wl + wk − wS hay, 2 2 wl = 3wk − wS rút gọn, wm = 3wn − wv Tương tự cho biên ngàm theo trục y: wl = + + ∆h  wl − 2.0 + wk   ∆h (1) (2) Biểu thức (1) (2) biểu diễn chuyển vị nút biên qua chuyển vị nút biên nút i biên ngàm Như vậy, từ (2.65): - Điều kiện biên ngàm nút i biên trục x : wi = wl = 3wk − wS (2.66.a) - Điều kiện biên ngàm nút i biên trục y : wi = wm = 3wn − wv (2.66.b) Biên tựa khớp Giả sử biên tựa khớp x = a Điều kiện biên tựa khớp nút i :  ∂2w  wi =  ÷ =  ∂x i (2.67) Tương tự biên ngàm, cần biểu diễn chuyển vị nút l qua chuyển vị nút biên biên Thay đạo hàm riêng (2.67) biểu thức sai phân nút tựa khớp i : wl − wi + wk = , wi = nên rút ra: ∆h wl = − wk Tương tự, nút i biên tựa khớp y = b : 38 (3) wm = − wn (4) Như vậy, từ (2.67): - Điều kiện biên khớp nút i biên trục x : wi = wl = − wk (2.68.a) - Điều kiện biên khớp nút i biên trục y : wi = wm = − wn (2.68.b) Biên tự Giả sử biên tự nút i trục x , điều kiện biên có dạng: Mx = ∂2w ∂2w +µ = ∂x ∂y (2.69.a) Qx = ∂3 w ∂3w + ( − µ) =0 ∂x ∂x∂y (2.70.a) Thay đạo hàm riêng biểu thức sai phân tương ứng: wl − 2wi + wk + µ ( wm − wi + wn ) = (2.69.b) wt − 2wl + wk − wS + ( − µ ) ( wr − w0 − wl + wk + wp − wq ) = (2.70.b) Trong (2.70.b) xuất chuyển vị wt cách biên hai bước sai phân, nên cần sử dụng thêm 01 điều kiện biên nút tự lực tập trung có giá trị bằng: M xy = − D p ( − µ ) ∂2w = , biểu diễn dạng sai phân: ∂x∂y wr + wq − w0 − w p = (2.71) Như vậy, điều kiện biên tự nút i biên trục x có dạng (2.69) ÷ (2.71) 2.6.4 Biểu thức nội lực Nội lực nút i dạng sai phân:  ∂2w w − wi + wn  ∂2w   w − wi + wk M x = − Dp  + ữ = Dp l +à m ữ y h h   ∂x (2.72)  ∂2w w − wi + wk  ∂2 w   w − wi + wn M y = − Dp  + ữ = Dp m +à e ÷ ∂x  ∆h ∆h    ∂y (2.73) M xy = − D p ( − µ ) w + wq − wo − wp ∂2w = − Dp ( − µ ) r ∂x∂y 4.∆h (2.74) Lực cắt tương đương lực cắt:  ∂3w ∂3w  Qx = − D p  + ( − µ )  ∂y ∂x   ∂x 39 w − w0 − we + wk + wp − wq   w − we + 2wk − wS = − Dp  t + ( − µ) r  2.∆h 2.∆h3   (2.75)  ∂3w ∂3w  Qy = − D p  + ( − µ )  ∂x ∂y   ∂y w − wp − 2wm + wn + w0 − wq   w − 2wm + wn − wv = − Dp  u + ( − µ) r  2.∆h3 2.∆h3   (2.76)  ∂ 3w ∂3w  ∂  ∂2w ∂2w   ∂  Qx = − D p  ∇ w ÷ = − D p  + ÷ = − D p  + ÷ ∂x  ∂x ∂y  ∂x∂y   ∂x   ∂x  w − we + wk − wS wr − w0 − we + 2wk + wp − wq  = − Dp  t + ÷ 2.∆h3 2.∆h3   (2.77)  ∂3w ∂3w   ∂  ∂  ∂2w ∂2w  Qy = − D p  ∇ w ÷ = − D p  + ÷ = − D p  + ÷ ∂y  ∂x ∂y  ∂y∂x   ∂y   ∂y  w − wp − wm + wn + w0 − wq wu − 2wm + 2wn − wv − wq  = − Dp  r + ÷ 2.∆h3 2.∆h3   (2.78) Ưu điểm PP SPHH đơn giản, thuận lợi lập trình Nhược điểm phương pháp là: - Do có xuất chuyển vị lưới sai phân nên số lượng ẩn số hệ phương trình lớn, đặc biệt có biên tự do; - Độ xác không cao chia lưới sai phân thưa; - Số lượng phương trình tăng đáng kể lưới chia dày; - Hệ phương trình sai phân thành phần khơng có tính đối xứng 2.6.5 Thí dụ tính tốn Thí dụ 8: Tính mỏng hình vng 4 a , chu vi tựa khớp chịu tải trọng cạnh 3 phân bố q Chia lưới sai phân, hình 2 2-5, với ∆x = ∆y = ∆h = a / Do hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng nên chuyển 3 vị nút có tính đối xứng Ký hiệu số nút biên 1, 2, 3; biên 4, biên 6, 7, Hình 2-5 Tấm vng chu vi tựa khớp Điều kiện biên chu vi tựa khớp nên nút i biên wi = , wl = wk Đối với toán này: w4 = w5 = ; w6 = − w3 , 40 w7 = − w2 Phương trình sai phân cho nút 1, 2, theo (2.64) có ý đến điều kiện biên có dạng: - nút i = q.∆h 20 w1 − ( w2 + w2 + w2 + w2 ) + ( w3 + w3 + w3 + w3 ) + w5 + w5 + w5 + w5 = Dp thay điều kiện biên w5 = , nhận được: 20 w1 − 32 w2 + 8w3 = q.∆h Dp (1) - nút i = q.∆h Dp 20 w2 − ( w5 + w3 + w1 + w3 ) + ( w4 + w2 + w2 + w4 ) + w7 + w2 + w4 + w4 = thay điều kiện biên w5 = w4 = , w7 = − w2 nhận được: q.∆h −8w1 + 24w2 − 16 w3 = Dp (2) - nút i = 20 w3 − ( w4 + w4 + w2 + w2 ) + ( w8 + w5 + w1 + w5 ) + w6 + w3 + w6 + w3 = q.∆h Dp thay điều kiện biên w5 = w4 = w8 = , w6 = − w3 , nhận được: w1 − 16 w2 + 20 w3 = q.∆h Dp (3) Giải hệ phương trình (1), (2), (3) nhận được: 33q.∆h −3 qa w1 = = 4, 028.10 32 D p Dp 3q.∆h −3 qa w2 = = 2,929.10 Dp Dp 35q.∆h −3 qa w3 = = 2,1362.10 64 D p Dp qa Nghiệm xác chuyển vị tâm w1 = 4, 06.10 , sai số Dp −3 -0,78% Mơ men uốn M x tâm tính theo (2.92) với i = µ = 0,3 41  ∂2w w − wi + wn  ∂2w   w − wi + wk M x = Dp + ữ = Dp l +à m ữ y  ∆h ∆h    ∂x w − 2w1 + w2   w − w1 + w2 = Dp +à ữ = 0, 0457 qa ∆h ∆h   Sai số so với giá trị xác M x = 0, 0479qa +4,6% Thí dụ 9: Tính mỏng hình vng cạnh a, chu vi ngàm chịu tải trọng phân bố q Chia lưới sai phân, hình 2-5, với ∆x = ∆y = ∆h = a / Do hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng nên chuyển vị nút có tính đối xứng Ký hiệu số nút biên 1, 2, 3; biên 4, 5; biên 6, 7, Điều kiện biên chu vi ngàm nên nút i biên: wi = , wi = 3wk − 0,5wS Đối với toán này: - nút i = w4 = w5 = w6 = 3w3 − 0,5w2 w7 = 3w2 − 0,5w1 20 w1 − ( w2 + w2 + w2 + w2 ) + ( w3 + w3 + w3 + w3 ) + w5 + w5 + w5 + w5 = q.∆h Dp thay điều kiện biên w5 = , nhận được: 20 w1 − 32 w2 + 8w3 = q.∆h Dp (1) - nút i = 20 w2 − ( w5 + w3 + w1 + w3 ) + ( w4 + w2 + w2 + w4 ) + w7 + w2 + w4 + w4 = q.∆h Dp thay điều kiện biên w5 = w4 = , w7 = − w2 , nhận được: −8,5w1 + 28w2 − 16w3 = q.∆h Dp (2) - nút i = 20 w3 − ( w4 + w4 + w2 + w2 ) + ( w8 + w5 + w1 + w5 ) + w6 + w3 + w6 + w3 = q.∆h Dp thay điều kiện biên w5 = w4 , w6 = − w3 , w8 = , nhận được: q.∆h w1 − 17 w2 + 28w3 = Dp (3) Giải hệ phương trình (1), (2), (3), nhận được: w1 = 0,3581 42 q.∆h qa = 1,3988.10−3 Dp Dp w2 = 0, 23 q.∆h qa = 8,984.10−4 Dp Dp w3 = 0,1498 q.∆h qa = 5,851.10−4 Dp Dp −3 Nghiệm chuyển vị xác tâm w1 = 0,126.10 qa , sai số Dp +9,8% Mô men uốn M x tâm tính theo (2.92) với i = µ = 0,3  ∂2w w − wi + wn  ∂2w   w − wi + wk M x = − Dp  + µ ÷ = − Dp  l +µ m ÷ ∂y  ∆h ∆h    ∂x w − 2w1 + w2   w − w1 + w2 = − Dp  +à ữ = 0, 02078qa 2 h h   so với giá trị xác M x = 0, 0231qa , sai số -11,16% D TÍNH TẤM MỎNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC 2.7 TÍNH TẤM TRỊN 2.7.1 Phương trình vi phân cân Tấm trịn tính tốn hệ tọa độ cực Hệ tọa độ cực nội lực tròn biểu diễn hình 2-6 Hình 2-6 Hệ tọa độ cực nội lực trịn Phương trình vi phân mỏng chịu uốn hệ tọa độ cực suy từ phương trình vi phân mỏng xét hệ tọa độ vng góc OXY Quan hệ hệ tọa độ cực r ( ϕ ) hệ tọa độ vng góc OXY, [9]: x = rcosϕ y = rsinϕ r = x2 + y ∂r x = = cosϕ ∂x r ∂ϕ x cosϕ = = ∂y r r y x (1) ∂r y = = sinϕ ∂y r ∂ϕ y sinϕ =− =− ∂x r r ϕ = artg (2) Đạo hàm bậc đạo hàm bậc hai chuyển vị pháp tuyến w lấy với biến x , y : 43 ∂w ∂w ∂r ∂w ∂ϕ ∂w ∂w = + = cosϕ − sinϕ ∂x ∂r ∂x ∂ϕ ∂x ∂r r ∂ϕ (3) ∂w ∂w ∂r ∂w ∂ϕ ∂w ∂w = + = sinϕ + cosϕ ∂y ∂r ∂y ∂ϕ ∂y ∂r r ∂ϕ (4) ∂2w ∂2w ∂ w sinϕcosϕ ∂w sin ϕ ∂w sinϕcosϕ ∂ w sin 2ϕ = cos 2ϕ − + +2 + ∂x ∂r ∂r ∂ϕ r ∂r r ∂ϕ r2 ∂ϕ r (5) ∂2w ∂2w ∂ w sinϕcosϕ ∂w cos ϕ ∂w sinϕcosϕ ∂ w cos 2ϕ = sin ϕ + + −2 + ∂y ∂r ∂r ∂ϕ r ∂r r ∂ϕ r2 ∂ϕ r (6) ∂2w ∂2w ∂ w cos 2ϕ ∂w cos 2ϕ ∂w sinϕcosϕ ∂ w sinϕcosϕ = sinϕcosϕ + − − − ∂x∂y ∂r ∂r∂ϕ r ∂ϕ r ∂r r ∂ϕ r2 (7) Từ (5) (6), toán tử Laplat biểu diễn hệ tọa độ cực có dạng: ∇2 w = ∂ w ∂ w ∂ w ∂w ∂ w + = + + ∂x ∂y ∂r r ∂r r ∂ϕ2 (8) Phương trình vi phân mỏng chịu uốn hệ tọa độ cực, có dạng:  ∂ ∂ ∂  ∂ w ∂w ∂ w  q ( r , ϕ ) ∇ 2∇ w =  + + + + ÷ ÷= r ∂r r ∂ϕ2  ∂r r ∂r r ∂ϕ2  Dp  ∂r (2.79) Nếu tải trọng phân bố đối xứng trục qua tâm tấm, phương trình vi phân mỏng chịu uốn hệ tọa độ cực (2.79) khơng phụ thuộc biến ϕ , có dạng:  ∂2 ∂  d  d  d  dw ( r )  r  r  2+ ÷ w= r ∂r  r dr  dr  r dr  dr  ∂r     q ( r )  ÷  =   Dp  (2.80) Tích phân phương trình dễ dàng với tải trọng q ( r ) Trong trường hợp này, chuyển vị w nội lực không phụ thuộc biến ϕ 2.7.2 Xác định nội lực Nội lực phân bố đơn vị chiều dài hệ tọa độ cực, hình 2-6, xác định qua chuyển vị w , với giả thiết chọn trục x trùng với bán kính r , tương ứng ϕ = , ý đến (5), (6), (7) có dạng:  ∂2w  ∂2w  ∂w ∂ w   ∂2w  M r = Dp + ữ = − Dp  + µ  + 2 ÷ ∂y ϕ=  ∂x  r ∂r r ∂ϕ    ∂r (2.81)  ∂2w  ∂w ∂ w ∂2w  ∂2w  M ϕ = − Dp  + µ ÷ = − Dp  + +µ ÷ ∂x ϕ=0 ∂r   ∂y  r ∂r r ∂ϕ (2.82)  ∂2w   ∂ w ∂w  = ( − µ ) Dp ữ = ( ) Dp  ÷  ∂x∂y ϕ=0  r ∂r ∂ϕ r ∂ϕ  (2.83) M rϕ 44 Qr = − D p ∂ ( ∇2 w) ∂r Qϕ = − D p ∂ ( ∇2 w) r ∂ϕ (2.84) Nội lực chịu tải trọng đối xứng trục (không phụ thuộc biến ϕ ):  ∂ w µ ∂w  M r = − Dp  + r ∂r   ∂r  Qr = − D p ∂  ∂ w ∂w  +  ÷ ∂r  ∂r r ∂r   ∂w ∂2w  M ϕ = − Dp +à ữ r r r Qϕ = M rϕ = (2.85) 2.7.3 Điều kiện biên Tấm trịn bán kính r = a , biên ngàm theo chu vi, điều kiện biên có dạng: ∂w  ÷ =0  ∂r  r = a ( w) r =a =   (2.86) Tấm trịn bán kính r = a , biên tựa khớp theo chu vi, điều kiện biên có dạng: ( w ) r =a =  ∂ w µ ∂w  + =0 r ∂r  r =a  ∂r  ( M r ) r =a =  (2.87) Tấm trịn bán kính r = a , biên tự theo chu vi, điều kiện biên có dạng:  ∂2w  ∂w ∂ w   +µ +  =0 2 ÷  r ∂r r ∂ϕ   r = a  ∂r ( M r ) r =a =  (2.88a) ∂M rϕ    ∂ w ∂ w ∂w − µ ∂ w µ ∂ w  V =  Qr − = + − − + = (2.88b) ÷ r ∂ϕ  r =a  ∂r r ∂r r ∂r r ∂ϕ2 r ∂r∂ϕ2  r = a   2.7.4 Thí dụ Thí dụ 10: Tính trịn chịu tải trọng phân bố q ( r ) = q = const Bằng cách tích phân (2.80), phương trình chuyển vị trịn bán kính r = a chịu tải phân bố q ( r ) = const = q , có dạng, [9]: w( r ) = qr r2 r + C1 + C2ln + C3 64 D p a (9) Trong đó: C1 , C2 C3 số tích phân xác định từ điều kiện biên a Tấm ngàm theo chu vi Góc xoay: θ( r ) = dw qr r = + C1 + C2 dr 16 D p r (10) Điều kiện biên thứ nhất: góc xoay θ ( r ) r = không Từ (10):  qr r 1 θ ( 0) =  + C1 + C2 ÷ =  16 D r ÷r = p   Rút ra: C2 = 45 Sử dụng điều kiện biên thứ hai: góc xoay θ ( r ) r = a không Từ  qa qa a C2 = : θ ( a ) =  + C1 ÷ = , rút ra: C1 = − (10) với ý Thay C1 , C2  16 D 8D p 2÷ p   w( r ) = vào (9): qr qa r − + C3 64 D p 32 D p (11) Sử dụng điều kiện biên: chuyển vị w ( a ) = , rút ra: C3 = qa Thay C3 64 D p vào (11) nhận phương trình chuyển vị trịn bán kính r = a chịu tải trọng phân bố q ( r ) = const = q hệ tọa độ cực: w( r ) = q ( a2 − r ) 64 D p (2.89.a) qa 64 Dp (2.89.b) qa (2.90) Chuyển vị lớn tâm r = : wmax ( r = ) = Nội lực xác định từ (2.81) ÷ (2.85) : Mr ( r) = q a ( + µ ) − r ( + µ )   16  Mr ( r = a) = − Mϕ ( r) = q  a ( + µ ) − r ( + 3µ )   16  M ϕ ( r = a ) = −µ qa ( 1+ µ) 16 qr Qr ( r ) = − qa M r ( r = 0) = M ϕ ( r = 0) = M rϕ ( r ) = (2.91) (2.92) Qϕ ( r ) = (2.93) b Tấm tựa khớp theo chu vi Phương trình chuyển vị, nội lực trịn bán kính r = a , biên tựa khớp theo chu vi, chịu tải trọng phân bố q ( r ) = const = q hệ tọa độ cực: q ( a2 − r )  + µ 2   q 4a  w( r ) = a − r ÷= a − r ) ( a − r ) + (  64 D p  + µ 1+ µ   64 D p   qa ( + µ ) wmax ( r = ) = 64 Dp ( + µ ) Mr ( r) = 46 q ( + µ ) ( a2 − r ) 16 (2.94.a) (2.94.b) Mϕ ( r) = q  a ( + µ ) − r ( + 3µ )   16  (2.95) M max ,r ( r = ) = M max ,ϕ ( r = ) = qa ( + µ) 16 Qr = − qr Qϕ = (2.96) Thí dụ 11: Tấm trịn chu vi tựa khớp chịu mơ men phân bố chu vi cường độ m ( r ) = const = m Phương trình chuyển vị có dạng: w( r ) = m ( a2 − r ) Dp ( + µ ) (2.97) Mô men uốn phân bố phạm vi toàn tấm: M r ( r ) = M ϕ ( r ) = m = const (2.98) Chúc bạn thành công 47 ...   a b (2. 42) Thay (2. 40) vào (2. 42) , tồn phần Π có dạng: 1 2 δ11a 12 + δ 22 a2 + δ33 a3 + + δ 12 a1a2 + δ13 a1a3 + + δ 23 a2 a3 + 2 −∆1 p a1 − ∆ p a2 − ∆ np an Π= (2. 43) đó:  ∂ 2? ?i ∂ ϕk ∂... (2. 27.b) thay (2. 26) vào (2. 27) ∂4w ∂4w ∂ w q ( x, y ) k1.w ( x, y ) +2 2 + = − ∂x ∂x ∂y ∂y Dp Dp (2. 28.a) dạng toán tử Laplat: D p ∇ 2? ?? w ( x, y ) + k1w ( x, y ) = q ( x, y ) (2. 28.b) 2. 3 .2 Phương. .. + w2 = − Dp  +à ữ = 0, 020 78qa 2 h ∆h   so với giá trị xác M x = 0, 023 1qa , sai số -1 1,16% D TÍNH TẤM MỎNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC 2. 7 TÍNH TẤM TRỊN 2. 7.1 Phương trình vi phân cân Tấm trịn tính

Ngày đăng: 20/05/2014, 14:09

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Chương 2

    • CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM MỎNG

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan