www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Dethithudaihoc.com SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM 2014 Môn thi: TOÁN – Khối A, A 1 , B Thời gian làm bài: 180 phút I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số ( ) 3 3 2 y x x C = − + a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số đã cho; b) Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng ( ) : 2 4 d y mx m = − + cắt đồ thị ( ) C tại ba điểm phân biệt ( ) 2,4 A , , B C sao cho tam giác OBC cân tại O , với O là gốc tọa độ. Câu 2 (2,0 điểm). Giải các phương trình, hệ phương trình a) sin 2 cos 2 2 2 cos 1 x x x − = + b) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 1 , 2 1 3 y x y x x x y x x y y    + + =    + + ∈    + + + =     R Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân ( ) 2 2 0 sin sin I x x x dx π = + ∫ Câu 4 (1,0 điểm). Cho lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có tam giác ABC vuông tại B , , 2 AB a BC a = = . Hình chiếu của ' A trên mặt phẳng ( ) ABC là trung điểm H của BC , cạnh bên ' A A hợp với đáy góc 45 o . Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C và khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) ' ' AA B B . Câu 5 (1,0 điểm). Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất trên 1 ;1 2   −       2 3 2 3 1 2 2 1 x x x m − − + + = II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 6.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung tuyến : 2 0 AI x y + − = , đường cao : 2 4 0 AH x y − + = và trọng tâm G thuộc trục hoành. Tìm tọa độ của B và C ; biết ( ) 5; 1 E − thuộc đường cao qua C . Câu 7.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm ( ) ( ) 1;1;2 , 1;3; 2 A B − − và đường thẳng 1 2 : 1 2 1 x y z d − + = = − − . Tìm điểm I trên d sao cho tam giác IAB cân tại I , viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm , A B và có tâm thuộc đường thẳng d. Câu 8.a (1,0 điểm). Tìm số phức z thỏa mãn ( ) 2 3 4 1 5 7 z z z i − − + = + B. Theo chương trình Nâng cao Câu 6.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ( ) 1;6 A , trực tâm ( ) 1;2 H , tâm đường tròn ngoại tiếp ( ) 2;3 I . Tìm tọa độ , B C ; biết B có hoành độ dương. Câu 7.b (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( ) 2 2 2 : 2 4 6 0 S x y z x y z + + − + − = và đường thẳng 2 1 1 : 1 1 1 x y z − − − ∆ = = − . Tìm tọa độ giao điểm của ∆ và ( ) S , viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu ( ) S . www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Dethithudaihoc.com Câu 8.b (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa ( ) 1 i z z i + + = . Tìm môđun của số phức 1 i z ω = + + . . . . . Hết . . . . www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Dethithudaihoc.com SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC Trường THPT Hùng Vương ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM 2014 Môn thi: Toán; Khối: A, A 1 , B Đáp án Điểm Câu 1.a. Cho hàm số 3 3 2 y x x = − + Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C hàm số đã cho; Tập xác định D = R . + Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ + 2 ' 3 3 y x = − ; 1 ' 0 1 x y x  =  = ⇔  = −   + Bảng biến thiên x −∞ 1 − 1 +∞ ' y + 0 − 0 + y −∞ 4 0 +∞ Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1) −∞ − và (1; ) +∞ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1) − ; Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 − , y = 4. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm điểm 1 x = , y = 0. Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt: x 2 − 1 − 0 1 2 y 0 4 2 0 4 14 12 10 8 6 4 2 2 15 10 5 5 10 15 f x ( ) = x 3 3· x + 2 Câu 1.b. Tìm m để đường thẳng ( ) : 2 4 d y mx m = − + cắt ( ) C tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho A cố định và tam giác OBC cân tại O, với O là gốc tọa độ. Ta có ( ) : 2 4 d y mx m = − + Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và ( C) là: 3 3 2 2 4 x x mx m − + = − + ( ) ( ) 2 2 2 2 1 0 2 ( ) 2 1 0 (1) x x x m x f x x x m ⇔ − + + − =  =  ⇔  = + + − =   (d) cắt ( C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Dethithudaihoc.com khác 2 ' 0 0 (2) 0 9 m f m     ∆ > >   ⇔     ≠ ≠     Ta có ( ) 2;4 A , gọi ( ) ( ) 1 1 2 2 ; 2 4 , ; 2 4 B x mx m C x mx m − + − + theo Vi-et ta có 1 2 1 2 2 . 1 x x x x m   + = −    = −   Tam giác OBC cân tại O ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 4 2 4 3 4 1 0 1 3 4 1 0 1 3 OB OC x mx m x mx m x x m m m m m m ⇔ = ⇔ + − + = + − + ⇔ − − + =  =   ⇔ − + = ⇔  =   Câu 2.1. Giải phương trình: sin 2 cos 2 2 2 cos 1 x x x − = + ( ) 2 sin 2 cos2 2 2 cos 1 2 sin cos 2cos 2 2 cos 0 2 cos sin cos 2 0 cos 0 cos 0 sin 1 sin cos 2 4 2 3 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x x k x k π π π π π − = + ⇔ − − = ⇔ − − =  =   =     ⇔ ⇔      − = − −               = +  ⇔   = +   Câu 2.b Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 3 y x y x x x x y y    + + =    + +    + + + =     Điều kiện: 0 y ≠ Ta có hệ : 2 2 2 2 2 2 ( 1 ) 0 2 1 3 x y x x y x x y y   + + − + =      + + + =     2 2 2 2 2 1 0 (*) 2 1 3 (**) x y x x y x x y y    + + + − =    ⇔    + + + =     Trừ vế theo vế phương trình (**) cho 2 lần phương trình (*) ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 x x x x y y x x y y y y y y      ⇔ − + − + = ⇔ + + − − =         2 2 3 0 x x y y y y           ⇔ + − + − =               1 3 x y y x y y   + = −   ⇔  + =    www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Dethithudaihoc.com Trường hợp 1: 1 x y y + = − , thay vào (*) ta có 2 1 1 0 x x − + + − = 2 1 1 0 x x x ⇔ + = + ⇔ = , với x = 0 ta có y = 1. Trường hợp 2: 3 x y y + = ta có hệ phương trình: 2 2 3 3 1 0 1 3 x x y y y y x y x x x x y      + =   + =     ⇔       + + + − = + = −        (vô nghiệm). Kết luận: Hệ phương trình có một nghiệm là: ( ) 0; 1 − . Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân ( ) 2 2 0 sin sin I x x x dx π = + ∫ . 2 2 3 0 0 sin sin I x x dx x dx π π = + ∫ ∫ • Xét 2 0 sin M x x dx π = ∫ , đặt sin cos u x du dx dv xdx v x     = =   ⇒     = = −     2 2 2 0 0 0 cos cos 0 sin 1 M x x x dx x π π π = − + = + = ∫ • ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 2 2 0 0 0 0 cos 2 sin 1 cos sin cos 1 (cos ) cos 3 3 x N x dx x xdx x d x x π π π π      = = − = − = − =         ∫ ∫ ∫ Vậy 2 5 1 3 3 I M N = + = + = Câu 4 (1,0 điểm). Cho lăng trụ ' ' ' . ABC ABC có tam giác ABC vuông tại B , , 2 AB a BC a = = . Hình chiếu của ' A trên mặt phẳng ( ) ABC là trung điểm H của BC, cạnh bên hợp với đáy góc 45 o . Tính thể tích của lăng trụ ' ' ' . ABC ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) ' ' AAB B . Ta có: ( )  ' ' 45 o AH ABC AAH⊥ ⇒ = BH a = , 2 2 2 AH AB BH a = + = • ' 2 AH AH a = = • Thể tích lăng trụ ' ' 3 1 . . . 2 2 ABC V S A H AB BC AH a = = = ( đvtt) • Gọi L là hình chiếu của C trên www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Dethithudaihoc.com ' ' AB CL AB ⇒ ⊥ Ta có: ( ) ' AB ABC AB CL ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' , CL AAB B d C AAB B CL ⇒ ⊥ ⇒ = • ' ' 2 2 3 AB AH HB a = + = Ta có: ' ' ' ' . 4 . . 6 AH BC a ABCL AH BC CL AB = ⇒ = = Vậy ( ) ( ) ' ' 4 , 6 a d C AAB B CL= = . Câu 5. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 3 2 3 1 2 2 1 x x x m − − + + = (1) trên 1 ;1 2   −       Lời giải: Xét hàm số ( ) 2 3 2 3 1 2 2 1 f x x x x = − − + + trên 1 ;1 2   −       Ta có 2 ' 2 3 2 2 3 2 3 3 4 3 3 4 ( ) 1 2 1 1 2 1 x x x x f x x x x x x x x   − + +     = − = − +        − + + − + + Xét hàm số ( ) 3 2 2 1 g x x x = + + trên 1 ;1 2   −       . Ta có ( ) 2 3 4 0 0 g x x x x ′ = + = ⇔ = Ta có bảng biến thiên x 1 2 − 0 1 '( ) g x + 0 − ( ) g x 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 1 ( ) 1, ;1 2 g x x     ≥ ∀ ∈ −     và 1 ;1 2 x     ∀ ∈ −     ta có 1 5 3( ) 4 3 4 3.1 4 3 4 7 2 2 x x − + ≤ + ≤ + ⇔ ≤ + ≤ . Suy ra 2 3 2 3 3 4 1 0, ;1 2 1 2 1 x x x x x   +   + > ∀ ∈ −   − + +   Do đó ( ) 0 0 f x x ′ = ⇔ = Bảng biến thiên x 1 2 − 0 1 '( ) f x + 0 − ( ) f x 3 3 22 2 − 1 4 − PT (1) là phương trình hoành độ giao điểm của : d y m = và (C ) : ( ) 2 3 2 3 1 2 2 1 f x x x x = − − + + www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Dethithudaihoc.com Phương trình có nghiệm duy nhất khi 3 3 22 4 2 m − − ≤ < hoặc 1 m = . PHẦN RIÊNG Câu 6.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung tuyến : 2 0 AI x y + − = , đường cao : 2 4 0 AH x y − + = và trọng tâm G thuộc trục hoành. Tìm tọa độ của B và C; biết ( ) 5; 1 E − thuộc đường cao qua C. • ( ) ( ) 0;2 , 2;0 A G • ( ) 3; 1 , : 2 5 0 I BC x y − + − = • ( ) ( ) ;5 2 6 ;2 7 B BC B t t C t t ∈ ⇒ − ⇒ − − ( ) ( ) ;3 2 , 1 ;2 6 AB t t EC t t − − −   Ta có: ( ) ( ) ( ) . 0 1 3 2 2 6 0 AB EC t t t t = ⇔ − + − − =   2 2 5 19 18 0 9 5 t t t t  =   ⇔ − + = ⇔  =   • V ậy ( ) ( ) 2;1 , 4; 3 B C − hoặc 9 7 21 17 ; , ; 5 5 5 5 B C           −               . www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Dethithudaihoc.com Câu 7.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( ) ( ) 1;1;2 , 1;3; 2 A B − − và đường thẳng 1 2 : 1 2 1 x y z d − + = = − − . Tìm điểm I trên d sao cho tam giác IAB cân tại I, viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc đường thẳng d. • ( ) 1 : 2 2 , 1 ; 2 2 ; x t d y t I d I t t t z t   = +    = − − ∈ ⇒ + − − −    = −    • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 5 2 5 4;8;5 IA IB t t t t t t t I = ⇔ + + + + = + + + + − ⇔ = − ⇒ − • Mặt cầu cần viết có tâm ( ) 4;8;5 I − bán kính 2 2 2 5 7 3 83 R IA = = + + = . • Vậy phương trình mặt cầu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 8 5 83 x y z+ + − + − = Câu 8.a (1,0 điểm). Tìm số phức z thỏa mãn ( ) 2 3 4 1 5 7 z z z i − − + = + . Gọi z a bi = + , , a b R ∈ ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 1 5 7 0 1 1 1 1 7 7 a bi a bi a b i a a a b a v b b b + − − − + + = +       = = + − =     ⇔ ⇔       = = =        Kết luận. , 1 z i z i = = + Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ( ) 1;6 A , trực tâm ( ) 1;2 H , tâm đường tròn ngoại tiếp ( ) 2;3 I . Tìm tọa độ , B C ; biết B có hoành độ dương. • Gọi ' A là điểm đối xứng với A qua I ' HBAC ⇒ là hình bình hành với tâm M. ( ) ( ) ' 3;0 2;1 A M ⇒ ⇒ • BC qua M và vuông góc với AH : 1 BC y ⇒ = • ( ) ;1 ; 0 B BC B t t ∈ ⇒ > Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 6 ( ) 1 3 2 2 2 6 2 6;1 t loai IA IB t t B  = −  = ⇔ + = − + ⇔   = + ⇒ +   • M trung điểm BC, suy ra ( ) 2 6;1 C − . Vậy ( ) ( ) 2 6;1 , 2 6;1 B C+ − . Câu 7.b (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz cho mặt cầu www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Dethithudaihoc.com ( ) 2 2 2 : 2 4 6 0 S x y z x y z + + − + − = và đường thẳng 2 1 1 : 1 1 1 x y z − − − ∆ = = − . Tìm tọa độ M là giao điểm của ∆ và ( ) S , viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu ( ) S . Gọi ( ) ( ) 2 ;1 ;1 , M t t t M S − + + ∈ ∆ ∈ ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 4 1 6 1 0 3 0 0 2;1;1 t t t t t t t t M − + + + + − − + + − + = ⇔ = ⇔ = ⇒ Vì ( ) & S ∆ có duy nhất một điểm chung nên ( ) P tiếp xúc với ( ) S tại M (P) đi qua (2;1;1) M và có véc tơ pháp tuyến ( ) 1;3; 2 IM −  nên có phương trình ( ) : 3 2 3 0 P x y z + − − = Câu 8.b (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa điều kiện ( ) 1 i z z i + + = . Tìm môđun của số phức 1 i z ω = + + . • Gọi ; , z x yi x y R = + ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 i z z i i x yi x yi i x y xi i + + = ⇔ + + + − = ⇔ − + = 1 2 x y =  ⇔  =  . • 1 2 z i = + • 1 1 1 2 2 3 i z i i i ω = + + = + + + = + 13 ω = . . . Hết . . . . Ta có: ( )  ' ' 45 o AH ABC AAH⊥ ⇒ = BH a = , 2 2 2 AH AB BH a = + = • ' 2 AH AH a = = • Thể tích lăng trụ ' ' 3 1 . . . 2 2 ABC V S A H AB BC AH a =. ' ' , CL AAB B d C AAB B CL ⇒ ⊥ ⇒ = • ' ' 2 2 3 AB AH HB a = + = Ta có: ' ' ' ' . 4 . . 6 AH BC a ABCL AH BC CL AB = ⇒ = = Vậy ( ) ( ) ' ' 4 , 6 a d. =     2 2 2 2 2 1 0 (*) 2 1 3 (**) x y x x y x x y y    + + + − =    ⇔    + + + =     Trừ vế theo vế phương trình (**) cho 2 lần phương trình (*) ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2