ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ PHƯƠNG TRINH TÌM NHIỆT ĐỘ BỀ MẶT TỪ NHỮNG NHIỆT ĐỘ ĐO BÊN TRONG Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GVHD: PGS.TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Tp. Hồ Chí Minh - 2011 1 MỤC LỤC Trang phụ bìa Mục lục 1 Lời nói đầu 2 Chương 1 – Kiến thức chuẩn bò 3 1.1 Đònh lý Divergence (đònh lý Gauss – Ostrogradski ) 3 1.2 Đònh lý hội tụ bò chặn 3 1.3 Không gian (1 ) p Lp   4 1.4 Tích chập trong 4 1.5 Biến đổi Fourier 4 1.6 Một số kết quả tích phân 6 1.7 Bài toán không chỉnh 7 Chương 2 – Các kết quả chính 9 2.1 Giới thiệu bài toán 9 2.2 Bổ đề 10 2.3 Biến đổi bài toán 12 2.4 Tìm biến đổi Fourier của , 1, ,7 i Fi 35 2.5 Đònh lý 40 2.6 Các ví dụ số 45 Tài liệu tham khảo 55 2 LỜI NÓI ĐẦU Luận văn giải quyết vấn đề xác đònh nhiệt độ ban đầu của vật thể hai lớp. Vấn đề này có nhiều ứng dụng trong Vật lý và Đòa chất. Hiện nay đã có công trình nghiên cứu xác đònh nhiệt độ của bề mặt vật thể hai lớp (xem [1]). Luận văn này phát triển bài toán trên với điều kiện cho biết thông lượng nhiệt. Ta sử dụng kí hiệu   0 , x u x t là đạo hàm riêng của 0 u theo biến x . Xét hệ 2 00 1 2 2 00 2 2 0 0 2, 0, 0 2 4, 0, uu k x t xt uu k x t xt                      với với (I) thỏa điều kiện ban đầu               0 00 00 00 ,0 0, 1, , 0, 3, , 0, 4, , 0. x x x ux u t f t t u t g t t u t h t t            (II) Ta đi tìm hàm     00 0,u t v t thỏa hệ (I) và điều kiện (II). Luận văn được trình bày thành hai chương. Chương I trình bày các kiến thức cần sử dụng. Chương II chỉnh hóa bài toán trên. Đầu tiên ta sử dụng đònh lý hàm Green và biến đổi Fourier để đưa hệ (I) với điều kiện (II) về hệ phương trình tích chập. Tiếp theo ta chỉnh hóa hệ trên và đánh giá sai số. Cuối cùng là các ví dụ số. Tôi xin chân thành biết ơn thầy PGS. TS. Đặng Đức Trọng đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Và tôi cũng xin biết ơn thầy TS. Phạm Hoàng Quân đã đọc và cho tôi nhiều ý kiến quý báu. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè đã góp ý cho tôi trong quá trình làm luận văn. 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đònh lý Divergence (Đònh lý Gauss – Ostrogradski) Cho ( , )F f g là một trường vectơ thuộc lớp 1 C xác đònh trên một miền bò chặn 2  và D là một miền con của  là hội của một số hữu hạn các miền rời nhau . Nếu D có biên S là một đường khả vi trong  thì với pháp vectơ đơn vò ngoài n của S đối với ,D ta có . DS divFdv F nds  1.2 Đònh lý hội tụ bò chặn Cho   m f là một dãy hàm khả tích trên n sao cho     lim . . . m m f x f x hk n   Nếu có một hàm khả tích g sao cho     m f x g x h k n , m thì f khả tích,     lim 0 n m m f x f x dx    và     lim nn m m f x dx f x dx    . 4 1.3 Không gian (1 ) p Lp   Cho f là hàm đo được trên n  , nếu || p f   1 p   khả tích trên  ta đònh nghóa 1 || p p p ff       . Tập hợp tất cả các hàm f thỏa || p f khả tích trên  gọi là () p L  . 1.4 Tích chập trong 1.4.1 Đònh nghóa Cho ,fg khả tích trên . Đặt ( ) ( ) ( )f g x f x y g y dy    thì hàm fg là hàm khả tích trên và được gọi là tích chập của f và g . 1.4.2 Đònh lí Nếu f liên tục bò chặn, g khả tích trên và x f bò chặn thì fg có đạo hàm và () xx f g f g   . Nếu x f liên tục thì () x fg liên tục. 1.5 Biến đổi Fourier 1.5.1 Đònh nghóa Cho 1 ()fL , khi đó biến đổi Fourier của ,f kí hiệu là ,f là hàm cho bởi công thức   1 () 2 ipx f p f x e dx       với p . 5 1.5.2 Đònh nghóa Cho 1 ()fL , khi đó biến đổi Fourier ngược của ,f kí hiệu là ,f  là hàm cho bởi công thức 1 ( ) ( ) 2 ipx f x f p e dp       . 1.5.3 Tính chất Cho   1 ,f g L , c là hằng số thuộc . Khi đó ta có i) f g f g   , ii) cf c f , iii) .f g f g , iv)     1 2 ipx f x f p e dp      , v)     2 2 L L ff . 1.5.4 Biến đổi Fourier cho hàm thuộc   2 L Đònh nghóa Cho   2 fL , khi đó biến đổi Fourier của f là      1 lim 2 N ipx N N F f p f x e dx       , với p . 6 Đònh lý Plancherel (Đẳng thức Plancherel) a)   N Ff hội tụ trong   2 L đến một hàm   Ff khi N  . Hơn nữa            2 2 2 2 2 2 L L F f F f p dp f x dx f         b) Nếu     21 f L L thì   F f f h k n trên . c) Đặt     1 2 N ixp N N g x F f e dp     thì N g hội tụ trong   2 L đến f khi N  . d) F là toán tử đẳng cự từ   2 L vào   2 L , nghóa là       2 2 L L F f f . 1.6 Một số kết quả tích phân (xem [7]) a) 2 x e dx       Với Re 0, 0   , ta có b)   1/2 0 11 cos 2 x dx x       c)   1/2 0 11 sin 2 x dx x       d)       1/2 1 1/2 2 / 2 3/2 0 1 cos cos 2 x e x dx e x             e)       1/2 1 1/2 2 / 2 3/2 0 1 sin sin 2 x e x dx e x             7 f)           1/2 1 1/2 1/2 2 / 2 1/2 0 1 cos 2 cos 2 sin 2 x e x dx e x                g)           1/2 1 1/2 1/2 2 / 2 1/2 0 1 sin 2 cos 2 sin 2 x e x dx e x                . 1.7 Bài toán không chỉnh 1.7.1 Đònh nghóa (Bài toán chỉnh) Cho ,XY là các không gian đònh chuẩn, :K X Y là một ánh xạ. Phương trình Kx y được gọi là chỉnh nếu thỏa các tính chất sau a) Sự tồn tại nghiệm: yY , có ít nhất một xX sao cho Kx y . b) Sự duy nhất nghiệm: ,yY có nhiều nhất một xX sao cho Kx y . c) Nghiệm phụ thuộc liên tục: với mọi dãy () n xX thỏa , n Kx Kx n   thì ta có ,. n x x n   Bài toán được gọi là không chỉnh nếu nó không thỏa ít nhất một trong các điều kiện trên. 1.7.2 Chỉnh hóa bài toán ngược Cho :K X Y là một toán tử liên tục giữa hai không gian Hilbert và phương trình Kx y có một nghiệm chính xác là 0 x tương ứng với dữ liệu chính xác là 0 y . Tuy nhiên trên thực tế ta không có dữ liệu chính xác mà thường là dữ liệu gần đúng y  so với dữ liệu chính xác với sai số 0   . Do đó, vấn đề đặt ra là ta phải xây dựng dãy xX   dần về nghiệm chính xác 0 x . 8 1.7.3 Sơ đồ chỉnh hóa Một sơ đồ chỉnh hóa là một họ các toán tử tuyến tính liên tục, bò chặn :,R Y X   0   sao cho 0 lim , .R Kx x x X       Chọn x R y    như là một xấp xỉ của nghiệm chính xác. Khi đó 00 x x R y R y R y x           0 R y y R Kx x       0 .R R Kx x      Mệnh đề Cho R  là một sơ đồ chỉnh hóa cho toán tử tuyến tính compact K và dimX  thì các toán tử R  không bò chặn đều, tức là () j   sao cho || || j R   khi j  . Ta cần chọn       phụ thuộc vào  để giữ cho tổng sai số ở mức nhỏ nhất có thể được. Cụ thể, ta có đònh nghóa sau Đònh nghóa Một sơ đồ chỉnh hóa ()     được gọi là chấp nhận được nếu nó thỏa mãn a) ( ) 0   khi 0.   b) () sup 0xx    khi 0   , .xX 9 Chương 2 TÌM NHIỆT ĐỘ BỀ MẶT TỪ NHỮNG NHIỆT ĐỘ ĐO BÊN TRONG 2.1 Giới thiệu bài toán Xét hệ phương trình 2 00 1 2 2 00 2 2 0 0 2, 0, 0 2 4, 0, uu k x t xt uu k x t xt                      với với (I) thỏa điều kiện ban đầu               0 00 00 00 ,0 0, 1, , 0, 3, , 0, 4, , 0. x x x ux u t f t t u t g t t u t h t t            (II) Ta tìm hàm     00 0,u t v t thỏa hệ (I) và điều kiện (II). [...]... t ,3,   uo  3,  G  x, t ,3,   d   0 t    uo  4,  G  x, t , 4,  d  0  2.3 0 Từ đẳng thức  2.3 , cho   0 ta được t 1 u0  x, t    u0  3,  G  x, t ,3,  d k2 0 t t 0  0  uo  3,  G  x, t ,3,  d   uo  4,  G  x, t , 4,  d  0 Tiếp theo, từ đẳng thức  2.4  , ta cho x  3 Vì G  x, t ,3,     x, t ,3,     x, t ,5,  ,  2.4 ... 3,  N  x, t ,3,  d   u  3,  N  x, t ,3,  d  0 o Từ đẳng thức trên, ta cho   0 , và vì 3 1 1 u0  , t    N  x, t ,  , t    d  u 0  x, t  ,  0 k  k2 2 2 lim suy ra t 1 u0  x, t    u0  2,  N  x, t , 2,  d k2 0 t  t  u  3,  N  x, t ,3,  d   u  3,  N  x, t ,3,  d  0 o 0 Từ đẳng thức  2.10  , ta cho x  3 o 0  2.10  20 Vì N  x,... t    3 2   x  12  exp    d  4k 2  t         1 exp    k  t     d   2  Từ kết quả tính L3 và L4 , ta có t lim  u0  3,  N  x, t ,3,  x 3 0 1 1  u0  3, t   2 k2 2  t u0  3,  0 k2  t    2  3   1 exp    k  t     d  2.12    2  22 Bên cạnh đó, vì N  x, t ,3,     x, t ,3,     x, t,1,   nên t lim  u0  3,  N  x, t ,3,... t   2.17    uo  2,  L  x, t , 2,  d  0 0 Từ đẳng thức  2.17  , ta cho   0 , kết hợp với 2 1 1 lim  u0  , t    L  x, t ,  , t    d  u0  x , t  ,  0 k k1 1 1 suy ra t 1 u0  x, t    uo 1,  L  x, t ,1,  d k1 0 t t 0 0   uo 1,  L  x, t ,1,  d   u0  2,  L  x, t , 2,  d  0  2.18 Từ đẳng thức  2.18 , ta cho x  1 , kết hợp với L ... d 0 0 t   u  1,  K  x, t ,1,  d  0 o  2.23 0 Từ đẳng thức  2.23 , ta cho   0 Do 1 1 1 lim  u0  , t    K  x, t ,  , t    d  u0  x , t  ,  0 k k1 1 0 suy ra t 1 u0  x, t    u0  0,  K  x, t ,0,  d k1 0 t t 0 0   uo 1,  K  x, t ,1,  d   uo 1,  K  x, t ,1,  d  0  2.24  Từ đẳng thức  2.24  , ta cho x  1 , kết hợp với K  x, t... thức  2.24  , ta cho x  1 , và từ  2.25 ,  2.26  và  2.27  ta có t  2 v0   t 1   0 k1  t    f 0   t  3 2 u0 1,  0 1 1 u0 1, t   2 k1 2  k1  t    2    1 exp    4k  t     d  1   f 0     1 exp    k  t     d  0  2  t   0  1  t 0 2  t   3   1 exp    k  t     d   1  d    2.28 Từ  2.22  và  2.28 , ta suy ra...   3/2 exp   , F7  t    t 4k1t    0, t  0, t  0, t  0, t  0 Từ  2.29  suy ra 2k1F1 * f0  t   2k1F6  f0  t   F7  v t   F7  u0  2, t   0 Lấy biến đổi Fourier của đẳng thức trên, ta được 2k1 F1  p  f0  p   2k1 F6  p  f 0  p   F7  p  v0  p   F7  p  u0  2, p   0  2.30  Từ  2.16  và  2.30  , ta có hệ  2 k 3 F  p  g  p   2k F  p  F ...  f 0  p   2k1 F6  p  f 0  p   F7  p  v0  p   F7  p  u0  2, p   0  Từ  2.16  suy ra 3 2 k2 F1  p  F7  p  g0  p   2k2 F2  p  F3  p  F7  p  g 0  p   2   2k2 F4  p  F7  p   k2  F2  p   h0  p   2   2   F5  p  F7  p   k2  F2  p   u0  2, p   0  2  34 Từ  2.30  suy ra  2  2k1 F1  p  f 0  p  F5  p   k2  F2  p    2   2 ... 1 2 t  g   0 0 1 t   1 2   1 exp    k  t     d  0   2  t  g   0 0 1 t   1 2 d  2.14  23 Đặt  1  1   3/2 exp   , F5  t    t  4 k 2t   0, t  0, t  0 Từ  2.14  suy ra 2 k2 u0  3, t   F2  u0  3,  t  2 k2 F1  g0  t   k2 F3  g0  t   F5  u0  2,  t   0 Lấy Fourier hai vế đẳng thức trên, ta được 2 k2 u0  3, p   F2  p  u0 ... k2 F1  p  g0  p   k2 F3  p  g0  p   F5  p  u0  2, p   0 Suy ra  2  u0  3, p   k2  F2  p    2  k2 F1  p  g0  p   k2 F3  p  g0  p   F5  p  u0  2, p   0  2.15 Từ  2.9  và  2.15 , ta có  2  k2  F2  p    k2 F1  p  g 0  p   k2 F3  p  g 0  p   2k2 F4  p  h0  p       2   2   k2  F2  p    k2 F1  p  g0  p   k2 F3  p  . GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ PHƯƠNG TRINH TÌM NHIỆT ĐỘ BỀ MẶT TỪ NHỮNG NHIỆT ĐỘ ĐO BÊN TRONG Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC. khi 0.   b) () sup 0xx    khi 0   , .xX 9 Chương 2 TÌM NHIỆT ĐỘ BỀ MẶT TỪ NHỮNG NHIỆT ĐỘ ĐO BÊN TRONG 2.1 Giới thiệu bài toán Xét hệ phương trình 2 00 1 2 2 00 2 2 0. của vật thể hai lớp. Vấn đề này có nhiều ứng dụng trong Vật lý và Đòa chất. Hiện nay đã có công trình nghiên cứu xác đònh nhiệt độ của bề mặt vật thể hai lớp (xem [1]). Luận văn này phát triển