ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯƠNG HOÀI TRUNG QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN LOẠI ORNSTEIN – UHLENBECK SINH BỞI ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP PHÂN TÁN Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN KIM THANH TP. HỒ CHÍ MINH – 2011 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình cao học cũng như để hoàn chỉnh luận văn này, tôi đã nhận được sự động viên, giúp đỡ, hướng dẫn và góp ý nhiệt tình của gia đình, bạn bè và quý Thầy cô khoa Toán – Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh. Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy – TS. Trần Kim Thanh và TS. Dương Tôn Đảm đã dành rất nhiều thời gian và công sức, tận tâm hướng dẫn, giúp tôi hoàn thành luận văn. Bên cạnh cách hướng dẫn cuốn hút, Thầy đã cung cấp cho tôi những tài liệu và những kiến thức vô cùng quí giá. Mặc dù biết mình chưa lĩnh hội hết tất cả những kiến thức mà Thầy đã truyền đạt nhưng tôi tin rằng những gì đã học được từ Thầy sẽ là điều kiện, là hành trang tốt nhất để tôi có thể tiếp tục con đường nghiên cứu sau này. Xin trân trọng cảm ơn các Thầy cô khoa Toán – Tin nói chung và các Thầy cô Bộ môn Xác suất thống kê nói riêng đã tận tình giảng dạy, cung cấp cho tôi đủ kiến thức để tôi kết thúc khóa học và hoàn thành luận văn. Xin cảm ơn các bạn lớp cao học Toán ngành Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học khóa 18 trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, đóng góp ý kiến trong suốt quá trình học cũng như trong thời gian làm luận văn. Từ tận đáy lòng, con xin cảm ơn Cha mẹ đã sinh thành, dưỡng dục, luôn bên cạnh động viên và tạo mọi điều kiện để con ăn học, khôn lớn nên người. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do kiến thức còn hạn chế cũng như sự eo hẹp về điều kiện và thời gian nên rất mong nhận được sự chia sẻ, thông cảm và góp ý nhiệt tình của quý Thầy cô và các bạn đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2011 Trương Hoài Trung i LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết về quá trình ngẫu nhiên, khi giải phương trình vi phân tuyến tính dạng Langevin ta sẽ gặp quá trình Ornstein – Uhlenbeck. Quá trình Ornstein – Uhlenbeck là quá trình ngẫu nhiên được đặt theo tên của hai nhà Vật Lý Leonard Ornstein (1900 – 1988) và George Eugene Uhlenbeck (1880 – 1941). Tuy loại quá trình này đã được nhiều nhà Toán học đề cập đến nhưng nó có khá nhiều ứng dụng trong thực tế nên quá trình Ornstein – Uhlenbeck vẫn luôn được các nhà khoa học nghiên cứu và mở rộng. Khi xét lớp các quá trình ngẫu nhiên liên quan đến quá trình dẫn Levy, chúng ta sẽ gặp những quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck. Để nghiên cứu về loại quá trình này ta cần xét đến sự liên quan của nó với những lớp quá trình ngẫu nhiên khác như quá trình α -tự phân, quá trình tự đồng dạng,… . Xuất phát từ tích phân theo quá trình Wiener, Toán học mở rộng dần sang tích phân theo quá trình Levy. Trong bản luận văn này tác giả nghiên cứu đến một lớp quá trình rộng hơn, có tính bao quát hơn nữa, đó là quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu nhiên độc lập phân tán, đồng thời giới thiệu về sự liên quan giữa phân phối α -tự phân và quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck. Luận văn này được chia thành 3 chương: • Chương I: Một số kiến thức cơ bản. • Chương II: Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu nhiên độc lập phân tán. • Chương III: Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck không ngặt. ii BẢNG KÍ HIỆU ( ) d L α \ : lớp các phân phối α -tự phân trên d \ ( ) d \P : lớp các phân phối xác suất trên d \ ( ) ( ) { } : dd I khả phân vô hạn=μ∈ μ\\P () ( ) () () 1 1() 0 () 0 1() 0 (1 ) , 0 ,0 (1 ) , 0 2 t t t t tdX edX tdX −α −α μ ∞ −μ α ∞ −α μ ⎧ +α α< ⎪ ⎪ ⎪ Φμ= α= ⎨ ⎪ ⎪ +α <α< ⎪ ⎩ ∫ ∫ ∫ L L L () , 0 () 0 lim ( ) ( ) : () () t fes s t t s pfsdXqtqthỏa f s dX q t hội tụ theo xác suất khi t μ →∞ μ ⎧ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎪ Φ= − − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎨ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎩ ⎫ ⎪ − →∞ ⎬ ⎪ ⎭ ∫ ∫ L ( ) 1,es Φ μ : kí hiệu của , f es Φ khi 1 () (1 ) f tt − =+ . () ( ) () () () () log * 1 0 ,0 ,0 ,0 1 ,1 ,1 2 d d d d d I I I I I αα α ⎧ α< ⎪ ⎪ α= ⎪ ⎪ Φ= <α< ⎨ ⎪ α= ⎪ ⎪ ⎪ <α< ⎩ \ \ \ \ \ D () () :(), d dd IIxdx α α ⎧⎫ ⎪⎪ =μ∈ μ <∞ α> ⎨⎬ ⎪⎪ ⎩⎭ ∫ \ \\ 0 1 . () () 0 :()0, d dd IIxdx αα ⎧⎫ ⎪⎪ =μ∈ μ = α≥ ⎨⎬ ⎪⎪ ⎩⎭ ∫ \ \\ . () () *01 1(,,)1 1 : lim ( ) T dd A T xt I I t dt x dx tồn tại trong − νγ →∞ > ⎧⎫ ⎪⎪ =μ=μ ∈ ν ⎨⎬ ⎪⎪ ⎩⎭ ∫∫ \\ d \ . iii () () () {} ( ) () log () () 1 0 :log () log log 0 , : ,: _ d dd d t d IIxdx xx x là chuẩn Euclide x X quá trình Levy với X L b Q lớp c ác phân phối Q tự phân trên + + μμ ⎧⎫ ⎪⎪ =μ∈ μ <∞ ⎨⎬ ⎪⎪ ⎩⎭ ⎧ =∨ ⎪ ⎨ ∈ ⎪ ⎩ =μ ∫ \ \\ \ \ L () () log :log () d dd IIxdx + ⎧⎫ ⎪⎪ =μ∈ μ <∞ ⎨⎬ ⎪⎪ ⎩⎭ ∫ \ \\ trong đó: ( ) log log 0 , d xx x là chuẩn Euclide x + ⎧ =∨ ⎪ ⎨ ∈ ⎪ ⎩ \ { } ( ) () () 1 : t X quá trình Levy với X μμ = μL ( ) 0 ,: _ d L b Q lớp các phân phối Q tự phân trên \ iv MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn i Lời nói đầu ii Bảng kí hiệu iii Mục lục iv Chương I Một số kiến thức cơ bản 1.1 Quá trình Levy 1 1.2 Tích phân theo quá trình Levy 5 1.3 Phương trình Langevin 9 1.3.1 Phương trình vi phân hình học và nghiệm của nó 9 1.3.2 Phương trình vi phân Levy hình học 12 1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính 18 1.3.4 Phương trình Langevin 19 1.4 Quá trình tự đồng dạng 20 1.5 Phân phối ổn định và quá trình ngẫu nhiên ổn định 22 1.5.1 Phân phối ổn định 22 1.5.2 Quá trình ngẫu nhiên ổn định 26 Chương II Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu nhiên độc lập phân tán 2.1 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck 28 2.2 Quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck dừng 32 iv 2.3 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu nhiên độc lập phân tán 38 Chương III Quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck không ngặt 3.1 Phân phối -tự phân 47 α 3.2 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck không ngặt 49 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 v 1 CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Để nghiên cứu về quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck, đầu tiên chúng ta sẽ đề cập đến quá trình Levy, tích phân theo quá trình Levy, phương trình Langevin cũng như một số vấn đề liên quan khác. 1.1 Quá trình Levy Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa quá trình Levy) Một quá trình ngẫu nhiên { } :0 t XXt = ≥ định nghĩa trên không gian xác suất ( ) ,,PΩ F được gọi là một quá trình Levy nếu nó thỏa các tính chất sau: (1) X có các số gia độc lập: với mỗi dãy thời gian tăng 0 ,, n tt… , các đại lượng ngẫu nhiên 01 0 1 ,,, nn tt t t t X XX XX − −−… độc lập. (2) ( ) 00X = hầu chắc. (3) X thuần nhất theo thời gian: với 0t ≥ , phân phối của st s X X + − không phụ thuộc vào 0s ≥ . (4) X liên tục ngẫu nhiên: 0 0, lim 0 th t h PX X + → ⎡⎤ ∀ ε> − ≥ε = ⎣⎦ . (5) X có giới hạn trái khi 0t > và liên tục phải khi 0t ≥ . Nhận xét. • Một quá trình Levy trên d  được gọi là một quá trình Levy d-chiều. • Quá trình ngẫu nhiên { } :0 t XXt = ≥ chỉ thỏa từ điều kiện (1) đến điều kiện (4) được gọi là quá trình Levy theo luật. 2 • Quá trình ngẫu nhiên { } :0 t XXt = ≥ thỏa các điều kiện (1), (2), (4) và (5) được gọi là quá trình cộng tính. • Quá trình ngẫu nhiên { } :0 t XXt = ≥ thỏa các điều kiện (1), (2) và (4) được gọi là quá trình cộng tính theo luật. Định nghĩa 1.1.2 (Khả phân vô hạn) Cho X là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên  . Khi đó X được gọi là khả phân vô hạn nếu với mọi n ∈ , tồn tại các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối () () () 12 ,,, nn n n X XX… sao cho () () () 12 d nn n n X XX X=+ ++ . Định nghĩa 1.1.3 (Hàm đặc trưng) Hàm đặc trưng  ( ) z μ của một độ đo xác suất μ trên d  được định nghĩa bởi  ( ) , (), d iz x d ze dxzμ= μ ∈ ∫   Hàm đặc trưng của phân phối X P của một biến ngẫu nhiên X trên d  được kí hiệu là  ( ) ˆ X Pz và được xác định bởi:  () ,, (). d iz X iz x X X Pz Ee e Pdx ⎡⎤ == ⎢⎥ ⎣⎦ ∫  Định lý sau cho ta cách biểu diễn hàm đặc trưng của những phân phối khả phân vô hạn. Nó được gọi là biểu diễn Levy – Khintchine hay công thức Levy – Khintchine. Cho { } :1Dxx=≤ là quả cầu đơn vị đóng. Định lý 1.1.4 (Biểu diễn Levy – Khintchine) (i) Nếu μ là phân phối khả phân vô hạn trên d  thì 3  () ( ) , 1 exp , , 2 1,1()(), d iz x d D zzAziz eizxxdxz ⎡ μ= − +γ ⎢ ⎣ ⎤ +−− ν∈ ⎥ ⎥ ⎦ ∫   (1.1) trong đó A là một ma trận cấp dd × , đối xứng, xác định không âm và ν là một độ đo trên d  thỏa { } ( ) 00ν=, ( ) 2 1() d xdx ∧ ν<∞ ∫  (1.2) và d γ∈ . (ii) Cách biểu diễn của  ( ) z μ trong (i) theo , A ν và γ là duy nhất. (iii) Ngược lại nếu A là một ma trận cấp dd × , đối xứng, xác định không âm, ν là một độ đo thỏa (1.2) và d γ∈ thì tồn tại một phân phối khả phân vô hạn μ với hàm đặc trưng cho bởi (1.1). Định nghĩa 1.1.5 (Bộ ba cơ sở) Ta gọi ( ) ,,A νγ trong định lý 1.1.4 là bộ ba cơ sở của μ . A và ν lần lượt là ma trận hiệp phương sai Gauss và độ đo Levy của μ . Sau đây ta xét một số ví dụ về quá trình Levy. Ví dụ 1 (Chuyển động Brown) Một chuyển động Brown tiêu chuẩn trên d  là một quá trình Levy ( ) (), 0BBtt=≥ thỏa: (i) ( ) ()~ 0, B tN tI với mỗi 0t ≥ . (ii) B liên tục. Ta thấy rằng nếu B là chuyển động Brown tiêu chuẩn thì hàm đặc trưng của nó được cho bởi [...]... ∞ ) bởi ⎡−∞, 1) và lập luận tương tự trên, ta sẽ thu được ⎣ ⎣ ν(dx ) = C2 dx x 1+α trên − với một hằng số C2 ≥ 0 xác định nào đó 27 CHƯƠNG II QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN LOẠI ORNSTEIN – UHLENBECK SINH BỞI ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP PHÂN TÁN 2.1 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck Giả sử {Zt : t ≥ 0} là một quá trình Levy trên n có bộ ba cơ sở là ( A0 , ν 0 , γ 0 ) và một số λ > 0 Xét phương trình. .. m và B là chuyển động Brown trên C = ( C (t ), t ≥ 0 ) trong d Ta xây dựng quá trình bởi C (t ) = bt + σB(t ) thì C là một quá trình Levy với mỗi C (t ) ~ N (tb , tA) Khi đó ta thấy rằng C là một quá trình Gauss Ví dụ 2 (Quá trình Poisson) Một quá trình ngẫu nhiên { Xt : t ≥ 0} trên là một quá trình Poisson với tham số c > 0 nếu nó là một quá trình Levy và với mỗi t > 0 , Xt có phân phối Poisson... , đó là phân phối chuẩn có hàm mật độ f ( x ) = 1 2σ π { exp −( x − μ)2 / 4σ2 } 4 Khi phân phối ổn định trở thành suy biến: đại lượng ngẫu nhiên là hằng số (không ngẫu nhiên) Chẳng hạn Sα ( 0, 0, μ ) với mọi α ∈ ( 0, 2 ) 25 1.5.2 Quá trình ngẫu nhiên ổn định Định nghĩa 1.5.5 (Quá trình ổn định) n Cho Xt là một quá trình Levy xác định trên Quá trình Xt được gọi là ổn định (ổn định ngặt) nếu phân phối... suất Định nghĩa 1.2.4 (Tích phân theo quá trình Levy) Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong n nêu ra trong tính chất trên là tích phân ngẫu nhiên của hàm f (s) đo được và bị chặn trên ⎡t0 , t1 ⎤ theo quá trình Levy {Zt : t ≥ 0} , và ta kí hiệu ⎣ ⎦ X = t1 ∫ f (s)dZ s (1.7) t0 Các tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Levy có tính chất đặc biệt sau: Tính chất 1.2.5 Nếu f (s) là hàm đo được và bị chặn địa phương... ( t ) − X ( s)) Phân phối ổn định và quá trình ngẫu nhiên ổn định 1.5.1 Phân phối ổn định Định nghĩa 1.5.1 Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối ổn định nếu với mọi số dương A và B , tồn tại số dương C và số thực D sao cho d AX1 + BX2 = CX + D (1.37) trong đó X1 , X2 là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối với X d ( Kí hiệu = có nghĩa là bằng nhau theo phân phối) • Nếu D... 1 ) ; t ≥ 0 là chuyển động Brown n - chiều và độ T 1 đo ngẫu nhiên Poisson n2 - chiều: ( ) T N ( dt , dz ) = N1 (dt, dz1 ), , N n (dt, dzn ) ; t ≥ 0 2 2 trong đó ( ) z = z1 , , zn ∈ ( 2 0 ) n2 , 0 = \ {0} ; n1 , n2 ∈ Định nghĩa 1.3.1 (Định nghĩa quá trình Itô - Levy nhiều chiều) Quá trình Itô - Levy n-chiều X (t ), t ≥ 0 là quá trình ngẫu nhiên với vi phân có dạng dX (t ) = α(t, ω)dt + β(t, ω)dW (t... với 0 ≤ s < t < ∞ thì Xt = X s + Xt −s , trong đó Xt −s là một bản sao độc lập của Xt −s Vì Xt −s là dương ngặt với xác suất 1, tức Xt > X s hầu khắp nên quá trình Gamma là một ví dụ của quá trình Levy với đường dẫn không âm hầu khắp 4 1.2 Tích phân theo quá trình Levy Tính chất 1.2.1 Cho {Xt : t ≥ 0} là quá trình Levy trên R n với phân phối L ( X1 ) = μ 0 Khi đó ta sẽ có: { E exp i x , Xt } = μ ( x... Poisson với kì vọng ct Ví dụ 3 (Quá trình Poisson phức hợp) ( ) Cho c > 0 và σ là phân phối thỏa σ {0} = 0 Nếu Levy trên d {X t : t ≥ 0} là một quá trình thì với mỗi t > 0 , Xt có phân phối Poisson phức hợp là: E ⎡e ⎢ ⎣ i z, X (t ) ( ( ) ) ⎤ = exp ct σ(z) − 1 , z ∈ ⎥ ⎦ d Ví dụ 4 (Quá trình Gamma) Nếu X = { Xt : t ≥ 0 } là quá trình Gamma, do tính chất số gia dừng, độc lập ta có với 0 ≤ s < t < ∞ thì... Phương trình Langevin Trước khi nghiên cứu về phương trình Langevin, chúng ta sẽ giới thiệu vài nét về phương trình vi phân hình học, phương trình vi phân tuyến tính và nghiệm của chúng 1.3.1 Phương trình vi phân hình học và nghiệm của nó Phương trình vi phân hình học là phương trình có dạng: dX (t ) = α(t ) X (t )dt + β(t ) X (t )dWt (1.8) trong đó α(t ), β(t ) là các hàm số của t; Wt là quá trình. .. [0, T ] × Ω → n×n2 : [0, T ] × ( n 0 )2×Ω → là những quá trình ngẫu nhiên khả đo n với t ≥ 0, z ∈ ( 12 n n 0 n×n2 ) 2 thỏa điều kiện (1.16) ⎛ ∑ ∫ ⎜ αi (t, ω) + ⎜ i =1 0 ⎝ n t n2 ⎞ k =1 n1 ⎠ ∑ β ij (t, ω) + ∑ γ 2ik (t, zk , ω)ν k (dzk ) ⎟dt ⎟ 2 j =1 < ∞ h.c (1.17) trong đó ν k (dzk ), k = 1, , n2 là những độ đo Levy tương ứng với các độ đo ngẫu nhiên Poisson bù N k ( dt, dzk ) = N k ( dt , dzk ) − . 2.2 Quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck dừng 32 iv 2.3 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu nhiên độc lập phân tán 38 Chương III Quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck. 1.5.2 Quá trình ngẫu nhiên ổn định 26 Chương II Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu nhiên độc lập phân tán 2.1 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck. thức cơ bản. • Chương II: Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu nhiên độc lập phân tán. • Chương III: Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck không ngặt.