ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ HỮU KỲ SƠN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN: TÍNH TRƠN VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ HỮU KỲ SƠN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN: TÍNH TRƠN VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN MINH THUYẾT Đại học Kinh Tế Thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Giải Tích Trang 3 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng kính gửi đến Thầy TS. Trần Minh Thuyết lời cảm ơn sâu sắc nhất về sự tận tâm hướng dẫn và chỉ bảo của thầy trong suốt quá trình làm luận văn. Qua đó tôi đã học được từ thầy nhiều điều bổ ích. Xin trân trọng cảm ơn Thầy TS. Nguyễn Thành Long đã tạo điều kiện cho tôi tham gia nhóm học thuật, đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi. Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy - Cô trong hội đồng chấm luận văn Thạc só đã dành thời giờ quý báu để đọc và góp ý cho luận văn của tôi. Xin chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô thuộc Khoa Toán - Tin Trường, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, đã tận tình truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Xin chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô thuộc Phòng quản lý sau Đại Học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi có thể hoàn tất khóa học. Xin cảm ơn anh Phạm Thanh Sơn đã rất nhiệt tình, động viên, quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Xin cảm ơn các bạn lớp cao học giải tích khóa 18 đã động viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt khóa học. Lời thân thương nhất xin được gởi đến gia đình tôi và người bạn gái, nơi đã động viên, lo lắng, tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo quý báu của quý Thầy - Cô và những đóng góp của các bạn đồng môn. Trân trọng và chân thành cảm ơn. Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 3 Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 11 năm 2010 Tác giả Lê Hữu Kỳ Sơn MỤC LỤC Lời nói đầu 7 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 1.1 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Không gian hàm L p (0, T; X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Phân bố có trò vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Đạo hàm trong L p (0, T; X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Bổ đề về tính compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Bổ đề về sự hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7 Bổ đề Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.8 Đònh lý Ascoli-Arzela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.9 Đònh lý Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN VỚI NHÓM ĐIỀU KIỆN THỨ NHẤT 20 5 Trang 6 Luận văn toán học 3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN VỚI NHÓM ĐIỀU KIỆN THỨ HAI 33 4 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM YẾU THEO BA THAM SỐ BÉ (λ, λ 0 , λ 1 ) 42 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 58 Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 6 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số không gian hàm Trong toàn bộ luận văn này, ký hiệu Ω = (0, 1), Q T = Ω ×(0, T ), T > 0 và bỏ qua các đònh nghóa về các không gian hàm C m (Ω), L p (Ω), W m,p (Ω) (chi tiết có thể xem trong [3]). Để cho gọn, ta ký hiệu lại như sau: L p ≡ W 0,p (Ω), W m,p ≡ W m,p (Ω), H m ≡ W m,2 (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, m ∈ N Ta cũng dùng các kí hiệu u(t), u  (t) ≡ u t (t) ≡ ˙u(t), u  (t) ≡ u tt (t) ≡ ¨u(t), u x (t), u xx (t) để chỉ lần lượt u(x, t), ∂u ∂t (x, t), ∂ 2 u ∂t 2 (x, t), ∂u ∂x (x, t), ∂ 2 u ∂x 2 (x, t). Ta ký hiệu ·, · để chỉ tích vô hướng trên không gian L 2 được xác đònh bởi u, v =  1 0 u(x)v(x)dx, ∀u, v ∈ L 2 , (1.1) và || ·|| là chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1), tức là ||u|| =  u, u =   1 0 u 2 (x)dx,  1 2 ∀u, v ∈ L 2 (1.2) Ta cũng ký hiệu ·, · H  ,H để chỉ cặp tích đối ngẫu giữa một phiếm hàm tuyến tính liên tục 12 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Giải Tích Trang 13 trên không gian Hilbert với một phần tử thuộc không gian đó. Ta đònh nghóa các không gian Hilbert H 1 , H 2 lần lượt là H 1 = {v ∈ L 2 : v x ∈ L 2 }, (1.3) H 2 = {v ∈ L 2 : v x , v xx ∈ L 2 }, (1.4) với tích vô hướng được đònh nghóa tương ứng là ·, · H 1 và ·, · H 2 , xác đònh bởi u, v H 1 = u, v + u x , v x , (1.5) u, v H 2 = u, v + u x , v x  + u xx , v xx . (1.6) Ta cũng kí hiệu ||·|| H 1 , ||·|| H 2 để chỉ chuẩn trên H 1 , H 2 cảm sinh bởi tích vô hướng (1.5) và (1.6) tức là ||u|| H 1 =  ||u|| 2 + ||u x || 2  1 2 , ∀u ∈ H 1 , (1.7) ||u|| H 2 =  ||u|| 2 + ||u x || 2 + ||u xx || 2  1 2 , ∀u ∈ H 2 . (1.8) Khi đó, ta có bổ đề sau Bổ đề 1.1. Phép nhúng H 1 → C 0 (Ω) là compact và ||v|| C 0 (Ω) ≤ √ 2||v|| H 1 , ∀v ∈ H 1 . (1.9) Chứng minh Với mọi v ∈ H 1 , ∀x, y ∈ [0, 1], ta có |v(x)| = |v(y) +  x y v t (t)dt| ≤ |v(y)|+  1 0 |v x (x)|dx. (1.10) Do đó v 2 (x) ≤ 2v 2 (y) + 2  1 0 |v x (x)| 2 dx = 2v 2 (y) + 2||v x || 2 . (1.11) Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 13 Trang 14 Luận văn toán học Tích phân (1.11) theo biến y, cận từ 0 đến 1, ta được v 2 (x) ≤ 2||v|| 2 + 2||v x || 2 = 2||v|| 2 H 1 . (1.12) Suy ra |v(x)| ≤ √ 2||v|| H 1 , (1.13) do đó ||v|| C 0 (Ω) ≤ √ 2||v|| H 1 , ∀v ∈ H 1 . (1.14) Bổ đề 1.1 được chứng minh xong. Bổ đề 1.2. Đồng nhất L 2 với không gian đối ngẫu (L 2 )  của nó. Khi đó ta có H 1 → L 2 ≡ (L 2 )  → (H 1 )  với các phép nhúng liên tục và trù mật. Chứng minh Dễ thấy H 1 nhúng liên tục và trù mật trong L 2 theo (1.3). Ta chứng minh L 2 nhúng liên tục trong (H 1 )  bằng ánh xạ T nào đó và T(L 2 ) trù mật trong (H 1 )  . Đầu tiên, với mỗi ω ∈ L 2 ta dễ dàng thấy ánh xạ T ω : H 1 −→ R v −→ T ω (v) =  1 0 ω(x)v(x)dx (1.15) tuyến tính liên tục trên H 1 . Do đó T ω ∈ (H 1 )  . Xét ánh xạ T : L 2 −→ (H 1 )  ω −→ T (ω) ≡ T ω (1.16) trong đó T ω được xác đònh ở (1.15) và T ω , v (H 1 )  ,H 1 = ω, v. Ta sẽ chứng minh T thỏa các tính chất sau: Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 14 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Giải Tích Trang 15 (T 1 ) T là đơn ánh, tuyến tính, (T 2 ) T liên tục trên L 2 , (T 3 ) T (L 2 ) trù mật trong (H 1 )  . Chứng minh (T 1 ) Dễ thấy T tuyến tính trên L 2 . Giả sử T (ω) = T ω = 0, suy ra T ω , v (H 1 )  ,H 1 = ω, v = 0, ∀v ∈ H 1 . (1.17) Mặt khác, H 1 trù mật trong L 2 nên ta viết lại (1.17) rằng ω, v = 0, ∀v ∈ L 2 . (1.18) Từ (1.18), suy ra ω = 0. Vậy T là đơn ánh, tức T là một phép nhúng từ L 2 vào (H 1 )  . Chứng minh (T 2 ) Do T tuyến tính trên L 2 nên để chứng minh T liên tục trên L 2 ta chỉ cần chứng minh T bò chặn. Thật vậy, với mọi ω ∈ L 2 , ta có ||T ω || (H 1 )  = sup v∈H 1 ,||v|| H 1 =1 |T ω (v)| = sup v∈H 1 ,||v|| H 1 =1 |T ω , v| = sup v∈H 1 ,||v|| H 1 =1 |ω, v| ≤ sup v∈H 1 ,||v|| H 1 =1 ||ω||.||v|| ≤ sup v∈H 1 ,||v|| H 1 =1 ||ω||.||v|| H 1 = ||ω||. (1.19) suy ra L 2 được nhúng liên tục vào trong (H 1 )  . Chứng minh (T 3 ) Ta sẽ chứng minh rằng mỗi phiếm hàm L tuyến tính liên tục trên (H 1 )  và triệt tiêu trên T (L 2 ) thì cũng triệt tiêu trên (H 1 )  . Xem L ∈ (H 1 )  , với L, T ω  (H 1 )  ,(H 1 )  = 0, ∀T ω ∈ T (L 2 ). Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 15 [...]... gian Banach X, T: C → C là ánh xạ liên tục trên C và T (C) là một tập hợp compact trong C Khi đó, T có điểm bất động Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18 Trang 19 CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN VỚI NHÓM ĐIỀU KIỆN THỨ NHẤT Trong chương này, chúng tôi trình bày đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu cho bài toán:   u − u + λ|u|γ−2 u = f (x,... (2.49) 0 với M3 = √ 2 max{||u1 (1, )||H 1 (0,T ) , ||u2 (1, )||H 1 (0,T ) } Từ (2.42)-(2.49), ta có t H(t) ≤ (D1 + D2 + D3 ) H(s)ds 0 Vậy áp dụng đònh lý Gronwall u = 0, hay u1 = u2 (2.50) Tính duy nhất nghiệm của bài toán đã được chứng minh Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18 Trang 32 CHƯƠNG 3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN VỚI NHÓM ĐIỀU KIỆN THỨ... {U [c]}c∈S bò chặn đều Mặt khác, với mọi c ∈ S, ta có thể chứng minh {U [c]}c∈S đồng liên tục bằng kó thuật tương tự như chứng minh (S2 ) Vậy theo đònh lý Ascoli-Arzela thì U (S) compact trong X Và từ đònh lý Schauder, U có điểm bất động Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm Ta nhân cmj vào phương trình thứ j của hệ (2.4), sau đó cộng m phương trình đó lại rồi lấy tích phân cận từ 0 đến t, ta có t Sm (t) =... đúng Khi đó, với mỗi T > 0, bài toán (2.1) tồn tại duy nhất nghiệm yếu u thỏa u ∈ L∞ (0, T ; H 1 ), u ∈ L∞ (0, T ; L2 ), u(0, ·) ∈ H 1 (0, T ), u(1, ·) ∈ H 1 (1, T ) Hơn nữa, nếu α, β, γ ≥ 2 thì nghiệm yếu là duy nhất Chứng minh Chứng minh đònh lý 2.2 gồm nhiều bước Chứng minh đònh lý dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó rút ra các dãy con hội tụ yếu trong các... (0, T ; L2 ) (3.35) Vậy u ∈ L∞ (0, T ; H 2 ) và sự tồn tại nghiệm của bài toán đã được chứng minh Bước 4: Sự duy nhất nghiệm Giả sử u1 và u2 là hai nghiệm yếu của bài toán (3.1) sao cho ui ∈ L∞ (0, T ; H 2 ), ui ∈ L∞ (0, T ; H 1 ), ui ∈ L∞ (0, T ; L2 ), ui (0, ·) ∈ H 2 (0, 1), ui (1, ·) ∈ H 2 (0, 1) (3.36) (3.37) Khi đó u = u1 − u2 là nghiệm yếu của bài toán biến phân u (t), v u(t), v + λ ψγ (u1 (t))... 29 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Giải Tích Bước 4: Chứng minh sự duy nhất nghiệm Để chứng minh tính duy nhất của nghiệm yếu bài toán, ta thay giả thiết A3 bởi A3 và có bổ đề sau: (A3 ) α ≥ 2, β ≥ 2, γ ≥ 2 Ta cần dùng bổ đề sau đây, mà chứng minh nó có thể tìm thấy trong [12] Bổ đề 2.3 Giả sử u là nghiệm yếu của bài toán   u − u + F = 0, 0 < x < 1, 0 < t < T,  xx 1      u (0, t) = P... Schauder và Ascoli-Arzela được sử dụng trong việc chứng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin Bước 1: Xấp xỉ Galerkin Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18 Trang 21 Trang 22 Luận văn toán học Xét wj là một cơ sở trực chuẩn của H 1 Ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (2.1) dưới dạng m um (t) = cmj (t)wj , (2.3) j=1 trong đó, các hàm hệ số cmj thỏa hệ phương trình vi phân phi. .. cơ sở đếm được của H 2 Ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (3.1) dưới dạng m um (t) = cmj (t)wj , (3.2) j=1 trong đó các hàm hệ số cmj thỏa hệ phương trình vi phân thường (2.4), trong đó m αmj wj → u0 mạnh trong H 2 , (3.3) βmj wj → u1 mạnh trong H 1 u0m = (3.4) j=1 m u1m = j=1 Từ giả thiết (B1 ) - (B3 ) thì hệ (2.4) có nghiệm um trên [0, Tm ] Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm Đánh giá tiên nghiệm lần I Tương... (s)u (0, s) ds + 2 0 P1 (s)u (1, s) ds 0 t + F1 (s), u (s) ds = 0, a.e t ∈ [0, T ] 2 (2.37) 0 Giả sử u1 và u2 là hai nghiệm yếu của bài toán (2.1) sao cho   u ∈ L∞ (0, T ; V ), u ∈ L∞ (0, T ; L2 ), i i  u (0, ·), u (1, ·) ∈ H 1 (0, T ), i = 1, 2 i (2.38) i Thì u với u = u1 − u2 là nghiệm yếu của bài toán sau:   u (t) − u (t) + λ( |u |γ−2 u − |u |γ−2 u ) = 0, 0 < x < 1, 0 < t < T,  xx 1 1 2 2... (0, T ; X) do đó f và df dt là phần tử của D (0, T ; X) Ta có bổ đề sau Lê Hữu Kỳ Sơn - Cao học Giải Tích K18 Trang 17 Trang 18 Luận văn toán học Bổ đề 1.9 [4, Lions] Nếu f, df ∈ Lp (0, T ; X), 1 ≤ p ≤ +∞ thì f bằng hầu hết với một hàm dt liên tục từ [0, T ] vào X 1.5 Bổ đề về tính compact Cho B0 , B, B1 là các không gian Banach với B0 ⊂ B ⊂ B1 với các phép nhúng . MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ HỮU KỲ SƠN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN: TÍNH TRƠN VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí. MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ HỮU KỲ SƠN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN: TÍNH TRƠN VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán. TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN VỚI NHÓM ĐIỀU KIỆN THỨ NHẤT 20 5 Trang 6 Luận văn toán học 3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN VỚI NHÓM ĐIỀU KIỆN THỨ HAI 33 4 KHAI TRIỂN TIỆM