ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRỊNH NGỌC PHÚC LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ HỆ SỐ BIẾN THIÊN Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60.46.01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN MINH THUYẾT ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HỒ CHÍ MINH Thành phố Hồ Chí Minh Năm 2009 1 LỜI CÁM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến người Thầy hướng dẫn của tôi: TS.Trần Minh Thuyết. Tôi đã may mắn được làm việc và học tập dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Thầy trong một thời gian dài, qua đó tôi học được nhiều điều bổ ích. Tôi xin tỏ lòng biết ơn Thầy TS. Nguyễn Thành Long đã tạo điều kiện cho tôi tham gia nhóm h ọc thuật, giúp đở rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn cũng như giới thiệu cho tôi gặp được Thầy hướng dẫn. Tôi xin gởi lời cám ơn Thầy TS. Nguyễn Công Tâm và Cô, TS. Lê Thị Phương Ngọc và các Thầy trong hội đồng chấm luận văn đã cho tôi những nhận xét quý báu. Xin trân trọng cám ơn Quý Thầy Cô Khoa Toán, Phòng Quản Lý Sau Đại Học, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên đã giảng dạy và tạ o điều kiện cho tôi hoàn tất khóa học. Tôi xin cám ơn các Anh Phạm Thanh Sơn, Nguyễn Văn Ý, Chị Trương Thị Nhạn, bạn Hồ Ngọc Kỳ, đã góp ý và giúp đở cho tôi rất nhiều. Cuối cùng, tôi xin gởi tặng luận văn này cho gia đình và những người thương yêu của tôi. Tp Hồ Chí Minh ngày tháng năm 2009 Trịnh Ngọc Phúc 2 MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN 1 MỤC LỤC 2 Chương 0. PHẦN TỔNG QUAN 3 Chương 1. CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 6 Chương 2. SỰ TỒN TẠI TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 11 Chương 3. KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM 36 Chương 4. MINH HỌA BẰNG VÍ DỤ CỤ THỂ 54 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 3 Chương 0 PHẦN TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tôi xét một số bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến có hệ số biến thiên thuộc dạng dưới đây: ( () ) () () (,,, , ),0 1,0 , tt x t x t uxuxuKxuFxtuuuxtT x      (0.1) (0, ) (1, ) 0,ut ut (0.2) 01 (,0) (), (,0) (),ux u x ux u x   (0.3) trong đó 01 ,,,,,uu KF    là các hàm cho trước thoả các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Trong [7], Ficken và Fleishman đã chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định nghiệm của phương trình 3 12 2, xx tt t uu u uub      với 0   bé. (0.4) Trong [12], Rabinowitz đã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình 1 2(,,,,), xx tt t x uu u Fxtuuu     (0.5) trong đó  là tham số bé, F tuần hoàn theo thời gian. Trong [4], Caughey và Ellison đã hợp nhất các xấp xỉ trong các trường hợp trước đây để bàn về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định tiệm cận của nghiệm cổ điển cho một lớp các hệ đông lực phi tuyến liên tục. Trong [5], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu tiệm cận khi 0   của nghiệm yếu của bài toán (0.1)-(0.3), trong đó số hạng phi tuyến có dạng (, ).FFtu   (0.6) Bằng sự tổng quát hóa [5], Alain Phạm và Long [6] đã xét bài toán (0.1)-(0.3) với số hạng phi tuyến có dạng 4 (, , ). t FFtuu   (0.7) Nếu 2 ([0, ] ) N FC thỏa (,0,0) 0Ft  với mọi 0t  , các tác giả đã thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (0.1)-(0.3) đến cấp 1N  theo  , với  đủ nhỏ, mà điều này đã nới rộng kết quả cho phương trình đạo hàm riêng từ phương trinh vi phân thường [3]. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của bài toán (0.1)-(0.3). Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kĩ thuật hội tụ yếu và tính compact. Nhờ kết quả này chúng tôi tiến đến khảo sát bài toán nhiễu cấp cao theo mộ t tham số bé  , trong đó số hạng nhiễu là số hạng phi tuyến trên phương trình cùng dạng và ở biểu thức của điều kiện đầu như bài toán sau: ()P  01 (() ) () () (,,, ,), 01,0 , (0, ) (1, ) 0, (,0) (), (1,) (). uxuxuKxuFxtuuu x xtT ut ut ux u x u t u x eeee ml ì ï ¶ ï -++= ï ï ¶ ï ï ï ï << << ï ï í ï ï ï == ï ï ï ï ï == ï ï î      với xt xt xt xx xxx x Kx Kx Kx F xtuu u Fxtuu u F xtuu u ee e e m m em l l el e e ì ï =+ =+ ï ï ï ï ï =+ í ï ï ï ï =+ ï ï î 11 1 1 () () (), () () (), () () (), (,, , , ) (,, , , ) (,, , , ). trong đó ta giả sử rằng 11 1 00 10 13 3 1 ,, ([0,1] ), ([0,1] ). NN uHHuH FC FC              và thỏa một số điều kiện phụ. Luận văn này sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán ()P  theo tham số bé, tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức theo  : 5 0 ˆ (,) (,) , N K k k uxt U xt     theo nghĩa cần chỉ ra các hàm ˆ (,),( 0,1, , ) k Uxt k N và thiết lập đánh giá theo dạng 1 2 0 1 00 (0, ; ) (0, ; ) ˆ ˆ , NN N kk k kT kk LTH LTL uU uU C tt            với  đủ bé, hằng số T C độc lập với tham số  Luận văn được trình bày theo các chương sau: Chương 0, phần tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn. Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về phép nhúng compact giữa các không gian hàm. Chương 2, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của nghiệm yếu của bài toán (0.1)-(0.3). Chương 3, chúng tôi nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán ()P  theo một tham số  . Chương 4, là minh họa một ví dụ cụ thể về khai triển tiệm cận của nghiệm yếu. Kế đến là phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. 6 Chương 1 CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1. Các không gian hàm thông dụng. Đầu tiên ta đặt các kí hiệu sau (0,1), (0, ), 0 T QTT   và bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng: (), m C  (), p L  (), m H  , (). mp W  Để cho gọn, ta kí hiệu lại như sau: (), pp LL   () mm HH   ,2 (), m W ,, (). mp mp WW ( có thể xem trong [1, 3]). Ta định nghĩa 22 ()LL là không gian Hilbert với tích vô hướng 1 2 0 ,()(), ,.uv uxvxdx uv L  (1.1) Kí hiệu . để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1), nghĩa là 1 1 2 2 2 0 ,(), .uuu uxdxuL       (1.2) Định nghĩa không gian Sobolev cấp 1  122 :.HvLvL    (1.3) Không gian này cũng là không gian Hilbert đối với tích vô hướng 1 ,,,. H uv uv u v   (1.4) Kí hiệu 1 . H để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.4) nghĩa là 11 1 ,, . HH uuuuH (1.5) Ta có bổ đề liên hệ giữa hai không gian 2 L và 1 H sau Bổ đề 1.1. Phép nhúng 1 H ↪ 0 ()C  là compact và 01 1 () 2, . CH vvvH   (1.6) 7 Chứng minh. Xem Adams[1]. Xem (1.6) Ta cũng sử dụng một không gian Sobolev đặc biệt hơn đó là không gian 1 1 1 0 () (). H H c HD C    (1.7) Bổ đề 1.2. Ta có phép nhúng từ 1 0 H ↪ 0 ()C  là compact và 01 0 111 0 1 0 () 1 0 , 1 . 2 x CH x HHH vvvvH vvvvvH            (1.8) Chứng minh bổ đề 1.2 không khó khăn. Một cách đặc trưng khác để xác định 1 0 H là  11 0 :(0) (1) 0.HvHv v   (1.9) Bổ đề 1.3. Đồng nhất 2 L với 2 ()L  (đối ngẫu của 2 L ). Khi đó ta có 1 0 H ↪ 22 ()LL   ↪ 11 0 ()HH    với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật. Chú thích 1.2. Từ Bổ đề 1.3, ta dùng ký hiệu tích vô hướng , trong 2 L để chỉ cặp tích đối ngẫu 11 0 , , HH   giữa 1 0 H và 1 H  . Chuẩn trong 2 L được ký hiệu bởi Ta cũng ký hiệu X  để chỉ chuẩn trong không gian Banach X và gọi X  là không gian đối ngẫu của .X 1.2. Không gian hàm .(0, ; ), 1   p pLTX Cho X là không gian Banach thực với chuẩn là . X  Ta kí hiệu (0, ; ), p LTX 1 p là không gian các lớp tương đương chứa hàm :(0, )uT X đo được sao cho 1 (0, ; ) 0 () , p T p p LTX X uutdt      nếu 1 p   và 8 (0, ; ) 0 sup ( ) , p LTX X tT uessut   nếu .p   Khi đó ta có các bổ đề sau đây mà chứng minh của chúng có thể tìm thấy trong Lions[8]. Bổ đề 1.4. (0, ; ),1   p pLTX là không gian Banach. Bổ đề 1.5. Gọi X  là đối ngẫu của X. Khi đó, với , 1 p p p    1, p  (0, ; ) p LTX   là đối ngẫu của (0, ; ). p LTX Hơn nữa, nếu X phản xạ thì (0, ; ) p LTX cũng phản xạ. Bổ đề 1.6. 1 ( (0, ; )) (0, ; ).LTX L TX     Hơn nữa, các không gian 1 (0, ; ),LTX (0, ; )LTX   không phản xạ. Chú thích 1.3. Nếu ( ) thì (0, ; ) ( (0, )). pp p XL L TX L T  1.3. Phân bố có giá trị trong không gian Banach. Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ ((0, ))DT vào X được gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị trong .X Tập hợp các phân bố có giá trị trong X kí hiệu là ((0, ; ))DTX  = ( ((0, )); )LD T X = {u: ((0, ))DT  X: u tuyến tính}. Chú thích 1.4. Ta kí hiệu (0, )DT thay cho ((0, ))DT hoặc ((0, )) c CT  để chỉ không gian các hàm thực khả vi vô hạn và có giá compact trong (0, ).T Định nghĩa 1.2. Cho (0, ; ).  uD TX Ta định nghĩa đạo hàm du dt theo nghĩa phân bố của u bởi công thức ,, (0,). du d uDT dt dt      (1.10) Bổ đề 1.7. (0, ; ) (0, ; ) p LTX DTX   với phép nhúng liên tục. Chứng minh của bổ đề 1.7 có thể tìm thấy trong Lions[8]. 9 1.4. Bổ đề về tính compact của Lions. Cho ba không gian Banach 01 , , XXX với 0 X ↪ X ↪ 1 X với các phép nhúng liên tục, sao cho : 01 , X X là phản xạ, (1.11) Phép nhúng 0 X ↪ X là compact (1.12) với 0,1 ,0,1, i Tpi       ta đặt   01 01 (0, ) (0, ; ): (0, ; ) . pp W T v L TX v L TX    (1.13) Ta trang bị cho (0, )WT chuẩn sau 01 01 (0, ) (0, ; ) (0, ; ) . pp WT L TX L TX vv v   (1.14) Khi đó, (0, )WT là không gian Banach. Hiển nhiên (0, )WT↪ 0 (0, ; ). p LTX Ta có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact. Bổ đề 1.9. (Bổ đề về tính compact của Lions[8]). Với giả thiết (1.11), (1.12) và nếu 1, 0,1 i pi thì phép nhúng (0, )WT↪ 0 (0, ; ) p LTX là compact. Chứng minh. Có thể tìm thấy trong Lions[8], trang 57. 1.5. Bổ đề về sự hội tụ yếu trong (). q LQ Bổ đề 1.10. (xem Lion [8]). Cho Q là tập mở, bị chặn của N  và , ( ), 1 q m GGLQ q   sao cho, , q m L GC trong đó C là hằng số độc lập với m và m GG hầu khắp nơi trong Q. Khi đó, m GG yếu trong (). q LQ 1.7. Một số kết quả khác. Bổ đề sau đây liên quan đến một bất phương trình tích phân và nó rất cần thiết cho việc đánh giá tiên nghiệm trong các chương sau. Bổ đề 1.11. (Bổ đề Gronwall). [...]... (k trong đó, các hệ số cmj ) thoả hệ phương trình vi phân thường ( ( ( umk ) (t ), wi  umk ) (t ), wi   umk ) (t ), wi (  Kumk ) (t ), wi  Fm (t ), wi , 1  i  k , ( ( umk ) (0)  u0 k , umk ) (0)  u1k , (2.14) (2.15) trong đó k (k 1  u0 k    mj ) w j  u0 mạnh trong H 0  H 2 , (2.16) j 1 k (k 1  u1k    mj ) w j  u1 mạnh trong H 0 (2.17) j 1 Hệ (2.14)-(2.15) có thể viết thành... (2.35), (2.36) ta có U p [c ] -U p [d ] Y £ q c -d Y , "c, d Î Y Vậy U p : Y  Y là ánh xạ co iii) U có điểm bất động duy nhất trong Y Do toán tử U p : Y  Y là co, nên theo nguyên lý ánh xạ co, suy ra U p có điểm bất động duy nhất trong Y Từ đó cũng suy ra được rằng U có điểm bất động duy nhất trong Y Từ các chứng minh i ), ii ), iii ) và nguyên lý ánh xạ co, ta suy ra rằng hệ (2.22) ( có duy nhất nghiệm...  mk ) Đặt  A  A C (2.21) ta có hệ phương trình tương đương (  ( mk ) (t )  Acmk ) (t )  Bcmk ) (t )  Fm (t ), w , ( c  (k ) (k ) (k ) ( k ) cm (0)   m , cm (0)  m  (2.22) suy ra t r t t r 0 0 0 0 0 ( ( ( ( (  ( cmk ) (t )   mk )  B mk )t   mk )t   dr  Acmk ) ( s )ds   Bcmk ) ( s )ds   dr  Fm ( s ), w ds (2.23) Ta bỏ qua các chỉ số m, k trong cách viết và viết c(t... ( A1 )  ( A3 ) là đúng Khi đó với các hằng số M  0, T  0 thoả (2.82)-(2.85) thì bài toán (2.1)-(2.2) có duy nhất nghiệm yếu u W1 ( M , T ) Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính um  được xác định bởi (2.9)-(2.11) hội tụ mạnh về nghiệm u trong không gian hàm 1  W1 (T )  v  L (0, T ; H 0 ) : v  L (0, T ; L2 ) (2.103) Hơn nữa ta cũng có đánh giá sai số vm  v 1 L (0,T ; H 0 )    vm  v L... cách viết và viết c(t ),  ,  lần lượt thay cho ( ( ( cmk ) (t ),  mk ) ,  mk ) Khi đó, ta viết lại phương trình (2.23) như sau t r t t r 0 0 0 0 0  c(t )    B t   t   dr  Ac( s )ds   Bc ( s )ds   dr  Fm ( s ), w ds (2.24) Bổ đề 2.2 Giả sử ( A1 )  ( A3 ) đúng Khi đó hệ (2.22) có nghiệm ( ( (k cmk )  (cmk1) , , cmk) ) trên 0  t  T Chứng minh bổ đề 2.2 14 Ta đặt Y = C 0 ([0,T... j (1)  Fm (0)w j (0)   Fm (t )w j dx 0   Fm (t ), w j (2.51) Khi đó, phương trình (2.46) trở thành ( ( ( ( umk ) (t ), w j  umk ) (t ), w j  umk ) (t ), w j  umk ) (t ), w j ( ( (  umk ) (t ), w j  Kumk ) (t ), w j  K umk ) (t ), w j  Fm (t ), w j , 1  j  k , (2.52) ( Từ phương trình (2.52) thay w j bởi umk ) , sau dó lấy tích phân theo t t t 0 0 ( ( (... 0 0 sao cho, với u 0 = u 0 , tồn tại một dãy quy nạp tuyến tính {um } Ì W1(M ,T ) xác định bởi (2.8)-(2.11) Chứng minh.Gồm nhiều bước Bước 1 Xấp xỉ Galerkin 12 1 Giả sử {w j } với w j (x ) = 2 sin( j px ), j Î  là cơ sở đặc biệt của H 0 gồm các hàm riêng w j của toán tử -D = ¶2 sao cho ¶x 2 1 -Dw j = ljw j , w j Î H 0 (2.12) Dùng phương pháp xấp xỉ Galerkin... T )  exp C3T 0 0   (2.81) Nhờ vào (2.15)-(2.17), (2.78) ta suy ra rằng tồn tại một hằng số M  0 , độc lập với k , m , sao cho (1  1 0 )C1  M2 , k , m, 2 (2.82) Chú ý rằng từ giả thiết ( A2 ), ta có lim T K i ( M , T , F )  0, i  0,1 (2.83) T 0 Khi đó từ (2.81)-(2.83), ta luôn chọn được hằng số T  0 sao cho M2  1  (1  )C2 ( M , T )  exp(C3T )  M 2 ,  0  2  (2.84) và KT  (1 . TRỊNH NGỌC PHÚC LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ HỆ SỐ BIẾN THIÊN Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60.46.01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC . PHẦN TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tôi xét một số bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến có hệ số biến thiên thuộc dạng dưới đây: ( () ) () () (,,, , ),0. các hệ đông lực phi tuyến liên tục. Trong [5], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu tiệm cận khi 0   của nghiệm yếu của bài toán (0.1)-(0.3), trong đó số hạng phi tuyến