Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12 Năm học: 2012-2013 PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM §1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b) 1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x 1 , x 2 ∈(a,b) mà x 1 <x 2 thì f(x 1 )<f(x 2 ). 2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x 1 , x 2 ∈(a,b) mà x 1 <x 2 thì f(x 1 )>f(x 2 ). 3) x 0 ∈(a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tạ đó f’(x) khơng nh hay bằng 0. II. Định lý: 1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại một điểm c∈(a,b) sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) '( ).( ) '( ) f b f a f b f a f c b a hay f c b a − − = − = − 2) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b). • Nếu f’(x)>0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b). • Nếu f’(x)<0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b). (Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng). CÁC DẠNG BÀI TẬP Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng xác đònh): y / ≥ 0 ∀x ∈ R    ≤∆ > 0 0a Giải tìm m  Chú ý:Nếu hệ số a của y / có chứa tham số thì phải xét khi a = 0 • Tương tự cho hàm số giảm : y / ≤ 0 ∀x∈ R    ≤∆ < ⇔ 0 0a 2.Hàm số nhất biến : dcx bax y + + =  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác đònh : y / > 0 ( y / < 0 ) . Giải tìm m  Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0 B. CÁC BÀI TẬP : Bài 1: Cho hàm số 3 2 3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − + . a) Khảo sát hàm số khi m=1. b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. c) Định m để hàm số giảm trên (1,4). Bài 2: Cho hàm số 2 2y x x= − a) Tính y’’(1) b) Xét tính đơn điệu của hàm số. Bài 3: Cho hàm số 1 2 mx y x m − = + a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2. b) Xác định m để đồ thi hàm số khơng cắt đường thẳng x=-1. c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số ln đồng biến trên khoảng xác định của nó. Bài 4: Chứng minh rằng a) x > sinx ∀x ∈ (-π/2,π/2). 1 Chun đề 1 : Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12 Năm học: 2012-2013 b) 1 2 x R x e x + ≥ + ∀ ∈ . c) x>1 ln x e x ≥ ∀ . Bài 5 : Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm : 5 3 2 1 0x x x− + − = §2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x 0 ∈(a,b) . • Điểm x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x 0 ta có f(x) < f(x 0 ) (x ≠ x 0 ). • Điểm x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x 0 ta có f(x)>f(x 0 ) (x ≠ x 0 ). 2. Điều kiện để hàm số có cực trị: Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x 0 ∈(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x) = 0. Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ) a) Nếu f’(x 0 ) > 0 trên khoảng (x 0 ; x 0 ); f’(x) < 0 trên khoảng (x 0 ; x 0 + δ) thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x 0 - δ; x 0 ) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x 0 ; δ+ x 0 ) thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x 0 , đạo hàm đổi dấu thì điểm x 0 là điểm cực trị. Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x 0 và f’(x 0 ) = 0, f''(x o ) ≠ 0 thì x o là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa 1) Nếu f”(x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu. 2) Nếu f”(x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại. Nói cách khác: 1) f’(x 0 ) = 0, f”(x 0 ) > 0 ⇒ x 0 là điểm cực tiểu. 2) f’(x 0 ) = 0, f”(x 0 ) < 0 ⇒ x 0 là điểm cực đại. • Tìm m để hàm sốá có cự c đại , cực tiểu  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y / = 0 có hai nghiệm phân biệt    >∆ ≠ 0 0a  Giải tìm m • Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trò  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Giải phương trình y / = 0 tìm nghiệm x 0  Đạo hàm y // .Tính y // (x 0 ) * Nếu y // (x 0 ) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x 0 * Nếu y // (x 0 ) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x 0 • Tìm m để hàm số đạt cực trò tại x 0 Cách 1:  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Hàm số đạt cực trò tại x 0 : y / (x 0 ) = 0 y / đổi dấu khi x qua x 0  Chú ý : • Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 : y / (x 0 ) = 0 y / đổi dấu từ “ – “ sang “ + ” • Hàm số đạt cực đại tại x 0 : y / (x 0 ) = 0 y / đổi dấu từ “ + “ sang “ – ” 2 Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12 Năm học: 2012-2013 Cách 2:  Tập xác đònh  Đạo hàm y /  Đạo hàm y //  Hàm số đạt cực trò tại x 0 :    ≠ = 0)( 0)( 0 // 0 / xy xy  Cực đại: { y / (x 0 ) = 0 và y // (x 0 ) < 0 }  Cực tiểu : { y / (x 0 ) = 0 và y // (x 0 ) > 0 } • Hàm số đạt cực trò bằng y 0 tại x 0  Tập xác đònh  Đạo hàm y / = f / (x)  Hàm số đạt cực trò bằng y 0 tại x 0 khi      ≠ = = 0)( )( 0)( 0 // 00 0 / xf yxf xf B . CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Cho hàm số 4 2 2 2 1y x mx m= − + − + (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hồnh. c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1). Bài 2: Cho hàm số 2 2 4 2 x mx m y x + − − = + a) Khảo sát hàm số khi m=-1. b) Xác định m để hàm số có hai cực trị. Bài 3: Cho hàm số mmxxmxy 26)1(32 23 −++−= a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hồnh là tiếp tuyến của (C). b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó. Bài 4: Cho hàm số 2 2 2 1x kx k y x k − + + = − với tham số k. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1 2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số giao điểm của (C) và (d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A. 3)Chứng minh với mọi k đồ thị ln có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0. Bài 5: Định m để hàm số 3 2 2 1 ( 1) 1 3 y x mx m m x= − + − + + đạt cực tiểu tại x = 1. Bài 6: Cho hàm số 2 1 x x m y x − + = + Xác định m sao cho hàm số. a) Có cực trị. b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau. Bài 7: Cho hàm số 3 2 ( ) 3x 3 x+3m-4y f x x m= = − + − a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m. b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu: 0 0 : ( ) : ( ) x D f x M x D f x M ∀ ∈ ≤ ∃ ∈ = (ký hiệu M=maxf(x) ) Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu: 3 Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Năm học: 2012-2013 0 0 : ( ) : ( ) x D f x m x D f x m ∀ ∈ ≥ ∃ ∈ = (ký hiệu m=minf(x) ) 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b) + Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b) + Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b) 3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b]. + Tìm các điểm tới hạn x 1 ,x 2 , , x n của f(x) trên [a,b]. + Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), , f(x n ), f(b). + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên [ , ] [ , ] max ( ) ; min ( ) a b a b M f x m f x= = B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) 3 2 2 3 1y x x= + − trên [-2;-1/2] ; [1,3). b) 2 4y x x= + − . c) 3 4 2sinx- sin 3 y x= trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ) d) 2 os2x+4sinxy c= x∈[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ) e) 2 3 2y x x= − + trên đoạn [-10,10]. Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 y= x 1 3x 6x 9 + + − + + trên đoạn[-1,3]. ℑ4. TIỆM CẬN A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Tiệm cận đứng: Nếu 0 lim ( ) x x f x → = ∞ thì đường thẳng (d) có phương trình x= x 0 là tiệm cân đứng của đồ thị (C). 2) Tiệm cận ngang: Nếu 0 lim ( ) x f x y →∞ = thì đường thẳng (d) có phương trình y= x 0 là tiệm cân ngang của đồ thị (C). 3) Tiệm cận xiên: Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là lim [ ( ) (ax+b)] 0 x f x →+∞ − = hoặc lim [ ( ) (ax+b)] 0 x f x →−∞ − = hoặc lim[ ( ) (ax+b)] 0 x f x →∞ − = . 4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b. x ( ) lim b= lim[ ( ) ax] x f x a f x x →∞ →∞ = − . B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1: 1. Khảo sát hàm số . 2 4 5 2 x x y x − + − = − 2. Xác định m để đồ thị hàm số 2 2 ( 4) 4 5 2 x m x m m y x m − − − + − − = + − có các tiệm cận trùng với các tiệm cận của đồ thị hàm số khảo sát trên. (TN-THPT 02-03/3đ) Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số a) 2 1y x= − b) 3 2 1 1 x x y x + + = − c) 2 3 1 1 2 x x y x + + = − .d) 2 2 1 3 2 5 x x y x x + + = − − PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số : Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ 4 Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Năm học: 2012-2013 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Tính lồi lõm, điểm uốn, - Giới hạn - Bảng biến thiên 3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Giới hạn, tiệm cận - Bảng biến thiên 3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.  Các dạng đồ thị hàm số:  Hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)  Hàm số trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)  Hàm số nhất biến : )bcad( dcx bax y 0≠− + + =  Hàm số hữu tỷ (2/1) : 2 1 1 ax bx c y a x b + + = + (tử, mẫu không có nghiệm chung, ) 5 x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ? x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ? x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ? x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ? y I x y O Dạng 2: h/số nghịch biếnDạng 1: h/số đồng biến xO I x y O • I x y O • I Dạng 2: hàm số không có cực trị x y O • I x y O • I Dạng 1: hàm số có cực trị Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Năm học: 2012-2013 Phần III: ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình: f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1) + Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát + Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox. Các bước giải Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bảng sau: Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận: Ví dụ 1: 1. Biện luận phương trình 3 2 1 3 x x − = m ( dùng bảng 1) 2. Biện luận phương trình 3 2 1 3 x x− = 3m -2 ( dùng bảng 2) 3. Biện luận phương trình 3 2 1 3 x x − = 3 2 1 3 m m− ( dùng bảng 3) Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay. Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo các công thức: • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b) → Ta sử dụng công thức b a S f x dx= ∫ ( ) (I) • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), y = g(x) / [a;b] → Ta sử dụng công thức b a S f x g x dx = − ∫ ( ) ( ) (II) • Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox. → Ta dùng công thức [ ] 2 b a V f x dx π = ∫ ( ) (III) • Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy. → Ta dùng công thức [ ] 2 = ∫ b a V g y dy( ) π (IV) Đặc biệt hóa trong các trường hợp khi cần thiết hoặc phù hợp với một đề bài cụ thể, đồng thời nắm được các bước cơ bản khi giải dạng toán này:  Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng:  Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox).  Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm).  Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b]. (hay dấu của f(x) – g(x) /[a;b]).  Biết các bước trình bày bài giải và tính đúng kết quả.  Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:  Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)  Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả. Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = e x , y = 2 và đường thẳng x = 1. Giải: (0,75 đ) Ta có: e x = 2 ⇔ x = ln2 6 Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Năm học: 2012-2013 Diện tích hình phẳng cần tìm S = ( ) 1 1 ln2 ln2 2 2 x x e dx e dx− = − ∫ ∫ (0,25 đ) = ( ) 1 ln2 2 ( 2) (2 2ln 2) 2ln 2 4 x e x e e− = − − − = + − (đvdt) (0,25đ + 0,25đ) Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x 3 – 3x 2 và trục Ox. Giải: Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Từ đồ thị ta có: 3 3 3 2 3 2 0 0 3 ( 3 )S x x dx x x dx= − + = − + ∫ ∫ 3 4 3 0 4 x x   = − +  ÷   = 27/4 ( đvdt) Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2) Bài 1: Cho hàm số y = x 3 – mx + m + 2. có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát hàm số khi m = 3. b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x 3 – 3x – k +1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3. Bài 2: Cho hàm số y = x 3 – 2x 2 – (m - 1)x + m = 0 a) Xác định m để hàm số có cực trị. b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C). c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA. Bài 3: Cho hàm số y = (x +1) 2 (x –1) 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x 2 – 1) 2 – 2n + 1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Bài 4: Cho hàm số mx mxm y − +− = )1( (m khác 0) và có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C 2 ). b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C 2 ), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x = 4. Bài 5: Cho hàm số 1 2 + +− = x xx y a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành. c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Bài 6: Cho hàm số 4 4 2 − +− = mx mxx y a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C 2 ). b) Dùng đồ thị (C 2 ) giải và biện luận phương trình : x 2 – 2(k + 1)x + 4(k + 1) = 0. c) Tính diện tích hình phẳng của hình (H) giới hạn bởi: (C 2 ), trục Ox, trục Oy, và đường thẳng x = 1. d)* Tính thể tích hình tròn xoay do (H) quay 1 vòng xung quanh Ox tạo ra. Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong : y = 2 4 1 x ; y = xx 3 2 1 2 +− . Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x 2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox. 7 Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12 Năm học: 2012-2013 Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y = x 2 và y = x quay quanh Ox. Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) PP: Ta tìm Số giao diểm của hai đường cong (C 1 ) y= f(x) và (C 2 ) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hồnh độ giao điểm f(x) = g(x) (1) • Biện luận số giao điểm của ( C) và d  (d): y = k(x – x A ) + y A = g(x)  Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) • Nếu (*) là phương trình bậc 2 : 1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d) 2) Xét a ≠ 0 : + Lập ∆ = b 2 – 4ac + Xét dấu ∆ và kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt    >∆ ≠ ⇔ 0 0a • Nếu (*) là phương trình bậc 3 : 1) Đưa về dạng (x – x 0 )(Ax 2 + Bx + C) = 0    ==++ = (2) )(0 2 0 xgCBxAx xx 2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x 0 3) Tính ∆ của (2), xét dấu ∆ và kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (2) có 2 n o pb x 1 , x 2 khác x 0 )      ≠ >∆ ≠ ⇔ 0)( 0 0 0 )2( xg A Ví dụ Cho hàm số 1 1 − + = x x y và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong. Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình 1 1 1 −= − + mx x x (điều kiện x khác 1) 0)2( 2 =+−⇔ xmmx 0))2(( =+−⇔ mmxx +Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một điểm +Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và x = 2m m + . Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt (chú ý cả hai nghiệm đều khác 1) Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm. + m ≠ 0 và m ≠ - 2 có hai giao điểm. B ÀI TÂP: Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): 3 2 2 3 2 x x y x= + − và đường thẳng (T): 13 1 ( ) 12 2 y m x − = + . KQ: 1 giao điểm ( m ≤ 27 12 − ), 3 giao điểm ( m > 27 12 − ) Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 khơng cắt đồ thị hàm số 3 4 1 x y x + = − . KQ: -28 < a ≤ 0 Dạng 4: Cực trị của hàm số  u cầu đối với học sinh :  Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:  Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) → khơng có cực trị hoặc có 2 cực trị.  Hàm số bậc 4 dạng : y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) → có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị. 8 Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Năm học: 2012-2013  Hàm số nhất biến dạng: ax+b cx+d =y → chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.  Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng: 2 ax bx c y a 'x b' + + = + → không có cực trị hoặc có 2 cưc trị.  Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x 0 ∈ (a;b) • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x 0 thì hàm số có cực trị tại x = x 0 • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’(x) đổi dấu từ + → – khi x qua x 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x 0 . • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’(x) đổi dấu từ – → + khi x qua x 0 thì hàm số có cực đại tại x = x 0 . (Điều này vẫn đúng khi hsố không có đạo hàm tại x 0 nhưng hàm số có xác định tại đó).  Hoặc: • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’’(x) ≠ 0 thì hàm số có cực trị tại x = x 0 . • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’’(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x 0 . • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’’(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x 0 . Bài tập:1 Định tham số m để: i) Hàm số y = 3 2 1 ( 6) 1 3 x mx m x + + + − có cực đại và cực tiểu.Kết quả: m < - 2 hay m > 3 2i)Hsố y = 2 2 1 x mx mx + − − có cực trị. Kết quả: - 1 < m < 1 3i) Hàm số y = 2x 3 – 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x 1 , x 2 và khi đó x 2 – x 1 không phụ thuộc tham số m. Kết quả : ∀m và x 2 – x 1 = 1 Bài 2: Hàm số y = x 3 – 3x 2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M 1 (x 1 ;y 1 ), M 2 (x 2 ;y 2 ) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng : 1 2 1 2 1 2 ( )( 1) y y x x x x − − − = 2.Kết quả : m < 1 Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số? Yêu cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài toán sau: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M 0 (x 0 ;y 0 ) ∈ (C).  Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y 0 = f’(x 0 ) ( ) 0 x x− hay y – y 0 = k(x – x 0 ) (*)  Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x 0 , y 0 , f’(x 0 ) thay vào (*). Rút gọn ta có kết quả Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(x A ;y A )  Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k: y – y A = k(x – x A ) (1)  Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm: ( ) ( ) '( ) A A f x k x x y f x k = − +   =   Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1). Ta có kết quả. Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến. (hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) ) C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x 0 ( hoành độ tiếp điểm)  Bước 2: Tìm y 0 và thay vào dạng y = k(x – x 0 ) + y 0 . ta có kết quả C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết)  Bước 2: Lập và giải hệ pt: ( ) '( ) f x kx m f x k = +   =  ⇒ k = ? thay vào (**). Ta có kết quả Bài tập về PTTT của đồ thị (C ): Bài 1: Cho hàm số y = x 2 – 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0 a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau. Bài 2: Cho hàm số y = x 3 + mx 2 – m – 1, có đồ thị (C). a) Tìm các điểm cố định của (Cm). b) Lập pttt tại các điểm cố định đó. 9 Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Năm học: 2012-2013 Bài 3: Cho hàm số y = -x 4 + 2mx 2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau Bài 4: Cho hàm số y = 2 2 x x + − . Lập PTTT của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với trục tung và trục hoành Bài 5: Cho hàm số y = 2 ax -2 2 x x + − . Lập PTTT của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với trục tung và trục hoành. Bài 6: Cho hàm số y = 2 2 x x + − . Viết PTTT Của (C) đi qua A(-6;5) Bài 7: Viết PTTT của đồ thị hàm số y = 2 2 2 1 x x x + + + đi qua B(1;0) Bài 8: Cho hàm số y = x 3 – 3x. Lập các PTTT kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số Bài 9: Cho hàm số y = 2x 3 – 3x 2 + 5. Lập PTTT kẻ từ A( 19 12 ;4) Bài 10: Cho hàm số y = 2x 3 + 3x 2 – 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O. MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP Bài 1) Cho hàm số x mx)m(x y +−+ = 2 2 , m là tham số, có đồ thị là (Cm)G 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và B. Trong trường hợp đó, tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB. 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2. Bài 2) Cho hàm số 2 54 2 − +− = x mmxx y , có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua O. B ài 3 ) Cho các đường: y = x 2 – 2x + 2, y = x 2 + 4x + 5 và y = 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên. B ài 4) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = )1x(2 3x4x2 2 − −− 2. Định m để ptrình : 2x 2 – 4x – 3 + 2m|x - 1| = 0 có 2 nghiêm phân biệt. Bài 5 : Cho hàm số 1 3 + + = x x y gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chứng minh rằng S là trung điểm của IJ g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C) Bài 6:Cho hàm số )4()1( 2 xxy −−= a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5) d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: 3 2 6 9 4 0x x x m− + − − = 10 [...]... 2 ) 12 Năm học: 2012-2013 Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12 b Tìm ngun hàm của hàm số f ( x ) = ( x + 2007 ) e x x Bài 9: Cho hàm số f ( x ) = e sin x Chứng minh rằng hàm số f ′ ( x ) − f ′′ ( x ) là ngun hàm của hàm số 2 f ( x ) Bài 10: Tìm ngun hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = trung học phổ thơng năm 2003) 1 x 3 + 3x 2 + 3 x − 1 ,biết rằng F ( 1) = (Đề thi tốt nghiệp 2 3 x + 2x + 1 §2 TÍCH... Năm học: 2012-2013 Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12 π sin x cos xdx e ∫ cos2 x + 1 0 1 1  1 − f ∫  2 x + 2 ex 0 π 1 2    ÷xdx g ∫  cos 2 x + ÷ cos 2 xdx sin 2 x + 3   0 h ∫ x ln 3x 2 + 1dx 0 §6 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG: 1) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: (trong đó hai đường thẳng ( C1 ) : y = f ( x ) ; ( C2 ) : y = g ( x ) ; x = a; x = b x = a; x = b có thể thi u một hoặc cả... x 2 ≤ log x+1 2 *Một số đề thi đại học về phương trình, bất phương trình,hệ phương trình mũ và logarit trong thời gian gần đây 1.(Đề dự bị 1 khối D năm 2007) Giải bất phương trình: log 1 2 1 1 2 2x 2 − 3x + 1 + log 2 ( x − 1) ≥ 2 2 2.(Đề dự bị 1 khối A năm 2007) Giải bất phương trình: (log x 8 + log 4 x 2 ) log 2 2x ≥ 0 1  x < ĐS :  2  x 2  > 23 Năm học: 2012-2013 Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH... ABCD là hình bình hành • Chứng minh A,B,C không thẳng hàng • ABCD là hbh ⇔ AB = DC Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện: → → → • [ AB, AC ] AD ≠ 0 → → 1 → [AB, AC] AD • Vtd = 6 Đường cao AH của tứ diện ABCD 3V 1 V = S BCD AH ⇒ AH = S BCD 3 • Thể tích hình hộp : [ ] V ABCD A/ B / C / D / = AB; AD AA / Dạng4: Hình chiếu của điểm M 30 Năm học: 2012-2013 Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12 1 H là... 2012-2013 Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12 ru r a.a ' ru r a1.a '1 + a 2 a '2 + a 3 a '3 cosϕ = cos(a,a ') = r u = r 2 2 2 2 a a' a1 + a 2 + a 3 a '1 + a '2 + a '3 2 2 II/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : (∆) đi qua M0có VTCP r r a = (a1;a 2 ;a 3 ) , mp(α) có VTPT n = (A; B;C) Gọi φ là góc hợp bởi (∆) và mp(α) rr sin ϕ = cos(a, n) = Aa1 +Ba 2 +Ca 3 2 2 A 2 + B2 + C 2 a1 + a 2 + a 3 2 CÁC DẠNG TOÁN... phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân từng phần tùy từng bài tốn cụ thể mà ta phải xem xét) 3) Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần: 15 Năm học: 2012-2013 Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12 Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như sau: b a) Dạng 1: ∫ p ( x ) q ( x ) dx a p ( x ) là hàm số đa thức, còn q ( x ) Trong đó... biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được ngun hàm Áp Dụng: Bài 1 Tìm ngun hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng ngun hàm cơ bản 11 Năm học: 2012-2013 Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12 1 ∫ x dx 4 ∫ (x 2 2 ∫ (3x − 1)dx ∫ 1 dx 1 − 5x ∫ (3x 2 + 6 x − 1) dx ∫ (x 4 ∫ + x − 3 3 x − 1)dx 10 (3s inx+2cosx − 3 4 − x 2 − 5)dx ∫ 2 x 7 (3 x + 6 x − e )dx 2 +... trục Ox: ( C ) : y = f ( x ) ; Ox; x = a; x = b (trong đó hai đường thẳng x = a; x = b b a) Cơng thức: V = π ∫  f ( x )  dx   2 a có thể thi u một hoặc cả hai) (3) b) Các bước thực hiện: • Bước 1: Nếu hai đường f ( x ) = 0 (PTHĐGĐ của ( C) x = a, x = b đề bài cho thi u một hoặc cả hai thì giải phương trình và trục Ox) để tìm • Bước 2: Áp dụng cơng thức (3) 4) Bài tập: ÁP Dụng 01: Bài i Tính diện tích... = 0, x = 2 2 3 9 y = sin x cos x, y = 0, x = 0, x = 3π 2 π 2 1 ,x = e e2 10 y = x 2 ln x, y = 0, x = 1, x = e Bài 2i Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau: 17 Năm học: 2012-2013 Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12 1 y = x 2 − x, y = 4 − 4 x, x = 0, x = 3 2 y = − x 2 , x + y + 2 = 0 3 y = x 2 + x − 5, y = − x 2 + 3 x + 7 4 y = ( x − 1)( x + 2)( x − 3), y = 0 3 2 3 2 7 (C): y... y = 4 x 5 y = sin x, y = 0, x = 0, x = x ln x, y = 0, x = 1, x = e π 2 6 y = xe x , y = 0, x = 0, x = 1 4 4 8 y = cos x + sin x , y = 0, x = 0, x = π 2 Chun đề 3 : A HỆ THỐNG LÝ THUYẾT: LŨY THỪA 18 Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12 • a n = a.a a • (a.b) n = a n b n • a =1 Năm học: 2012-2013 an a •   = n b b • ( a m ) n = ( a n ) m = a m n ( n thừa số) 0 1 an = a m a n • a −n = • a m+ n . Sự biến thi n - Chiều biến thi n, cực - Tính lồi lõm, điểm uốn, - Giới hạn - Bảng biến thi n 3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị 1. Tập xác định 2. Sự biến thi n - Chiều biến thi n, cực . (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định. m=minf(x) ) 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b) + Lập bảng biến thi n của hàm số trên (a,b) + Nếu trên bảng biến thi n có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu)