Đang tải... (xem toàn văn)
Tuyển tập các bài giảng về câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học 2014
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 1 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên so ạ n: ThS. Đ ỗ Vi ế t Tuân BÀI GIẢNG SỐ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hàm số ( ) y f x trên khoảng ( ; ) a b Tính chất 1: Hàm số ( ) y f x trên khoảng ( ; ) a b được gọi là: i) Đồng biến nếu '( ) 0 ( ; ) f x x a b ii) Nghịch biến nếu '( ) 0 ( ; ) f x x a b Tính chất 2: Hàm số ( ) y f x trên khoảng ( ; ) a b được gọi là: i) Đồng biến nếu '( ) 0 ( ; ) f x x a b , và ( ) 0 f x tại hữu hạn điểm thuộc khoảng ( ; ) a b ii) Nghịch biến nếu '( ) 0 ( ; ) f x x a b và ( ) 0 f x tại hữu hạn điểm thuộc khoảng ( ; ) a b Nhận xét: Trong các bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu chúng ta thường dùng tính chất 2 để áp dụng. B. CÁC VÍ DỤ MẪU Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số ( ) y f x Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến. Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 3 2 5 y x x Lời giải Tập xác định: . D R Ta có 3 5 10 ' x y x . Khi đó phương trình ' 0 2. y x Bảng xét dấu X 0 2 y’ + || - 0 + Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) và (2; ) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; -2). Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 2 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên so ạ n: ThS. Đ ỗ Vi ế t Tuân Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 2 3 3sin cos 2 x y x x trên khoảng 0 ( , ). Lời giải: Tập xác định: . D R Ta có ' 3 cos sin 1 y x x , khi đó phương trình ' 0 sin 3cos 1 sin( ) sin 3 6 2 2 7 2 6 y x x x x k x k Trên khoảng 0 ( , ). y’ = 0 có một nghiệm . 2 x Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) 2 và nghịch biến trên khoảng (0; ) 2 . Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước. Phương pháp 1: Bước 1: Cô lập tham số m sang một vế dạng ( ) f x m Bước 2: Tính đạo hàm xét dấu và lập bảng biến thiên trên khoảng cho trước Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận điều kiện của tham số m. Ví dụ 3: Tìm m để hàm số 2 2 3 1 x x m y x đồng biến với mọi x > 3. Lời giải: Tập xác định: 1 \ D R Khi đó, ta có 2 2 2 4 3 1 ' x x m y x . Để hàm số đồng biến với mọi x > 3, thì 2 ' 2 2 2 2 4 3 0 3 2 4 3 0, 3. 1 2 4 3 3. x x m y x x x m x x x x m x Xét hàm số 2 2 4 3 ( ) f x x x trên miền x > 3, ta có 4 4 0 3 '( ) . f x x x Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 3 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên so ạ n: ThS. Đ ỗ Vi ế t Tuân Vậy f(x) là hàm số đồng biến với 3 x suy ra 3 9 ( ) ( ) f x f , vậy để 2 2 4 3 3 x x m x thì 3 9 ( ) . m f Phương pháp 2: Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai và định lý viet Ví dụ 4: Tim m để hàm số 3 2 3 (4) y x x mx m là nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1. Lời giải: Tập xác định: . D R Ta có 2 3 6' y x x m . Điều kiện để hàm số (4) nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng bằng 1 thì phương trình: 2 3 6 0 x x m (4’) phải có hai nghiệm 1 2 , x x sao cho 2 1 1 (*) x x Điều kiện để (4’) có hai nghiệm phân biệt là 0 9 3 0 3 ' . m m Khi đó 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 (*) ( )x x x x x x . Áp dụng định lý viet, ta có: 4 9 1 6 3 . m m So sánh với điều kiện suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2 2 ax (2 7 7) 2( 1)(2 3) y x a a x a a đồng biến trên [2:+ ) . Lời giải Ta có 2 2 3 2 2 7 7 ' ( ) y x ax a a . Điều kiện để hàm số đồng biến trên 2; là 2 2 3 2 2 7 7 0 2 ' ( ) (*) ;y x ax a a x Ta có 2 ' 7 21 21 0 a a a Gọi 1 2 2 1 , ( ) x x x x là hai nghiệm của phương trình y’ = 0, khi đó tập nghiệm của bất phương trình (*) là 1 2 ( ; ] [ ; ) x x . Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng 2 ; , thì 1 2 [2; ) ( ; ] [ ; ) x x nghĩa là 1 2 2 x x . Điều kiện là: 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 4 3 ( ) 2 2 0 2( ) 4 0 2 7 7 4 4 0 3 3 a x x x x theo viet x x x x x x a a a Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 4 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên so ạ n: ThS. Đ ỗ Vi ế t Tuân 2 6 6 5 1 5 2 1 2 3 5 0 2 a a a a a a Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điều trong chứng minh bất đẳng thức Phương pháp Sử dụng các kiến thức sau: Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn. f ( x) đồng biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( ) f a f x f b f(x) nghịch biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( ) f a f x f b Ví dụ 6: Chứng minh rằng 3 tan , (0; ) 3 2 x x x x Lời giải: Xét hàm số 3 ( ) tan , 3 x f x x x ta có 2 2 2 2 1 '( ) 1 tan cos f x x x x x Dễ thấy tan (0; ) 2 x x x nên '( ) 0 (0; ) 2 f x x Vậy hàm số ( ) f x đồng biến trên khoảng (0; ) 2 suy ra 3 ( ) (0) 0 tan (0; ) 3 3 x f x f x x x Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 cos 2 , . 2 x x x e x x R Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2 cos 2 0, . 2 x x x e x x R Xét hàm số 2 ( ) cos 2 ( ). 2 x x f x x e x x R Ta có ' ( ) sin 1 x f x x e x và '' ( ) cos 1 1 cos 0, x x f x x e x e x R Vậy ' ( ) 0 f x có nghiệm duy nhất 0. x Bảng biến thiên Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 5 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên so ạ n: ThS. Đ ỗ Vi ế t Tuân x 0 '( ) f x - 0 + ( ) f x Từ bảng biến thiên chúng ta suy ra: ( ) 0 f x với x R . (đpcm). C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Với giá trị nào của m, hàm số: 2 1 m y x x đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. ĐS: 0. m Bài 2: Xác định m để hàm số 3 2 ( 1) ( 3) 3 x y m x m x đồng biến trên khoảng (0; 3). ĐS: 12 . 7 m Bài 3: Cho hàm số 4 mx y x m a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định. ĐS: 2 2. m b. Tìm m để hàm số tăng trên (2; ) . ĐS: 2, 2 m m c. Tìm m để hàm số giảm trên ( ;1). ĐS: 2 1. m Bài 4: Cho hàm số 3 2 3(2 1) (12 5) 2 y x m x m x . Tìm m để hàm số: a. Liên tục trên R. ĐS: . m R b. Tăng trên khoảng (2; ). ĐS: 5 . 12 m Bài 5: Cho hàm số 3 2 3 3 1 (1), y x x mx m là tham số thực Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng 0; . ĐS: 1. m 0 Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 6 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên so ạ n: ThS. Đ ỗ Vi ế t Tuân Bài 6: Cho hàm số 3 2 1 1 1 3 2 . 3 3 y mx m x m x Tìm m để hàm số đồng biến với 2. x ĐS: 2 . 3 m Bài 7: Cho hàm số 3 2 3 2 1 12 5 2. y x m x m x Tìm m để hàm số đồng biến trên ; 1 2; . ĐS: 5 1 . 12 m Bài 8: Cho hàm số 2 6 2 . 2 mx x y x Tìm m để hàm số nghịch biến trên [1; ). ĐS: 14 0. 5 m Bài 9: Cho hàm số mx m y x m . a) Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định. ĐS: 1 0. m b) Tìm m để hàm số đồng biến với 3. x ĐS: 1 0. m Bài 10. Cho hàm số 2 ( ) . y m x x m Tìm m để hàm số đồng biến trên 1;2 . ĐS: 3. m Bài 11: Chứng minh rằng với mọi 2 0 x ta có xxx tan 3 1 sin 3 2 . Hướng dẫn: Xét sự biến thiên của hàm số xxxxf tan 3 1 sin 3 2 )( với 2 ;0 x . Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 7 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên so ạ n: ThS. Đ ỗ Vi ế t Tuân BÀI GIẢNG SỐ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số y f x xác định trên . D o x x gọi là điểm cực đại của hàm số nếu , , , o a b x a b D và , o f x f x \, , o o o x a b x f x gọi là giá trị cực đại của hàm số. o x x gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu , , , o a b x a b D và , o f x f x \, , o o o x a b x f x gọi là giá trị cực tiểu của hàm số. 2. Quy tắc tìm cực trị của hàm số Quy tắc 1 + Tìm tập xác định của hàm số. + Tính đạo hàm ' f x . Tìm x mà tại đó ' 0 o f x hoặc tại đó mà f x liên tục nhưng không có đạo hàm. + Lập bảng biến thiên. + Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực đại, cực tiểu. Quy tắc 2 + Tìm tập xác định của hàm số. + Tính đạo hàm ' f x . Tìm các giá trị , 1,2 i x i để ' 0. f x + Tính '' f x và " i f x . + Dựa vào dấu của " f x suy ra cực trị. Nếu " 0 i i f x x x là điểm cực tiểu. Nếu " 0 i i f x x x là điểm cực đại. Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 8 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên so ạ n: ThS. Đ ỗ Vi ế t Tuân B. CÁC VÍ DỤ MẪU Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Cách 1: Dùng bảng biến thiên Cách 2: Dùng y’’ Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số sin 2 os2 . f x x c x Lời giải Hàm số đã cho xác định trên . Ta có: ' 2cos2 2sin 2 f x x x " 4sin 2 4cos2 f x x x ' 0 2cos2 2sin 2 0 , ( ) 8 2 k f x x x x k Z Vậy hàm số đạt cực đại tại 2 , 2 8 C D x k y , hàm số đạt cực tiểu tại 2 , 2. 8 CT x k y Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm 0 x Phương pháp: Dùng bảng biến thiên hoặc dùng điều kiện của y’’ Ví dụ 2: Tìm giá trị của để hàm số 3 2 2 3 1 2 f x x mx m x đạt cực đại tại 2. x Lời giải Hàm số đã cho xác định trên . Ta có: 2 2 y' 3x 3mx m 1 2 2 2 2 3 6 3 3 ' 0 3 3 1 0 3 6 3 3 m m x y x mx m m m x Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 9 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên so ạ n: ThS. Đ ỗ Vi ế t Tuân Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có: Hàm số đạt cực đại tại 2 3 6 3 2 2 11 3 m m x m Vậy với 11 m thì hàm số đạt cực đại tại 2. x Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có điêm cực trị thỏa mãn điều kiện của đẳng thức cho trước. Phương pháp: Dùng định lý viet Ví dụ 3: Tìm m để hàm số 3 2 3 4 1 y x m x m x m đạt cực trị tại 1 2 , x x sao cho 1 2 2 . x x Lời giải Tập xác định . D 2 2 ' 3 2 3 4 1 ' 0 3 2 3 4 1 0 y x m x m y x m x m Để hàm số đạt cực trị tại 1 2 , x x sao cho 1 2 2 x x thì 1 có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 2 x x . 1 2 1 2 1 2 2 2 0 2 4 0 x x x x x x Áp dụng định lý Viet ta có: 4 3 4 1 1 4 0 8 1 0 3 3 8 m m m m x 2 3 6 3 3 m m 2 3 6 3 3 m m f’(x) 0 0 f x CD CT Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 10 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên so ạ n: ThS. Đ ỗ Vi ế t Tuân Vậy 1 8 m thì hàm số đã cho đạt cực trị tại 1 2 , x x sao cho 1 2 2 x x . Ví dụ 4: Cho hàm số 3 1 . 3 y x x m Tìm m để hàm số có hai cực trị trái dấu. Lời giải Điểm cực trị của hàm số là nghiệm của phương trình: 2 1 ' 0 1 0 1 x y x x Giá trị cực trị của hàm số tương ứng là 1 2 2 (1) 3 2 ( 1) 3 y y m y y m Yêu cầu bài toán tương đương với: 1 2 2 2 2 2 0 ( )( ) 0 . 3 3 3 3 y y m m m Nhận xét: Các em học sinh cần phân biệt 3 khái niệm là: Điểm cực trị của hàm số là , CD CT x x Cực trị của hàm số là , CD CT y y Điểm cực trị của đồ thị hàm số là , , , CD CD CT CT x y x y Dạng 4: Bài toán cực trị liên quan đến góc, khoảng cách và tam giác Ví dụ 5: Cho hàm số 4 2 2 1 y x mx . Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cưc trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1. Lời giải Ta có: 3 2 ' 4 4 4 y x mx x x m 2 0 ' 0 x y x m Hàm số có ba cực trị ' y đổi dấu ba lần trên ' 0 D y có ba nghiệm phân biệt 0 m 0. m Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là 2 2 0;1 , ;1 , ;1 A B m m C m m Theo tính chất của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương, ta có tam giác ABC cân tại . A Gọi D là trung điểm của cạnh BC thì Xét ADC vuông tại D , ta có sin AD C AC [...]... Đỗ Viết Tuân Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học BÀI GIẢNG SỐ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Định nghĩa Cho hàm số y f (x) xét trên tập - Số gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên nếu - Số gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nếu 2 Phương pháp tìm min và max Phương pháp 1: Bảng biến thi n Bước 1: Tìm miền xác đinh... lim Đạo hàm: y ' 2 x 12 0, x 1 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1; Hàm số không có cực trị 35 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học Bảng biến thi n: x y' 1 1 y 1 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1; tiệm cận ngang y 1... thấy dùng đạo hàm suy ra Amin 21 1 (t ) 2 9 1 1 t x y 16 2 2 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y x 1 x2 1 trên đoạn 1;2 Đs: max y 2 f (1); min y 0 f ( 1) Bài 2: Tìm giá... 23 P x2 1 y 2 1 z2 1 1 y z x x y z Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học BÀI GIẢNG SỐ 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số Bài toán: Cho đồ thị C : y f x và điểm... thẳng (d): x + y + 10 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến đó Bài 22: Cho họ đường cong (Cm): 34 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học BÀI GIẢNG SỐ 5 GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hai đồ thị hàm số C : y f x và C ' : y g x y0 f... hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị không phụ thuộc m Tính độ dài khoảng cách đó ĐS: 4 5 Bài 19: Tìm m để hàm số y mx3 2m 1 x 2 x 1 đạt cực đại tại x1 , đạt cực tiểu tại x 2 và x2 x1 15 16 9 3 ĐS: m 7 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn. .. một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1 ĐS: m 1 Bài 9: Tìm m để đồ thị hàm số y x3 3mx 2 m 2 2 m 3 x 4 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của Oy 14 ĐS: 3 m 1 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học Bài 10: Tìm m để hàm số y x 3 2( m 1) x 2 (m 2 4m ... luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học x2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến 2x 3 đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại O Bài 11: Cho hàm số y ĐS: y x 2 2x Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến của đồ x 1 1 thị tại M cắt Ox,Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 4 Bài. .. điểm của hai tiệm cận và đường tròn 33 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học x3 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp x 1 tuyến này tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích S 2 Bài 19: Cho đồ thị hàm số y ĐS: y x 1 hoặc y 9 3 25... vuông góc với : 4 x y 7 0 1 17 1 9 Đs: y x , y x 4 4 4 4 1 3 4 x 3mx 2 2 x Tìm m để tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 3 1 2 2 vuông góc với đường thẳng y x 1 ĐS: m hoặc m 3 3 3 Bài 1c: Cho hàm số y 31 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi . luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 1 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên so ạ n: ThS. Đ ỗ Vi ế t Tuân BÀI GIẢNG SỐ. thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 6 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên so ạ n: ThS. Đ ỗ Vi ế t Tuân Bài 6: Cho hàm số. luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 7 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên so ạ n: ThS. Đ ỗ Vi ế t Tuân BÀI GIẢNG SỐ