C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bài tập chọn lọc 1. Hệ phương trình đối xứng loại 1 Định nghĩa: Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng phương trình của hệ không đổi Cách giải Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S 2 ≥ 4P Giải hệ để tìm S và P Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình: t 2 - St + P = 0 Ví dụ Giải hệ phương trình 2 2 7 13 x y xy x y xy + + =   + + =  2 2 1 0 22 x y xy x y x y + + + =   + − − =  2 2 8 ( 1)( 1) 12 x y x y xy x y  + + + =  + + =  2. Hệ phương trình đối xứng loại 2 Định nghĩa Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại Cách giải Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn Giải phương trình một ẩn vừa tìm được ròi suy ra nghiệm của hệ Ví dụ Giải hệ phương trình 2 2 2 4 5 2 4 5 x y y y x x  = − +   = − +   3 3 13 6 13 6 x x y y y x  = −   = −   3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 Định nghĩa - Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng: 2 2 2 2 0 ' ' ' 0 ax bxy cy a x b xy c y  + + =   + + =   Cách giải Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phương trình không Nếu x ≠ 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phương trình trong hệ Khử x rồi giải hệ tìm t Thay y = tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình một ẩn (ẩn x) Kjd Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx * Lưu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tương tự Ví dụ Giải hệ phương trình 1 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 2 2 2 4 1 3 4 x xy y y xy  − + =   − =   2 2 2 2 2 3 3 2 2 6 x xy y x xy y  − + =   + − =   Bài tập chọn lọc Bài 1. Giải các hệ phương trình ( 2)( 2) ( 4)( 3) 6 x y xy x y xy + − =   + − = +  ( 1)( 2) ( 1)( 3) 4 ( 3)( 1) ( 3)( 5) 18 x y x y x y x y − − − + − =   − + − − − =  ( 5)( 2) ( 5)( 12) x y xy x y xy + − =   − + =  5 1 10 1 1 1 3 18 1 1 x y x y  + =  − −    + =  − −  4 1 1 2 2 20 3 1 2 2 x y x y x y x y  − =  + −    + =  + −  4 3 13 36 6 10 1 x y x y  + =     + =   Bài 2. Giải các hệ phương trình 2 2 7 13 x y xy x y xy + + =   + + =  2 2 10 4 x y x y  + =  + =  5 13 6 x y x y y x + =    + =   2 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 CÁC BÀI HPT CÓ CHỨA THAM SỐ Bài 1. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình 4 1 mx y x my + =   − =  1. CMR hpt có nghiệm với mọi m? 2. Có nghiệm thỏa mãn điều kiện 2 8 1 x y m + = + . Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y. 3. Tìm số nguyên m để hpt có nghiệm nguyên. KQ: 2 2 4 1 4 1 1 m m x y m m + − = = + + . Bài 2. Cho hệ phương trình: 3 4 6 mx y x my + =   + =  1. Tìm m để hpt có vô số nghiệm? 2. Tìm m để hpt vô nghiệm? 3. Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > 0 ? KQ: 3 6 2 2 x y m m = = + + . Bài 3. Cho hệ phương trình 2 ( 1) 2 1 2 m x my m mx y m + + = −   − = −  Tìm các giá trị của m để hpt có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất. KQ: 1 2x m y m= − = − . Bài 4. Cho hệ phương trình ( 1) 1 ( 1) 2 m x y m x m y + − = +   + − =  Tìm các giá trị của m để hpt có nghiệm tmđk: S = x + y đạt GTNN? Bài 5. Hãy tìm giá trị của m và n sao cho đa thức P(x) = mx 3 + (m + 1)x 2 - (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) và (x + 2). Bài 6. Cho hệ phương trình: 2 1 ( 1) 2. mx my m x m y + = +   + + =  1. Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x 0 ; y 0 ) thì điểm A(x 0 ; y 0 ) luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi. 2. Xác định m để A thuộc góc vuông phần tư thứ nhất. 3. Xác định m để A thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 5 . Bài 31. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phương trình: 4 2 . mx y m x my m + = +   + =  có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên. Bài 45. Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD. Bài 46. Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D (2,5; 2,5). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng. Bài 47. Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2). Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì? 3 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 PHƯƠNG TRÌNH Bài 1. Cho phương trình: x 2 + (2m - 1)x - m = 0 1. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m 2. Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức 2 2 1 2 1 2 6A x x x x= + − đạt giá trị nhỏ nhất Bài 2. Cho phương trình (k - 1)x 2 - 2kx + k - 4 = 0. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình trên, hãy lập hệ thức liên hệ giữa x 1 , x 2 không phụ thuộc vào k? Bài 3. Tìm các giá trị của m để các nghiệm x 1 , x 2 của phương trình: 1/ x 2 + (m - 2)x + m + 5 = 0 thỏa mãn 2 2 1 2 10x x+ = 2/ x 2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 thỏa mãn x 1 = ‘2x 2 3/ x 2 - mx + m + 1 = 0 thỏa mãn x 1 x 2 + 2(x 1 + x 2 ) -19 = 0 Bài 4. Cho phương trình bậc hai: mx 2 - (5m - 2)x + 6m - 5 = 0 a. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là hai số đối nhau b. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau Bài 5. Cho phương trình: x 2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x 1 , x 2 của phương trình thỏa mãn 2 2 1 2 1 2 10A x x x x= + + đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó Bài 6. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình 2x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = |x 1 x 2 - 2x 1 - 2x 2 | Bài 7. Cho phương trình: x 2 - mx + m - 1 = 0 a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m b. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2( 1) x x P x x x x + = + + + 4 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bài 1. Tìm các giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung x 2 + mx + 1 = 0; x 2 + x + m = 0 Bài 2. Cho hai phương trình x 2 + p 1 x + q 1 = 0; x 2 + q 2 x + q 2 = 0 Chứng minh rằng nếu 1 2 1 2 2( )p p q q≥ + thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm Bài 3. Với giá trị nào của k thì hai phương trình sau: 2x 2 + (3k + 1)x - 9 = 0; 6x 2 + (7k - 1)x - 19 = 0 Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó Bài 4. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi a, b, c (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0 Bài 5. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: a 2 x 2 + (a 2 + b 2 - c 2 )x + b = 0 Bài 6. Cho ba phương trình x 2 + 2ax + ac = 0; x 2 - 2bx + ab - c = 0; x 2 + 2cx + c = 0 Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình trên có nghiệm Bài 7. Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0. Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn a. a(a + 2b + c) < 0 b. 5a + 3b + 2c = 0 Bài 8. Tìm các giá trị của k để phương trình: kx 2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ. Bài 9. Cho phương trình: 2x 2 - 3x + 1 = 0. Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình . Không giải phương trình hãy tìm giá trị các biểu thức sau: a. 1 2 1 1 A x x = + b. 1 2 1 2 1 1x x B x x − − = + c. 2 2 1 2 C x x= + d. 1 2 2 1 1 1 x x D x x = + + + Bài 11. Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình: 3x 2 + 5x - 6 = 0. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có các nghiệm 1 1 2 1 y x x = + ; 2 2 1 1 y x x = + Bài 12. Cho phương trình 2 2 3 1 0x x− + = . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức a. 3 3 1 2 A x x= + b. 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 5 3 4 4 x x x x B x x x x + + = + Bài 19. Cho phương trình: x 2 + px + q = 0 Tìm các giá trị của p và q sao cho hai nghiệm của phương trình thỏa mãn 1 2 3 3 1 2 5 35 x x x x − =    − =   Bài 20. Cho phương trình bậc hai: x 2 - 2x - m 2 = 0 có các nghiệm x 1 , x 2 . Lập phương trình bậc hai có các nghiệm y 1 , y 2 sao cho: a. y 1 = x 1 - 3, y 2 = x 2 - 3 b. y 1 = 2x 1 - 1, y 2 = 2x 2 - 1 Bài 21. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm thỏa mãn: 5 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 1 2 3 3 1 2 2 26 x x x x − =    − =   Bài 22. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình vô nghiệm x 2 + ax + b - 1 = 0 x 2 + bx + c - 1 = 0 x 2 + cx + a - 1 = 0 Bài 23. Cho 2 phương trình: x 2 + 2x + a = 0 (1) và (1 + a)(x 2 + 2x + a) - 2(a - 1)(x 2 + 1) = 0 (2) Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) vô nghiệm. Bài 24. Cho phương trình: x 2 - 2(m + 1)x + m - 1 = 0. a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b. Chứng minh rằng biểu thức: A = x 1 (1 - x 1 ) + x 2 (1 - x 2 ) tron đó x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m Bài 25. Cho phương trình (m - 1)x 2 - 2mx + m + 4 = 0 a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m b. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có tích bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình c. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m d. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn đẳng thức: 1 2 2 1 5 0 2 x x x x + + = Bài 26. Tìm các giá trị của m và n để hai phương trình sau tương đương x 2 + (4m + 3n)x - 9 = 0. x 2 + (3m + 4n)x + 3n = 0 Bài 27. Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dương phân biệt x 1 , x 2 a. Chứng minh rằng phương trình cx 2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt b. Chứng minh rằng S = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≥ 4 Bài 28. Cho phương trình: x 2 - (2m + 1)x + m 2 + m = 0 a. Biết rằng phương trình có một nghiệm x 1 = 2,tìm m rồi tìm nghiệm còn lại b. Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phương trình thỏa mãn bất đẳng thức -2 < x 1 < x 2 < 4 Bài 29. Tìm a sao cho nghiệm của phương trình x 4 + 2x 2 + 2ax + a 2 + 2a + 1 = 0. Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Bài 30. Cho a, b, c là ba số dương khác nhau có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau: x 2 + ax + b = 0 x 2 + bx + c = 0 x 2 + cx + a = 0. Có một phương trình vô nghiệm, một phương trình có nghiệm Bài 31. Cho biết phương trình x 2 + bx + c = 0, với b, c là các số hữu tỉ có một nghiệm là 1 2 2 4 + . Tìm các cặp số (b, c) 6 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bài 32. Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình bậc hai: (m - 2)x 2 - 2(m - 1)x + m = 0. Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền là 2 5 Bài 33. Tìm giá trị của m để các nghiệm x 1 , x 2 của phương trình: mx 2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thỏa mãn điều kiện: 2 2 1 2 1x x+ = : Bài 34. Cho phương trình: mx 2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số). 1. Tìm m để phương trình có nghiệm. 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn. 3. Xác định m để các nghiệm x 1 , x 2 của phương trình thỏa mãn x 1 + 4x 2 = 3. 4. Tìm một hệ thức giữa x 1 , x 2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 35. Cho phương trình x 2 - 2(m - 2)x + (m 2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 phân biệt thỏa mãn 1 2 1 2 1 1 5 x x x x + + = . Bài 36. Cho phương trình x 2 + 5x - 1 = 0 (1) Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là lũy thừa bậc bốn của các nghiệm phương trình (1). Bài 37. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a và b: (a + 1)x 2 - 2(a + b)x + (b - 1) = 0. Bài 38. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m: x 2 - (3m 2 - 5m + 1)x - (m 2 - 4m + 5) = 0. Bài 39. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2 2 4 3 7 2 5 x y x y m − =   + =  Bài 40. Tìm giá trị của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x 2 + ax + 8 = 0 (1) và x 2 + x + a = 0 (2). Bài 41. Tìm giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm x ≥ 0: (m + 1)x 2 - 2x + (m - 1) = 0. Bài 42. Xác định m để phương trình: (m + 1)x 2 - 2(m + 2)x + 2(m + 1) = 0 có hai nghiệm cùng âm, cùng dương, và trái dấu nhau Bài 43. Tìm giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x 3 - m(x + 1) + 1 = 0. Bài 44. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b và c: x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x- b) = 0 (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x- a) = 0. Bài 45. Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm nếu 2 4 b c a a ≥ + . Bài 46. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm nếu bm = 2(c + n): x 2 + bx + c = 0 và x 2 + mx + n = 0. Bài 47. Cho phương trình bậc hai: f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực α mà af(α) ≤ 0 thì phương trình có nghiệm. Bài 48. Cho biết các phương trình ax 2 + bx +2 c = 0 và ax 2 + bx - c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm. Vận dụng bài 22 để chứng minh phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm. 7 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bài 50. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình sau có nghiệm: 2 2 3 1x y x y a + =   + =  Bài 51. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x 2 + 2x + m = 0 (1)và x 2 + mx + 2 = 0 (2). Bài 52. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x 2 + (m - 2)x + 3 = 0 và 2x 2 + mx + m + 2 = 0. Bài 53. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: 2x 2 + (3m - 5)x - 9 = 0 và 6x 2 + (7m-15)x -19 = 0. Bài 54. Tìm giá trị nguyên của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: 2x 2 + (3m - 1)x - 3 = 0 và 6x 2 - (2m - 3)x - 1 = 0. Bài 55. Tìm giá trị của m để một nghiệm của phương trình 2x 2 - 13x + 2m = 0 (1) gấp đôi một nghiệm của phương trình x 2 - 4x + m = 0 (2). Bài 56. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một, c ≠ 0. Biết rằng các phương trình x 2 + ax + bc = 0(1) và x 2 + bx + ca = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó. Bài 57. Cho các phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (1) và cx 2 + bx + a = 0 (2). 1. Biết phương trình (1) có nghiệm dương m, 2. Chứng minh rằng phương trình (2) có nghiệm n sao cho m + n ≥ 2. Bài 58. Cho các phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (1) và cx 2 + bx + a = 0 (2). Tìm liên hệ giữa các số a, b, c biết rằng các nghiệm x 1 , x 2 của phương trình (1), các nghiệm x 3 , x 4 của phương trình (2) thỏa mãn đẳng thức: 2 2 2 2 1 2 3 4 4x x x x+ + + = . Bài 59. Phương trình x 2 + bx + c = 0 có nghiệm x 1 , x 2 . Phương trình x 2 - b 2 x + bc = 0 có nghiệm x 3 , x 4 . Biết x 3 - x 1 = x 4 - x 2 = 1. Xác định b và c. Bài 60. Tìm các số a, b sao cho các phương trình: x 2 + ax + 6 = 0 và x 2 + bx + 12 = 0 có ít nhất một nghiệm chung và a b+ nhỏ nhất. Bài 61. Tìm m để phương trình x 2 + mx + 2m - 4 = 0 có ít nhất một nghiệm không âm. Bài 62. Tìm m để phương trình 2 2 2 2 4 3 0x m x x m+ − − + + = có nghiệm. Bài 63. Tìm m để phương trình 3x 2 - 4x + 2(m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2. Bài 64. Tìm m để phương trình (m - 1)x 2 - (m - 5)x + (m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1. Bài 65. Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phương trình x 2 + x + m = 0 đều lớn hơn m? Bài 66. Tìm giá trị của m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x 3 - (m + 1)x 2 + (m 2 + m - 3)x - m 2 + 3 = 0. Bài 67. Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:(m - 3)x 4 - 2mx 2 + 6m = 0. Bài 68. Tìm giá trị của m để phương trình: mx 4 - 10mx 2 + m + 8 = 0 1. Có bốn nghiệm phân biệt. 2. Có bốn nghiệm x 1 , x 2 , x 3 , x 4 (x 1 < x 2 < x 3 < x 4 ) thỏa mãn điều kiện:x 4 - x 3 = x 3 - x 2 = x 2 - x 1 . Bài 76. Cho phương trình ẩn x: x 2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0. 1. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m. 2. Tìm m sao cho nghiệm x 1 , x 2 của phương trình thỏa mãn điều kiện: 2 2 1 2 10x x+ ≥ . Bài 78. Cho phương trình: (m - 1)x 2 + 2(m -1)x - m = 0. a. Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. b. Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm. Bài 79. Cho phương trình: x 2 - (2m - 3)x + m 2 - 3m = 0. 8 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 a. Chứng minh rằng, phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi. b. Định m để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: 1 < x 1 < x 2 < 6. Bài 80. Cho hai phương trình: x 2 + x + a = 0 (1) x 2 + ax + 1 = 0 (2) Tìm các giá trị của a để hai phương trình: a. Tương đương với nhau. b. Có ít nhất một nghiệm chung. Bài 81 a. Chứng minh hằng đẳng thức: (m 2 + m - 1) 2 + 4m 2 + 4m = (m 2 + m + 1) 2 b. Cho phương trình: mx 2 - (m 2 + m + 1)x + m + 1 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt khác -1. Bài 84. Cho phương trình: (m + 2)x 2 - (2m - 1)x - 3 + m = 0. 1. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m. 2. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia. Bài 85. Cho phương trình: x 2 - 4x + m + 1 = 0. 1. Định m để phương trình có nghiệm. 2. Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: 2 2 1 2 10x x+ = . Bài 85. Cho phương trình x 2 - 2mx + m + 2 = 0. 1. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm. 2. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức: 1 2 E x x= + theo m. Bài 87. Cho phương trình: 3x 2 - mx + 2 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 3x 1 x 2 = 2x 2 - 2. Bài 88. Cho phương trình: x 2 - 2(m - 1)x - m = 0. 1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x 1 , x 2 với mọi m. 2. Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thỏa mãn: 1 1 2 1 y x x = + , 2 2 1 1 y x x = + . Bài 89. Cho phương trình: 3x 2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 2 2 1 2 5 9 x x− = . Bài 90. Cho phương trình: x 2 - 2(m + 4)x + m 2 - 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: A = x 1 + x 2 - 3x 1 x 2 đạt giá trị lớn nhất. 2 2 1 2 1 2 B x x x x= + − đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm hệ thức giữa x 1 , x 2 không phụ thuộc vào m. Bài 91. Cho phương trình: x 2 - 4x - (m 2 + 3m) = 0. 1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 với mọi m. 2. Xác định m để: 2 2 1 2 1 2 4( )x x x x+ = + . Bài 92. Cho phương trình: x 2 + ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: 2 2 1 2 2 1 7. x x x x     + >  ÷  ÷     Bài 93. Cho phương trình: 2x 2 + 2(m + 2)x + m 2 + 4m + 3 = 0. 1. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 . 9 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 2. Chứng minh rằng các nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn bất đẳng thức: 2 1 2 1 2 2 3 1 2 x x x x   + + ≤ +  ÷  ÷   . Bài 94. Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b 2 . Bài 95. Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là: kb 2 = (k + 1) 2 ac. Bài 96. Cho hai phương trình: x 2 + mx + 2 = 0 (1) x 2 + 2x + m = 0 (2) a. Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung. b. Định m để hai phương trình tương đương. c. Xác định m để phương trình: (x 2 + mx +2)(x 2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Bài 100. Cho phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỉ, a ≠ 0. Cho biết phương trình có một nghiệm 1 2+ . Hãy tìm nghiệm còn lại. Bài 101. Tìm tất cả các số nguyên k để phương trình: kx 2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0 luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ. Bài 102. Cho phương trình: 3x 2 + 4(a - 1)x + a 2 - 4a + 1 = 0 xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn hệ thức: 1 2 1 2 1 1 2 x x x x + = + . Bài 105. Cho hai phương trình: 2x 2 + mx - 1 = 0 (1) mx 2 - x + 2 = 0 (2) Với giá trị nào của m, phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung. Bài 106. Giả sử x 1 và x 2 là hai nghiệm của phương trình: 3x 2 - cx + 2c -1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức: 3 3 1 2 1 1 S x x = + . Bài 107. Xác định a để 2 phương trình: x 2 + ax + 8 = 0 và x 2 + x + a = 0 có nghiệm chung. Bài 108. Cho phương trình: 2x 2 + 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn: 1 2 2 1 2 x x x x + = . Bài 109. Cho biết x 1 , x 2 là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 ( 0; , ,a a b c R≠ ∈ ). Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là: 2 2 1 2 1 1 , x x . Bài 110. Biết rằng x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình: ax 2 + bx + c = 0. Hãy viết phương trình bậc hai nhận 3 3 1 2 ,x x làm hai nghiệm. Bài 111. Cho f(x) = x 2 - 2(m + 2)x + 6m + 1. 1. Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m. 2. Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2. Bài 112. Cho phương trình: x 2 - (2m + 1)x + m 2 + m - 6. 1. Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm. 2. Định m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: 3 3 1 2 50x x− = . Bài 114. Cho phương trình: x 2 - 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn 3 3 1 2 72x x+ = . Bài 116. Cho phương trình: x 2 - (m - 1)x - m 2 + m - 2 = 0. 1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m. 2. Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: 2 2 1 2 E x x= + đạt giá trị nhỏ nhất. 10 [...]... Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N 2 Xác định m để MN ngắn nhất Bài 64 Cho hàm số: y = x2 - 2mx + m2 - 1 có đồ thị là (P) 1 Chứng minh rằng; với mọi m, đồ thị (P) luôn luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt 2 Chứng minh rằng khi m thay đổi, đỉnh của parabol luôn luôn chạy trên một đường thẳng song song với trục hoành CÁC DẠNG BÀI TẬP ÔN THI VÀO LỚP 10 ( SƯU TẦM ) PHẦN... x1, x2 Lập một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m 11 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bài 138 Giả sử phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Xác định m để biểu thức: E = x12 + x22 + 10 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính min E Bài 140 Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 4m = 0 a Chứng minh rằng với mọi m, phương trình luôn luôn có nghiệm Tìm m để phương trình có... m 1 Chứng tỏ rằng với mọi m, đường thẳng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt B, C 2 Xác định đường thẳng (d) sao cho độ dài đoạn BC đạt giá trị nhỏ nhất 1 2 1 2 Bài 50 Cho parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d) có phưong trình: y = mx + 1 Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định 2 Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N Tìm quỹ... tung độ bằng -4 35 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P) Bài 76: Cho hàm số y = x 2 (P) và hàm số y=x+m (d) a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) c) Thi t lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm... phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m 2 Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm đó 3 Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2 < 1 4 Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m Bài 124 Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 1 Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với... -1)(m - 3) = 0 a Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m b Xác định m để phương trình có hai nghiệm không âm c Gọi x1, x2 là hai nghiệm Xác định m để biểu thức: E = ( x1 + 1) x2 đạt giá trị lớn nhất Bài 152 Cho phương trình: x2 + 2(m + 2)x - 4m - 12 = 0 a Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m 12 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 b Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1,... minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m c) Chứng minh biểu thức M= x1 (1 − x2 ) + x2 (1 − x1 ) không phụ thuộc vào m Bài 34: Tìm m để phương trình : a) x 2 − x + 2( m − 1) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt b) 4 x 2 + 2 x + m − 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt c) ( m 2 + 1) x 2 − 2( m + 1) x + 2m − 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu 29 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bài 35: Cho phương... + 1) x + 2m + 10 = 0 (với m là tham số ) a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 ; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m c) Tìm giá trị của m để 10 x1 x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất Bài 42: Cho phương trình ( m − 1) x 2 − 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm... - 4 20 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 1 2 Bài 40 Cho parabol y = x 2 (P), điểm I(0; 2) và điểm M(m; 0) với m ≠ 0 1 Vẽ (P) 2 Viết phưong trình đường thẳng (D) đi qua hai điểm M, I 3 Chứng minh rằng đường thẳng (D) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m ≠ 0 4 Gọi H và K là hình chiếu của A và B lên trục hoành Chứng minh rằng tam giác IHK là tam giác vuông 5 Chứng minh rằng độ dài... phương trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng 1/2 thì a và b phải bằng bao nhiêu? Bài 149 Cho phương trình: x2 - 2mx - 2m - 1 = 0 a Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m b Tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m x1 x2 5 c Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x + x = − 2 2 1 2 Bài 150 Cho phương trình: (m - 1)x - 2(m + 1)x + m = 0 a Giải và biện . và y bởi x trong phần trên để có cách giải tương tự Ví dụ Giải hệ phương trình 1 C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 2 2 2 4 1 3 4 x xy y y xy  − + =   − =   2 2 2 2 2 3 3 2 2 6 x xy y x. 1 1 2 1 y x x = + ; 2 2 1 1 y x x = + Bài 12. Cho phương trình 2 2 3 1 0x x− + = . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức a. 3 3 1 2 A x x= + b. 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3. vô nghiệm: a 2 x 2 + (a 2 + b 2 - c 2 )x + b = 0 Bài 6. Cho ba phương trình x 2 + 2ax + ac = 0; x 2 - 2bx + ab - c = 0; x 2 + 2cx + c = 0 Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương